2024-2025學(xué)年高一上學(xué)期期末復(fù)習(xí)解答題壓軸題二十一大題型專練（范圍：第一、二、三章）（含答案）

2024-2025學(xué)年高一上學(xué)期期末復(fù)習(xí)解答題壓軸題二十一大題型專練（范圍：第一、二、三章）【人教A版（2019）】題型1題型1集合中元素的個(gè)數(shù)問題1．（24-25高一上·江蘇鎮(zhèn)江·階段練習(xí)）已知集合A=x(1)當(dāng)a=2時(shí)，A中只有一個(gè)元素，求b的值；(2)當(dāng)b=2時(shí)，A中至多有一個(gè)元素，求a的取值范圍.2．（23-24高一上·河南濮陽(yáng)·階段練習(xí)）設(shè)數(shù)集A由實(shí)數(shù)構(gòu)成，且滿足：若x∈A（x≠1且x≠0），則11?x(1)若2∈A，則A中至少還有幾個(gè)元素？(2)集合A是否為雙元素集合？請(qǐng)說明理由；(3)若A中元素個(gè)數(shù)不超過8，所有元素的和為143，且A中有一個(gè)元素的平方等于所有元素的積，求集合A3．（23-24高一上·江蘇鎮(zhèn)江·階段練習(xí)）已知集合A中的元素全為實(shí)數(shù)，且滿足：若a∈A，則1+a1?a(1)若a=?3，求出A中其他所有元素．(2)0是不是集合A中的元素？請(qǐng)你取一個(gè)實(shí)數(shù)a∈Aa≠?3，再求出A4．（23-24高三上·山東濰坊·期末）已知集合x|ax(1)若集合A是空集，求a的取值范圍；(2)若集合A中只有一個(gè)元素，求a的取值范圍；(3)若A中至多有一個(gè)元素，求a的取值范圍．題型2題型2根據(jù)集合間的關(guān)系求參數(shù)5．（24-25高一上·河北廊坊·階段練習(xí)）設(shè)集合A=xx2(1)若B?A，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；(2)若A?B，求實(shí)數(shù)a的取值范圍6．（24-25高一上·山西大同·階段練習(xí)）已知集合A=(1)若a=5，請(qǐng)寫出集合A的所有子集；(2)若集合B=xx2+2x=0，且7．（23-24高一上·吉林四平·階段練習(xí)）已知集合P=x∈(1)若b=4，存在集合M使得P為M的真子集且M為Q的真子集，求這樣的集合M；(2)若集合P是集合Q的一個(gè)子集，求b的取值范圍.8．（23-24高一上·安徽安慶·階段練習(xí)）已知集合A={x|0<ax+1≤5},B={x|?(1)若A?B,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.(2)是否存在實(shí)數(shù)a，使得A=B?若存在求出a的值；若不存在，請(qǐng)說明理由.題型3題型3交、并、補(bǔ)集的混合運(yùn)算及其含參問題9．（24-25高一上·貴州·期中）已知集合A=x?3≤x≤4，(1)當(dāng)a=2時(shí)，求，A∪B，A∩B；(2)若A∩B=B，求a的取值范圍.10．（24-25高一上·湖南長(zhǎng)沙·階段練習(xí)）已知全集U=R，集合A=x2<x<9(1)求B∪?(2)已知集合M=xa<x<2a?2，若M??11．（24-25高一上·江西南昌·期中）設(shè)全集為U=R，集合A=xx(1)當(dāng)a=6時(shí)，求A∪B和A∩(2)在①B∩?RA=?；②A∩B=B；③A∪B=A12．（24-25高一上·江西南昌·階段練習(xí)）設(shè)集合A=xx2(1)若A∩B=2，求實(shí)數(shù)a(2)若A∪B=A，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；(3)若全集U=R，A∩?UB題型4題型4集合的新定義問題

平面向量線性運(yùn)算的坐標(biāo)表示

平面向量線性運(yùn)算的坐標(biāo)表示13．（24-25高一上·浙江紹興·期中）定義兩種新運(yùn)算“⊕”與“?”，滿足如下運(yùn)算法則：對(duì)任意的a,b∈R，有a⊕b=ab，a?b=ab+1.設(shè)全集U=xx=a⊕b+a?b,0<a≤b<3且a∈Z,(1)求集合U；(2)求集合A；(3)集合A,B是否能滿足?UA∩B=?14．（24-25高一上·內(nèi)蒙古包頭·階段練習(xí)）設(shè)正整數(shù)n≥4，若由實(shí)數(shù)組成的集合A=a1,a2,???,an滿足：對(duì)A中任意四個(gè)不同的元素a，b，c，(1)判斷集合A1=0,12(2)若集合A=0,x,y,z為H4集合，求15．（24-25高一上·浙江·期中）對(duì)于數(shù)集M，定義M的特征函數(shù)：fM(x)=1,x?M?1,x∈M，對(duì)于兩個(gè)數(shù)集(1)已知集合A={1,3,7,9},B={2,3,7,8}，（i）求fA(1)的值，并用列舉法表示（ii）若用card(M)表示有限集合M所包含的元素個(gè)數(shù)，已知集合X是正整數(shù)集的子集，求card(2)證明：fA?B16．（24-25高一上·江蘇泰州·階段練習(xí)）對(duì)于給定的非空集合A，定義集合A+=xx=a+b,a∈A,b∈A(1)判斷集合A=0,4(2)設(shè)集合C=xn≤x≤2025,x∈Nn∈N且n≤2025，若(3)設(shè)集合D=x1,x2題型5題型5充分條件與必要條件

平面向量線性運(yùn)算的坐標(biāo)表示

平面向量線性運(yùn)算的坐標(biāo)表示17．（24-25高一上·山東菏澤·階段練習(xí)）已知集合U為實(shí)數(shù)集，A=xx≤?5或x≥8，(1)若a=5，求?U(2)設(shè)命題p：x∈A；命題q：x∈B，若命題p是命題q的必要不充分條件，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.18．（24-25高一上·四川達(dá)州·階段練習(xí)）已知集合A=x|(1)若x∈A是x∈B的必要不充分條件，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；(2)若A∩B≠?，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.19．（24-25高一上·廣東珠海·階段練習(xí)）已知p：x>3或x<?12，q：x>a，r：(1)若p是q的必要不充分條件，求a的取值范圍；(2)若?p是r的必要條件，求m的最大值．20．（24-25高一上·河南鄭州·階段練習(xí)）已知集合A=xx2(1)若A∩B=?，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；(2)設(shè)命題p：x∈A；命題q：x∈B，是否存在實(shí)數(shù)m，使得命題q是命題p的必要不充分條件？若存在，求出實(shí)數(shù)m的取值范圍；若不存在，請(qǐng)說明理由．題型6題型6全稱量詞與存在量詞中的含參問題

平面向量線性運(yùn)算的坐標(biāo)表示

平面向量線性運(yùn)算的坐標(biāo)表示21．（24-25高一上·湖北黃岡·期中）已知命題p:關(guān)于x的方程mx2+2x?1=0有實(shí)數(shù)根.命題q:?x∈(1)若命題p為真命題，求實(shí)數(shù)m的取值范圍;(2)若命題p與命題q一真一假，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.22．（24-25高一上·河北石家莊·階段練習(xí)）已知命題p:?x∈[1,+∞),a?2x(1)寫出兩個(gè)命題p,q的否定；(2)若兩個(gè)命題都是真命題，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．23．（24-25高一上·天津·階段練習(xí)）設(shè)命題p:?x∈R，不等式mx2(1)若p為真命題，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；(2)若命題p、q有且只有一個(gè)是真命題，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．24．（24-25高一上·湖南衡陽(yáng)·階段練習(xí)）已知集合A=x|1≤x≤7，B=x|?3m+1≤x≤m?1，且(1)若命題p:?x∈A，x∈B是真命題，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；(2)若命題q:?x∈B，x?A是假命題，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.題型7題型7利用作差法、作商法比較大小

平面向量線性運(yùn)算的坐標(biāo)表示

平面向量線性運(yùn)算的坐標(biāo)表示25．（24-25高一上·廣東廣州·階段練習(xí)）（1）已知x∈R，比較3x2（2）已知x∈R，比較3x326．（24-25高一上·廣西來賓·階段練習(xí)）從下列三組式子中選擇一組比較大?。?1)設(shè)x>1，M=x?x?1，N=x+1?(2)設(shè)a，b均為正實(shí)數(shù)，M=a3+b3，N=(3)設(shè)a>b>0，M=a2?b2a227．（24-25高一上·四川成都·階段練習(xí)）如果向一杯糖水里加糖，糖水變甜了，這其中蘊(yùn)含著著名的糖水不等式：yx(1)證明糖水不等式；(2)已知a，b，c是三角形的三邊，求證：1<a28．（24-25高一·全國(guó)·課后作業(yè)）試比較下列組式子的大?。?1)x+1?x與x?(2)M=a1+a+b1+b與N=(3)a2?b2a題型8題型8利用不等式的性質(zhì)求取值范圍

平面向量線性運(yùn)算的坐標(biāo)表示

平面向量線性運(yùn)算的坐標(biāo)表示29．（23-24高一上·陜西咸陽(yáng)·階段練習(xí)）已知實(shí)數(shù)a，b滿足1≤a+b≤8，3≤a?b≤4．(1)求實(shí)數(shù)a，b的取值范圍；(2)求2a?5b的取值范圍．30．（24-25高一上·河南駐馬店·階段練習(xí)）已知實(shí)數(shù)a,b滿足：(1)2<a<3，1<b<6，求a?2b，ba(2)1<a?b<3，1<3a+2b<5，求2a+3b的取值范圍.31．（24-25高一上·吉林·階段練習(xí)）已知實(shí)數(shù)a,b滿足1≤a+b≤8，3≤a?b≤4.(1)求實(shí)數(shù)a,b的取值范圍；(2)求a?4b的取值范圍.32．（24-25高一上·山東淄博·階段練習(xí)）已知實(shí)數(shù)a,b滿足：(1)1<a<2,2<b<6，求2a+b的取值范圍；(2)1<a<2,2<b<6，求ba(3)1<a+b<3,3<2a+b<5，求2a?b的取值范圍.題型9題型9利用基本不等式求最值

平面向量線性運(yùn)算的坐標(biāo)表示

平面向量線性運(yùn)算的坐標(biāo)表示33．（24-25高一上·江蘇蘇州·期中）已知x>0,y>0,xy=x+2y+a．(1)當(dāng)a=0時(shí)，求xy的最小值；(2)當(dāng)a=6時(shí)，求x+2y的最小值．34．（24-25高一上·山西·期中）已知a>b>1．(1)證明aa?1(2)若a+b=5，求1a?135．（24-25高一上·福建莆田·期中）（1）若a>0，b>0，且滿足a+b=4，求ab的最大值；（2）求函數(shù)y=1（3）已知x>0，y>0，且x+y=1，求1x36．（24-25高一上·吉林長(zhǎng)春·階段練習(xí)）若正數(shù)x，y滿足9x+y=xy，(1)求xy的最小值.(2)求2x+3y的最小值.題型10題型10基本不等式的恒成立、有解問題

平面向量線性運(yùn)算的坐標(biāo)表示

平面向量線性運(yùn)算的坐標(biāo)表示37．（24-25高一上·廣東深圳·期中）已知x,y>0滿足x+y=6.(1)求yx(2)若x2+4y38．（24-25高一上·四川達(dá)州·階段練習(xí)）已知正數(shù)x，y滿足2x+y?xy=0.(1)求4xx?1(2)若xy+2?4239．（23-24高一上·江蘇連云港·期中）已知正實(shí)數(shù)x，y，滿足x+2y?xy=0．(1)求xy的最小值；(2)若關(guān)于x的方程x(y+1)?4240．（23-24高一上·湖北武漢·期中）已知x，y都是正數(shù)，且2x(1)求2x+y的最小值；(2)已知不等式λx+2y≤3x+2y題型11題型11由一元二次不等式的解確定參數(shù)

平面向量線性運(yùn)算的坐標(biāo)表示

平面向量線性運(yùn)算的坐標(biāo)表示41．（24-25高一上·山東·期中）已知a,b,c∈R，關(guān)于x的一元二次不等式?x2+bx+6>0(1)求b，c的值；(2)解關(guān)于x的不等式ax42．（24-25高一上·陜西咸陽(yáng)·階段練習(xí)）已知函數(shù)fx(1)若關(guān)于x的不等式fx<0的解集為?1,3，求不等式(2)若b=1，求關(guān)于x的不等式fx43．（24-25高一上·福建莆田·階段練習(xí)）已知關(guān)于x的不等式kx2?2k+1x+2<0(1)若A=x1<x<2，求(2)求不等式的解集A；(3)是否存在實(shí)數(shù)k，使上述不等式的解集A中恰有3個(gè)整數(shù)?若存在，求出k的取值范圍；若不存在，請(qǐng)說明理由.44．（24-25高一上·北京·階段練習(xí)）已知關(guān)于x的不等式ax2?(1)若3?A，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；(2)當(dāng)a<0時(shí)，集合A中有且僅有兩個(gè)整數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；(3)若集合B=xx<1或x>12，滿足題型12題型12一元二次不等式恒成立問題

平面向量線性運(yùn)算的坐標(biāo)表示

平面向量線性運(yùn)算的坐標(biāo)表示45．（24-25高一上·福建泉州·期中）已知函數(shù)f(x)=ax2+(a?2)x?2(1)若不等式fx≥0的解集為(?∞(2)若不等式f(x)≥ax?3對(duì)x∈R恒成立，求實(shí)數(shù)a46．（24-25高一上·甘肅金昌·期中）已知函數(shù)f(x)=?x(1)若關(guān)于x的不等式f(x)>0的解集為(?3,1)，求a，b的值；(2)當(dāng)a=1時(shí)，若關(guān)于x的不等式f(x)≤0在R上恒成立，求b的取值范圍.47．（24-25高一上·湖南湘西·期中）已知函數(shù)f(1)若不等式fx≥?mx在R上恒成立，求實(shí)數(shù)(2)若fx≥0在0,1上恒成立，求實(shí)數(shù)48．（24-25高一上·安徽馬鞍山·階段練習(xí)）已知函數(shù)fx(1)若不等式fx≥0恒成立，求(2)解不等式fx(3)對(duì)任意的x∈?1,1，不等式fx≥題型13題型13一元二次不等式有解問題

平面向量線性運(yùn)算的坐標(biāo)表示

平面向量線性運(yùn)算的坐標(biāo)表示49．（24-25高一上·廣西南寧·階段練習(xí)）已知函數(shù)fx(1)當(dāng)m<0時(shí)，解關(guān)于x的不等式fx(2)若存在x∈0,2，使得不等式fx≤50．（24-25高一上·海南·階段練習(xí)）已知函數(shù)y=mx(1)若m>0，求不等式y(tǒng)>0的解集；(2)若m∈R，關(guān)于的x不等式mx251．（24-25高一上·新疆烏魯木齊·階段練習(xí)）已知函數(shù)fx(1)若m>0，解關(guān)于x的不等式fx(2)若不等式fx≤x?4在x∈R52．（24-25高一上·山東青島·階段練習(xí)）已知不等式2x?1>mx(1)若?x∈R，使不等式恒成立，求m(2)若?x>1，使不等式能成立，求m的取值范圍；(3)是否存在實(shí)數(shù)x，使不等式對(duì)?1≤m≤1恒成立．若存在，求出x取值范圍；若不存在，請(qǐng)說明理由．題型14題型14函數(shù)的定義域、值域問題53．（23-24高一上·遼寧大連·期中）求下列函數(shù)的定義域：(1)f(x)=x(2)已知函數(shù)f(x+3)的定義域?yàn)??1,0)，則函數(shù)f(2x+1)的定義域.54．（23-24高一上·浙江杭州·期中）求下列函數(shù)的值域：(1)y=(2)y=3x?(3)f(x)=3x+1+55．（23-24高一上·浙江嘉興·階段練習(xí)）已知f((1)若a=4時(shí)，求f(2)函數(shù)g(x)=x2+1f56．（23-24高三上·天津河西·期中）已知函數(shù)fx(1)當(dāng)a=0時(shí)，求fx(2)若fx的定義域?yàn)?2,1，求實(shí)數(shù)a(3)若fx的定義域?yàn)镽，求實(shí)數(shù)a題型15題型15函數(shù)的單調(diào)性問題57．（24-25高一上·江蘇無錫·期中）已知二次函數(shù)fx=ax(1)若fx在區(qū)間1,2上是單調(diào)遞減，求a(2)若函數(shù)fx在區(qū)間1,2的最小值為2，求a58．（24-25高一上·重慶·期中）已知函數(shù)f(x)=(1)求實(shí)數(shù)a值；(2)判斷函數(shù)f(x)在(1,+∞(3)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間．59．（24-25高一上·江蘇揚(yáng)州·期中）已知函數(shù)f(1)求ff(2)若gx=3fx+560．（23-24高一下·陜西安康·階段練習(xí)）設(shè)函數(shù)fx(1)求fx(2)求fx(3)求fx在區(qū)間1,5題型16題型16利用函數(shù)的性質(zhì)解不等式61．（24-25高一上·重慶·期中）已知函數(shù)fx(1)用定義法證明函數(shù)fx在區(qū)間1,+(2)若fa2<f62．（24-25高一上·福建福州·期中）已知定義在R上的函數(shù)fx，f1=3，對(duì)?x，y∈R，都有fx+f(1)求f2(2)判斷fx在R(3)若a<0，求關(guān)于x的不等式fa63．（24-25高一上·廣東清遠(yuǎn)·期中）已知函數(shù)f(1)用定義法證明函數(shù)fx在區(qū)間1,+(2)函數(shù)fx的定義域?yàn)?,+∞，若fm64．（24-25高一上·廣東佛山·階段練習(xí)）已知定義在區(qū)間?1,1上的函數(shù)fx(1)求函數(shù)fx(2)判斷函數(shù)fx在區(qū)間?1,1(3)解關(guān)于t的不等式f2t?1題型17題型17抽象函數(shù)的性質(zhì)綜合65．（24-25高一上·河北邯鄲·期中）已知定義在R上的函數(shù)fx滿足fa+b=fa+fb+2(1)求f5(2)證明：gx(3)若關(guān)于x的不等式fax266．（24-25高一上·黑龍江·期中）已知函數(shù)fx滿足fx+y=fx+f(1)證明：函數(shù)gx(2)若當(dāng)x>0時(shí)，fx<?1，判斷fx(3)在（2）的條件下，f1=?2對(duì)于任意的x1∈?1,2，存在x67．（24-25高一上·廣西·期中）已知定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(x+y+2)=f(x+1)+f(y+1)，當(dāng)x>0時(shí)，f(x)>0.(1)若f(1)=2，求f(?4)的值.(2)證明：f(x)是奇函數(shù)且在R上為增函數(shù).(3)解關(guān)于x的不等式f(x68．（24-25高一上·北京·期中）定義在(?1,1)上的函數(shù)f(x)滿足：①對(duì)任意x,y∈(?1,1)，都有f(x)+f(y)=fx+y1+xy；②當(dāng)x∈(?1,0)時(shí)，都有(1)求證f(x)是奇函數(shù)；(2)求證f(x)在(?1,1)上單調(diào)遞減；(3)若f12=?1且f(x)≤t2題型18題型18函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用69．（24-25高一上·浙江·期中）已知f(x)=bx+c4+x2是定義在[?2,2]上的函數(shù)，若滿足(1)求f(x)的解析式；(2)判斷f(x)的單調(diào)性，并利用定義證明你的結(jié)論；(3)設(shè)函數(shù)g(x)=x2?2mx+4(m∈R)，若對(duì)?70．（24-25高一上·山東淄博·期中）已知函數(shù)fx=2x+bx2(1)求函數(shù)fx(2)判斷函數(shù)fx(3)設(shè)gx=kx+1?4k，若對(duì)任意的x1∈?2,2，存在x71．（24-25高一上·山東·期中）已知函數(shù)fx=x+a+b(1)求出fx(2)判斷fx在區(qū)間?1,1(3)解不等式f172．（24-25高一上·河北邯鄲·期中）已知fx=bx+c9+x2是定義在?3,3上的函數(shù)，(1)求b，c的值；(2)判斷fx在?3,3(3)若對(duì)任意x∈?3,3，都存在a∈1,2，使得fx題型19題型19函數(shù)的新定義問題73．（24-25高一上·四川綿陽(yáng)·期中）定義在R上的函數(shù)fx滿足：對(duì)任意x1∈k,+∞，都存在唯一x2∈?∞(1)判斷fx=x(2)是否存在實(shí)數(shù)k，使得函數(shù)gx=x2?ax+1(3)若函數(shù)?x=x+ax74．（24-25高一上·云南昆明·期中）現(xiàn)定義：對(duì)于一個(gè)函數(shù)，如果自變量x與函數(shù)值y，滿足：若m≤x≤n，則m≤y≤n（m，n為實(shí)數(shù)），我們稱這個(gè)函數(shù)在m→n上是同步函數(shù).比如：函數(shù)y=?x+1在?1→2上是同步函數(shù).理由：∵?1≤x≤2，x=1?y，∴?1≤1?y≤2，得?1≤y≤2，∴y=?x+1在?1→2上是同步函數(shù).(1)若函數(shù)y=?x+b在2→4上是同步函數(shù)，求b的值；(2)已知反比例函數(shù)y=4x在m→n上是同步函數(shù)，求(3)若拋物線fx=ax2+bx+ca>0,a+b>0在1→3上是同步函數(shù)，且在75．（24-25高一上·浙江·期中）定義符號(hào)函數(shù)為y=sgnx=1,x>00,x=0?1,x<0，已知(1)若函數(shù)gx在區(qū)間2,3上單調(diào)，求實(shí)數(shù)a(2)當(dāng)a=1時(shí)，若函數(shù)y=?x與y=k的圖象有且僅有一個(gè)交點(diǎn)，求實(shí)數(shù)k(3)若?x1∈2,3，?x76．（24-25高一上·云南昆明·期中）若定義在D上的函數(shù)y=f(x)滿足對(duì)任意的區(qū)間I?D，存在正整數(shù)k，使得f(k)(I)∩I≠?，則稱f(x)為I上的“k階交匯函數(shù)”．對(duì)于函數(shù)y=f(x)，記f(1)f(3)x=fffx，…，f(n+1)(x)=ff(1)若f(x)=3x+2，函數(shù)y=f(x)的定義域?yàn)镽，求f(2)?1,0并判斷f(x)是否為(2)若函數(shù)f(x)=1?xx+1(x≠?1)，試比較f(3)設(shè)a∈(0,1)，若函數(shù)y=f(x)的定義域?yàn)?0,1]，且表達(dá)式為：f(x)=x+(1?a),0<x≤ax?a,a<x≤1，試證明對(duì)任意的區(qū)間I?(0,1]，存在正整數(shù)k，使得f(x)為I上的“題型20題型20冪函數(shù)的圖象與性質(zhì)77．（24-25高一上·湖南長(zhǎng)沙·期中）已知冪函數(shù)f(x)=2m2(1)求f(x)的解析式；(2)在區(qū)間1,4上，f(x)>kx?2恒成立，求實(shí)數(shù)k的取值范圍.78．（24-25高一上·陜西咸陽(yáng)·期中）已知冪函數(shù)fx=m4?80(1)求fx(2)若gx=mx?nx+1，用定義法證明：函數(shù)79．（24-25高一上·吉林白城·期中）已知冪函數(shù)fx的圖象經(jīng)過點(diǎn)5(1)求fx(2)設(shè)函數(shù)gx①判斷gx②判斷gx在0,280．（24-25高一上·山西·期中）已知冪函數(shù)fx=m(1)求函數(shù)fx(2)若f3?x<f2x+1(3)若對(duì)?x∈1,2，?a∈1,2，使得fx題型21題型21函數(shù)模型的綜合應(yīng)用81．（24-25高一上·安徽合肥·期中）中國(guó)芯片產(chǎn)業(yè)崛起，出口額增長(zhǎng)迅猛，展現(xiàn)強(qiáng)勁實(shí)力和競(jìng)爭(zhēng)力.中國(guó)自主創(chuàng)新，多項(xiàng)技術(shù)取得突破，全球布局加速，現(xiàn)有某芯片公司為了提高生產(chǎn)效率，決定投入98萬元購(gòu)進(jìn)一套生產(chǎn)設(shè)備.預(yù)計(jì)使用該設(shè)備后，第一年維修、保養(yǎng)費(fèi)用12萬元，從第二年開始，每年所需維修、保養(yǎng)費(fèi)用比上一年增加4萬元，該設(shè)備使用后，每年的總收入為50萬元，設(shè)使用xx∈N?(1)寫出y與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并求出從第幾年開始，該設(shè)備開始盈利（盈利額為正值）；(2)使用若干年后，對(duì)設(shè)備的處理方案有兩種：①當(dāng)年平均盈利額達(dá)到最大值時(shí)，以30萬元價(jià)格處理該設(shè)備；②當(dāng)盈利額達(dá)到最大值時(shí)，以12萬元價(jià)格處理該設(shè)備.請(qǐng)你研究一下哪種方案處理較為合理？請(qǐng)說明理由.（注：年平均盈利額為ω，ω=y82．（24-25高一上·湖北襄陽(yáng)·期中）某學(xué)習(xí)機(jī)公司生產(chǎn)學(xué)習(xí)機(jī)的年固定成本為20萬元，每生產(chǎn)1萬部還需另投入16萬元．設(shè)該公司一年內(nèi)共生產(chǎn)該款學(xué)習(xí)機(jī)x萬部并全部銷售完，每萬部的銷售收入為Rx萬元，且R(1)求a，b；(2)寫出年利潤(rùn)W（萬元）關(guān)于年產(chǎn)量x（萬部）的函數(shù)解析式；(3)當(dāng)年產(chǎn)量為多少萬部時(shí)，公司在該款學(xué)習(xí)機(jī)的生產(chǎn)中所獲得的利潤(rùn)最大？并求出最大利潤(rùn)．83．（24-25高一上·湖南·期中）某廠家擬在2025年舉行某產(chǎn)品的促銷活動(dòng)，經(jīng)調(diào)查測(cè)算，該產(chǎn)品的年銷售量（即該廠的年產(chǎn)量）x萬件與年促銷費(fèi)用m萬元（m≥0）滿足x=4?km+1（k為常數(shù)），如果不搞促銷活動(dòng)，那么該產(chǎn)品的年銷售量只能是3萬件.已知生產(chǎn)該產(chǎn)品的固定投入為9萬元，每生產(chǎn)1萬件該產(chǎn)品需要再投入18萬元，廠家將每件產(chǎn)品的銷售價(jià)格定為每件產(chǎn)品年平均成本（此處每件產(chǎn)品年平均成本按(1)將2025年該產(chǎn)品的利潤(rùn)y萬元表示為年促銷費(fèi)用m萬元的函數(shù)；(2)該廠家2025年的促銷費(fèi)用投入多少萬元時(shí)，廠家的利潤(rùn)最大？最大利潤(rùn)是多少？84．（24-25高一上·黑龍江·期中）某企業(yè)投資生產(chǎn)一批新型機(jī)器，其中年固定成本為200萬元，每生產(chǎn)x臺(tái)，需另投入生產(chǎn)成本fx萬元，且f(1)求a的值；(2)求該企業(yè)投資生產(chǎn)這批新型機(jī)器的年利潤(rùn)Wx（萬元）關(guān)于年產(chǎn)量x（臺(tái)）的函數(shù)關(guān)系式（利潤(rùn)=銷售額?(3)這批新型機(jī)器年產(chǎn)量為多少臺(tái)時(shí)，該企業(yè)所獲利潤(rùn)最大？并求出最大利潤(rùn).2024-2025學(xué)年高一上學(xué)期期末復(fù)習(xí)解答題壓軸題二十一大題型專練（范圍：第一、二、三章）【人教A版（2019）】題型1題型1集合中元素的個(gè)數(shù)問題1．（24-25高一上·江蘇鎮(zhèn)江·階段練習(xí)）已知集合A=x(1)當(dāng)a=2時(shí)，A中只有一個(gè)元素，求b的值；(2)當(dāng)b=2時(shí)，A中至多有一個(gè)元素，求a的取值范圍.【解題思路】（1）借助根與系數(shù)的關(guān)系計(jì)算即可得；（2）分a=0及a≠0進(jìn)行討論，若a=0，可計(jì)算出結(jié)果，若a≠0，則需借助根與系數(shù)的關(guān)系計(jì)算.【解答過程】（1）當(dāng)a=2時(shí)，A=x由A中只有一個(gè)元素，則有Δ1=b（2）當(dāng)b=2時(shí)，A=x由A中至多有一個(gè)元素，故A中可能沒有元素或1個(gè)元素，當(dāng)a=0時(shí)，A=x當(dāng)a≠0時(shí)，對(duì)axΔ2=4?4a≤0，解得綜上所述：a=0或a≥1.2．（23-24高一上·河南濮陽(yáng)·階段練習(xí)）設(shè)數(shù)集A由實(shí)數(shù)構(gòu)成，且滿足：若x∈A（x≠1且x≠0），則11?x(1)若2∈A，則A中至少還有幾個(gè)元素？(2)集合A是否為雙元素集合？請(qǐng)說明理由；(3)若A中元素個(gè)數(shù)不超過8，所有元素的和為143，且A中有一個(gè)元素的平方等于所有元素的積，求集合A【解題思路】（1）利用給定的定義，依次計(jì)算即得.（2）由x∈A，求得A中其它元素，再判斷不相等即可.（3）由（2）中信息，可得x∈A,m∈A，再結(jié)合已知列出方程求解即得.【解答過程】（1）由2∈A，得11?2=?1∈A，則1所以A中至少還有兩個(gè)元素為?1，12（2）不是雙元素集合．理由如下：由x∈A，得11?x∈A，則而x≠1且x≠0，x2?x+1=(x?12于是x≠11?x，由x2?2x+1≠?x，得因此集合A中至少有3個(gè)元素，所以集合A不是雙元素集合．（3）由（2）知A中有三個(gè)元素為x、11?x、x?1x（x≠1且x≠0），且依題意，A中除上述3個(gè)元素外，還有其它元素，設(shè)A中有一個(gè)元素為m，則11?m∈A，m?1m于是A中的元素為x,11?x,x?1x由A中有一個(gè)元素的平方等于所有元素的積，設(shè)(11?x)2=1或(此時(shí)2∈A，?1∈A，12∈A，依題意，整理得6m3?19m2+m+6=0，即m?32m+1所以集合A中的元素為123．（23-24高一上·江蘇鎮(zhèn)江·階段練習(xí)）已知集合A中的元素全為實(shí)數(shù)，且滿足：若a∈A，則1+a1?a(1)若a=?3，求出A中其他所有元素．(2)0是不是集合A中的元素？請(qǐng)你取一個(gè)實(shí)數(shù)a∈Aa≠?3，再求出A【解題思路】（1）根據(jù)定義直接計(jì)算即可得到A中其他所有元素；（2）先假設(shè)0∈A，依定義判斷即可；取a=3，根據(jù)定義直接計(jì)算即可得到A中其他所有元素．【解答過程】（1）由題意可知：?3∈A，則1+(?3)1?(?3)=?12∈A，1+(?所以A中其他所有元素為?12，（2）假設(shè)a=0∈A，則1+01?0而當(dāng)1∈A時(shí)，1+a1?a所以0不是A的元素，取a=3，則1+31?3=?2∈A，1+(?2)1?(?2)=?1所以當(dāng)3∈A，A中的元素是：3，?2，?13，4．（23-24高三上·山東濰坊·期末）已知集合x|ax(1)若集合A是空集，求a的取值范圍；(2)若集合A中只有一個(gè)元素，求a的取值范圍；(3)若A中至多有一個(gè)元素，求a的取值范圍．【解題思路】（1）根據(jù)空集轉(zhuǎn)化為一元二次方程根的情況求解．（2）根據(jù)a分類討論，從而解決問題．（3）根據(jù)至多一個(gè)分為一個(gè)和沒有一個(gè)情況即可解決．【解答過程】（1）當(dāng)a=0時(shí)，集合A=x|?3x+2=0因?yàn)锳是空集，所以a≠0且Δ=所以a>9所以a的取值范圍是a|a>9（2）因?yàn)锳中只有一個(gè)元素，當(dāng)a=0時(shí)，集合A=x|?3x+2=0當(dāng)a≠0時(shí)，要使A中只有一個(gè)元素，所以且Δ=所以a=9綜上所述，a的取值范圍是a=0或9（3）因?yàn)锳中至多只有一個(gè)元素，所以A為空集或A只有一個(gè)元素，由（1）、（2）可知a=0或a≥9所以a的取值范圍是：a=0或a≥9題型2題型2根據(jù)集合間的關(guān)系求參數(shù)5．（24-25高一上·河北廊坊·階段練習(xí)）設(shè)集合A=xx2(1)若B?A，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；(2)若A?B，求實(shí)數(shù)a的取值范圍【解題思路】（1）由B?A，對(duì)集合B進(jìn)行分類討論：①若B=?，②若B為{0}，{?4}，③若B=A=?4,0，由此求得a（2）先化簡(jiǎn)集合A，B，再由A?B，能求得a的值．【解答過程】（1）集合A={x|x2B?A，①若B=?，則Δ則a<?1；②若B={0}或{?4}，則Δ解得：a=?1，將a=?1代入方程x2+2(a+1)x+a2?1=0得：x③若B=A={?4,0}，則Δ=8a+8>0，即即x2+2(a+1)x+a則有a2?1=0且則a=1綜上所述，實(shí)數(shù)a的取值范圍是{a|a≤?1或a=1}．（2）∵A?B，∴B=A={0,?4}，則Δ=8a+8>0，即即0和?4是方程x2∴0?4=?2(a+1)=?40×(?4)=解得：a=1或a=?1（舍去）故a=1．6．（24-25高一上·山西大同·階段練習(xí)）已知集合A=(1)若a=5，請(qǐng)寫出集合A的所有子集；(2)若集合B=xx2+2x=0，且【解題思路】（1）當(dāng)a=5時(shí)，求出集合A，即可寫出集合A的所有子集；（2）對(duì)集合A中的元素個(gè)數(shù)進(jìn)行分類討論，結(jié)合A?B可得出關(guān)于實(shí)數(shù)a的等式或不等式，綜合可得出實(shí)數(shù)a的取值范圍.【解答過程】（1）解：當(dāng)a=5時(shí)，A=x所以，集合A的所有子集有：?、?5、1、?5,1.（2）解：因?yàn)锽=x①當(dāng)A=?時(shí)，對(duì)于方程x2+4x?a=0，Δ=16+4a<0②當(dāng)集合A只有一個(gè)元素時(shí)，對(duì)于方程x2+4x?a=0，Δ=16+4a=0此時(shí)，A=xx2③當(dāng)集合A有兩個(gè)元素時(shí)，因?yàn)锳?B，則A=B，即A=?2,0即關(guān)于x的方程x2+4x?a=0的兩根分別為?2、所以，4?8?a=0?a=0綜上所述，實(shí)數(shù)a的取值范圍是aa≤?47．（23-24高一上·吉林四平·階段練習(xí)）已知集合P=x∈(1)若b=4，存在集合M使得P為M的真子集且M為Q的真子集，求這樣的集合M；(2)若集合P是集合Q的一個(gè)子集，求b的取值范圍.【解題思路】（1）確定P=?，并求出集合Q，寫出Q的真子集即得；（2）分類討論，P=?時(shí)滿足題意，P≠?時(shí)，由集合Q中的元素屬于集合P，分別代入求出參數(shù)b，得集合P檢驗(yàn)即可．【解答過程】（1）當(dāng)b=4時(shí)，方程x2?3x+b=0的根的判別式Δ=又Q=x∈Rx+1由已知，得M應(yīng)是一個(gè)非空集合，且是Q的一個(gè)真子集，用列舉法可得這樣的集合M共有6個(gè)，分別為?4,（2）當(dāng)P=?時(shí)，P是Q的一個(gè)子集，此時(shí)對(duì)于方程x2有Δ=9?4b<0，所以b>當(dāng)P≠?時(shí)，因?yàn)镼=?4,?1,1，所以當(dāng)?1∈P?12?3×?1+b=0，即因?yàn)??Q，所以P不是Q的子集；同理當(dāng)?4∈P時(shí)，b=?28，P=7,?4，也不是Q當(dāng)1∈P時(shí)，b=2，P=1,2，也不是Q綜上，滿足條件的b的取值范圍是bb>8．（23-24高一上·安徽安慶·階段練習(xí)）已知集合A={x|0<ax+1≤5},B={x|?(1)若A?B,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.(2)是否存在實(shí)數(shù)a，使得A=B?若存在求出a的值；若不存在，請(qǐng)說明理由.【解題思路】（1）分a=0，a<0，a>0得到集合A，再利用A?B求解；（2）分a=0，a<0，a>0得到集合A，再利用A=B求解；【解答過程】（1）當(dāng)a=0時(shí)，A=R，A?B當(dāng)a<0時(shí)，A=x|4a≤x<?1a，因?yàn)楫?dāng)a>0時(shí)，A=x|?1a<x≤4a，因?yàn)榫C上：實(shí)數(shù)a的取值范圍是a<?8或a≥2；（2）當(dāng)a=0時(shí)，A=R，A=B當(dāng)a<0時(shí)，A=x|4a當(dāng)a>0時(shí)，A=x|?1a<x≤4a，因?yàn)榫C上：實(shí)數(shù)a的值是2.題型3題型3交、并、補(bǔ)集的混合運(yùn)算及其含參問題9．（24-25高一上·貴州·期中）已知集合A=x?3≤x≤4，(1)當(dāng)a=2時(shí)，求，A∪B，A∩B；(2)若A∩B=B，求a的取值范圍.【解題思路】（1）當(dāng)a=2時(shí)，寫出集合B，利用并集和交集的定義可得出集合A∪B、A∩B；（2）由題意可得B?A，分B=?、B≠?兩種情況討論，在B=?時(shí)，可得出關(guān)于實(shí)數(shù)a的不等式；在B≠?時(shí)，根據(jù)集合的包含關(guān)系可得出關(guān)于實(shí)數(shù)a的不等式組，綜合可得出實(shí)數(shù)a的取值范圍.【解答過程】（1）當(dāng)a=2時(shí)，B=x3<x≤5，且則A∪B=x?3≤x≤5，（2）因?yàn)锳∩B=B，所以B?A.當(dāng)B=?時(shí)，2a?1≥a+3，解得a≥4；當(dāng)B≠?時(shí)，則2a?1<a+32a?1≥?3a+3≤4，解得綜上，a的取值范圍是a?1≤a≤1或a≥410．（24-25高一上·湖南長(zhǎng)沙·階段練習(xí)）已知全集U=R，集合A=x2<x<9(1)求B∪?(2)已知集合M=xa<x<2a?2，若M??【解題思路】（1）化簡(jiǎn)集合B，根據(jù)集合的交并補(bǔ)運(yùn)算求解；（2）要分M等于空集和不等于空集兩種情況討論．再根據(jù)已知求出a的取值范圍．【解答過程】（1）B=x集合A=x2<x<9，故?U則B∪?（2）?UB=x當(dāng)M=?時(shí)，a≥2a?2，∴a≤2，合題意；當(dāng)M≠?時(shí)，a>22a?2≤?2或a>2所以a≥5，綜上可得，a的取值范圍為?∞11．（24-25高一上·江西南昌·期中）設(shè)全集為U=R，集合A=xx(1)當(dāng)a=6時(shí)，求A∪B和A∩(2)在①B∩?RA=?；②A∩B=B；③A∪B=A【解題思路】（1）首先解二次不等式求得集合A，然后將a代入確定集合B，最后根據(jù)集合的交、并、補(bǔ)運(yùn)算法則進(jìn)行求解即可；（2）首先根據(jù)集合間運(yùn)算的結(jié)果可得B?A，然后分B=?和B≠?兩種情況分類討論求解參數(shù)取值范圍即可【解答過程】（1）由不等式x2?7x?8>0，解得：x<?1或x>8，因此可得：A=x|x<?1將a=6代入集合B中可得：B=x|7<x<9因此A∪B=x|x<?1或x>7又?RB=x|x≤7或x≥9，得：A∩（2）選①由B∩?RA=?當(dāng)B=?時(shí)，a+1≥2a?3，解得：a≤4；當(dāng)B≠?時(shí)，可得：a+1<2a?32a?3≤?1，無解，或a+1<2a?3a+1≥8，解得：綜上所述a∈?選②由A∩B=B，可知B?A，當(dāng)B=?時(shí)，a+1≥2a?3，解得：a≤4；當(dāng)B≠?時(shí)，可得：a+1<2a?32a?3≤?1，無解，或a+1<2a?3a+1≥8，解得：綜上所述a∈?選③由A∪B=A，可知B?A，當(dāng)B=?時(shí)，a+1≥2a?3，解得：a≤4；當(dāng)B≠?時(shí)，可得：a+1<2a?32a?3≤?1，無解，或a+1<2a?3a+1≥8，解得：綜上所述a∈?12．（24-25高一上·江西南昌·階段練習(xí)）設(shè)集合A=xx2(1)若A∩B=2，求實(shí)數(shù)a(2)若A∪B=A，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；(3)若全集U=R，A∩?UB【解題思路】（1）由A∩B=2，得2∈B，由此可得關(guān)于a（2）由A∪B=A得B?A，按集合B中元素的個(gè)數(shù)分類討論即可求；（3）由A∩?UB=A得A∩B=?，轉(zhuǎn)化為【解答過程】（1）A=xx2∵A∩B=2，∴2∈B，則2即a2+4a?5=0，解得a=1或驗(yàn)證：當(dāng)a=1時(shí)，B=x則A∩B=2當(dāng)a=?5時(shí)，B=x則A∩B=2,6綜上可知，若A∩B=2，則a=1（2）若A∪B=A，則B?A，又A=2,6①當(dāng)B=?時(shí)，則關(guān)于x的方程x2則Δ=4(a+1)2故當(dāng)a<?7時(shí)，B=??A滿足題意；②當(dāng)B≠?，即a≥?7時(shí)，若集合B中只有一個(gè)元素，則Δ=8(a+7)=0即當(dāng)a=?7時(shí)，B=xx2若集合B中有兩個(gè)元素，則Δ=8(a+7)>0即當(dāng)a>?7時(shí)，要使B?A，則B=A=2,6所以2和6是方程x2則由韋達(dá)定理得2+6=?2(a+1)2×6=a2?13，解得綜上所述，a≤?7或a=?5.所以，若A∪B=A，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為?∞（3）若全集U=R，A∩?UB=A，則A=xx2故2?B，且6?B，則22+4a+1解得a≠1且a≠?5且a≠?7.若A∩?UB=A，則實(shí)數(shù)題型4題型4集合的新定義問題

平面向量線性運(yùn)算的坐標(biāo)表示

平面向量線性運(yùn)算的坐標(biāo)表示13．（24-25高一上·浙江紹興·期中）定義兩種新運(yùn)算“⊕”與“?”，滿足如下運(yùn)算法則：對(duì)任意的a,b∈R，有a⊕b=ab，a?b=ab+1.設(shè)全集U=xx=a⊕b+a?b,0<a≤b<3且a∈Z,(1)求集合U；(2)求集合A；(3)集合A,B是否能滿足?UA∩B=?【解題思路】（1）根據(jù)新定義運(yùn)算可得U=xx=ab+ab+1,0<a≤b<3,a,b∈Z，分（2）根據(jù)新定義運(yùn)算可得4a⊕b+a?b（3）易知?UA=3,4，假設(shè)集合A,B能滿足?UA∩B=?，則【解答過程】（1）因?yàn)閷?duì)任意的a,b∈R，有a⊕b=ab，a?b=a全集U=xx=a⊕b+a?b,0<a≤b<3所以U=因?yàn)?<a≤b<3,a,b∈Z，所以a=1,b=1，或a=1,b=2，或a=2,b=2.當(dāng)a=1,b=1時(shí)，ab+a當(dāng)a=1,b=2時(shí)，ab+a當(dāng)a=2,b=2時(shí)，ab+a所以U=3,4,9（2）4a⊕b因?yàn)?<a<b<3且a∈Z,b∈Z，所以a=1,b=2，所以4所以A=9（3）因?yàn)閁=3,4,9，A=9，所以假設(shè)集合A,B能滿足?U則B=?，或3?B且4?B.又B=x當(dāng)B=?時(shí)，Δ=?32當(dāng)3∈B時(shí)，32?3×3+m=0，解得當(dāng)4∈B時(shí)，42?3×4+m=0，解得所以若3?B且4?B，則m≠0且m≠?4.綜上所述，實(shí)數(shù)m的取值范圍為mm>所以集合A,B能滿足?UA∩B=?，實(shí)數(shù)m14．（24-25高一上·內(nèi)蒙古包頭·階段練習(xí)）設(shè)正整數(shù)n≥4，若由實(shí)數(shù)組成的集合A=a1,a2,???,an滿足：對(duì)A中任意四個(gè)不同的元素a，b，c，(1)判斷集合A1=0,12(2)若集合A=0,x,y,z為H4集合，求【解題思路】（1）由H4（2）由題意可得x,y,z=xy,yz,xz，不妨設(shè)x<y<z，分類討論x<y<z<0，x<y<0<z，x<0<y<z和【解答過程】（1）集合A1={0,1當(dāng){{a,b},{c,d}}={{0,12},{1,2}}當(dāng){{a,b},{c,d}}={{0,1},{12,2}}當(dāng){{a,b},{c,d}}={{0,2},{12,1}}集合A2={1取{{a,b},{c,d}}={{13,1},{2,3}}（2）當(dāng){{a,b},{c,d}}={{0,z},{x,y}}時(shí)，ab+cd=xy∈A，當(dāng){{a,b},{c,d}}={{0,x},{y,z}}時(shí)，ab+cd=yz∈A當(dāng){{a,b},{c,d}}={{0,y},{z,x}}時(shí)，ab+cd=xz∈A，因此{(lán)x,y,z}={xy,yz,xz}，不妨設(shè)x<y<z，①當(dāng)x<y<z<0時(shí)，顯然yz>0，則yz?A，與yz∈A矛盾；②當(dāng)x<y<0<z時(shí)，則xz<yz<xy，此時(shí)xz=x,yz=y,xy=z，則z=1,xy=1，經(jīng)驗(yàn)證，此時(shí)A={x,1x,0,1}是H③當(dāng)x<0<y<z時(shí)，則xz<xy<0，與x,y,z=④當(dāng)0<x<y<z時(shí)，則xy<xz<yz，xy=x,xz=y,yz=z，于是y=1,z=1經(jīng)驗(yàn)證，此時(shí)A={0,x,1,1x}是H所以A中大于1的元素的可能個(gè)數(shù)為0或1.15．（24-25高一上·浙江·期中）對(duì)于數(shù)集M，定義M的特征函數(shù)：fM(x)=1,x?M?1,x∈M，對(duì)于兩個(gè)數(shù)集(1)已知集合A={1,3,7,9},B={2,3,7,8}，（i）求fA(1)的值，并用列舉法表示（ii）若用card(M)表示有限集合M所包含的元素個(gè)數(shù)，已知集合X是正整數(shù)集的子集，求card(2)證明：fA?B【解題思路】（1）分析可知當(dāng)元素x與數(shù)集M、N的關(guān)系相同時(shí)，x?M?N，不同時(shí)x∈M?N.①結(jié)合題意直接運(yùn)算即可；②根據(jù)給定的定義分析得出取最小值的條件，即可求得答案；（2）結(jié)合（1）中結(jié)論分析證明即可.【解答過程】（1）對(duì)于兩個(gè)數(shù)集M、N，若x∈M,x∈N，則fM(x)=fNx若x∈M,x?N，則fM(x)=?1,fNx若x?M,x∈N，則fM(x)=1,fNx若x?M,x?N，則fM(x)=fNx綜上所述：當(dāng)元素x與數(shù)集M、N的關(guān)系相同時(shí)，x?M?N，不同時(shí)x∈M?N.①因?yàn)榧螦={1,3,7,9},B={2,3,7,8}，且1∈A，所以fA又因?yàn)锳∩B={3,7}，所以A?B=1,2,8,9②對(duì)任意x∈X，若元素x與數(shù)集M、N的關(guān)系相同時(shí)，x?X?M且x?X?N；若元素x與數(shù)集M、N的關(guān)系不相同時(shí)，x∈X?M或x∈X?N；若card(X?A)+card(X?B)當(dāng)X為1,2,8,9的子集與3,7的并集時(shí)，此時(shí)card(X?A)+（2）由（1）可知：對(duì)于兩個(gè)數(shù)集M、N，綜上所述：當(dāng)元素x與數(shù)集M、N的關(guān)系相同時(shí)，則x?M?N，可得fA?B當(dāng)元素x與數(shù)集M、N的關(guān)系不同時(shí)，則x∈M?N，可得fA?B綜上所述：fA?B16．（24-25高一上·江蘇泰州·階段練習(xí)）對(duì)于給定的非空集合A，定義集合A+=xx=a+b,a∈A,b∈A(1)判斷集合A=0,4(2)設(shè)集合C=xn≤x≤2025,x∈Nn∈N且n≤2025，若(3)設(shè)集合D=x1,x2【解題思路】（1）直接根據(jù)集合的孿生性質(zhì)可判斷結(jié)果；（2）求出C+（3）求出D?中的可能元素，結(jié)合D【解答過程】（1）由題意可得：A+={0,4,8}，A?B+={2,6,7,10,11,12}，B?而A+∩A?={0所以A不具有孿生性質(zhì)，B具有孿生性質(zhì)．（2）由題意可得：C?={0,1,2，…,C+={2n,2n+1,…,n+2025，…，因?yàn)镃+∩C?=?又因?yàn)閚∈N，所以n（3）集合D=x則0，x2?x1，x3?x1，x4又因?yàn)?<x2?由于0一定是D?中的元素，且為最小元素，結(jié)合D?=D此時(shí)D=0,x2,x3,x4，故0，x2，x3由于D?=D，且0<x2<x3<x4，故必然x3又因?yàn)?<x4?x3<x4?x2,x3?x2<x因此只能x4?所以x1題型5題型5充分條件與必要條件

平面向量線性運(yùn)算的坐標(biāo)表示

平面向量線性運(yùn)算的坐標(biāo)表示17．（24-25高一上·山東菏澤·階段練習(xí)）已知集合U為實(shí)數(shù)集，A=xx≤?5或x≥8，(1)若a=5，求?U(2)設(shè)命題p：x∈A；命題q：x∈B，若命題p是命題q的必要不充分條件，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.【解題思路】（1）由題意可得B=x（2）由題意可得集合B是集合A的真子集，再分B=?及B≠?討論并計(jì)算即可得.【解答過程】（1）當(dāng)a=5時(shí)，B=x4≤x≤11，且故?U（2）∵命題p是命題q的必要不充分條件，∴集合B是集合A的真子集，當(dāng)B=?，即a?1>2a+1，即a<?2時(shí)，此時(shí)滿足題意；當(dāng)B≠?，即a?1≤2a+1，即a≥?2時(shí)，只需2a+1≤?5或a?1≥8，即a≤?3或a≥9，又a≥?2，所以a≥9；綜上所述，實(shí)數(shù)a的取值范圍為?∞18．（24-25高一上·四川達(dá)州·階段練習(xí)）已知集合A=x|(1)若x∈A是x∈B的必要不充分條件，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；(2)若A∩B≠?，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.【解題思路】（1）由若x∈A是x∈B的必要不充分條件得到BA，再分B是否為空集時(shí)討論即可；（2）分B是否為空集時(shí)討論得到A∩B=?的范圍，最后取其補(bǔ)集即可；【解答過程】（1）A=x|?3≤x≤4∵若x∈A是x∈B的必要不充分條件，則BA，①當(dāng)B=?時(shí)，有m+1≤2m?1，解得②當(dāng)B≠?時(shí)，有?3≤2m?1m+1≤42m?1<m+1且等號(hào)不同時(shí)成立，解得綜上得m≥?1.（2）當(dāng)A∩B=?時(shí)①當(dāng)B=?時(shí)，有m+1≤2m?1，解得②當(dāng)B≠?時(shí)，有2m?1<m+1，解得m<2.有m+1≤?3或2m?1≥4，解得m≤?4或m≥52，即得所以當(dāng)A∩B=?時(shí)，m≤?4或m≥2，則A∩B≠?時(shí)，?4<m<2.19．（24-25高一上·廣東珠海·階段練習(xí)）已知p：x>3或x<?12，q：x>a，r：(1)若p是q的必要不充分條件，求a的取值范圍；(2)若?p是r的必要條件，求m的最大值．【解題思路】（1）根據(jù)充分條件與必要條件的定義列不等式，即可得參數(shù)范圍；（2）寫出?p，再結(jié)合必要條件的定義列不等式，即可得參數(shù)最值.【解答過程】（1）設(shè)命題p與q表示的集合分別為A和B，即A=xx<?12或又p是q的必要不充分條件，則A?所以a≥3，即a∈3,+（2）設(shè)命題r表示的集合為C，則C=x又命題?p表示的集合為?R?p是r的必要條件，所以C??則?m≥?1又m>0，所以0<m≤1即m的最大值為1420．（24-25高一上·河南鄭州·階段練習(xí)）已知集合A=xx2(1)若A∩B=?，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；(2)設(shè)命題p：x∈A；命題q：x∈B，是否存在實(shí)數(shù)m，使得命題q是命題p的必要不充分條件？若存在，求出實(shí)數(shù)m的取值范圍；若不存在，請(qǐng)說明理由．【解題思路】（1）分B=?、B≠?討論，根據(jù)交集的運(yùn)算和空集的定義結(jié)合不等式即可求解；（2）命題q是命題p的必要不充分條件可得集合A是集合B的真子集，再列出相應(yīng)不等式組，即可求解.【解答過程】（1）由題意可得A=x?1≤x≤6，由當(dāng)B=?時(shí)，則m+1>2m?1，解得m<2；當(dāng)B≠?時(shí)，則m+1≤2m?1m+1>6或m+1≤2m?12m?1<?1，解得綜上所述：實(shí)數(shù)m的取值范圍為?∞,2（2）不存在，理由如下：假設(shè)存在m使得命題q是命題p的必要不充分條件，則命題q是命題p的必要不充分條件，可得集合A是集合B的真子集，則m+1≤2m?12m?1≥6所以假設(shè)不成立，即不存在m.故不存在m使得命題q是命題p的必要不充分條件.題型6題型6全稱量詞與存在量詞中的含參問題

平面向量線性運(yùn)算的坐標(biāo)表示

平面向量線性運(yùn)算的坐標(biāo)表示21．（24-25高一上·湖北黃岡·期中）已知命題p:關(guān)于x的方程mx2+2x?1=0有實(shí)數(shù)根.命題q:?x∈(1)若命題p為真命題，求實(shí)數(shù)m的取值范圍;(2)若命題p與命題q一真一假，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.【解題思路】（1）p為真命題，則方程mx2+2x?1=0有實(shí)數(shù)根，分m=0（2）由一元二次不等式恒成立求得當(dāng)命題q為真命題時(shí)m的范圍，利用交集運(yùn)算求解即可.【解答過程】（1）若命題p為真命題，則關(guān)于x的方程mx當(dāng)m=0時(shí)，2x?1=0有實(shí)數(shù)根，當(dāng)m≠0時(shí)，則Δ=4+4m≥0，解得m≥?1且m≠0綜上，實(shí)數(shù)m的取值范圍為?1（2）命題q為真命題，則?x∈1，4當(dāng)x∈1，4則m2?4m≤?3當(dāng)p真q假時(shí)，有{m≥?1m>3或m<1，則當(dāng)p假q真時(shí)，有m<?11≤m≤3，則解集為：綜上，?1≤m<1或m>3，故實(shí)數(shù)m的取值范圍為?122．（24-25高一上·河北石家莊·階段練習(xí)）已知命題p:?x∈[1,+∞),a?2x(1)寫出兩個(gè)命題p,q的否定；(2)若兩個(gè)命題都是真命題，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．【解題思路】（1）結(jié)合含有量詞的命題的否定即可求解；（2）結(jié)合含有量詞的命題的真假，列出不等式即可求解．【解答過程】（1）因?yàn)閜:?x∈[1,+∞所以非p:?x∈[1,+∞因?yàn)閝:?x∈{x∣1≤x≤3},?所以?q:?x∈{x∣1≤x≤3},?（2）因?yàn)閜:?x∈[1,+∞),a?2x又x≥1，故2x2≥2命題q:?x∈{x∣1≤x≤3},?即?x∈{x∣≤x≤3},?a≥?x，又?3≤?x≤?1，故綜上，當(dāng)兩個(gè)命題都是真命題時(shí)，a的取值范圍為{a∣?3≤a≤2}．23．（24-25高一上·天津·階段練習(xí)）設(shè)命題p:?x∈R，不等式mx2(1)若p為真命題，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；(2)若命題p、q有且只有一個(gè)是真命題，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．【解題思路】（1）對(duì)m進(jìn)行分類討論，由此列不等式來求得m的取值范圍.（2）根據(jù)p真q假或p假q真，列不等式來求得m的取值范圍.【解答過程】（1）對(duì)于命題p:?x∈R，不等式m當(dāng)m=0時(shí)，12當(dāng)m≠0時(shí)，則需m>0Δ=m綜上所述，m的取值范圍是0≤m<2.（2）由m+13?m≥1得所以2m?23?m≥03?m≠0若p真q假，則“0<m<2”且“m<1或m≥3”，則0<m<1.若p假q真，則“m≤0或m≥2”且“1≤m<3”，則2≤m<3.綜上所述，m的取值范圍是0<m<1或2≤m<3.24．（24-25高一上·湖南衡陽(yáng)·階段練習(xí)）已知集合A=x|1≤x≤7，B=x|?3m+1≤x≤m?1，且(1)若命題p:?x∈A，x∈B是真命題，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；(2)若命題q:?x∈B，x?A是假命題，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.【解題思路】（1）由命題p為真命題可得A?B，且B≠?，再根據(jù)子集列不等式求解范圍即可；（2）由q:?x∈B，x?A是假命題，則q:?x∈B，x∈A是真命題，即A∩B≠?，再列不等式求解即可.【解答過程】（1）由命題p為真命題可得A?B，且B≠?則?3m+1≤m?1?3m+1≤1m?1≥7，解得即實(shí)數(shù)m的取值范圍為8,+∞（2）∵q:?x∈B，x?A是假命題∴q:?x∈B，x∈A是真命題，即A∩B≠?∴?3m+1≤m?1?3m+1≤7m?1≥1即實(shí)數(shù)m的取值范圍為2,+∞題型7題型7利用作差法、作商法比較大小

平面向量線性運(yùn)算的坐標(biāo)表示

平面向量線性運(yùn)算的坐標(biāo)表示25．（24-25高一上·廣東廣州·階段練習(xí)）（1）已知x∈R，比較3x2（2）已知x∈R，比較3x3【解題思路】（1）利用作差法可比較兩數(shù)的大小.（2）利用作差法可得出3x【解答過程】（1）根據(jù)作差法有：3x所以3x（2）根據(jù)作差法有：3x3?(3當(dāng)x>1時(shí)，x?1>0，則3x當(dāng)x=1時(shí)，x?1=0，則3x當(dāng)x<1時(shí)，x?1<0，則3x綜上所述，當(dāng)x>1時(shí)，3x當(dāng)x=1時(shí)，3x當(dāng)x<1時(shí)，3x26．（24-25高一上·廣西來賓·階段練習(xí)）從下列三組式子中選擇一組比較大?。?1)設(shè)x>1，M=x?x?1，N=x+1?(2)設(shè)a，b均為正實(shí)數(shù)，M=a3+b3，N=(3)設(shè)a>b>0，M=a2?b2a2【解題思路】（1）化簡(jiǎn)可得M=1x+（2）借助作差法作差后因式分解即可得；（3）借助作差法比較即可得.【解答過程】（1）M=xN=x+1由x>1，x+1+故x+1>x?1，即有（2）M?N==a由a，b均為正實(shí)數(shù)，故a+ba?b2≥0（3）M?N====2ab由a>b>0，故a?b>0，a+b>0，ab>0，a2即M?N>0，故M>N.27．（24-25高一上·四川成都·階段練習(xí)）如果向一杯糖水里加糖，糖水變甜了，這其中蘊(yùn)含著著名的糖水不等式：yx(1)證明糖水不等式；(2)已知a，b，c是三角形的三邊，求證：1<a【解題思路】（1）由作差法證明；（2）由糖水不等式變形證明．【解答過程】（1）y+mx+m因?yàn)閤>y>0,m>0，所以x+m>0,x?y>0，所以mx?yxx+m（2）因?yàn)閍,b,c是三角形的三邊，所以b+c>a>0，由（1）知ab+c同理ba+c所以ab+c又ab+c>所以a所以原不等式成立．28．（24-25高一·全國(guó)·課后作業(yè)）試比較下列組式子的大?。?1)x+1?x與x?(2)M=a1+a+b1+b與N=(3)a2?b2a【解題思路】(1)通過比較1x+1+x與1x+(2)通過作差法來比較M,N的大小；(3)通過作差法或作商法比較a2?b【解答過程】（1）解：x+1?x=因?yàn)閤+1+所以1x+1即x+1?（2）解：M?N==a?b因?yàn)閍>0，b>0，所以1+a1+b>0，所以M?N≤0，即M≤N；（3）方法一（作差法）a=a?b因?yàn)閍>b>0，所以a+b>0，a?b>0，2ab>0，a2所以2aba?b所以a2方法二（作商法）因?yàn)閍>b>0，所以a2?b2a所以a2所以a2題型8題型8利用不等式的性質(zhì)求取值范圍

平面向量線性運(yùn)算的坐標(biāo)表示

平面向量線性運(yùn)算的坐標(biāo)表示29．（23-24高一上·陜西咸陽(yáng)·階段練習(xí)）已知實(shí)數(shù)a，b滿足1≤a+b≤8，3≤a?b≤4．(1)求實(shí)數(shù)a，b的取值范圍；(2)求2a?5b的取值范圍．【解題思路】（1）用已知式子a+b,a?b表示a,b，利用不等式的性質(zhì)求解范圍即可；（2）用已知式子a+b,a?b表示2a?5b，利用不等式的性質(zhì)求解范圍即可.【解答過程】（1）由1≤a+b≤8，3≤a?b≤4，所以4≤a+b即4≤2a≤12，所以2≤a≤6，即實(shí)數(shù)a的取值范圍為2,6．因?yàn)閎=1由3≤a?b≤4，所以?4≤b?a≤?3，又1≤a+b≤8，所以?3≤a+b所以?3即?3即實(shí)數(shù)b的取值范圍為?3（2）設(shè)2a?5b=ma+b則m+n=2m?n=?5，解得m=?∴2a?5b=?3∵1≤a+b≤8，3≤a?b≤4．∴?12≤?32(a+b)≤?∴?3即2a?5b的取值范圍為?330．（24-25高一上·河南駐馬店·階段練習(xí)）已知實(shí)數(shù)a,b滿足：(1)2<a<3，1<b<6，求a?2b，ba(2)1<a?b<3，1<3a+2b<5，求2a+3b的取值范圍.【解題思路】（1）根據(jù)同向不等式的可加性及同向不等式的可乘性即可求解范圍；（2）利用待定系數(shù)法，結(jié)合不等式的性質(zhì)即可求解.【解答過程】（1）因?yàn)?<b<6所以?12<?2b<?2又因?yàn)?<a<3，所以?10<a?2b<1；因?yàn)?<a<3所以13<1a<（2）令2a+3b=ma?b則m+3n=2?m+2n=3，解得m=?1又因?yàn)?<a?b<3，1<3a+2b<5,所以?3<?a?b所以?2<2a+3b<4.31．（24-25高一上·吉林·階段練習(xí)）已知實(shí)數(shù)a,b滿足1≤a+b≤8，3≤a?b≤4.(1)求實(shí)數(shù)a,b的取值范圍；(2)求a?4b的取值范圍.【解題思路】用已知式子a+b,a?b表示所求式子，利用不等式的性質(zhì)求解范圍即可．【解答過程】（1）由1≤a+b≤8，3≤a?b≤4，所以4≤a+b由a=1所以2≤12a+b即實(shí)數(shù)a的取值范圍為2,6．因?yàn)閎=1由3≤a?b≤4，所以?4≤b?a≤?3，又1≤a+b≤8，所以?3≤a+b所以?3∴?3即實(shí)數(shù)b的取值范圍為?3（2）設(shè)a?4b=ma+b則m+n=1m?n=?4，解得m=?∴a?4b=?3∵1≤a+b≤8，3≤a?b≤4．∴?12≤?32(a+b)≤?∴?9即a?4b的取值范圍為?932．（24-25高一上·山東淄博·階段練習(xí)）已知實(shí)數(shù)a,b滿足：(1)1<a<2,2<b<6，求2a+b的取值范圍；(2)1<a<2,2<b<6，求ba(3)1<a+b<3,3<2a+b<5，求2a?b的取值范圍.【解題思路】（1）根據(jù)同向不等式的可加性即可求解；（2）根據(jù)同向不等式的可乘性即可求解范圍；（3）利用整體法，結(jié)合不等式的性質(zhì)即可求解.【解答過程】（1）因?yàn)?<a<2,所以2<2a<4,又因?yàn)?<b<6，所以4<2a+b<10；（2）因?yàn)?<a<2,所以12<1a<1（3）令2a?b=m(a+b)+n(2a+b)=(m+2n)a+(m+n)b，則m+2n=2m+n=?1，解得m=?4又因?yàn)?<a+b<3,3<2a+b<5，所以?12<(?4)(a+b)<?4,9<3(2a+b)<15，所以?3<2a?b<11.題型9題型9利用基本不等式求最值

平面向量線性運(yùn)算的坐標(biāo)表示

平面向量線性運(yùn)算的坐標(biāo)表示33．（24-25高一上·江蘇蘇州·期中）已知x>0,y>0,xy=x+2y+a．(1)當(dāng)a=0時(shí)，求xy的最小值；(2)當(dāng)a=6時(shí)，求x+2y的最小值．【解題思路】（1）利用基本不等式即可求出最小值；（2）根據(jù)已知化簡(jiǎn)求出得x=2+8【解答過程】（1）當(dāng)a=0時(shí)，由x>0,y>0,xy=x+2y，則xy=x+2y≥22xy即xy≥22，可得當(dāng)且僅當(dāng)x=2y，即x=4，y=2時(shí)xy取最小值8.（2）當(dāng)a=6時(shí)，由x>0,y>0,xy=x+2y+6，由xy=x+2y+6得x=2y+6則x+2y=2+8y?1故可知當(dāng)y=3,x=6時(shí)，x+2y取得最小值為12．34．（24-25高一上·山西·期中）已知a>b>1．(1)證明aa?1(2)若a+b=5，求1a?1【解題思路】(1)通過作差法判斷即可；（2）由1a?1【解答過程】（1）證明：a因?yàn)閍>b>1，所以b?a<0，a?1b?1則b?aa?1b?1<0（2）解：因?yàn)閍+b=5，所以1a?1=1因?yàn)閍>b>1，所以4a?1當(dāng)且僅當(dāng)a=83，故1a?1+435．（24-25高一上·福建莆田·期中）（1）若a>0，b>0，且滿足a+b=4，求ab的最大值；（2）求函數(shù)y=1（3）已知x>0，y>0，且x+y=1，求1x【解題思路】（1）利用基本不等式可求得ab的最大值；（2）將函數(shù)解析式變形為y=1（3）將代數(shù)式1x+9y與【解答過程】（1）因?yàn)閍>0，b>0，且滿足a+b=4，由基本不等式可得ab≤a+b當(dāng)且僅當(dāng)a=ba+b=4時(shí)，即當(dāng)a=b=2故ab的最大值為4；（2）因?yàn)閤>3，則x?3>0，所以，y=1當(dāng)且僅當(dāng)x?3=1x?3x>3故函數(shù)y=1x?3+x（3）因?yàn)閤>0，y>0，且x+y=1，則1x當(dāng)且僅當(dāng)9xy=y故1x+936．（24-25高一上·吉林長(zhǎng)春·階段練習(xí)）若正數(shù)x，y滿足9x+y=xy，(1)求xy的最小值.(2)求2x+3y的最小值.【解題思路】（1）應(yīng)用均值不等式將9x+y轉(zhuǎn)化為xy，再解關(guān)于xy的不等式即可；（2）將條件轉(zhuǎn)化為9y+1【解答過程】（1）因?yàn)檎龜?shù)x，y滿足9x+y=xy，所以xy=9x+y≥29xy=6xy，當(dāng)且僅當(dāng)9x=y所以xy≥6，即xy≥36，當(dāng)且僅當(dāng)x=2所以當(dāng)x=2y=18時(shí)，xy的最小值為36（2）因?yàn)檎龜?shù)x，y滿足9x+y=xy，所以9y所以2x+3y=(2x+3y)(9當(dāng)且僅當(dāng)18xy=3y所以當(dāng)x=362+1y=9+題型10題型10基本不等式的恒成立、有解問題

平面向量線性運(yùn)算的坐標(biāo)表示

平面向量線性運(yùn)算的坐標(biāo)表示37．（24-25高一上·廣東深圳·期中）已知x,y>0滿足x+y=6.(1)求yx(2)若x2+4y【解題思路】（1）變形后，利用基本不等式“1”的代換求出最小值；（2）先求出0<y<6，參變分離得到m≤x2+4y2x+4y，變形得到x2【解答過程】（1）y≥1當(dāng)且僅當(dāng)2yx=x即yx+3（2）由x>0,y>0,x+y=6，得x=6?y>0，即0<y<6，不等式x2+4yx=5當(dāng)且僅當(dāng)y+2=16y+2，即因此當(dāng)x=4,y=2時(shí)，x2+4y2x+4y所以m的取值范圍mm≤38．（24-25高一上·四川達(dá)州·階段練習(xí)）已知正數(shù)x，y滿足2x+y?xy=0.(1)求4xx?1(2)若xy+2?42【解題思路】（1）由已知等量關(guān)系化簡(jiǎn)代數(shù)值并轉(zhuǎn)化“1”，然后利用基本不等式解得最小值；（2）不等式恒成立等價(jià)于求最值問題，先利用等量代換和基本不等式求出左邊最小值，再解不等式即可得出范圍.【解答過程】（1）∵2x+y?xy=0，∴2y+1x=1∴4xx?1當(dāng)且僅當(dāng)18xy=2yx，即所以4xx?1（2）∵y=xy?2x=xy?2，∴x=∴xy+2∵x=yy?2>0且y>0∴xy+2=y?2+8y?2+6≥4∴xy+2∴6>m2+5m恒成立，即m所以實(shí)數(shù)m的取值范圍為?6,1.39．（23-24高一上·江蘇連云港·期中）已知正實(shí)數(shù)x，y，滿足x+2y?xy=0．(1)求xy的最小值；(2)若關(guān)于x的方程x(y+1)?42【解題思路】(1)利用基本不等式將x＋2y轉(zhuǎn)化為xy形式，解不等式即可；(2)結(jié)合已知條件對(duì)x(y+【解答過程】（1）∵x，y為正實(shí)數(shù)，x+2y?xy=0，∴x+2y=xy≥2解得：xy≥8，當(dāng)且僅當(dāng)x=2y，即x＝4，y＝2時(shí)，等號(hào)成立，則xy的最小值為8．（2）由x+2y?xy=0得：x+2y=xy，則2x∴x(y+1)?4=2(x+y)?42xy+當(dāng)且僅當(dāng)x=2y，即x=2+∴m2?m≥6，解得：m≥3或40．（23-24高一上·湖北武漢·期中）已知x，y都是正數(shù)，且2x(1)求2x+y的最小值；(2)已知不等式λx+2y≤3x+2y【解題思路】（1）應(yīng)用基本不等式“1”的代換求目標(biāo)式的最小值，并確定取值條件.（2）將問題化為λ≤3x+2y【解答過程】（1）2x+y=2x+y當(dāng)且僅當(dāng)2xy=2yx2（2）解法一：由題意知λ≤3x+2y因?yàn)閥=xx?2，x?2>0=3當(dāng)且僅當(dāng)9x?2=4x?2，即所以λ≤24．解法二：由2x+1y=1所以λ≤3x+2y2=9x當(dāng)且僅當(dāng)x+2y=xy>0，且9xy=4yx，即x=8題型11題型11由一元二次不等式的解確定參數(shù)

平面向量線性運(yùn)算的坐標(biāo)表示

平面向量線性運(yùn)算的坐標(biāo)表示41．（24-25高一上·山東·期中）已知a,b,c∈R，關(guān)于x的一元二次不等式?x2+bx+6>0(1)求b，c的值；(2)解關(guān)于x的不等式ax【解題思路】先根據(jù)已知不等式的解集，結(jié)合韋達(dá)定理，求出b和c的值，再將其代入后面的不等式，分類討論進(jìn)行求解.【解答過程】（1）因?yàn)椴坏仁?x2+bx+6>0所以?2和c是方程?x根據(jù)韋達(dá)定理，可得?2+c=?b?1=b解得c=3，b=1.（2）由（1）知b=1，c=3，則不等式為ax2?(3a+1)x+3a<0當(dāng)a=0時(shí)，不等式化為?x+3<0，解得x>3.當(dāng)a<0時(shí)，(ax?1)(x?3)<0的解為x<1a或當(dāng)0<a<13時(shí)，1a當(dāng)a=13時(shí)，不等式化為(1當(dāng)a>13時(shí)，1a<3綜上所得，當(dāng)a=0時(shí)，解集為{x|x>3}；當(dāng)a<0時(shí)，解集為{x|x<1a或當(dāng)0<a<13時(shí)，解集為當(dāng)a=1當(dāng)a>13時(shí)，解集為42．（24-25高一上·陜西咸陽(yáng)·階段練習(xí)）已知函數(shù)fx(1)若關(guān)于x的不等式fx<0的解集為?1,3，求不等式(2)若b=1，求關(guān)于x的不等式fx【解題思路】（1）根據(jù)題意可得a>0，且?1，3是方程ax2?(a+1)x+b=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，利用韋達(dá)定理得到方程組，求出a，b，進(jìn)一步可得不等式bx2（2）當(dāng)b=1時(shí)，不等式等價(jià)于(ax?1)(x?1)>0，從而分類討論即可求出不等式所對(duì)應(yīng)的解集．【解答過程】（1）若關(guān)于x的不等式fx<0的解集為則?1和3是方程ax2?由韋達(dá)定理得a+1a=2b所以不等式bx解得x<?43或所以不等式bx2?ax+4<0（2）若b=1，則fx1）當(dāng)a=0時(shí)，由?x?1>0解得2）當(dāng)a≠0時(shí)，方程ax?1x?1=0的兩根為當(dāng)a<0時(shí)，1a<1，解不等式ax?1x?1當(dāng)0<a<1時(shí)，1a>1，解不等式ax?1x?1>0得當(dāng)a>1時(shí)，1a<1，解不等式ax?1x?1>0得當(dāng)a=1時(shí)，由(x?1)2>0得綜上，當(dāng)a=0時(shí)，不等式解集為?∞當(dāng)a<0時(shí)，不等式解集為1a當(dāng)0<a<1時(shí)，不等式解集為?∞當(dāng)a>1時(shí)，不等式解集為?∞當(dāng)a=1時(shí)，不等式解集為?∞43．（24-25高一上·福建莆田·階段練習(xí)）已知關(guān)于x的不等式kx2?2k+1x+2<0(1)若A=x1<x<2，求(2)求不等式的解集A；(3)是否存在實(shí)數(shù)k，使上述不等式的解集A中恰有3個(gè)整數(shù)?若存在，求出k的取值范圍；若不存在，請(qǐng)說明理由.【解題思路】（1）分析可知，關(guān)于x的方程kx2?2k+1x+2=0的兩根分別為1（2）對(duì)實(shí)數(shù)k的取值進(jìn)行分類討論，結(jié)合一次不等式或二次不等式的解法可求得集合A；（3）由（2）可知，0<k<12或k>12，然后分情況討論，求出集合A，根據(jù)題意可得出關(guān)于實(shí)數(shù)【解答過程】（1）解：當(dāng)A=x1<x<2時(shí)，則關(guān)于x的方程kx2?由韋達(dá)定理可得1×2=2k1+2=（2）解：原不等式即為kx?1x?2當(dāng)k=0時(shí)，原不等式即為x?2>0，解得x>2，此時(shí)，A=x當(dāng)k≠0時(shí)，方程kx?1x?2=0的解為x1若k<0，解不等式kx?1x?2<0可得x<1k或若1k=2，即k=12，則原不等式即為若0<1k<2，即k>12，解不等式kx?1若1k>2，即0<k<12，解不等式kx?1x?2綜上所述，當(dāng)k<0時(shí)，A=x當(dāng)k=0時(shí)，A=x當(dāng)0<k<12時(shí)，當(dāng)k=12時(shí)，當(dāng)k>12時(shí)，（3）解：由（2）可知，若集合A恰有三個(gè)整數(shù)，則0<k<12或當(dāng)0<k<12時(shí)，A=x2<x<1k，則集合A中的三個(gè)整數(shù)分別為所以，5<1k≤6當(dāng)k>12時(shí)，則0<1k<2綜上所述，實(shí)數(shù)k的取值范圍是k144．（24-25高一上·北京·階段練習(xí)）已知關(guān)于x的不等式ax2?(1)若3?A，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；(2)當(dāng)a<0時(shí)，集合A中有且僅有兩個(gè)整數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；(3)若集合B=xx<1或x>12，滿足【解題思路】（1）因?yàn)??A，所以將x=3代入不等式不成立；（2）當(dāng)a<0時(shí)，二次函數(shù)y=ax2?(a+3)x+3（3）A=B意味著兩個(gè)集合中的不等式等價(jià).解集一樣，構(gòu)造方程即可.【解答過程】（1）因?yàn)??A，所以當(dāng)x=3時(shí)，ax將x=3代入得9a?3(a+3)+3≤0，即9a?3a?9+3≤0，解得a≤1.（2）由ax2?(a+3)x+3>0因?yàn)閍<0，所以3a<1，不等式的解為因?yàn)榧螦中有且僅有兩個(gè)整數(shù)，這兩個(gè)整數(shù)只能是?1，0.所以?2≤3當(dāng)?2≤3a時(shí)，?2a≥3，解得當(dāng)3a<?1時(shí)，3>?a，解得所以?3<a≤?3（3）因?yàn)锽={x|x<1或x>12}，A=B，由ax2?(a+3)x+3>0因?yàn)锳=B，所以方程ax2?(a+3)x+3=0將x=12代入方程ax144a?12(a+3)+3=0，144a?12a?36+3=0，即132a?33=0，132a=33，解得a=1題型12題型12一元二次不等式恒成立問題

平面向量線性運(yùn)算的坐標(biāo)表示

平面向量線性運(yùn)算的坐標(biāo)表示45．（24-25高一上·福建泉州·期中）已知函數(shù)f(x)=ax2+(a?2)x?2(1)若不等式fx≥0的解集為(?∞(2)若不等式f(x)≥ax?3對(duì)x∈R恒成立，求實(shí)數(shù)a【解題思路】（1）根據(jù)給定的解集，結(jié)合一元二次方程求出a的值.（2）利用一元二次不等式恒成立，列式求解.【解答過程】（1）依題意，?1,2是方程ax2+(a?2)x?2=0則?1+2=?a?2a且?1×2=?2所以實(shí)數(shù)a的值是1.（2）不等式f(x)≥ax?3?ax依題意，不等式ax2?2x+1≥0當(dāng)a=0時(shí)，?2x+1≥0對(duì)x∈R因此a>0，且Δ=4?4a≤0，解得a≥1所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是a≥1.46．（24-25高一上·甘肅金昌·期中）已知函數(shù)f(x)=?x(1)若關(guān)于x的不等式f(x)>0的解集為(?3,1)，求a，b的值；(2)當(dāng)a=1時(shí)，若關(guān)于x的不等式f(x)≤0在R上恒成立，求b的取值范圍.【解題思路】（1）根據(jù)不等式的解集得出一元二次方程的根，從而求得a,b值；（2）由判別式Δ≤0【解答過程】（1）由題意可知，?3，1是方程?x所以?3+1=?a(b?a)，?3×1=b，解得a=?1，b=?3或a=?2，b=?3.故a，b的值分別為?1，?3，或?2，?3.（2）當(dāng)a=1時(shí)，f(x)=?x若f(x)<0在R上恒成立，即f(x)的圖象與x軸至多有一個(gè)交點(diǎn)，則Δ=即b2?6b+1≤0，解得故b的取值范圍是[3?2247．（24-25高一上·湖南湘西·期中）已知函數(shù)f(1)若不等式fx≥?mx在R上恒成立，求實(shí)數(shù)(2)若fx≥0在0,1上恒成立，求實(shí)數(shù)【解題思路】（1）移項(xiàng)后轉(zhuǎn)化為x2?mx+2?m≥0在R上恒成立，利用（2）根據(jù)對(duì)稱軸和區(qū)間0,1在數(shù)軸上的位置關(guān)系進(jìn)行分類討論，轉(zhuǎn)化為最值問題即可解決.【解答過程】（1）fx≥?mx即為x2則Δ=?m2所以m的取值范圍是?2?23（2）fx=x若0≤m≤1，函數(shù)在0,1先減后增，則fxmin=fm若m<0，函數(shù)在0,1單調(diào)遞增，則fxmin=f0=2?m≥0若m>1，函數(shù)在0,1單調(diào)遞減，則fxmin=f綜上所述，實(shí)數(shù)m的取值范圍是?∞48．（24-25高一上·安徽馬鞍山·階段練習(xí)）已知函數(shù)fx(1)若不等式fx≥0恒成立，求(2)解不等式fx(3)對(duì)任意的x∈?1,1，不等式fx≥【解題思路】（1）由不等式fx≥0恒成立，轉(zhuǎn)化為（2）由不等式fx≥m?1，得到（1）由不等式fx≥x2在x∈?1,1【解答過程】（1）解：由函數(shù)fx因?yàn)椴坏仁絝x≥0恒成立，即不等式當(dāng)m=0時(shí)，不等式即為x?2≥0，顯然不成立，舍去；