湖南省邵東市某中學(xué)2025屆高三年級上冊第三次月考數(shù)學(xué)試卷（含答案）

湖南省邵東市第一中學(xué)2025屆高三上學(xué)期第三次月考數(shù)學(xué)試卷

學(xué)校：___________姓名：班級：___________考號：

一'選擇題

1.設(shè)集合A={x|m-3<x<2m+6},5={%|1082%<2},若AB=A,則實數(shù)機的取值范

圍是（）

A.0B.[-3,-l]C.（-l,3）D.[-l,3]

2."logi〉?！笔?（。-1）（m-1）>0”的（）條件

A.充分不必要B.必要不充分

C.充要D.既不充分也不必要

3.若a>0，/?>0，aZ?=4a+6+12,則的取值范圍是（）

A.1%|0<x<18}B.1%|0<%<36}C.1%|%>18jD.36}

4.設(shè)等差數(shù)列{%}的前n項和為S?，且滿足4<0,S,=席，則當(dāng)S〃取得最小值時,〃的值

為（）

A.10B.12C.15D.24

5.已知2cos（2夕+/7）-3cos/?=0,則tancrtan（a+0=（）

A.5B.lC.-5D.-1

6.已知函數(shù)/（x）=xsinx-1與g（x）=q（x2+l）的圖象恰有一個交點，則”=（）

A.-1B.-±

2

7.已知函數(shù)/（》）=25垣]0》一看〉11110%+1}0〉0）,若函數(shù)8（%）=/（》）+正在0,5

上只有三個零點，則co的取值范圍為（）

A?%BN4與D[鴻）

8.已知函數(shù)7■（x）=e，——-—6x（a/eR）沒有極值點，則―也的最大值為（）

2(?+1)

A.顯

2

二、多項選擇題

9.已知函數(shù)/(x)=Asin(s:+|A>0,口>0J同<]的部分圖象如圖所示，則下列說法

B.函數(shù)”力的圖象關(guān)于直線犬=一齊對稱

2兀

C.函數(shù)/%--是偶函數(shù)

71

D.將函數(shù)“力圖象上所有點的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?倍，得到函數(shù)y=2sin|x+—的圖象

3

10.數(shù)列｛見｝滿足%+2%%-%=0(〃eN*),q=l,則下列結(jié)論正確的是()

A?若包=3巳則也｝為等比數(shù)列

1A11]\

B.若%=[±+±+...+±，則｛*｝為等差數(shù)列

"(q%an)

C.an=2〃-1

一1112〃-1

D.1--------F???H-------―-------

a

%a22n-l&n

11.已知f(x)=2o?+3axz+g—iQ+b,則下列結(jié)論正確的是()

A.當(dāng)Q=1時，若/(x)有三個零點，則》的取值范圍是(-1,0)

B.當(dāng)a=1且xe(0,兀)時,/(sinx)<f(sin2x)

C.對于任意小eR滿足了(%-1)+/(—%)=2b+1

D.若/(x)存在極值點演”且/伍)=/(%)淇中/wX],則2x0+X]=-1

三、填空題

12.設(shè)｛4｝是等比數(shù)列，且q=3,%+%=18,則an=.

13.已知△ABC的內(nèi)角A、B、C的對邊分別為a、b、c,且

a2+b2-c2=?Z?sinC，acosB+Z?sinA=c，a=^/io，則萬=--------

14.若函數(shù)〃力=卜「a|-alnx有兩個零點,則實數(shù)a的取值范圍為.

四、解答題

15.如圖,在平面四邊形A3CD中,AB=AD=4，BC=6-

(1)若A=@^,C=巴，求sinZlBDC的值；

33

⑵若CD=2,cosA=3cosC，求四邊形ABC。的面積.

16.記r為數(shù)列｛4｝的前〃項和，已知囚=1,]&]是公差為工的等差數(shù)列.

Van)3

(1)求｛4｝的通項公式；

(2)證明:工+工++—<2

17.已知銳角△ABC中，角A、B、C所對邊為a、b、c,且tanB+tanC+6

tanBtanC

(1)求角A；

(2)若q=4,求b+c的取值范圍.

18.已知函數(shù)/(x)=ln(x+l).

(1)求曲線y=/(x)在％=3處的切線方程.

(2)討論函數(shù)E(x)=x-(a+l)〃x-1)的單調(diào)性;

設(shè)函數(shù)g(x)=(x+l)/[-/

(3).證明:存在實數(shù)辦使得曲線y=g(x)關(guān)于直

線工二機對稱.

19.若數(shù)列｛q｝的各項均為正數(shù),且對任意的相鄰三項,都滿足。一0+1<a；,則

稱該數(shù)列為“對數(shù)性凸數(shù)列”，若對任意的相鄰三項%,%,%,都滿足%+的V2%則稱

該數(shù)列為“凸數(shù)列”.

（1）已知正項數(shù)列｛%｝是一個“凸數(shù)列”，且a“=e。"，（其中e為自然常數(shù),〃eN*），證明：

數(shù)列｛4｝是一個“對數(shù)性凸數(shù)列”；

（2）若關(guān)于x的函數(shù)/（7=4+3+32+33有三個零點，其中4>O?=I,2,3,4）.證明:

數(shù)列內(nèi)也也也是一個‘對數(shù)性凸數(shù)列”；

（3）設(shè)正項數(shù)列旬,%…4是一個“對數(shù)性凸數(shù)列”證

(1n、1n-1/in-1Yi

明:>

J+1為2%

z=07n—1J=I八/

參考答案

1.答案：D

解析：因為AB=A,所以3口4

則由3={x[0<x<4},

—r/日[rn-3<0

可得！=^>-l<m<3,

2m+6>4

故選:D.

2.答案：A

解析：若log/〉。,則當(dāng)o<a<l時,0〈加<1；當(dāng)Q>1時，m>1；故

當(dāng)。=機=0時,（“一1）（加一1）>0成立，但log.m>0無意義；

所以“l(fā)og.m〉0"是"（。-1）（加-1）〉0”的充分不必要條件.

故選:A.

3.答案：D

解析：因為?！?，/?>0,由基本不等式可得岫=4a+6+1222^^+12=4旅+12,

即ab——1220，解得26或<—2（舍去），即a/?236，

當(dāng)且僅當(dāng)F=4a,即2=3時，等號成立，

ab=36[b=12

故ab的取值范圍是{x|x'36}.

故選:D.

4.答案：B

解析：因為S[=S亶，則/+。9---1-%7=0，

又因為數(shù)列{a“}為等差數(shù)列，則/+。17=%+"16=…=a\1+a13，

可得5（42+&）=°，即％2+。13=°，

且q<0,可知&<0,q>0，

即當(dāng)“W12時,?！?lt;0；當(dāng)”213時以〉0；

所以當(dāng)S,取得最小值時.的值為12.

故選:B.

5.答案：D

解析：2cos(2a+0=3cos6則2cos(a+/?+a)=3cos(a+/?-a)

則2cosacos(a+/?)—2sin(a+月)sina=3cos(a+月)cosa+3sin(a+分)sin*,

即-5sin(a+月)sina=cos(a+月)coso，所以-5tan(a+尸)tana=1,

/.tan(cr+/?)tancif=9

故選:D

6.答案：A

解析：令函數(shù)丸⑴=/(%)—g(x)=xsinx-1—<2(x2+1),其定義域為R,

2

//(-%)=—xsin(一力―]—Q(―%)+1=xsinx-l-tz^x+1)=/(%),函數(shù)/z(%)為偶函數(shù),

由函數(shù)/(x)=xsinx-l與g(x)=a(/+1)的圖象恰有一個交點，得〃(x)有唯一零點,

因此h(0)=0,即—1—Q=0,解得〃=—1,h(x)=xsinx+x2,

當(dāng)%>0時,〃(x)=sinj:+xcosx+2x=sinx+Mcosx+2)>sinx+x,

令函數(shù)(p{x}=sinx+x,x>0,d(x)=cosx+120,函數(shù)(p{x)在(0,+oo)上單調(diào)遞增,

(p(x)>0(0)=0,貝!j當(dāng)％>0時,h'(x)>0,函數(shù)/z(元)在(0,+oo)上遞增，在(-oo,0)上遞減,

所以函數(shù)/九)有唯一零點，〃二—1.

故選:A

7.答案：A

71717171

解析：因為/(%)=2sincox—sinCOXH----=2sincox--cos—cox----

63I623

71

=2sina)x--coscox—=sinIcox--

I66I3

所以g(x)=y(x)+2=sin2cox--]+旦

I3~1'

+生。得V3

令sin2a)x--sin2a)x--=------，

I3I32

所以2口九一色二一三+2左?；?0x—巴=一圓+2左》(kGZ),

3333v7

即cox—kn^cox--—+kn(keZ)，貝U%=或尤=---GZ),

6CD6a)CD

則非負根中較小的有：0,至，二，也；

6a)co6co

因為函數(shù)g(x)=/(x)+岑在上只有三個零點,

所以M<2〈生，解得2<°<U.

。26。3

故選:A

8.答案：B

解析：函數(shù)/(x)=e\一法沒有極值點，

2(Q+1)

f\x)=e---x-b>o,或f\x)vo恒成立，

<2+1

由y=e"指數(shù)爆炸的增長性，廣(%)不可能恒小于等于0,

f\x)=ex—x-b>Q恒成立.

a+1

令/z(x)=e%---則/(％)=ex----------

當(dāng)a+l<0時,〃(力>0恒成立,力⑴為R上的增函數(shù),

因為e%(O,y)是增函數(shù),-9x-b^(-oo,+oo)也是增函數(shù),

所以，此時/l(x)￡(ro,+oo),不合題意；

②當(dāng)a+l>0時，〃(x)=ex--彳為增函數(shù)，由"(x)=0得x=-ln(a+l),

令//(%)>0ox>-ln(Q+l),”(%)vOo%<-ln(Q+l),

/z(x)在(fo,-ln(a+l))上單調(diào)遞減，在(-In(a+1),+oo)上單調(diào)遞增，

1ln(6z+l),八

當(dāng)X=-In(〃+1)時，依題意有=%(一皿〃+1))=——+—L-b>0^

a+1a+1

即+螞”D

。+1a+1

<2+1(0+1)2，

令a+1=x(x>0),沅(x)=也?(%>0),

x

x-(lnx+l)-2x-(21n%+1)

則/(x)=------A----------------------，

x4x3

令/(x)〉0=0<x<十，令M(x)<0,解得x>亍,

e

所以當(dāng)X=^^時,“(%)取最大值〃

2

故當(dāng)"+1=+/=半'即°=當(dāng)一12=當(dāng)時b取得最大%.

。+1

綜上,若函數(shù)入⑴沒有極值點，則b的最大值為士.

6Z+12

故選：B.

9.答案：ABD

解析：由圖可得,A=2--￡=!><0，解得口=2,故A正確；

3124。

又函數(shù)圖象經(jīng)過點W，則2si“2x^+、|=2Wsin^+Qp,

因時<(,故(+<=(，解得夕='，故/(x)=2sin(2x+■).

對于B,當(dāng)x=-』兀時,2%+二=」，此時函數(shù)取得最小值，故B正確；

1232

對于C，dxT1=2si“2x*+￡j=-2sin2x,是奇函數(shù)，故C錯誤；

對于D,將函數(shù)/(%)=2sin^2x+^圖象上所有點的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?倍,

將得到函數(shù)y=2sin\的圖象，故D正確.

故選:ABD.

10.答案：ABD

解析：由an+l+-=0,q=1,兩邊同除anan+l,

得:工+2——=0,BP—-------=2,J1—=1,

aa

44+1n+ln?1

所以J_是公差為2,首項為1的等差數(shù)列,

所以，=l+（〃一l）x2=2〃一1,所以貝U可知C錯誤；

4〃2〃一1

1hp+i

因為匕=3%-32n-19b〃+i=32〃+:所以=3?=9，且4=3，

'j_、

所以3工是等比數(shù)歹U,則可知A正確；

對于B:--2n-l,Cn」(1+3+5+…+2〃_1)」“0+2〃T):“,

annn2

故數(shù)列｛%｝為等差數(shù)列,則可知B正確；

對于口:l+工+工+…+^—=1+3+5++(4“—3)=(1+4“―3)(2〃T)

4?2。3a2n-\2

2勿一1

=(2〃—1)2=——，則可知D正確.

an

故選:ABD.

11.答案：ACD

解析：對于A:當(dāng)q=1時,/(x)=2x3+3x2+b,f(x)=6x2+6x=6x(x+1),

由/'(x)=6x(x+l)>0,可得尤>0或％<—1,

由/'(%)=6尤(尤+1)<0,可得一l<x<0，

所以/(x)=2d+3/+匕的增區(qū)間為(-oo,-l)和(0,+oo卜減區(qū)間為(-1,0),

所以/(x)在x=-1處取到極大值，在x=0處取到極小值，

若/(x)有三個零點，則|f>°解得-1<。<0,故正確；

對于B:當(dāng)％￡(0,兀),0<sinx?l，O<sin2xKl，同時sin%之sin?%,結(jié)合A函數(shù)的單調(diào)性得

/(sinx)>/^sin2x),故錯誤；

對于

C:/(x-1)+/(-%)

=2Q(九一Ip+3Q(尤—I)2+(a—1)(%—1)+Z?+2^z(—x)3+3tz(—x)2+(tz—1)(—x)-\-b-2Z?+1,故正

確；

對于D:若/(x)=a%3+加+c%+dJ(x)=3ax2+2bx+c,

由“%）=/（%），得一片）+6儲一片）+c（為一%o）=。，

則+玉%0+x：）+Z?（xl+xo）+c=O,

其中c=-3ax1-26%代入，得a（x；+毛/。+%：）+/?（玉+xo）-3axg—2bx0=0,

整理得+為/0-2%：）+〃（玉—/o）=O,即—九0）（再+2%o）+/?（%—%）=（）,

結(jié)合題設(shè)。（再一/）］%+2%0+。］=0=＞再+2x0=_2=_。,故正確，

Ia）a2

故選:ACD

12.答案：3又2"1或3、（-3尸

解析：設(shè)等比數(shù)列｛%｝的公比為以

因為Q］=3,%+/=18,

所以%+392=18，解得q=-3,或q=2,

當(dāng)q=—3時,%=3x（—3）“T；

當(dāng)4=2時,4=3X2〃T.

故答案為：3X2〃T或3X（-3尸

13.答案：3直

解析：a?+〃一/="sinC，即2他cosC=a/?sinC,「.tanC=2,

「sinC

tanC=------=2f2有

cosCsinC=-----

由《225

sinC+cosC=1,解得,/T

v5

sinC>0cosrC=——

15

acos5+加inA=c,由正弦定理得

sinAcosB+sinAsin5=sinC=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB,

sinAsinB=cosAsinB?

0<B<7i,sinB>0tanA=L0<A<TI^.A=—,

4

=^（cosCsinC）=^.

/.sinB=sin（A+C）=sin:+c+

3廂

由正弦定理得上=3,得6=竺電0=理X-----------

=3亞.

sinBsinAsinA也

~2~

故答案為:30.

14.答案：a>e

解析：當(dāng)。=0時,/(x)=e，(x>0>無零點;

當(dāng)a<0時,/(x)=e*-a-alnx在(0,+co)上單增,/(%)至多一個零點，不合題意;

設(shè)g⑺=卜工-人(尤)=film-,

當(dāng)0<aWe時,g(x)與/心)的圖象大致如圖1所示,

當(dāng)尤21時/(%)=e*-a-alnx,尸(x)=e*-，在(1,+oo)單調(diào)遞增,/,(x)>/,(l)=e-a>0,

X

則“力在a,y)上單增,/(X)2/⑴=e-a?0,故"尤)至多一個零點，不合題意;

當(dāng)a〉e時,g(%)與/z(x)的圖象大致如圖2所示，此時顯然有兩個交點，

故/(%)有兩個零點;綜上,a〉e,

故答案為：a>e

15.答案：(1)-

4

⑵16叵+8有

一3

解析：(1)在△ABD中,AB=AD=4，A=2^，則NAD3=二，

36

BD=2ADcosZADB=2x4xcos—=4百,

在△5。中'由正弦定理得一而=黑

E>人■「6sin一0

?/DMBCsinC33.

sinNBDC=----------=---=一

BD4V34

（2）在和ABCD中,由余弦定理得

BD2=AB?+AD--2AB?ADcosA=4?+4?—2x4x4xcosA=32—32cosA，

BD2=CB2+CD2-2CBC￡>COSC=62+22-2X6X2XCOSC=40-24COSC，

1

得4cosA-3cosc=一1,又cosA=3cosC,得cosA=-一,cosC=—

39

則sinA=半,sinC二警,

四邊形A3CD的面積S=S初"+SE”=LAB-AD-sinA+LcB-CD-sinC

_ADL）.BLD22

1,“2后，1vc16A/2+8A/5

23293

16.答案：（1）4="（,）

（2）見解析

解析：（1）,Oy=1,Sj=Oy=1=1,

又之是公差為』的等差數(shù)列，

laJ3

.工1+%_1）=".S—（〃+2”“

冊3、）3■』-3

二當(dāng)時,S“T=（"+；""T，

..%二?-dn-l=~~，

整理得：（〃一1M=（〃+l）%T，

即上J〃+1

a?-ln-l

/.an=qx」x=x...x-^-x—^~

a\?an-2an-\

134nn+ln(n+l)

=lx—X—X...X-----X-----=--------

I2n—2n—l2

顯然對于"=l也成立，

??.{4}的通項公式。="(;1);

2

(2)—==2|---—

\nH+1

111

/.——十—+<2

2n+v

17.答案:⑴A=f

(2)(473,8]

解析：(1)因為tan3+tanC+G=Q，所以tanB+tanC+G=^tanBtanC，

tanBtanC

所以tan3+tanC=g(tanBtanC-1),從而詈?震二一G'

即tan(B+C)=—君,

所以tanA="因為Aw（。,兀），所以A=5.

（2）因為q=4,A=C，由正弦定理，有上c_a_8石

3sinBsinCsinA3

所以

b="inB，

3

c=^sinC=^sin(^-B)

33I3J

所以6+c=4百sin5+4cos3=8sin[_B+￡

又因為△ABC為銳角三角形,

0<B<-

2

所以，即烏<3〈二,所以二<3+四〈生,

0<0-5<烏62363

32

11

所以~~<s,(8+￡)<1,從而b+c的取值范圍為(46,8].

18.答案：(1)x—4y+81n2—3=0；

(2)答案見解析

(3)證明見解析

解析：⑴r(x)=-^，r(3)=|,

又/(3)=ln4=21n2,

故產(chǎn)/⑴在x=3處的切線方程為y-21n2=[(x-3),

即x—4y+81n2—3=0；

(2)/(x)=x—0-+=X一色-(?+1)111%,定義域為(0,+00),

2

zAaa+1x~(a+l)x+a(x-l)(x-a)

卜(x)=l+=------=--------；-------=-------j-----5

XXX"X

當(dāng)。40時,令尸(力>0得兀>1,令尸(“<0得0<%<1,

故歹(力在(0,1)上單調(diào)遞減，在(l,+oo)上單調(diào)遞增；

當(dāng)0<。<1時，令尸(1)>0得0<%<。或%>1,令F'(x)<0Wa<x<l,

故廠(％)在(0,a)和(1,+8)上單調(diào)遞增，在儂1)上單調(diào)遞減；

當(dāng)a=1時,/力=(%-2丁>0恒成立，故F(x)在(0,轉(zhuǎn))上單調(diào)遞增；

當(dāng)a>1時，令F'(%)>0得0<%<1或x>a，令F'(x)<0得l<x<a,

故廠(％)在(0,1)和(a,+oo)上單調(diào)遞增，在(1,a)上單調(diào)遞減；

綜上，當(dāng)aW0時，/(％)在(0,1)上單調(diào)遞減，在(1,內(nèi))上單調(diào)遞增；

當(dāng)0<a<l時,歹(%)在(0,a)和(1,+°°)上單調(diào)遞增在上單調(diào)遞減；

當(dāng)a=1時,網(wǎng)力在(0,轉(zhuǎn))上單調(diào)遞增.

當(dāng)a>1時，/％）在（0,1）和（。,轉(zhuǎn)）上單調(diào)遞增，在（l,a）上單調(diào)遞減;

（3）證明:函數(shù)8（%）=（》+1）1?1+^-，2+工：

函數(shù)g（x）的定義域為（―00,—l）U（0,+OO）.

若存在辦使得曲線y=g（X）關(guān)于直線X=相對稱，

貝U（0,+8）關(guān)于直線x=m對稱,所以相

由g(-l-x)=(-x)ln1+土I

1x12x+l1x+112x+lx+1]x+12x+l

=-xln--------In--------=xln---------In--------(l+x)ln--------In------

x+1x+1xx+1xxx+1

人%+l[2元+1

=(l+x)ln--------In-=---g--(-x-).