江蘇省蘇州市吳中區(qū)某中學2024-2025學年九年級上冊數(shù)學第一次月考試卷【含答案】

江蘇省蘇州市吳中區(qū)臨湖實驗中學2024-2025學年九上數(shù)學第一次月考試卷

選擇題（共9小題）

1.如圖，尸為NAOB邊。4上一點，ZAOB=30°,。尸=10?！ǎ允瑸閳A心，5c機為半徑

的圓與直線08的位置關系是（）

2.下列說法中正確的是（）

A.長度相等的弧是等弧

B.圓心角相等，它們所對的弧也相等

C.平分弦的直徑垂直于這條弦

D.等弧所對的弦相等

3.如圖，在。。中，弦與直徑相交于點E,連接。C,BD.若/ABO=20°,ZAED

=80°,則/COB的度數(shù)為（）

4.將半徑為3的圓形紙片沿A8折疊后，圓弧恰好能經(jīng)過圓心。，用圖中陰影部分的扇形

圍成一個圓錐的側(cè)面，則這個圓錐的高為（）

5.如圖，點A,2的坐標分別為A（2,0）,B（0,2）,點C為坐標平面內(nèi)一點，BC=1,

點M為線段AC的中點，連接OM,則的最大值為（）

A.V2+1B.V2+—c.2&+1D.272--

22

6.若點M(-2,ji),N(-1,y2),P(8,*)在拋物線>=工)2+2尤上，則下列結(jié)論正確

2

的是（）

A.ji<j2<y3B.j2<yi<y3C.y3<yi<y2D.y\<y3<yi

7.某商品進貨價為每件50元，售價每件90元時平均每天可售出20件，經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，如果

每件降價2元，那么平均每天可以多出售4件，若每天想盈利1000元，設每件降價x元,

可列出方程為（）

A.（40-x）（20+x）=1000B.（40-尤）（20+2x）=1000

C.（40-尤）（20-x）=1000D.（40-%）（20+4%）=1000

8.如圖，RtZkOAB的頂點A（-2,4）在拋物線＞=辦2上，將繞點。順時針旋

轉(zhuǎn)90°,得到△OCZ）,邊C。與該拋物線交于點P,則點尸的坐標為（）

A.(V2,V2)B.(2,2)C.(企，2)D.(2,V2)

9.如圖是二次函數(shù)y="2+fcc+cQWO）圖象的一部分，對稱軸是直線x=-2.關于下列

結(jié)論：①心<0;②啟-4ac>0；③9a-3b+c<0；?b-4a=0；⑤方程0?+笈+。=。的兩個

根為xi=O,X2=-4,其中正確的結(jié)論有（）

A.①③④B.②④⑤C.①②⑤D.②③⑤

二.填空題（共8小題）

10.如圖，OO的半徑為1cm,弦A3、C。的長度分別為冽，1C",則弦AC、BD所夾

的銳角a=_________度.

R

11.如圖，在Rt^ABC中，ZABC=90°,/A=32°,點B、C在。。上，邊AB、AC分

別交OO于。、E兩點，點8是面的中點，則NA8E=.

12.如圖，A、B、C是OO上的三點，且四邊形OABC是菱形.若點。是圓上異于A、B、

C的另一點，則NAOC的度數(shù)是.

C

13.如圖，在平面直角坐標系中，以點A(0,4)為圓心，4為半徑的圓交y軸于點左已

知點C(4,0),點。為OA上的一動點，以。為直角頂點，在CD左側(cè)作等腰直角三角形

14.如圖，拋物線y=o?+bx+c(。>0)的對稱軸是過點(1,0)且平行于y軸的直線，若

點、P(4,0)在該拋物線上，貝!]4。-2b+c的值為.

15.已知m,n是方程?-2x-2021=0的兩個根，那么機2+加〃+2〃=.

16.已知拋物線(a<0)的對稱軸為x=-l,與x軸的一個交點為(2,0),

若關于尤的一元二次方程"2+a+c=p(p>0)有整數(shù)根，則p的值有個.

2

17.如圖，平行于x軸的直線AC分別交函數(shù)yi=/(xNO)與*=-(尤20)的圖象于以

3

C兩點，過點C作y軸的平行線交yi的圖象于點Q,直線DE〃AC,交”的圖象于點E,

則理=_.

三.解答題(共5小題)

18.如圖，在RtaABC中，NACB=90°,點E是BC的中點，以AC為直徑的。。與A8

邊交于點。，連接。E.

(1)判斷直線。E與O。的位置關系，并說明理由；

(2)若CD=3,DE=?,求。。的直徑.

2

19.請閱讀下列材料，并完成相應的任務:

阿基米德折弦定理，阿基米德（公元前287年-公元前212年），偉大的古希臘哲學家、

百科式科學家、數(shù)學家、物理學家、力學家，靜態(tài)力學和流體靜力學的奠基人，并且享

有“力學之父”的美稱，阿基米德和高斯，牛頓并列為世界三大數(shù)學家.

阿拉伯AI-Binmi（973年-1050年）的譯文中保存了阿基米德折弦定理的內(nèi)容，蘇聯(lián)在

1964年根據(jù)AI-氏加加?譯本出版了俄文版《阿基米德全集》，第一題就是阿基米德折弦定

理.

阿基米德折弦定理：如圖1,AB和是。。的兩條弦（即折線ABC是圓的一條折弦），

BOAB,M是正的中點，則從M向BC所作垂線的垂足。是折弦ABC的中點，即CD

=AB+BD.

小明同學運用“截長法”和三角形全等來證明CD=AB+BD,過程如下：

證明：如圖2所示，在CB上截取CG=AB,連接MA,MB,MC和MG.

是應的中點，C.MA^MC,…

任務：

（1）請按照上述思路，寫出該證明的剩余部分；

（2）如圖3,在中，3D=CD,DEL4C,若A8=4,AC=10,則AE的長度為；

（3）如圖4,已知等邊△ABC內(nèi)接于OO,AB=8,。為眾上一點，ZABD=45°,AE

于點E,求△BZJC的周長.

20.已知二次函數(shù)yi=/+6x-3的圖象與直線”=x+l交于點A(-1,0)、點C(4,機).

(1)求yi的表達式和〃2的值；

(2)當時，求自變量x的取值范圍；

(3)將直線AC沿y軸上下平移，當平移后的直線與拋物線只有一個公共點時，求平移

后的直線表達式.

21.如圖，已知拋物線y=ax2+bx+c(aWO)的對稱軸為直線尤=-1,且拋物線經(jīng)過A(1,

0),C(0,3)兩點，與x軸交于點B.

(1)若直線經(jīng)過8,C兩點，求直線和拋物線的解析式；

(2)在拋物線的對稱軸x=-1上找一點M,使AM+MC的值最小，求點M的坐標；

(3)設P為拋物線的對稱軸x=-1上的一個動點，求使ABPC為直角三角形的點P的

坐標.

22.如圖，拋物線y=/+6x+c與x軸交于A(-1,0)、B(3,0)兩點，直線/與拋物線交

于A、C兩點，其中C點的橫坐標為2.

(1)求拋物線的解析式及直線AC的解析式；

(2)尸是線段AC上的一個動點，過尸點作無軸的垂線交拋物線于E點，求線段尸E長

度的最大值；

(3)點G是拋物線上的動點，在x軸上是否存在點凡使A、C、F、G這樣的四個點為

頂點的四邊形是平行四邊形？如果存在，求出所有滿足條件的尸點坐標；如果不存在，

請說明理由.

參考答案與試題解析

選擇題（共9小題）

1.【解答】解：過點P作尸于點。，

VZAOB=30°,OP=10cm,

：.PD=loP=5cm,

2

，以尸為圓心，5c用為半徑的圓與直線03相切.

故選：C.

A

2.【解答］解：A、能夠重合的弧是等弧，故說法錯誤，不符合題意；

8、在同圓或等圓中，圓心角相等則它們所對的弧相等，故說法錯誤，不符合題意;

C、平分弦（非直徑）的直徑垂直于這條弦，故說法錯誤，不符合題意；

。、等弧所對的弦相等，故說法正確，符合題意.

故選：D.

3.【解答］解：'：ZABD=2Q°,ZAED=80°,

AZD=ZAED-ZABD=80°-20°=60°,

：.ZCOB=2ZD=120°,

故選：c.

4.【解答】解：過。點作OC_LAB,垂足為。，交。。于點C,

由折疊的性質(zhì)可知，工。4,

22

由此可得，在RtzXA。。中，NA=30°,

同理可得48=30°,

在△492中，由內(nèi)角和定理，

得/AO8=180°-ZA-ZB=120°

弧AB的長為12°幾義3=2口

180

設圍成的圓錐的底面半徑為r,

則2Ttr—2ir

r=1

...圓錐的圖為,-12=2V5.

5.【解答］解：如圖，

:點C為坐標平面內(nèi)一點，BC=1,

；.C在。8上，且半徑為1,

取。。=。4=2,連接CD,

\'AM^CM,OD^OA,

：.0M是AACD的中位線，

：.OM^^CD,

2

當最大時，即C。最大，而。，B,C三點共線時，當C在。8的延長線上時，OM

最大，

?：OB=OD=2,/BOD=90°,

:.BD=2瓜

.?。=2&+1,

0M==V2V，即OM的最大值為我+工;

2

故選：B.

6.【解答］解：無=-2時，y=Xc2+2x=Ax(-2)2+2X(-2)=2-4=-2,

-22

x--1時，y=—A-2+2X=—X(-1)2+2X(-1)=_1-2=--,

'2222

x=8時，y=A?+2x=Ax82+2X8=32+16=48,

22

：-2<-3<48,

2

?'?yi<y2<y3.

故選：A.

7?【解答】解：設每件應降價x元，

由題意，得(90-50-％)(20+2%)=1000,

即：(40-x)(20+2x)=1000,

故選：B.

8.【解答】解：:比△OAB的頂點A(-2,4)在拋物線y=ax2上,

；.4=aX(-2)2,

解得：<2—1

解析式為>=/,

???RtaOAB的頂點A(-2,4),

；.OB=OD=2,

繞點。順時針旋轉(zhuǎn)90°,得到△OCD,

...CO〃x軸，

...點。和點尸的縱坐標均為2,

...令y=2,得2=/,

解得:x=±'R,

:點尸在第一象限，

...點尸的坐標為：(&,2)

故選：C.

9.【解答】解：：拋物線開口向下,

2a

??h~~4〃，cib>0,

...①錯誤，④正確，

:拋物線與無軸交于-4,0處兩點，

.*.Z?2-4ac>0,方程a/+6x=0的兩個根為xi=O,X2=-4,

②⑤正確，

:當x=-3時y>0,BP9a-3b+c>Q,

，③錯誤，

故正確的有②④⑤.

故選：B.

二.填空題（共8小題）

10.【解答】解：連接04、OB,0C、0D,

：。4=。8=0。=。。=1,AB=?,CD=1,

：.OA2+OB2=AB2,

AA0B是等腰直角三角形，

△C。。是等邊三角形，

：.ZOAB=ZOBA^45°,/0DC=NOCD=60°,

,：ZCDB=ZCAB,ZODB=ZOBD,

；.a=180°-ZCAB-ZOBA-Z0BD=180°-AOBA-CZCDB+ZODB）=180°

45°-60°=75°.

11.【解答］解：如圖，連接DC,

VZr>BC=90°,

.?.OC是。。的直徑，

:點B是令的中點，

：.ZBCD=ZBDC=45°,

在RtZXABC中，ZABC=90°,ZA=32°,

AZACB=90°-32°=58°,

AZACD=ZACB-ZBCD=5S°-45°=13°=AABE,

故答案為：13°.

???四邊形。45C是菱形，

C.AB=OA=OB—BC,

???△AOB是等邊三角形，

AZA￡>C=60°,ZADrC=120°.

故答案為：60°或120°.

D

13.【解答］解：如圖，設￡(m,n),

過點。作bG〃工軸，過點E作防G,過點。作CG,尸G,

：.ZCGD=ZDFE=9Q°,

/.ZCDG+ZDCG=90°,

???ACDE是等腰直角三角形，

：.ZCDE=90°,CD=DE,

：?NCDG+NEDF=9U°,

：.ZDCG=ZEDFf

1.LCDG名LDEF(AAS),

/.DG=EF=4-XD9CG=DF=XD-m,

*.*n+4-XD=XD-m,

.?.切=生空土yD=xD~.=□二m9,

22

?D(m+n+4n-m+4

??22’

???點。在以A(0,4)為圓心半徑為4的圓上，

連接A。，則AO=4,

.?(m+n+4)2+(rrm+4_4)2=42

一22，

即(9+4)2+〃2=(4^2)2,

...點E在以點77(-4,0)為圓心，4加為半徑的圓上，(到定點(-4,0)的距離是

4五的點的軌跡)，

:以點A(0,4)為圓心，4為半徑的圓交y軸于點2,

：.B(0,8),

；.OB=8,

VC(4,0),

：.OC=4,

VOB2-K)C2=A/82+42=>

過點H作HK_LBC于K,

則NHKC=N8OC=90°,

■:/HCK=/BCO,

.,.△HCKsABCO,

二埋="即HK=8,

"OBBC’8475'

:.HK=\6辰,

5

設點E到BC的距離為/z,

:.SABCE=LBC?h=1又,

22

h最小時，S/\BCE最小，而h最小=HK-4加=當度-4加，

5

?\SABCE最小=2爬X(16遙-4&)=32-8713，

5

故答案為：32-8A/10.

14?【解答】解：設拋物線與x軸的另一個交點是。，

:拋物線的對稱軸過點（1,0）,與x軸的一個交點是尸（4,0）,

.,.與無軸的另一個交點。（-2,0）,

把（-2,0）代入解析式得：0=4a-2b+c,

；.4a-2b+c=0,

15.【解答】解：???根、〃是方程2021=0的兩個根，

m+n=2,mn=-2021,m2-2m-2021=0,

.*.m2=2m+2021,

.*.m+mn+2n

=2m+2021+mn+2n

=-2021+2X2+2021

=4.

故答案為：4.

16.【解答】解：：拋物線>=以2+公+。（”<0）的對稱軸為彳=-1

-上-=-1,解得b—2a.

2a

又：拋物線>=—+灰+。（a<0）與x軸的一個交點為（2,0）.

把（2,0）代入y=a/+bx+c得，0=4。+4。+。

解得，c--8Q.

?\y=ax2-^-2ax-8a(?<0)

2

對稱軸h=-1,最大值左=4打(>a)-4a=-9a

令ax2+2ax-8a=0

即/+2x-8=0

解得x=-4或x=2

...當a<0時，拋物線始終與x軸交于(-4,0)與(2,0)

'.ajc+bx+c—p

即常函數(shù)直線y=p,由p>0

.,.0<yW-9a

由圖象得當0<yW-9a時，-4<尤<2,其中尤為整數(shù)時，x=-3,-2,-1,0,1

一元二次方程cn2+bx+cup(p>0)的整數(shù)解有5個.

又?.”=-3與x—1,X—-2與x=0關于直線X--1軸對稱

當尤=-1時，直線y=p恰好過拋物線頂點.

所以p值可以有3個.

故答案為3.

17.【解答】解：設A點坐標為(0,a),(a>0),

則解得無=?,

??點B(,a),

2

^—=a,

3

則

??點C（[3a，a）,

???”）〃丁軸，

工點O的橫坐標與點。的橫坐標相同，為屆,

?'?yi=（V3a）2=3”，

???點。的坐標為（■，3〃），

VDE//AC.

???點E的縱坐標為3a,

2

=3〃，

3

?，?x=39

???點七的坐標為（3?,3〃），

:.DE=3^[^-V3a，

DE=3V^=3_

ABVa

故答案為：3-V3.

三.解答題（共5小題）

18.【解答】（1）證明：連接。。，如圖，

???直徑所對圓周角，

ZAZ)C=90°,

AZBDC=90°,三為5c的中點,

:?DE=CE=BE,

：.ZEDC=ZECD,

又.：OD=OC,

：.ZODC=ZOCDf

：.ZEDC+ZODC=9Q°,即NEDO=90°,

Z)E_L。。且OD為半徑，

與。。相切；

(2)由(1)得，ZCDB=90°,

?：CE=EB,

:.DE=1BC,

2

:.BC=5,

22

:-BD=VBC-CD=V52-32=4'

'：ZBCA=ZBDC=9Q°,/B=/B,

：.ABCAsABDC,

?AC=BC

"CDBD，

?-?-A-C_-5,

34

：.AC=^-,

4

???OO直徑的長為至.

4

19.【解答】(1)證明：如圖2所示，在CB上截取CG=AB,連接MA,MB,MC?MG,

是位的中點，

：.MA=MC,

ZA=ZC,

在△MBA和△MGC中，

MA=MC

<ZA=ZC，

AB=CG

AMBA^AMGC(SAS),

；.MB=MG,

'：MD1BC,

:,BD=GD,

：.CG+GD=AB+BD,

即CD=AB+BD；

(2)解：如圖3,連接B。、CD,在C8上截取CM=A3,連接A。、DM,

圖3

vAD=AD>

AZB=ZC,

在△ABO和△MCD中，

AB=CM

,ZB=ZC，

BD=CD

AAABD^AMCD(SAS),

：.AD=DM,

u：DELAC,

：.AE=MEf

：.AB+AE=CM+ME=CE=AC-AE,

VAB=4,AC=10,

AAE=3,

故答案為：3；

(3)解：如圖4,連接CD,

A

圖4

VAABC是等邊三角形，

：.AB=AC,

AAB=AC-

由阿基米德折弦定理，可得BE=ED+DC,

'：ZAB￡>=45°,AB=8,ZAEB=90°,

：.BE=J^.AB=4y[2>

2

故△BOC的周長為：BC+BD+CD=BC+BE+ED+DC=BC+2BE=8+8圾.

20.【解答】解:(1)把A(-1,0)代入丫1得萬=-2,

把C(4,m)代入丁2得，m=5.

所以yi=x2-2x-3.

答:yi的表達式為yi=f-2x-3和根的值為5.

根據(jù)圖象可知：當時，自變量x的取值范圍是-1或x>4.

答：自變量元的取值范圍是xV-1或%>4.

(3)設直線AC平移后的表達式為y=x+Z,

得：x2-2x-3=%+左，

令△=0,解得k=-21.

4

答：平移后的直線表達式為〉=犬-號.

21.【解答】解：(1)拋物線的對稱軸為直線％=-1,且拋物線經(jīng)過A(1,0),

故點3的坐標為(-3,0),

設拋物線的表達式為y=a(x-xi)(x-X2)—a(尤-1)(x+3)—a(無2+2x-3),

將點C坐標代入上式得：3=。(-3),解得。=-1,

拋物線的解析式為：y=-x2-2x+3；

由題意得5(-3,0),

把8(-3,0),C(0,3)代入y=mx+及得:!n=3，解得［m=l,

I0=-3m+nIn=3

直線的解析式為y=x+3；

(2)設直線BC與對稱軸x=-1的交點為M,則此時MA+MC的值最小.

把尤=-1代入直線y=x+3得y=2,故M(-l,2),

即當點M到點A的距離與到點C的距離之和最小時M的坐標為(-1,2)；

(3)設尸(-1,力，B(-3,0),C(0,3),

則BC2=18,PB2=(-1+3)2+r=4+r,PC1=G-3)2+l,

若點B為直角頂點時，則BC