河北省2024-2025學(xué)年高三年級上冊11月階段調(diào)研檢測二 數(shù)學(xué)試題（含答案）

河北省2025屆高三年級11月階段調(diào)研檢測二

數(shù)學(xué)

本試卷共4頁，滿分150分，考試用時120分鐘。

注意事項(xiàng)：

1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上。

2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑。如需

改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號?；卮鸱沁x擇題時，將答案寫在答題卡上。寫

在本試卷上無效。

3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)

是符合題目要求的。

1.已知全集U=ZU8=’CNN—IOXWO},2門@8）={1,3,5,7},則集合8=（）

A.{2,4,6,8}B.{2,4,6,8,9,10}

C.{0,2,4,6,8,10}D.{0,2,4,6,8,9,10}

2.函數(shù)j=Jig（、一1）的定義域?yàn)椋ǎ?/p>

A.>1}B.卜卜>2}C.卜年>10}D.卜卜>11J

3.若事件Z,8發(fā)生的概率分別為0（N）,P⑻,（P（Z）〉O,P（8）〉O）,貝廣尸（以Z）=尸（5）”是

“尸（削B）二尸（4）”的（）條件

A.充分不必要B.必要不充分

C.充分且必要D.既不充分又不必要

4.球。是棱長為1的正方體的外接球，則球。的內(nèi)接正四面體體積為（）

1V61V6

A.-B.-----C.一D.——

2634

5.某同學(xué)擲一枚正方體骰子5次，記錄每次骰子出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)，統(tǒng)計(jì)出結(jié)果的平均數(shù)為2,方差為0.4,可判

斷這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)為（）

A.1B.2C.3D.4

>0,且」-+Li,

6.已知x>1,y則4x+y的最小值為（）

x—ly

15+5后

A.13B.---------C.14D.9+V65

2

7.已知函數(shù)/(x)的定義域?yàn)镽,且/(2x+l)為奇函數(shù)，/(2x+4)=/(2x),則一定正確的是()

A./(x)的周期為213./&)圖象關(guān)于直線》=1對稱

C./Q+1)為偶函數(shù)D./(x+3)為奇函數(shù)

8.已知函數(shù)/(x)=2sin］⑺—智(0〉0)在區(qū)間［,兀］上有且僅有一個零點(diǎn),當(dāng)0最大時/(x)在區(qū)間

［-100匹100兀］上的零點(diǎn)個數(shù)為()

A.466B.467C.932D.933

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題

目要求。全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分。

8&6

9.^r(2x-1)=asx+a.jX+a6xH-1-a2x~+a1x+a0,貝U()

A.a。—1B.\——8

C.%+出+%+…+%+%=°D.%一出+。3—。4+,,+%—。8=—6561

10.已知平面內(nèi)點(diǎn)2(—1,0),8(1,0),點(diǎn)尸為該平面內(nèi)一動點(diǎn)，則()

人.|丑目+|尸目=4,點(diǎn)尸的軌跡為橢圓=點(diǎn)尸的軌跡為雙曲線

C.|R4|?忸用=1,點(diǎn)尸的軌跡為拋物線D.g3=2,點(diǎn)尸的軌跡為圓

1111\PB\

11.如圖，圓錐S。的底面直徑和母線長均為6,其軸截面為△S48,C為底面半圓弧48上一點(diǎn)，且

AC=2CB,SM=ASC,而=〃陽0<4<1,0<〃<1),貝I()

A.當(dāng)4=!時，直線與8c所成角的余弦值為巫

220

B.當(dāng)幾=〃=,時，四面體"MN的體積為28

21

C.當(dāng)〃且〃面ONC時，2=-

4

D.當(dāng)時，2=-

7

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。

22

12.雙曲線C：%=1（?！?力〉0）的左焦點(diǎn)為尸，右頂點(diǎn)為8,點(diǎn)尸到漸近線的距離是點(diǎn)5到漸

近線距離的2倍，則C的離心率為.

13.已知數(shù)列｛%｝滿足%=（-1）"（2〃-1）,其前100項(xiàng)中某項(xiàng)正負(fù)號寫錯，得前100項(xiàng)和為-50,則寫錯

的是數(shù)列中第項(xiàng).

14.如右圖所示，△4BC中，D,E是線段5c的三等分點(diǎn)，尸是線段/C的中點(diǎn)，BF與4D,AE分

別交于N,則平面向量而用向量而，而表示為.

四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

15.（13分）在△43。中，角4,B,C所對的邊分別為a,b,c,2a1-2b1=2cacosB-be.

（1）求角4的大小；

（2）若b+c=5,△NBC的面積為白8,求△ZBC的周長.

2

16.（15分）如圖，在四棱錐S—48CD中，底面48CD為直角梯形，AD//BC,AD1AB,

AD=AB=2BC,ASAB為等邊三角形且垂直于底面ABCD.

（1）求證：SDVAC-,

（2）求平面S5C與平面SQC夾角的正弦值.

17.（15分）已知函數(shù)/（x）=xlnx+L+ax（a￡R）?

x

（1）當(dāng)4=1時，求/（X）的圖象在點(diǎn)（1,2）處的切線方程;

（2）當(dāng)。=0時，求/（x）的單調(diào)區(qū)間；

（3）若函數(shù)H（x）=x/（x）-j+21iu單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

22萬

18.（17分）橢圓C：++%=l（a〉b〉O）左右頂點(diǎn)分別為Z,B,且|48|=4,離心率e=]-

（1）求橢圓C的方程；

（2）直線/與拋物線/=4x相切，且與。相交于〃、N兩點(diǎn)，求△?V3面積的最大值.

19.（17分）（1）在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)解方程/=1；

（2）設(shè)Z]CC,Z2dC且Z2W0,證明：色=旦；

（3）設(shè)復(fù)數(shù)數(shù)列匕,｝滿足：㈤=1,且對任意正整數(shù)〃，均有42〉]+22"2,川+2；=0.證明：對任意正

偶數(shù)機(jī)，均有匕1+與+…+zj<2]3.

河北省2025屆高三年級11月階段調(diào)研檢

測數(shù)學(xué)參考答案與解析

1.【答案】D2,【答案】B3.【答案】C

4.【答案】C

【解析】因?yàn)檎拿骟w可以補(bǔ)形為正方體，可知右圖中正四面體和正方體有同一外接球，正方體棱長為

I,則體積為1,可得正四面體體積為正方體體積去掉四個角上的四面體體積，即1-4x^=1故選C.

【解析】不妨設(shè)五個點(diǎn)數(shù)為石3V》44天，由題意平均數(shù)為2,方差為0.4,

=

知（X]—2）一+—2）~+（玉—2）~+（》4—2）~+（%—2）~=2.西+x?+遍++/10.

可知五次的點(diǎn)數(shù)中最大點(diǎn)數(shù)不可能為4,5,6.

五個點(diǎn)也不可能都是2,則五個點(diǎn)數(shù)情況可能是3,3,2,1,1,其方差為

（3-2）2+（3-2）2+（2-2）2+（1-2）2+（1—2）24

=—=0.8,不合題意.

55

若五個點(diǎn)數(shù)情況為3,2,2,2,1,其方差為

（3—2丫+（2-2）2+（2—2）2+（2—2丫+（1—2）22

i———————_L±.4,符合題意，其眾數(shù)為2.

5=5=O

故選B.

6.【答案】A

【解析】vx>1,—1〉0,又〉〉0,且，+工=1,

x-1J

rii）了?4（i）

4x+y=4（x-l）+y+4=[4（x-l）+y]——+-+4=9+

（Iy）X-1y

當(dāng)且僅當(dāng)上=4(xT),解得x=*,y=3時等號成立，故4x+y的最小值為13.故選A.

x-1y2

7.【答案】D

【解析】/(2x+l)為奇函數(shù)，得/(2x+l)+/(—2x+l)=0,即/(x+l)+/(—x+l)=0,

則/(x+1)為奇函數(shù)，故C錯誤；

且/(x)圖象關(guān)于點(diǎn)(1,0)中心對稱，故B錯誤；

/(2x+4)=/(2x)可知，函數(shù)/(x)周期為4,故A錯誤；

f(x)=f(x+4),又C(x)圖象關(guān)于點(diǎn)(1,0)中心對稱,知/(x)=-/(2-x),

所以/(x+4)=—/(2—x),得/(x)關(guān)于點(diǎn)(3,0)對稱，則/(x+3)關(guān)于點(diǎn)(0,0)對稱，

所以/(x+3)為奇函數(shù)，故D正確.故選D.

8.【答案】B

【解析】【法一】由題意，函數(shù)/(x)=2sin(ox—四］(0〉0),可得函數(shù)的周期為7=0,

V3;①

兀g兀兀兀

因?yàn)閄G,71,可得GX----G----------,?！?/p>

33333

又由函數(shù)y=2sin［＜z＞x—］）（0〉0）在區(qū)間兀上有且僅有一個零點(diǎn),

（/左7一1、）兀/??--兀--兀---〈析7八k-\<---<k

'"aa2TI7i33

且滿足33,且兀—士，可得GV3,即4且3,

兀（o3,1，，

左兀＜G兀一］-（左+1）兀k<co——Vk+1

3

2

-1,<,0------1-<0C——<a)<\

333

當(dāng)左=0時，\，解得《,所以一＜。＜1；

143

0<a)--<1

3133

八，

0<-0-----1<1,l<(y<4

33一47

當(dāng)左=1時，＜,解得《47，所以一<①?一；

,1--<^<-33

\<CD——<2133

3

4<(y<7

3；解得<

當(dāng)左=2時，＜,710，此時解集為空集,

—<a><—

2<a>——<3133

3

綜上可得,實(shí)數(shù)。的取值范圍為IJ"

77兀

所以§,得/(x)=2sin—x—

Imax33

7兀

f(x)=2sin—X—=Gn：x—^=kn(keZ)解得x=+左eZ)

33

令-100小西+為100兀=>-100-L迎]_

777773333

-701699

〈左〈也=233,共有467個零點(diǎn).故選B.

33

2兀

【法二】由題意，函數(shù)/（x）=2sin(DX——j(J2)〉。),可得函數(shù)的周期為了二」

3

兀G兀兀兀

因?yàn)?可設(shè)％=@x——,貝he--------,①71----

3333

又函數(shù)y=2sinox—/（?！?）在區(qū)間方,兀上有且僅有一個零點(diǎn),

27r7L71<?）jr7T2冗

‘2兀—'可得0<oV3,所以—‘<竺—則由y=2siW圖象性質(zhì),

。33333

?！∕兀C

——<-----<00<ty<1

333

可知＜,得《14，即一<g<1.

?！?lt;a）<—3

0<am——<兀133

3

八〃m兀2兀

0<-----<——1<?<3

333,得.47

或者＜47，即一<0V—.

兀JC—<a）<—33

71〈①71——?2兀133

3

7

所以外最大為得/(x)=2sin

=0ngx—1=A7i（《￡Z）,解得x=^^+]（左￡Z）.

令TOO叱停+牙002一100一；吟*100一齊卷工*〈100x7]_

33

-701699

共有467個零點(diǎn).故選B.

33

9.【答案】AC

【解析】令x=0,則(0—1)8=%=1,故A正確;

35

由二項(xiàng)式定理a3x=Cl（2x）3（-1）=—448/,則/=-448,故B錯誤;

令X=1,貝!J（2—1）'=/+%+&+--F?+。1+口0=1，

貝!Jq+。2+/+…+%+。8=0，故C正確;

令X=-1,則(—2-I)=。8—。7+。6,+。2—"1+。0=6561,又。0=1,

所以。8—%+牝----F?—4=6560，得力—外+%—%"I—,+%一1—6560，故D錯誤.

故選AC.

10.【答案】AD

【解析】由橢圓的定義知A正確；

線段ZW的長度與線段8/的長度的差為1＜|46|=2,則M的軌跡應(yīng)為雙曲線靠近8點(diǎn)的一支，故B

錯誤；

2

設(shè)點(diǎn)P(x,y),由|尸聞-\PB\=1得J(x+lC+).^(x-l)+/=1,

整理得(X2+2X+1+J2)(X2-2X+1+/)=1,即x4+/+2x2y2-2x2+2/=0,

當(dāng)y=0時，x4-2x2=0,得x=0或x=±V2,

故曲線與x軸有三個交點(diǎn)，軌跡不為拋物線，故C錯誤;

由四-

由阿一=2,整理得

216

+v=—

-9

即軌跡是以為圓心，g為半徑的圓，故D正確.故選AD.

11.【答案】ACD

【解析】由題意可知是邊長為6的等邊三角形，SA=SB=SC,NC=3百，BC=3.

2=:時，M為SC的中點(diǎn)，取〃=!■得"乂〃5C,/ZW為直線與5c所成角或其補(bǔ)角,

又/〃=士叵，AN=36MN=—=~.^\cosZAMN=~幺一=亞，故A正確；

222.3V10320

2x-------x—

22

在Rt^ZBC中，AB=6,BC=3,得5人彳叱=Lx3x3G=^，

ZA/IDC22

1Q/T

SOV^ABC,且5。=36，則四面體￡45C的體積為—X±X3G='.

322

2=//=-,/為SC的中點(diǎn)，N為S3的中點(diǎn)，故四面體體積為四面體￡48。體積的四分之一,

2

27

得四面體”"N體積為,，故B錯誤；

8

對于CD選項(xiàng)：

2

【法一】當(dāng)〃=—時，取SN的中點(diǎn)尸，則4P〃ON,

3

過尸作W〃CN交SC于/,

此時M為SC的中點(diǎn)，所以面4PW〃面ONC,

得幺M〃面ONC,所以4=工，故C正確；

2

當(dāng)〃=；時，AN工SB,

在面SC8內(nèi)過N作；WJ_S8交SC于M,

ss

則S3上面MW,AMu面AMN,

故此時得到的AM±SB,

△SCB中，SC=SB=2CB=6,

7

由余弦定理得cosNCS8=—,SN=NB=3,ZSNM=9Q°,

8

24

24V4

得S"=一，則幾='=—,故D正確.故選ACD.

767

【法二】則以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，過點(diǎn)。與48垂直的直線為x軸，分別以。5、0s所在直線為y軸和z軸

建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，由題意得

50,0,36)，幺(0,-3,0),5(0,3,0),C也,。,0

(22

SB=(0,3,-3^ySC=^,-,-3A/3,

(22?

SM=ASC,而=〃豆(0<4<1,0<〃<1)

對于C,//=|,則而=?2—26)，ON=OS+SN=(0,2,s/3y

設(shè)平面ONC的一個法向量為〃=(x/,z),

2y+出z=0

nON-0

可取后-)

則_____.KL+J1=6,2

n-OC=0

122'

(aha\

ZM〃面ONC時，得加G=0,^y-2,j2+3,3V3-3V32-(-I,A-2)=0

解得4=故C正確.

2

對于D,麗=0,3,—36),

速2士+3,3百

AM=AS+SM

22

由NWSB得，［浮4^/1+3,36—36/1.(0,3,-373)=0,X.故D正確.

故選ACD.

12.【答案】2

13.【答案】38

【解析】an=(-1)"(2〃—1),則其前100項(xiàng)和為

-1+3-5+7-9+11-…+195-197+199=(-1+3)+(-5+7)+(-9+11)+…+(-197+199)

=2x50=100

某項(xiàng)正負(fù)號寫錯后得前100項(xiàng)和為-50,說明某正項(xiàng)寫成了負(fù)數(shù)，又100-(-50)=150,150+2=75,

故寫錯的數(shù)為75,令%=(-1)"(2〃—1)=75,解得〃=38.故寫錯的是數(shù)列中第38項(xiàng).

14.【答案】—C4-—C5

2010

【解析】【法一】AD與BF交于M,可設(shè)G^ux詆+yEln^MX詆+Zy^nx+ZyMl,

CM=xCB+yCA=>CM=^xCD+yCA^^x+2y=\

解得x=！，y=~,得兩=」赤+」池.

2.424

—?1—■2—?

同理得CN=—C8+—CZ,

55

——?—■——■(1—-2—(1—■1—3—■3—■

所以ACV=CN—CM=-CB+-CA--CB+-CA\=—CA——CB.

(55八24J2010

【法二】過點(diǎn)￡作EG〃AF交NC于點(diǎn)G,

A

BE_FG4F_3_AN

拓—1一充=而一萬一而，

得/N=。仁赤赤-3而，

5(3J55

同理過點(diǎn)D作BF的平行線可得，

——?3—?3(2—■—1—■3—■

AM=-AD=-\-CB-CA\=-CB——CA,

44(3)24

M—而=匹—河—[埼―河二薩一舒.

【法三】設(shè)彳耳=幾近，BN=/JBF,則強(qiáng)+新=麗，得詼+4施=〃而，

又因?yàn)榇?瓦—瓦I=—反—豆2,BF=-BC+-BA,

322

所以詼+力［24—第］=〃［工元+工詼］n(l_4)詼+"前=幺元+幺詼.

(3)y22)322

故i—4=幺，—=^,解得4=3,〃=3,

23255

—■3—?38一?—1—■3—?

則ZN=—ZE=--CB-CA\=-CB——CA.

55(3J55

同理可得而=3詬=3(2赤—0]=工赤―。池,

44(3)24

MN^AN-AM=[-CB--ci\A-CB--ci\=—CA--CB-

(55八24J2010

【法四】特殊三角形法

設(shè)△48C是底為12,高為2的等腰三角形建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系,

得4(0,2),3(-6,0),C(6,0),Z)(-2,0),￡(2,0),F(3,l),

12

得直線/Z)：y=x-1-2jAE：y——x+2,BF：jv=—x+—>

31_64

解得〃，N

252555

CA=(-6,2),赤=(-12,0),

273

=(-62,22)+(-12//,0),

lo'To

33—?3—?3—?

解得幾=一，〃=—一，所以"?V=——C4——CB.

20102010

15.解：(1)，：2a"-2/=2cacosB-be,由余弦定理得，2G?—/)=<?+/-/—be,

b~+c~—a-=be，

b1+c2-a1

cosA

2bc2

又/e(0,兀),

,兀

A——

3

(2)因?yàn)椤鱖BC的面積為主2,即，bcsiiL4=Lxbxcxsin^=吏,

22232

be=6.

由余弦定理得/=b2+c~-2bccosA=b~+c~-be=0+c)~-3bc=25-18=7.

解得a=y/l.

所以△48C周長為5+J7.

16.解：（1）【法一】證明：如圖所示，取Z8中點(diǎn)。，△“B為等邊三角形，.,.S0LZ5,

又?.?面￡45垂直于底面Z8CD,交線為AB,

得S。，面45CQ,

又NCu面ABCD^SO±AC.

底面Z5CD為直角梯形，AD//BC,AD=AB=2BC,

AD=AB,AO=BC,ADAO=AABC=90°,

所以△四。注ABC,ZBAC=ZADO,ZADO+ZAOD=90°,

所以N5ZC+NZOD=90°,得。QLZC,

又SOnOQ=O,得ZC，面SO。，Mu面SO。，所以⑼，ZC.

【法二】取45中點(diǎn)。，為等邊三角形且垂直于底面，交線為4B,

則S0LZ5,得5。_1_面45cD,

又因?yàn)锳D〃8C,ADLAB,AD=AB=2BC,

可設(shè)AB=2,

則以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，過點(diǎn)。與5c平行的直線為y軸，分別以05、S。所在直線為x軸和2軸建立如圖

所示的空間直角坐標(biāo)系，

得S(6,0,G),2(—1,0,0),C(1,1,0),￡>(-1,2,0)

得％=(2,1,0),麗=《12-G),

所以k?麗=(2,l,0>Gl,2,—G)=—2+2=0,

得smzc.

(2)【法一】由(1)知5。，面48。。，

不妨設(shè)AD=AB=2BC=2,則SO=K，

以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，過點(diǎn)。與5c平行的直線為y軸，分別以08、S。所在直線為x軸和z軸建立如圖所

示的空間直角坐標(biāo)系，

得S(b,O,G),5(1,0,0),C(1,1,0),￡>(-1,2,0)

豆=1,0,-G),女=0,1,-G),麗=6,2,_灼；

設(shè)平面SBC的一個法向量為n=（x,y,z）,

n-SB=0x-Cz=0

則_____

n-SC=0x+y-Gz=0

可取〃=G，o,G）；

設(shè)平面SC。的一個法向量為機(jī)=（七,H/］）,

m-SC=0fx+v,-#>Z1=0

則_____.，即?/*

m-SD=0-X]+2%一J3Z1=0

可取機(jī)=(1,2,V3).

設(shè)平面SBC與平面SDC夾角為9,

m-n3xl+V3xV3_V6

則cos6^=cos(m,7/

V9+3-V1+4+3-4

所以平面SBC與平面SDC夾角的正弦值為叵

4

【法二】不妨設(shè)AD=AB=2BC=2,

ASAB為等邊三角形且垂直于底面ABCD,交線為48,

底面Z5CD為直角梯形，AD//BC,ADLAB,

所以ZQ_L面￡48,

又AD〃BC,得5CL面￡48,

8Cu面S5C,得面S5CJ_面￡48,交線為S3,

取S3的中點(diǎn)。，則Z0LS5,

等邊△“B邊長為2,則2。=百,

AD//BC,則AD〃面S8C,

則。點(diǎn)到面SBC的距離等于Z點(diǎn)到面SBC的距離為V3,

因?yàn)槊妗?5,面￡48,ASAD,△SBC均為直角三角形，AD=AB=2BC=2,

得SD=2后,SC=45,CD=M.

/7

作QELSC,可得￡>￡=￥2■

V5

V3

所以平面SBC與平面SDC夾角的正弦值為TVio

2瓜—4-

~JT

17.解：(1)當(dāng)Q=1時，函數(shù)/(x)=xlnxH----FX(X〉0),

X

得r(x)=hu+2—4,則/(1)=1,

X

所以/(%)的圖象在點(diǎn)(1,2)處的切線方程為y=x+L

(2)因?yàn)楫?dāng)〃=0時，f(x)=xlnx+—(x>0),

x

ii7

/"(x)=lru+1--,f,,(x)>=—+—>0.

所以/'(x)=liu+1—4在(0,+s)上單調(diào)遞增，又廣⑴=o,

X

故當(dāng)XG(0,1)時，/'(%)<0,/(X)單調(diào)遞減，

當(dāng)xe(l,+oo)時，/'(x)〉0,/(x)單調(diào)遞增,

綜上所述：/(x)單調(diào)遞減區(qū)間為(0,1),單調(diào)遞增區(qū)間為(1,+8).

(3)由f(x)=xlnx+—+6zx,且H(x)=xf(x)-^-+21nx,

2

得7/(x)=xxlnxdax--+21nx=x2lnx+ax2--+21nx+l單調(diào)遞增,

2

所以〃'(x)20在(0,+8)上恒成立,

又H'(x)=2xlnx+x+2ax-x+—=2xlnx+2ax+—

xx

2

由題意H'(x)20恒成立，得2xlnx+2ax+—20,

即xlnxH---Fax20恒成立，得axN-xlwc——=>a>-Inx——-恒成立,

XXX

設(shè)800=_血T，得g'(x)=一+—=—

XXXX

X（0,V2）V23^+00)

g'(x)+0—

g(x)/極大值—In—

2

所以當(dāng)x=/時，8^最大為—必行—^.

所以。2-Ira--1恒成立，得。2-111后—1.

%22

yI-1

綜上，若函數(shù)8（x）=x/（x）-j+21IU單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為-In后--,+00

18.解：（1）由題意[4§|=4,得2。=4,a=2.

又。的離心率為得二=交，所以。=也，

2a2

則62=/_02=4_2=2,

22

得橢圓。的方程為土+匕=1.

42

（2）【法一】由題意當(dāng)直線/斜率不存在時，直線/方程為x=0,

易得=止匕時S4MNB=；義2逝義2=2e.

當(dāng)直線/斜率存在時，方程可設(shè)為y=fcc+7〃，與拋物線/=4x聯(lián)立得

（kx+m）2=4xnk2x2+2kmx+m2=4x

整理得k2x2+（2km-4）x+m2=0

由A=（2km-4）2-4k2m2=0=km=1.

y=kx+m

聯(lián)立<%2,2,得（1+2左2）%2+4.x+2加2_4=0,又km=l,

U2

整理得（1+2左2）/+4x+2m2—4=0

J.A=16-4（l+2F）（2m2-4）>0^4^2-m2>-2^4F—^>-2

得左2〉亙11

4

-42m-4

設(shè)N(X2，%)，則石+5=]+2左2'取2=1+2左2

-4|2,2m2-42m2-4)(1+2k2)

得的|?-1+2/

1+2左2(1+2左2]

2—朋2+442

=J1+左2

(1+2左21

又點(diǎn)B到直線y=kx+m距離為嚴(yán)十可,

\1+k?

2左2-m2+4左2)(2左+加)~

2-m+42\2k+m\=行

(1+2左21J1+左2(1+2左2j

：2—機(jī)2+4左2)(4左2+4+機(jī)2)24左2+8—2切2—?/+16左4

=66

(1+2左21(1+2左2j

8(2左4+3左2+1)_2F+18(2左2+1)&+])2F+1

=叵左4=叵k4

(1+2左2](1+2F)2

86+l)T

8左6+8左,一I68左6+8左4_1

=6

1+2左2左40+2左2)―7V2二+k4

3^^"+4左4」

2左6+左4

I

由二次函數(shù)性質(zhì)知當(dāng)正=1（滿足左2〉、—）時,

、/5，-g+g+4取得最大值為,

綜上所述，得△跖V3的面積的最大值為而.

【法二】由題意知直線/斜率不為0,故方程可設(shè)為》=叩+〃,

與拋物線y2=4x聯(lián)立得y2=4my+4n=>y2-4my-4〃=0,

直線/與拋物線相切得A=（4m）2+16〃=加2+〃=0,

x=my+n

聯(lián)立<2,得（川+2?2+2加町+“2_4=0,

142

且A=4m2n2-4（m1+2）（〃？-4）〉o=>-n2+2m2+4>0.

設(shè)N（“2）

-2mnn2-4

則%+%=

m2+2y^2=m2+2

又％=叩+〃與％軸交于點(diǎn)（〃,0）,

11/-------2-----------

則SAWB=51〃—2|X|弘一%|=51〃—2|J（%+%）~—4%%

|^-2|\（-Imn//—4

24m2+2-4——

m2+2

又加2+〃=0,

S^MNB=A/2|?-2|j<4=72yj-n2-2n+A=^^-(?+1)2+5,

V(f+2)

當(dāng)〃=一1(此時機(jī)2=1,符合—/+2機(jī)2+4〉。)時，國—(“+1)2+5取得最大值為麗

綜上所述，得△跖V3的面積的最大值為麗.

【法三】由題意可設(shè)直線/的切點(diǎn)為(為,%)，

則切線方程為y()y=2x+2%

當(dāng)切點(diǎn)為原點(diǎn)時，易得S&NB=LX2血乂2=2血

LX1MV11ND2

當(dāng)切點(diǎn)不是原點(diǎn)時，聯(lián)立<了+與=1^X2+2(2X+2X°]-4=0

y0y=2x+2x0I%J

2

整理得(x0+2)x+4xx0+2x1-4x0=0

A=16XQ-4(x0+2)(2x：-4%)〉0,得0<%<1+后

設(shè)〃(X[,%),N@2，%)

._4xn2%—4%

貝IJ陽+%2=---------—，項(xiàng)'2

%o+2-%+2

彳2片-4/=ll+x0巧；_4(2丁_4%)(/+2)

得物|二

%+2yxoyGo+2)2

又點(diǎn)、B到直線為y=2x+2x0距離為,

J4+y；Jl+x0

血卜Xo卜X。(x；-2/-4)曷+21_6宙_2/_4)(%+2y

c

"AMNB22

N%N(x0+2)V(x0+2)

當(dāng)/=1時(滿足0<%<1+后)，面積最大5^“后=麗?

綜上所述，得△跖V3的面積