函數(shù)的圖象 （含新定義解答題）解析版-2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)（新高考專用）

第07講函數(shù)的圖象（分層精練）

A夯實(shí)基礎(chǔ)B能力提升C綜合素養(yǎng)（新定義解答題）

A夯實(shí)基礎(chǔ)

一、單選題

【分析】利用特殊點(diǎn)法與圖象平移即可得解.

22

【詳解】因?yàn)閥—，所以當(dāng)％=0時(shí)，y=--=2,故排除ABC,

1-x1-x

又＞=42=-2三的圖象可由函數(shù)y=—2-的圖象向右平移一個(gè)單位得到，則D正確.

l-xx-1X

故選：D.

log2x,x>0

2.(2024?河南?模擬預(yù)測(cè))已知函數(shù)/(x)=?八，g(x)=/(-x)-l,則g(x)的圖

(x+1),x<0

象大致是()

A.\jY.B.、工

-2<yj<Z/2X

【答案】B

【分析】利用x>0時(shí)的解析式的圖象即可得到選項(xiàng).

【詳角軍】令x>0,貝i]-x<0,

所以/(-x)=(-x+l)2,

g(x)=f(-x)T=(x-I?T，

則在y軸右側(cè)為部分拋物線，

對(duì)稱軸為x=l,g(x)=。時(shí)，x=2或0,

且(0,0)處為空心，g(i)=-i，

排除ACD.

故選：B

3.(2024上?云南迪慶?高一統(tǒng)考期末)我國著名數(shù)學(xué)家華羅庚曾說：“數(shù)缺形時(shí)少直觀，形

少數(shù)時(shí)難入微，數(shù)形結(jié)合百般好，隔離分家萬事休”.在數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)和研究中，有時(shí)可憑借

函數(shù)的圖象分析函數(shù)解析式的特征，已知函數(shù)/(%)在的大致圖象如圖所示，則函數(shù)/(%)的

解析式可能為()

A./(x)=-|x|+lB./(x)=|x-l|C./(力=_國-1D./(x)=|x+l|

【答案】A

【分析】根據(jù)題意取特值點(diǎn)分析判斷.

【詳解】由題意可知：/(1)=0,排除CD；/(-1)=0,排除B.

故選：A.

4.(2023上?山西呂梁?高一校聯(lián)考階段練習(xí))函數(shù)/■(元)=]嗎|尤的大致圖象

為（）

【答案】D

【分析】利用函數(shù)零點(diǎn)判斷即可.

【詳解】令/'（xHi°g/x|+i|=°，得x=±L所以函數(shù)的零點(diǎn)為土L又l>1或

aaa

--<-1,D選項(xiàng)符合

a

故選：D

5.（2024?四川?校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）函數(shù)=3x）的圖象大致是（）

【分析】根據(jù)函數(shù)的奇偶性的判斷可排除CD,根據(jù)以及0<%<有時(shí)的函數(shù)值的正負(fù),

即可排除B.

【詳解】因?yàn)?一3x）,定義域?yàn)镽,

又-。+3、）=Q-丁+3”）

(12V+1-111

(22X+122*+1

11

(X3-3X)=/(X),可知/(x)為偶函數(shù)，排除CD；

2-2%+1

11

>0,

當(dāng)尤＞0時(shí),2-2X+1

當(dāng)0<x<百時(shí)，X3-3X=X(X2-3)<0,則/(X)<0,

當(dāng)尤〉若時(shí),X3-3X＞0.則/(X)＞0,B不符題意,

故選：A.

6.(2022?全國?模擬預(yù)測(cè))函數(shù)〃力=/-3國-1的圖象大致為()

【分析】根據(jù)題意，求得了(可為偶函數(shù)，再利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)/(x)的單調(diào)區(qū)間，結(jié)合選項(xiàng),

即可求解.

【詳解】由函數(shù)/(x)=eW-3岡-1的定義域?yàn)镽,

>/(-x)=eH-3|-x|-l=eH-3|x|-l=/(x),所以函數(shù)〃x)為偶函數(shù),

當(dāng)xw(0,+co)時(shí),/(x)=ex-3x-l,則r(x)=e3,

當(dāng)尤w(0,ln3)時(shí)，/,(x)<0；當(dāng)xe(ln3,—)時(shí)，

所以/(元)在(0，ln3)上單調(diào)遞減，在(ln3,+?)上單調(diào)遞增.

故選：C.

x2+2x+1,x<0/、

7.(2024?陜西咸陽?統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè))已知函數(shù)/(無)=|ln4x>0，若方程行)“有

四個(gè)根小無2，%，尤4，且為＜工2＜尤4，則下列說法錯(cuò)誤的是()

A.%+工2=-2B.￡+14〉2

C.芯了2>4D.0<<7<l

【答案】C

【分析】分析函數(shù)的性質(zhì)，作出函數(shù)圖象，再逐項(xiàng)判斷即可.

【詳解】函數(shù)y=/+2x+l的圖象開口向上，對(duì)稱軸為直線4-1,

當(dāng)尤<0時(shí)，/（x）=Y+2x+l在（-?,-1］上遞減，函數(shù)值集合為［0,+q），在上遞增，

函數(shù)值集合為［0,1］,

當(dāng)尤>0時(shí)，f（x）=|lnx|在（0,1］上遞減，函數(shù)值集合為［0,伏），在口,內(nèi)）上遞增，函數(shù)值集

合為［0,+co）,

方程f{x）=a的根是直線y=a與函數(shù)y=/（%）圖象交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，

方程/（x）=a有四個(gè)根%，即直線y=a與函數(shù)y=/（元）圖象有4個(gè)交點(diǎn),

在同一坐標(biāo)系內(nèi)作出直線與函數(shù)y=/（尤）的圖象，如圖，

觀察圖象知，xt+x2=-2,0<a<l,AD正確;

顯然|In%1=1InzI,而工3<1<%,則一Inw=In%,即In三元4=0,陽演=1,

3+X4>2,至4=2,B正確；

—1<%2<0,XjX2=(-2—x2)x2=—(x2+1)-+1e[0,1),C錯(cuò)誤.

故選：C

8.（2024上?貴州黔西?高一統(tǒng)考期末）函數(shù)/'（X）的圖象如圖所示，則的解析式可能

B./(x)=log2(x+l)

D.f(x)=2x-l

【答案】A

【分析】結(jié)合圖象，根據(jù)定義域與特殊值應(yīng)用排除法得到答案.

【詳解】由圖象可知，“X)的定義域?yàn)?/p>

對(duì)于C,D選項(xiàng)，〃x)=|2=l|,〃力=2、-1定義域?yàn)閰^(qū)，排除C,D；

對(duì)于B選項(xiàng)，/(x)=log2(x+l),定義域?yàn)?T,+8),

當(dāng)x=-g時(shí)，0氏2［；+1)=-1,排除B,

對(duì)于A,"x)=|log2(x+l)|的定義域?yàn)?-1,+⑹，且其在(TO)上單調(diào)遞減，在(0,+⑹上單

調(diào)遞增，故A正確.

故選：A.

二、多選題

9.(2024上?云南昆明?高一統(tǒng)考期末)已知定義域?yàn)锳的函數(shù)〃無)，若對(duì)任意的士,％eA

且X產(chǎn)W，有則稱函數(shù)/(無)為"定義域上的凹函數(shù),，.例如，

f(x)=2，就是R上的凹函數(shù).以下函數(shù)是"定義域上的凹函數(shù)"的有()

A.f［x)-2x+lB./(%)=x3

C./(x)=Y+lD./(x)=-lgx

【答案】CD

【分析】畫出選項(xiàng)ABCD的圖象，根據(jù)函數(shù)圖象上任意兩點(diǎn)連線的中點(diǎn)都在圖象的上方，逐

一驗(yàn)證即可求解.

【詳解】分別作出ABCD的圖象，如圖

根據(jù)土產(chǎn)］〈正?可知定義域上的凹函數(shù)是函數(shù)圖象上任意兩點(diǎn)連線的中點(diǎn)

都在圖象的上方，故CD符合，AB不符合,

故選:CD

10.(2023上?山東泰安?高一?？茧A段練習(xí))已知函數(shù)/(x)=x|x+加|(加為常數(shù))，則y=/(x)

【分析】根據(jù)分段函數(shù)的性質(zhì)，結(jié)合分類討論即可與二次函數(shù)的性質(zhì)求解.

f^>0

【詳解】當(dāng)m=0時(shí)，函數(shù)/(尤)=》國=；一］選項(xiàng)D符合題意；

［—X，尤<。，

當(dāng)〃7>0時(shí)，函數(shù)〃x)=xl%+詞=卜+nt^X-"故選項(xiàng)C符合；

［-X—mx,x<-m,

當(dāng)〃z<0時(shí)，函數(shù)〃尤)=小'+同=卜+nvc^x-m,故選項(xiàng)B符合.

1-x-mx,x<-m,

故選:BCD.

三、填空題

11.(2023上,上海靜安,高三上海市新中高級(jí)中學(xué)?？茧A段練習(xí))定義在實(shí)數(shù)集R上的函數(shù)

y=/(x)滿足〃x+4)=/(x),〃4-x)=/(x),且當(dāng)xe［0,2］時(shí)，/(x)=2x-l,則滿足

/⑺>0的x取值范圍為.

【答案】1+4匕g+44#eZ

【分析】根據(jù)題意得了⑺周期為4,關(guān)于x=2對(duì)稱，作出函數(shù)/⑺在［0,4］上圖象，結(jié)合周

期性得出答案.

【詳解】由〃x+4)=/(x),可得函數(shù)“X)周期為4,當(dāng)xc［0,2］時(shí)，〃x)=2x—1,又

/(4r)=/(x)得〃力關(guān)于x=2對(duì)稱,

作出函數(shù)“X)在［0,4］上圖象，

由圖像可得，在［0,4］上滿足〃x)>0的x取值范圍是又函數(shù)周期為4,

所以函數(shù)/⑺滿足/(x)>0的x取值范圍是&+4左］+44,左eZ.

故答案為：［；+4左］+4”,左eZ.

12.(2023上?上海?高一曹楊二中校考期末)已知6eR,設(shè)函數(shù)"log2x+2x+6|在區(qū)

間山+1］。>0)上的最大值為Mt(b).若{b\Mt僅)22}=R,則正實(shí)數(shù)t的最大值為.

【答案】|

【分析】畫出函數(shù)圖象，數(shù)形結(jié)合得到當(dāng)/■(。=7”+1)時(shí)，”,僅)取得最小值，最小值為

/")，并得到6=-Jog2〃f+l)-2r-l,從而得到不等式，求解解集，得到答案.

【詳解】畫出/(x)=|log/+2x+b|的圖象如下.

由圖象可知，當(dāng)/⑺=/?+1)時(shí)，M(6)取得最小值，最小值為/⑺,

此時(shí)/＜機(jī)＜/+1,-(log2r+2r+Z))=log2(r+1)+2(?+1)+&,

貝lJ6=-：log2t(f+l)—2f—l①，

故只需要-。鳴/+2/+聯(lián)2②，

將①代入②得-11嗎，+2-?嗎(+1)-2f-2,

化簡(jiǎn)得￡4解得色,

故正實(shí)數(shù)t的最大值為;.

故答案為：;

四、解答題

13.（2024上?湖南郴州?高一統(tǒng)考期末）已知函數(shù)/（x）=|log2x|

->

X

（1）完成下列表格，并在坐標(biāo)系中描點(diǎn)畫出函數(shù)/（X）=|log2工的簡(jiǎn)圖;

⑵根據(jù)（1）的結(jié)果，若/（%）=/（%）（X產(chǎn)馬），試猜想中2的值，并證明你的結(jié)論.

【答案】⑴答案見解析

（2）占3=1,證明見解析

【分析】（1）根據(jù)列表描點(diǎn)連線即可求解函數(shù)圖象,

（2）根據(jù)對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)即可求解.

(2)猜想占％=1，證明如下：

/(%)=/(%)，二|吐2萬|=隧2%|，

.log2占=log2%或log2無］=-log2尤2,

々，.1log?玉=-log2尤2，

BPlog2X[+log2x2=0,log,=0,x1x2=1.

14.(2023上,江西新余?高一?？计谥?已知是定義在R上的偶函數(shù)，當(dāng)尤NO時(shí)，/(x)

是二次函數(shù)，其圖象與x軸交于4(1,0),3(5,0)兩點(diǎn)，與y軸交于C(0,5).

⑴求的解析式;

⑵若方程/(%)-3a+1=。有四個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，求。的取值范圍.

x2-6x+5,x>0

【答案】⑴〃無)=

尤？+6x+5,尤<0

(2)(-1,2)

【分析】(1)當(dāng)x?0時(shí)，由二次函數(shù)的圖象與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)，求出解析式，由“X)是偶

函數(shù)，求出尤<0時(shí)解析式，可得〃x)的解析式；

(2)問題等價(jià)于函數(shù)y=/(x)與y=3“T在同一坐標(biāo)系中的圖象有四個(gè)不同的交點(diǎn)，作出

函數(shù)圖象，列不等式求。的取值范圍.

【詳解】(1)當(dāng)XN0時(shí)，“X)是二次函數(shù)，其圖象與X軸交于4(1,0),3(5,0)兩點(diǎn)，

由題意可設(shè)/(x)=%(x—1乂3—5),由40)=5,得5k=5,即k=1,

/(x)=(x-l)(x-5)=x2-6x+5(x>0).

又/(x)是偶函數(shù)，

當(dāng)x<0時(shí)，-x>0,貝ij/(%)=/(-力=%2+6x+5,

所以小)=]x：-？+

[x+6x+5,x<0

(2)依題意〃x)=3a-l有四個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，

即y=/(x)與y=3a-i在同一坐標(biāo)系中的圖象有四個(gè)不同的交點(diǎn).

作出函數(shù)“X)的圖象，如圖所示，函數(shù)〃

由圖可知只需滿足條件-4＜3a-1＜5,

解得一7＜。＜2,

即實(shí)數(shù)。的取值范圍是（T2）.

B能力提升

1.（2024上?安徽淮南?高一深圳市高級(jí)中學(xué)校聯(lián)考期末）若函數(shù)y=7與函數(shù)

〃同=二注過的圖象有兩個(gè)不同的交點(diǎn)4（%,〃網(wǎng)）），B（X2,/（X2）,則士士義的取

X-1t

值范圍是（）

A.I—4—4-JB.I—4—,0JuI0,—4—J

C.卜2點(diǎn),2四）D.卜20,o）u（o,2四）

【答案】B

【分析】由題意方程:=/一2X+3有兩個(gè)不同的解7,三,利用韋達(dá)定理得（占-1）（赴-1）=2,

X-1

則受±三二/轉(zhuǎn)化為求」的范圍即可.

【詳解】〃x）J2x+3=1+J_,作出函數(shù)圖象如圖:

X~1X~1

因?yàn)楹瘮?shù)y=t與函數(shù)"X）='；：；+3的圖像有兩個(gè)不同的交點(diǎn),所以”20或，＜-2后,

%2—2%+3

且方程公即（%—1）—《%—1）+2=0有兩個(gè)不同的解西，式2.

x-1

故a_i)(z-i)=2,所以占+彳一」4=i-(%-；)伍一9=1,

因?yàn)?2板或r<-2及，所以0」〈變或-變，<0,

t44t

r四?！场?/p>

所以%々1

——Gu0,——

tI4

7

故選：B

|ln(-x)|,x<0

2.(2024上?云南昭通,高一昭通市第一中學(xué)校聯(lián)考期末)已知函數(shù)/(%)=

X2-4x+l,x>0

若函數(shù)g(x)=/(x)-根有四個(gè)不同的零點(diǎn)為，巧，元3，元4，且不<%2<%3<兀4，則下列結(jié)

論中正確的是()

A.-1<%2---B.—1<m<0

e

C.xrx2=—D.x3+x4=2

【答案】A

【分析】由題意可得函數(shù)y=/(x)與，=加有四個(gè)不同的交點(diǎn)，作出函數(shù)，=/(力與>=根的

圖象如圖所示，然后結(jié)合圖象逐個(gè)分析判斷即可.

【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)g(x)=/(x)-機(jī)有四個(gè)不同的零點(diǎn)，

所以/("=根有四個(gè)不同的解，即函數(shù)y=/(x)與丁=機(jī)有四個(gè)不同的交點(diǎn)，

作出函數(shù)y=/(x)與的圖象如圖所示：

又x=o時(shí)，/(o)=i,由圖象可得0<〃zWl,故B不正確，

由|ln(T)|=l,得尤=—或x=-e,所以由圖象可得一1<%4-：,故A正確；

由圖象可得不<T,所以|ln(-玉)|=帆(-9)|,gpin(-^)=-ln(-x2),

即111(不馬)=。，所以再％=1,故C錯(cuò)誤;

又退，乙關(guān)于x=2對(duì)稱，故%+%=4,故D錯(cuò)誤,

關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：此題考查對(duì)數(shù)函數(shù)圖象的應(yīng)用，考查函數(shù)與方程的綜合應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是將

問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)y=/(x)與>=加有四個(gè)不同的交點(diǎn)，然后作出函數(shù)圖象，結(jié)合圖象分析判

斷，考查數(shù)形結(jié)合的思想，屬于較難題.

4國—1Y<1

3.(2024上?山東德州?高一統(tǒng)考期末)已知函數(shù)〃"=2'一，函數(shù)了=左與

*2-6X+8,X>1

y=/(x)有四個(gè)交點(diǎn)，橫坐標(biāo)依次為占，巧，馬,匕且玉〈尤3〈尤4，滿足

/(為)=/(%)=〃三)=/(三)，則坨(-網(wǎng))-恒七+4%+26』的取值范圍是()

A.(0,20)B.(2,20)C.(3,20)D.(6,20)

【答案】D

【分析】畫出函數(shù)圖象，數(shù)形結(jié)合得到-%=%,X3+X4=6,毛?。,2),變形后得到

1g(-尤1)-1g無2+4"+26』=(2*+g1-；，求出值域.

4兇—1x<1

【詳解】畫出"》)=,'-的圖象如下：

x~-6x+S,x>l

由題意得-占=尤2，X3+X4=6,

令/_6x+8=0得，x=2或4,故演?1,2),

其中l(wèi)g(f)=3(%),

故lg(—%)—1gX?+4*+26f=48+2金=+；］—；,

2屋(2,4),所以磔一玉)一1g々+平+e仁一；號(hào)一力=(6,20).

故選：D

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：函數(shù)零點(diǎn)問題，將函數(shù)零點(diǎn)問題或方程解的問題轉(zhuǎn)化為兩函數(shù)的圖象交

點(diǎn)問題，將代數(shù)問題幾何化，借助圖象分析，大大簡(jiǎn)化了思維難度，首先要熟悉常見的函數(shù)

圖象，包括指數(shù)函數(shù)，對(duì)數(shù)函數(shù)，嘉函數(shù)，三角函數(shù)等，還要熟練掌握函數(shù)圖象的變換，包

括平移，伸縮，對(duì)稱和翻折等，涉及零點(diǎn)之和問題，通常考慮圖象的對(duì)稱性進(jìn)行解決.

|x+2|,x<0

(2024上?重慶?高一校聯(lián)考期末)已知/(%)=<八

4.,若方程〃力=1有四個(gè)不

log1x,尤>0

11

同的解<%2<兀3，貝”1+Z+——+——的取值范圍是.

“3%4

【答案】12,：

【分析】結(jié)合函數(shù)，=/(%)的圖象與性質(zhì)知0<aV2,X,+X2=-4,陽4=1，將

11

%+%+『五化簡(jiǎn)為-4+鼻+%，進(jìn)而化簡(jiǎn)為_4+2-。+2"，求出范圍即可.

,x<0

,x>。的圖象:

方程/(x)=。有四個(gè)不同的解不,

則0<a<2,且玉+馬=一4,1°81*3=-108產(chǎn)4，所以陽4=L

22

11,X.+XA，

貝！J+X?H-----------1-------——4H—:------------=-4+%+冗4,

七14

設(shè)log[W=a，bgj_尤4=一"，所以三+8=2-"+2",

22

171

因?yàn)?vaV2,所以2<2"+2"W—,貝lj—2<—4+退+/<—，

44

所以則無1+尤2+'+'的取值范圍為(-2,占)

龍3*44

故答案為：12,；,

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：函數(shù)零點(diǎn)問題要充分利用函數(shù)與方程的基本思想，并充分利用數(shù)形結(jié)合

畫出函數(shù)圖象，利用圖象即可求得參數(shù)范圍以及零點(diǎn)問題.

C綜合素養(yǎng)

5.(2019上?上海閔行?高三上海市七寶中學(xué)?？茧A段練習(xí))設(shè)集合O表示具有下列性質(zhì)的

函數(shù)〃尤)的集合:①的定義域?yàn)?-M)；②對(duì)任意％ye(-M),都有

11+孫J

(1)若函數(shù)證明〃x)是奇函數(shù)；并當(dāng)，詈￡|=2,(三￡|=1，求〃間，

“〃)的值；

(2)設(shè)函數(shù)g(x)=lg1-鼻■]Q為常數(shù))是奇函數(shù)，判斷g(無)是否屬于O,并說明理由；

1g(x)XG(-1,1)

(3)在(2)的條件下，若/%)=著??/一、(左20),討論函數(shù)y=M/z(x)]—2的零

[中|+1(-1,1)

點(diǎn)個(gè)數(shù).

31

【答案】(1)見解析，fW=-

(2)g(x)eQ,證明見解析

(3)上<0或苴二L(女W1時(shí)，3個(gè)零點(diǎn)；上=0或%>1時(shí)，1個(gè)零點(diǎn)；0</41二]時(shí)，5

22

個(gè)零占

【分析】(1)利用賦值法和奇函數(shù)的定義證明函數(shù)是奇函數(shù)，由題得了(〃，),/(九)的方程組，

解方程組即得解；(2)先求出a的值，再利用O的定義證明；(3)令h(x)=t，則h(t)=2,再

分類討論數(shù)形結(jié)合分析得解.

【詳解】(1)令x=y=0得/(0)+