備戰(zhàn)中考數(shù)學真題題源解密突破03函數(shù)問題過程性學習探究型含答案及解析

重難點突破突破03函數(shù)問題過程性學習探究型函數(shù)過程性學習是一種以學生為中心設計執(zhí)行函數(shù)過程性學習方法．函數(shù)過程性學習要求學生從真實世界的基本問題出發(fā)，圍繞復雜的、來自真實情境的主題，在精心設計任務、活動的基礎上，以小組方式進行開放性探究，并將學習結果以作品的形式表現(xiàn)出來，最終達到知識建構與自身能力提高．這個也是落實課程標準中的活動建議，函數(shù)過程性學習更能有效提高學生發(fā)現(xiàn)問題、分析問題和解決問題的能力，此類題可以是純函數(shù)性質探究，也可以結合幾何動點探究函數(shù)性質，屬于創(chuàng)新題．一．選擇題1．（2023?青海）生物興趣小組探究酒精對某種魚類的心率是否有影響，實驗得出心率與酒精濃度的關系如圖所示，下列說法正確的是（）A．酒精濃度越大，心率越高 B．酒精對這種魚類的心率沒有影響 C．當酒精濃度是10%時，心率是168次/分 D．心率與酒精濃度是反比例函數(shù)關系2．（2021?蘭州）如圖，小明探究課本“綜合與實踐”板塊“制作視力表”的相關內容：當測試距離為5m時，標準視力表中最大的“”字高度為72.7mm，當測試距離為3m時，最大的“”字高度為（）A．121.17mm B．43.62mm C．29.08mm D．4.36mm3．（2023?晉城模擬）觀察式子：，＝2×3＝6；＝，；，，由此猜想＝（a≥0，b≥0）．上述探究過程蘊含的思想方法是（）A．特殊與一般 B．整體 C．轉化 D．分類討論4．（2023?遷安市二模）如圖1和圖2是在數(shù)學課上甲組和乙組在探究用不同方法：過直線外一點P作直線l的平行線，用尺規(guī)作圖保留痕跡，關于兩組的作法下列說法正確的是（）A．甲組作法正確，乙組作法不正確 B．甲組作法不正確，乙組作法正確 C．甲組和乙組作法都不正確 D．甲組和乙組作法都正確5．（2022?百色）活動探究：我們知道，已知兩邊和其中一邊的對角對應相等的兩個三角形不一定全等．如已知△ABC中，∠A＝30°，AC＝3，∠A所對的邊為，滿足已知條件的三角形有兩個（我們發(fā)現(xiàn)其中如圖的△ABC是一個直角三角形），則滿足已知條件的三角形的第三邊長為（）A．2 B．2﹣3 C．2或 D．2或2﹣36．（2023?山西模擬）數(shù)學中，常對同一個量（圖形的面積、點的個數(shù)等）用兩種不同的方法計算，從而建立相等關系．我們把這種思想叫“算兩次”“算兩次“也稱作富比尼原理，是一種重要的數(shù)學思想．由它可以推導出很多重要的公式．如圖，兩個直角邊分別為a，b的直角三角形和一個兩條直角邊都是c的直角三角形拼成一個梯形，用“算兩次”的方法，探究a，b，c之間的數(shù)量關系，可以驗證的是（）A．勾股定理 B．平方差公式 C．完全平方公式 D．比例的性質7．（2023?金昌）如圖1，漢代初期的《淮南萬畢術》是中國古代有關物理、化學的重要文獻，書中記載了我國古代學者在科學領域做過的一些探索及成就．其中所記載的“取大鏡高懸，置水盆于其下，則見四鄰矣”，是古人利用光的反射定律改變光路的方法，即“反射光線與入射光線、法線在同一平面上；反射光線和入射光線位于法線的兩側；反射角等于入射角”．為了探清一口深井的底部情況，運用此原理，如圖在井口放置一面平面鏡可改變光路，當太陽光線AB與地面CD所成夾角∠ABC＝50°時，要使太陽光線經(jīng)反射后剛好垂直于地面射入深井底部，則需要調整平面鏡EF與地面的夾角∠EBC＝（）A．60° B．70° C．80° D．85°8．（2022?無錫）雪花、風車……展示著中心對稱的美，利用中心對稱，可以探索并證明圖形的性質．請思考在下列圖形中，是中心對稱圖形但不一定是軸對稱圖形的為（）A．扇形 B．平行四邊形 C．等邊三角形 D．矩形9．（2023?德陽）在“點燃我的夢想，數(shù)學皆有可能”數(shù)學創(chuàng)新設計活動中，“智多星”小強設計了一個數(shù)學探究活動；對依次排列的兩個整式m，n按如下規(guī)律進行操作：第1次操作后得到整式中m，n，n﹣m；第2次操作后得到整式中m，n，n﹣m，﹣m；第3次操作后……其操作規(guī)則為：每次操作增加的項，都是用上一次操作得到的最末項減去其前一項的差，小強將這個活動命名為“回頭差”游戲．則該“回頭差”游戲第2023次操作后得到的整式串各項之和是（）A．m+n B．m C．n﹣m D．2n10．（2023?東湖區(qū)校級二模）數(shù)學小組將兩塊全等的含30°角的三角尺按較長的直角邊重合的方式擺放，并通過平移對特殊四邊形進行探究．如圖1，其中∠ADB＝∠CBD＝30°，∠ABD＝∠BDC＝90°，AB＝CD＝3，將Rt△BCD沿射線DB方向平移，得到Rt△B'C'D′．分別連接AB'，DC′（如圖2所示），下列有關四邊形AB′C'D的說法正確的是（）A．先是平行四邊形，平移個單位長度后是菱形 B．先是平行四邊形，平移個單位長度后是矩形，再平移2個單位長度后是菱形 C．先是平行四邊形，平移個單位長度后是矩形，再平移3個單位長度后是正方形 D．在Rt△BCD平移的過程中，依次出現(xiàn)平行四邊形、矩形、菱形、正方形二．填空題11．（2023?福山區(qū)一模）3月28日電28日，我國首單以人民幣結算的進口液化天然氣（LNG）采購交易達成，標志著我國在油氣貿易領域的跨境人民幣結算交易探索邁出實質性一步，數(shù)據(jù)顯示，2022年上海石油天然氣交易中心天然氣雙邊交易量達到928.58億立方米．928.58億用科學記數(shù)法表示為．12．（2023?杭州）在“探索一次函數(shù)y＝kx+b的系數(shù)k，b與圖象的關系”活動中，老師給出了直角坐標系中的三個點：A（0，2），B（2，3），C（3，1）．同學們畫出了經(jīng)過這三個點中每兩個點的一次函數(shù)的圖象，并得到對應的函數(shù)表達式y(tǒng)1＝k1x+b1，y2＝k2x+b2，y3＝k3x+b3．分別計算k1+b1，k2+b2，k3+b3的值，其中最大的值等于．13．（2023?杏花嶺區(qū)校級模擬）我省積極探索保障糧食安全，做強精品糧油，始終堅持“藏糧于地、藏糧于技”戰(zhàn)略，穩(wěn)定糧食面積，提升基礎保障能力，增強科技支撐能力，牢牢把飯碗端在自己手中，某農(nóng)科所在相同條件下做某種作物種子發(fā)芽率的試驗，結果如表所示：種子個數(shù)n10001500250040008000150002000030000發(fā)芽種子個數(shù)m8991365224536447272136801816027300發(fā)芽種子頻率0.8990.9100.8980.9110.9090.9120.9080.910則該作物種子發(fā)芽的概率約為．（結果保留兩位小數(shù)）14．（2023?榆樹市校級模擬）在“探索函數(shù)y＝ax2+bx+c的系數(shù)a，b，c與圖象的關系“活動中，師給出了直角坐標系中的四個點A（0，2），B（1，0），C（3，1），D（2，3）．同學們探索了經(jīng)過這四個點中的三個點的二次函數(shù)圖象，發(fā)現(xiàn)運些圖象對應的函數(shù)表達式各不相同，其中a的最大值為．15．（2020?安徽）在數(shù)學探究活動中，敏敏進行了如下操作：如圖，將四邊形紙片ABCD沿過點A的直線折疊，使得點B落在CD上的點Q處．折痕為AP；再將△PCQ，△ADQ分別沿PQ，AQ折疊，此時點C，D落在AP上的同一點R處．請完成下列探究：（1）∠PAQ的大小為°；（2）當四邊形APCD是平行四邊形時，的值為．16．（2023?臨淄區(qū)一模）華羅庚說過：“復雜的問題要善于‘退’，足夠地‘退’，‘退’到最原始而不失重要性的地方，是學好數(shù)學的一個訣竅．”可見，復雜的問題有時要“退”到本質上去研究．如圖，已知拋物線y＝﹣x2+2x﹣1的圖象與f的圖象關于直線y＝x對稱，我們把探索線的變化規(guī)律“退”到探索點的變化規(guī)律上去研究，可以得到圖象f所對應的關于x與y的關系式為x＝﹣y2+2y﹣1．若拋物線y＝﹣x2+2x﹣1與g的圖象關于y＝﹣x對稱，則圖象g所對應的關于x與y的關系式為．17．（2022?鋼城區(qū)）利用圖形的分、和、移、補探索圖形關系，是我國傳統(tǒng)數(shù)學的一種重要方法．如圖1，BD是矩形ABCD的對角線，將△BCD分割成兩對全等的直角三角形和一個正方形，然后按圖2重新擺放，觀察兩圖，若a＝4，b＝2，則矩形ABCD的面積是．18．（2023?十堰）在某次數(shù)學探究活動中，小明將一張斜邊為4的等腰直角三角形ABC（∠A＝90°）硬紙片剪切成如圖所示的四塊（其中D，E，F(xiàn)分別AB，AC，BC的中點，G，H分別為DE，BF的中點），小明將這四塊紙片重新組合拼成四邊形（相互不重疊，不留空隙），則所能拼成的四邊形中周長的最小值為，最大值為．19．（2021?大慶）已知，如圖①，若AD是△ABC中∠BAC的內角平分線，通過證明可得＝，同理，若AE是△ABC中∠BAC的外角平分線，通過探究也有類似的性質．請你根據(jù)上述信息，求解如下問題：如圖②，在△ABC中，BD＝2，CD＝3，AD是△ABC的內角平分線，則△ABC的BC邊上的中線長l的取值范圍是．三．解答題20．（2023?廣西）【探究與證明】折紙，操作簡單，富有數(shù)學趣味，我們可以通過折紙開展數(shù)學探究，探索數(shù)學奧秘．【動手操作】如圖1，將矩形紙片ABCD對折，使AD與BC重合，展平紙片，得到折痕EF：折疊紙片，使點B落在EF上，并使折痕經(jīng)過點A，得到折痕AM，點B，E的對應點分別為B′，E′展平紙片，連接AB′，BB′，BE′．請完成：（1）觀察圖1中∠1，∠2和∠3，試猜想這三個角的大小關系；（2）證明（1）中的猜想；【類比操作】如圖2，N為矩形紙片ABCD的邊AD上的一點，連接BN，在AB上取一點P，折疊紙片，使B，P兩點重合，展平紙片，得到折痕EF；折疊紙片，使點B，P分別落在EF，BN上，得到折痕l，點B，P的對應點分別為B′，P′，展平紙片，連接BB′，P′B′．請完成：（3）證明BB′是∠NBC的一條三等分線．21．（2023?綿陽）如圖，拋物線經(jīng)過△AOD的三個頂點，其中O為原點，A（2，4），D（6，0），點F在線段AD上運動，點G在直線AD上方的拋物線上，GF∥AO，GE⊥DO于點E，交AD于點I，AH平分∠OAD，C（﹣2，﹣4），AH⊥CH于點H，連接FH．（1）求拋物線的解析式及△AOD的面積；（2）當點F運動至拋物線的對稱軸上時，求△AFH的面積；（3）試探究的值是否為定值？如果為定值，求出該定值；不為定值，請說明理由．22．（2023?甘孜州）如圖，在Rt△ABC中，，點D在AB邊上，連接CD，將CD繞點C逆時針旋轉90°得到CE，連接BE，DE．（1）求證：△CAD≌△CBE；（2）若AD＝2時，求CE的長；（3）點D在AB上運動時，試探究AD2+BD2的值是否存在最小值，如果存在，求出這個最小值；如果不存在，請說明理由．23．（2023?淄博）在數(shù)學綜合與實踐活動課上，小紅以“矩形的旋轉”為主題開展探究活動．（1）操作判斷小紅將兩個完全相同的矩形紙片ABCD和CEFG拼成“L”形圖案，如圖①．試判斷：△ACF的形狀為．（2）深入探究小紅在保持矩形ABCD不動的條件下，將矩形CEFG繞點C旋轉，若AB＝2，AD＝4．探究一：當點F恰好落在AD的延長線上時，設CG與DF相交于點M，如圖②．求△CMF的面積．探究二：連接AE，取AE的中點H，連接DH，如圖③．求線段DH長度的最大值和最小值．24．（2023?青海）如圖，二次函數(shù)y＝﹣x2+bx+c的圖象與x軸相交于點A和點C（1，0），交y軸于點B（0，3）．（1）求此二次函數(shù)的解析式；（2）設二次函數(shù)圖象的頂點為P，對稱軸與x軸交于點Q，求四邊形AOBP的面積（請在圖1中探索）；（3）二次函數(shù)圖象的對稱軸上是否存在點M，使得△AMB是以AB為底邊的等腰三角形？若存在，請求出滿足條件的點M的坐標；若不存在，請說明理由（請在圖2中探索）．25．（2023?鹽城）綜合與實踐【問題情境】如圖1，小華將矩形紙片ABCD先沿對角線BD折疊，展開后再折疊，使點B落在對角線BD上，點B的對應點記為B′，折痕與邊AD，BC分別交于點E，F(xiàn)．【活動猜想】（1）如圖2，當點B′與點D重合時，四邊形BEDF是哪種特殊的四邊形？答：．【問題解決】（2）如圖3，當AB＝4，AD＝8，BF＝3時，求證：點A′，B′，C在同一條直線上．【深入探究】（3）如圖4，當AB與BC滿足什么關系時，始終有A′B′與對角線AC平行？請說明理由．（4）在（3）的情形下，設AC與BD，EF分別交于點O，P，試探究三條線段AP，B′D，EF之間滿足的等量關系，并說明理由．26．（2023?呼和浩特）探究函數(shù)y＝﹣2|x|2+4|x|的圖象和性質，探究過程如下：（1）自變量x的取值范圍是全體實數(shù)，x與y的幾組對應值列表如下：x…﹣﹣2﹣﹣1﹣012…y…﹣0m020﹣…其中，m＝.根據(jù)如表數(shù)據(jù)，在圖1所示的平面直角坐標系中，通過描點畫出了函數(shù)圖象的一部分，請畫出該函數(shù)圖象的另一部分．觀察圖象，寫出該函數(shù)的一條性質；（2）點F是函數(shù)y＝﹣2|x|2+4|x|圖象上的一動點，點A（2，0），點B（﹣2，0），當S△FAB＝3時，請直接寫出所有滿足條件的點F的坐標；（3）在圖2中，當x在一切實數(shù)范圍內時，拋物線y＝﹣2x2+4x交x軸于O，A兩點（點O在點A的左邊），點P是點Q（1，0）關于拋物線頂點的對稱點，不平行y軸的直線l分別交線段OP，AP（不含端點）于M，N兩點．當直線l與拋物線只有一個公共點時，PM與PN的和是否為定值？若是，求出此定值；若不是，請說明理由．27．（2023?樂山）在學習完《圖形的旋轉》后，劉老師帶領學生開展了一次數(shù)學探究活動．【問題情境】劉老師先引導學生回顧了華東師大版教材七年級下冊第121頁“探索”部分內容：如圖1，將一個三角形紙板△ABC繞點A逆時針旋轉θ到達的位置△A′B′C′的位置，那么可以得到：AB＝AB′，AC＝AC′，BC＝B′C′；∠BAC＝∠B′AC′，∠ABC＝∠AB′C′，∠ACB＝∠AC′B′．（_____）劉老師進一步談到：圖形的旋轉蘊含于自然界的運動變化規(guī)律中，即“變”中蘊含著“不變”，這是我們解決圖形旋轉的關鍵．故數(shù)學就是一門哲學．【問題解決】（1）上述問題情境中“（_____）”處應填理由：；（2）如圖2，小王將一個半徑為4cm，圓心角為60°的扇形紙板ABC繞點O逆時針旋轉90°到達扇形紙板A′B′C′的位置．①請在圖中作出點O；②如果BB′＝6cm，則在旋轉過程中，點B經(jīng)過的路徑長為；【問題拓展】小李突發(fā)奇想，將與（2）中完全相同的兩個扇形紙板重疊，一個固定在墻上，使得一邊位于水平位置．另一個在弧的中點處固定，然后放開紙板，使其擺動到豎直位置時靜止．此時，兩個紙板重疊部分的面積是多少呢？如圖3所示，請你幫助小李解決這個問題．28．（2023?淮安）綜合與實踐定義：將寬與長的比值為（n為正整數(shù)）的矩形稱為n階奇妙矩形．（1）概念理解：當n＝1時，這個矩形為1階奇妙矩形，如圖（1），這就是我們學習過的黃金矩形，它的寬（AD）與長（CD）的比值是．（2）操作驗證：用正方形紙片ABCD進行如下操作（如圖（2））：第一步：對折正方形紙片，展開，折痕為EF，連接CE；第二步：折疊紙片使CD落在CE上，點D的對應點為點H，展開，折痕為CG；第三步：過點G折疊紙片，使得點A、B分別落在邊AD、BC上，展開，折痕為GK．試說明：矩形GDCK是1階奇妙矩形．（3）方法遷移：用正方形紙片ABCD折疊出一個2階奇妙矩形．要求：在圖（3）中畫出折疊示意圖并作簡要標注．（4）探究發(fā)現(xiàn)：小明操作發(fā)現(xiàn)任一個n階奇妙矩形都可以通過折紙得到．他還發(fā)現(xiàn)：如圖（4），點E為正方形ABCD邊AB上（不與端點重合）任意一點，連接CE，繼續(xù)（2）中操作的第二步、第三步，四邊形AGHE的周長與矩形GDCK的周長比值總是定值．請寫出這個定值，并說明理由．29．（2023?常州）如圖1，小麗借助幾何軟件進行數(shù)學探究：第一步，畫出矩形ABCD和矩形EFGH，點E、F在邊AB上（EF＜AB），且點C、D、G、H在直線AB的同側；第二步，設＝m，＝n，矩形EFGH能在邊AB上左右滑動；第三步，畫出邊EF的中點O，射線OH與射線AD相交于點P（點P、D不重合），射線OG與射線BC相交于點Q（點Q、C不重合），觀測DP、CQ的長度．（1）如圖2，小麗取AB＝4，EF＝3，m＝1，n＝3，滑動矩形EFGH，當點E、A重合時，CQ＝；（2）小麗滑動矩形EFGH，使得O恰為邊AB的中點．她發(fā)現(xiàn)對于任意的m≠n，DP＝CQ總成立．請說明理由；（3）經(jīng)過數(shù)次操作，小麗猜想，設定m、n的某種數(shù)量關系后，滑動矩形EFGH，DP＝CQ總成立．小麗的猜想是否正確？請說明理由．

重難點突破突破03函數(shù)問題過程性學習探究型函數(shù)過程性學習是一種以學生為中心設計執(zhí)行函數(shù)過程性學習方法．函數(shù)過程性學習要求學生從真實世界的基本問題出發(fā)，圍繞復雜的、來自真實情境的主題，在精心設計任務、活動的基礎上，以小組方式進行開放性探究，并將學習結果以作品的形式表現(xiàn)出來，最終達到知識建構與自身能力提高．這個也是落實課程標準中的活動建議，函數(shù)過程性學習更能有效提高學生發(fā)現(xiàn)問題、分析問題和解決問題的能力，此類題可以是純函數(shù)性質探究，也可以結合幾何動點探究函數(shù)性質，屬于創(chuàng)新題．=一．選擇題1．（2023?青海）生物興趣小組探究酒精對某種魚類的心率是否有影響，實驗得出心率與酒精濃度的關系如圖所示，下列說法正確的是（）A．酒精濃度越大，心率越高 B．酒精對這種魚類的心率沒有影響 C．當酒精濃度是10%時，心率是168次/分 D．心率與酒精濃度是反比例函數(shù)關系解：由圖象可知，酒精濃度越大，心率越低，故A錯誤；酒精濃度越大，心率越低，酒精對這種魚類的心率有影響，故B錯誤；由圖象可知，當酒精濃度是10%時，心率是168次/分，故C正確；任意取兩個點坐標（5%，192），（10%，168），因為192×5%≠168×10%，所以心率與酒精濃度不是反比例函數(shù)關系，故D錯誤．故選：C．2．（2021?蘭州）如圖，小明探究課本“綜合與實踐”板塊“制作視力表”的相關內容：當測試距離為5m時，標準視力表中最大的“”字高度為72.7mm，當測試距離為3m時，最大的“”字高度為（）A．121.17mm B．43.62mm C．29.08mm D．4.36mm解：由題意得：CB∥DF，，∵AD＝3m，AB＝5m，BC＝72.7mm，，∴DF＝43.62（mm），故選：B．3．（2023?晉城模擬）觀察式子：，＝2×3＝6；＝，；，，由此猜想＝（a≥0，b≥0）．上述探究過程蘊含的思想方法是（）A．特殊與一般 B．整體 C．轉化 D．分類討論解：探究過程蘊含的思想方法是特殊與一般，故選：A．4．（2023?遷安市二模）如圖1和圖2是在數(shù)學課上甲組和乙組在探究用不同方法：過直線外一點P作直線l的平行線，用尺規(guī)作圖保留痕跡，關于兩組的作法下列說法正確的是（）A．甲組作法正確，乙組作法不正確 B．甲組作法不正確，乙組作法正確 C．甲組和乙組作法都不正確 D．甲組和乙組作法都正確解：圖1中，AB是∠PAC的平分線，∴∠PAB＝∠BAC，∵PA＝PB，∴∠PAB＝∠PBA，∴∠PBA＝∠BAC，∴PB∥l，∴甲組作法正確；圖2中，A、C分別為PB、QB的中點，∴AC是△PBQ的中位線，∴AC∥PQ，∴PQ∥l，∴乙組作法正確；故選：D．5．（2022?百色）活動探究：我們知道，已知兩邊和其中一邊的對角對應相等的兩個三角形不一定全等．如已知△ABC中，∠A＝30°，AC＝3，∠A所對的邊為，滿足已知條件的三角形有兩個（我們發(fā)現(xiàn)其中如圖的△ABC是一個直角三角形），則滿足已知條件的三角形的第三邊長為（）A．2 B．2﹣3 C．2或 D．2或2﹣3解：如圖，CD＝CB，作CH⊥AB于H，∴DH＝BH，∵∠A＝30°，∴CH＝AC＝，AH＝CH＝，在Rt△CBH中，由勾股定理得BH＝＝，∴AB＝AH+BH＝＝2，AD＝AH﹣DH＝＝，故選：C．6．（2023?山西模擬）數(shù)學中，常對同一個量（圖形的面積、點的個數(shù)等）用兩種不同的方法計算，從而建立相等關系．我們把這種思想叫“算兩次”“算兩次“也稱作富比尼原理，是一種重要的數(shù)學思想．由它可以推導出很多重要的公式．如圖，兩個直角邊分別為a，b的直角三角形和一個兩條直角邊都是c的直角三角形拼成一個梯形，用“算兩次”的方法，探究a，b，c之間的數(shù)量關系，可以驗證的是（）A．勾股定理 B．平方差公式 C．完全平方公式 D．比例的性質解：第一次利用梯形的面積公式，圖形面積為：，第二次利用圖形的面積和計算為：2×，∴＝2×，整理得：a2+2ab+c2＝2ab+c2，∴a2+b2＝c2．故選：A．7．（2023?金昌）如圖1，漢代初期的《淮南萬畢術》是中國古代有關物理、化學的重要文獻，書中記載了我國古代學者在科學領域做過的一些探索及成就．其中所記載的“取大鏡高懸，置水盆于其下，則見四鄰矣”，是古人利用光的反射定律改變光路的方法，即“反射光線與入射光線、法線在同一平面上；反射光線和入射光線位于法線的兩側；反射角等于入射角”．為了探清一口深井的底部情況，運用此原理，如圖在井口放置一面平面鏡可改變光路，當太陽光線AB與地面CD所成夾角∠ABC＝50°時，要使太陽光線經(jīng)反射后剛好垂直于地面射入深井底部，則需要調整平面鏡EF與地面的夾角∠EBC＝（）A．60° B．70° C．80° D．85°解：如圖，∵BM⊥CD，∴∠CBM＝90°，∵∠ABC＝50°，∴∠ABE+∠FBM＝180°﹣90°﹣50°＝40°，∵∠ABE＝∠FBM，∴∠ABE＝∠FBM＝20°，∴∠EBC＝20°+50°＝70°．故選：B．8．（2022?無錫）雪花、風車……展示著中心對稱的美，利用中心對稱，可以探索并證明圖形的性質．請思考在下列圖形中，是中心對稱圖形但不一定是軸對稱圖形的為（）A．扇形 B．平行四邊形 C．等邊三角形 D．矩形解：A．扇形是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，故此選項不合題意；B．平行四邊形不一定是軸對稱圖形，是中心對稱圖形，故此選項符合題意；C．等邊三角形是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，故此選項不合題意；D．矩形既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形，故此選項不合題意；故選：B．9．（2023?德陽）在“點燃我的夢想，數(shù)學皆有可能”數(shù)學創(chuàng)新設計活動中，“智多星”小強設計了一個數(shù)學探究活動；對依次排列的兩個整式m，n按如下規(guī)律進行操作：第1次操作后得到整式中m，n，n﹣m；第2次操作后得到整式中m，n，n﹣m，﹣m；第3次操作后……其操作規(guī)則為：每次操作增加的項，都是用上一次操作得到的最末項減去其前一項的差，小強將這個活動命名為“回頭差”游戲．則該“回頭差”游戲第2023次操作后得到的整式串各項之和是（）A．m+n B．m C．n﹣m D．2n解：第1次操作后得到的整式串m，n，n﹣m；第2次操作后得到的整式串m，n，n﹣m，﹣m；第3次操作后得到的整式串m，n，n﹣m，﹣m，﹣n；第4次操作后得到的整式串m，n，n﹣m，﹣m，﹣n，﹣n+m；第5次操作后得到的整式串m，n，n﹣m，﹣m，﹣n，﹣n+m，m；第6次操作后得到的整式串m，n，n﹣m，﹣m，﹣n，﹣n+m，m，n；第7次操作后得到的整式串m，n，n﹣m，﹣m，﹣n，﹣n+m，m，n，n﹣m；……第2023次操作后得到的整式串m，n，n﹣m，﹣m，﹣n，﹣n+m，……m，n，n﹣m；共2025個整式；歸納可得，以上整式串每六次一循環(huán)．每6個整式的整式之和為：m+n+（n﹣m）+（﹣m）+（﹣n）+（﹣n+m）＝0，∵2025÷6＝337…3，∴第2023次操作后得到的整式中，求最后三項之和即可．∴這個和為m+n+（n﹣m）＝2n．故選：D．10．（2023?東湖區(qū)校級二模）數(shù)學小組將兩塊全等的含30°角的三角尺按較長的直角邊重合的方式擺放，并通過平移對特殊四邊形進行探究．如圖1，其中∠ADB＝∠CBD＝30°，∠ABD＝∠BDC＝90°，AB＝CD＝3，將Rt△BCD沿射線DB方向平移，得到Rt△B'C'D′．分別連接AB'，DC′（如圖2所示），下列有關四邊形AB′C'D的說法正確的是（）A．先是平行四邊形，平移個單位長度后是菱形 B．先是平行四邊形，平移個單位長度后是矩形，再平移2個單位長度后是菱形 C．先是平行四邊形，平移個單位長度后是矩形，再平移3個單位長度后是正方形 D．在Rt△BCD平移的過程中，依次出現(xiàn)平行四邊形、矩形、菱形、正方形解：A．在Rt△ABB′中，AB＝3，BB′＝，∴AB′＝＝＝2，在Rt△ABD中，∠ADB＝30°，∴AD＝2AB＝2×3＝6，∴BD＝＝3，∵△ABD≌△CDB，∴CD＝AB＝3，BC＝AD＝6，∴B′C′＝6，∴AB′≠B′C′，∴四邊形AB′C'D是平行四邊形，但不是菱形，故A選項不符合題意；B．當BB′＝時，∵tan∠AB′B＝＝，∴∠AB′B＝60°，∵∠CBD＝30°，BC∥B′C′，∴∠C′B′D′＝30°，∴∠AB′C′＝90°，四邊形AB′C'D是平行四邊形，∴四邊形AB′C'D是矩形，當BB′＝3時，AB′＝＝＝6＝B′C′，∴四邊形AB′C'D是菱形，故B選項符合題意；C．由B可知先是平行四邊形，平移個單位長度后是矩形，當BB′＝4時，AB′＝＝＝≠B′C′，∴四邊形AB′C'D不是正方形，故C選項不符合題意；D．由B知，Rt△BCD平移個單位長度后是矩形，移動的其它位置不是矩形，故一定不是正方形，故D選項不符合題意．故選：B．二．填空題11．（2023?福山區(qū)一模）3月28日電28日，我國首單以人民幣結算的進口液化天然氣（LNG）采購交易達成，標志著我國在油氣貿易領域的跨境人民幣結算交易探索邁出實質性一步，數(shù)據(jù)顯示，2022年上海石油天然氣交易中心天然氣雙邊交易量達到928.58億立方米．928.58億用科學記數(shù)法表示為9.2858×1010．解：928.58億＝92858000000＝9.2858×1010．故答案為：9.2858×1010．12．（2023?杭州）在“探索一次函數(shù)y＝kx+b的系數(shù)k，b與圖象的關系”活動中，老師給出了直角坐標系中的三個點：A（0，2），B（2，3），C（3，1）．同學們畫出了經(jīng)過這三個點中每兩個點的一次函數(shù)的圖象，并得到對應的函數(shù)表達式y(tǒng)1＝k1x+b1，y2＝k2x+b2，y3＝k3x+b3．分別計算k1+b1，k2+b2，k3+b3的值，其中最大的值等于5．解：解法一：設直線AB的解析式為y1＝k1x+b1，將點A（0，2），B（2，3）代入得，，解得：，∴k1+b1＝，設直線AC的解析式為y2＝k2x+b2，將點A（0，2），C（3，1）代入得，，解得：，∴k2+b2＝，設直線BC的解析式為y3＝k3x+b3，將點B（2，3），C（3，1）代入得，，解得：，∴k3+b3＝5，∴k1+b1＝，k2+b2＝，k3+b3＝5，其中最大的值為5．解法二：如圖，作直線AB、AC、BC，作直線x＝1，設直線AB的解析式為y1＝k1x+b1，直線AC的解析式為y2＝k2x+b2，直線BC的解析式為y3＝k3x+b3，由圖象可知，直線x＝1與直線BC的交點最高，即當x＝1時，k1+b1，k2+b2，k3+b3其中最大的值為k3+b3，將點B（2，3），C（3，1）代入得，，解得：，∴k3+b3＝5，k1+b1，k2+b2，k3+b3其中最大的值為k3+b3＝5．故答案為：5．13．（2023?杏花嶺區(qū)校級模擬）我省積極探索保障糧食安全，做強精品糧油，始終堅持“藏糧于地、藏糧于技”戰(zhàn)略，穩(wěn)定糧食面積，提升基礎保障能力，增強科技支撐能力，牢牢把飯碗端在自己手中，某農(nóng)科所在相同條件下做某種作物種子發(fā)芽率的試驗，結果如表所示：種子個數(shù)n10001500250040008000150002000030000發(fā)芽種子個數(shù)m8991365224536447272136801816027300發(fā)芽種子頻率0.8990.9100.8980.9110.9090.9120.9080.910則該作物種子發(fā)芽的概率約為0.91．（結果保留兩位小數(shù)）解：觀察表格發(fā)現(xiàn)，隨著實驗次數(shù)的增多，種子發(fā)芽的頻率逐漸穩(wěn)定在0.91附近，所以估計該作物種子發(fā)芽的概率約為0.91，故答案為：0.91．14．（2023?榆樹市校級模擬）在“探索函數(shù)y＝ax2+bx+c的系數(shù)a，b，c與圖象的關系“活動中，師給出了直角坐標系中的四個點A（0，2），B（1，0），C（3，1），D（2，3）．同學們探索了經(jīng)過這四個點中的三個點的二次函數(shù)圖象，發(fā)現(xiàn)運些圖象對應的函數(shù)表達式各不相同，其中a的最大值為．解：由圖象知，A、B、D組成的二次函數(shù)圖象開口向上，a＞0；A、B、C組成的二次函數(shù)開口向上，a＞0；B、C、D三點組成的二次函數(shù)開口向下，a＜0；A、D、C三點組成的二次函數(shù)開口向下，a＜0；即只需比較A、B、D組成的二次函數(shù)和A、B、C組成的二次函數(shù)即可．設A、B、C組成的二次函數(shù)為y1＝a1x2+b1x+c1，把A（0，2），B（1，0），C（3，1）代入上式得，解得a1＝；設A、B、D組成的二次函數(shù)為y＝ax2+bx+c，把A（0，2），B（1，0），D（2，3）代入上式得，解得a＝，即a最大的值為．故答案為：．15．（2020?安徽）在數(shù)學探究活動中，敏敏進行了如下操作：如圖，將四邊形紙片ABCD沿過點A的直線折疊，使得點B落在CD上的點Q處．折痕為AP；再將△PCQ，△ADQ分別沿PQ，AQ折疊，此時點C，D落在AP上的同一點R處．請完成下列探究：（1）∠PAQ的大小為30°；（2）當四邊形APCD是平行四邊形時，的值為．解：（1）由折疊的性質可得：∠B＝∠AQP，∠DAQ＝∠QAP＝∠PAB，∠DQA＝∠AQR，∠CQP＝∠PQR，∠D＝∠ARQ，∠C＝∠QRP，∵∠QRA+∠QRP＝180°，∴∠D+∠C＝180°，∴AD∥BC，∴∠B+∠DAB＝180°，∵∠DQR+∠CQR＝180°，∴∠DQA+∠CQP＝90°，∴∠AQP＝90°，∴∠B＝∠AQP＝90°，∴∠DAB＝90°，∴∠DAQ＝∠QAP＝∠PAB＝30°，故答案為：30；（2）由折疊的性質可得：AD＝AR，CP＝PR，∵四邊形APCD是平行四邊形，∴AD＝PC，∴AR＝PR，又∵∠AQP＝90°，∴QR＝AP，∵∠PAB＝30°，∠B＝90°，∴AP＝2PB，AB＝PB，∴PB＝QR，∴＝，故答案為：．16．（2023?臨淄區(qū)一模）華羅庚說過：“復雜的問題要善于‘退’，足夠地‘退’，‘退’到最原始而不失重要性的地方，是學好數(shù)學的一個訣竅．”可見，復雜的問題有時要“退”到本質上去研究．如圖，已知拋物線y＝﹣x2+2x﹣1的圖象與f的圖象關于直線y＝x對稱，我們把探索線的變化規(guī)律“退”到探索點的變化規(guī)律上去研究，可以得到圖象f所對應的關于x與y的關系式為x＝﹣y2+2y﹣1．若拋物線y＝﹣x2+2x﹣1與g的圖象關于y＝﹣x對稱，則圖象g所對應的關于x與y的關系式為x＝y(tǒng)2+2y+1．解：設（x，y）為圖象g上任意點，則關于y＝﹣x的對稱點為（﹣y，﹣x），把（﹣y，﹣x）代入y＝﹣x2+2x﹣1得：﹣x＝﹣y2﹣2y﹣1，∴x＝y(tǒng)2+2y+1，故答案為：x＝y(tǒng)2+2y+1．17．（2022?鋼城區(qū)）利用圖形的分、和、移、補探索圖形關系，是我國傳統(tǒng)數(shù)學的一種重要方法．如圖1，BD是矩形ABCD的對角線，將△BCD分割成兩對全等的直角三角形和一個正方形，然后按圖2重新擺放，觀察兩圖，若a＝4，b＝2，則矩形ABCD的面積是16．解：設小正方形的邊長為x，∵a＝4，b＝2，∴BD＝2+4＝6，在Rt△BCD中，DC2+BC2＝DB2，即（4+x）2+（x+2）2＝62，整理得，x2+6x﹣8＝0，而長方形面積為＝（x+4）（x+2）＝x2+6x+8＝8+8＝16∴該矩形的面積為16，解法二：由題意得第一個矩形的左上角的三角形面積＝第二個矩形左上角的長方形的面積＝4×2＝8，所以原矩形面積為16故答案為：16．18．（2023?十堰）在某次數(shù)學探究活動中，小明將一張斜邊為4的等腰直角三角形ABC（∠A＝90°）硬紙片剪切成如圖所示的四塊（其中D，E，F(xiàn)分別AB，AC，BC的中點，G，H分別為DE，BF的中點），小明將這四塊紙片重新組合拼成四邊形（相互不重疊，不留空隙），則所能拼成的四邊形中周長的最小值為8，最大值為8+2．解：如圖，BC＝4，AC＝4×＝2，CI＝BD＝CE＝AC＝，DI＝BC＝4，∴四邊形BCID周長＝4+4+2＝8+2；如圖，AF＝AI＝IC＝FC＝2，∴四邊形AFCI周長為2×4＝8；故答案為：8，8+2．19．（2021?大慶）已知，如圖①，若AD是△ABC中∠BAC的內角平分線，通過證明可得＝，同理，若AE是△ABC中∠BAC的外角平分線，通過探究也有類似的性質．請你根據(jù)上述信息，求解如下問題：如圖②，在△ABC中，BD＝2，CD＝3，AD是△ABC的內角平分線，則△ABC的BC邊上的中線長l的取值范圍是＜l＜．解：∵AD是△ABC的內角平分線，＝，∵BD＝2，CD＝3，∴＝，作∠BAC的外角平分線AE，與CB的延長線交于點E，∴＝，∴，∴BE＝10，∴DE＝12，∵AD是∠BAC的角平分線，AE是∠BAC外角平分線∴∠EAD＝90°，∴點A在以DE為直徑的圓上運動，取BC的中點為F，∴DF＜AF＜EF，∴＜l＜，故答案為：＜l＜．解法2：∵AD是△ABC的內角平分線，∴＝，∵BD＝2，CD＝3，∴＝，可設AB＝2k，AC＝3k，在△ABC中，BC＝5，∴5k＞5，k＜5，∴1＜k＜5，E是BC邊的中點，延長AE至A'，使得AE＝A'E，連結A'C，∴A'C＝AB，∴k＜2l＜5k，∴＜l＜k，∴＜l＜，故答案為：＜l＜．三．解答題20．（2023?廣西）【探究與證明】折紙，操作簡單，富有數(shù)學趣味，我們可以通過折紙開展數(shù)學探究，探索數(shù)學奧秘．【動手操作】如圖1，將矩形紙片ABCD對折，使AD與BC重合，展平紙片，得到折痕EF：折疊紙片，使點B落在EF上，并使折痕經(jīng)過點A，得到折痕AM，點B，E的對應點分別為B′，E′展平紙片，連接AB′，BB′，BE′．請完成：（1）觀察圖1中∠1，∠2和∠3，試猜想這三個角的大小關系；（2）證明（1）中的猜想；【類比操作】如圖2，N為矩形紙片ABCD的邊AD上的一點，連接BN，在AB上取一點P，折疊紙片，使B，P兩點重合，展平紙片，得到折痕EF；折疊紙片，使點B，P分別落在EF，BN上，得到折痕l，點B，P的對應點分別為B′，P′，展平紙片，連接BB′，P′B′．請完成：（3）證明BB′是∠NBC的一條三等分線．（1）解：∠1＝∠2＝∠3；（2）證明：如圖1，設AM，EF交于點O，由題意得：EF是AB的垂直平分線，AM是BB′的垂直平分線，AB＝AB′，∴AB′＝BB′，OA＝OB＝OB′，∴AB′＝BB′＝AB，O為外心，∴∠ABB′＝60°，∴∠1＝∠2＝30°，∵四邊形ABCD是矩形，∴∠ABC＝90°，∴∠3＝90°﹣60°＝30°，∴∠1＝∠2＝∠3；（3）證明：如圖2，同理（2）得：OB＝OB′＝OP＝OP′，BP′＝PB′＝BB′，∴∠P′BO＝∠B′BO，∠OBB′＝∠BB′O，∵EF∥BC，∴∠OB′B＝∠B′BC，∴∠P′BO＝∠B′BO＝∠B′BC，∴BB′是∠NBC的一條三等分線．21．（2023?綿陽）如圖，拋物線經(jīng)過△AOD的三個頂點，其中O為原點，A（2，4），D（6，0），點F在線段AD上運動，點G在直線AD上方的拋物線上，GF∥AO，GE⊥DO于點E，交AD于點I，AH平分∠OAD，C（﹣2，﹣4），AH⊥CH于點H，連接FH．（1）求拋物線的解析式及△AOD的面積；（2）當點F運動至拋物線的對稱軸上時，求△AFH的面積；（3）試探究的值是否為定值？如果為定值，求出該定值；不為定值，請說明理由．解：（1）設拋物線的解析式為y＝ax2+bx（a≠0）．將A（2，4），D（6，0）代入，得，解得：，∴y＝﹣x2+3x．設點O到AD的距離為d，點A的縱坐標為yA，∴S△AOD＝AD?d＝OD?yA＝×6×4＝12．（2）∵y＝﹣x2+3x＝﹣（x﹣3）2+，∴拋物線的對稱軸為直線x＝3．當點F運動至對稱軸上時，點F的橫坐標為3，則＝＝，即AF＝AD．如圖，連接OC、OH，由點C（﹣2，4），得點A與點C關于原點O對稱，∴點A、O、C三點共線，且O為AC的中點．∵AH⊥CH，∴OH＝AC＝OA，∴∠OAH＝∠AHO．∵AH平分∠CAD，∴∠OAH＝∠DAH，∴∠AHO＝∠DAH，∴HO∥AD，∴HO與AD間的距離為d，∴點H到AD的距離為d．∵S△AFH＝×AF×d，S△AOD＝×AD×d＝12，∴S△AFH＝×AF×d＝×AD×d＝×（×AD×d）＝×12＝3．∴當點F運動至拋物線的對稱軸上時，△AFH的面積為3；（3）如圖，過點A作AL⊥OD于點L，過點F作FK⊥GE于點K．由題意得AL＝4，OL＝2，∴OA＝＝＝2．∴DL＝OD﹣OL＝6﹣2＝4，在Rt△ADL中，AL＝DL，∴∠ADL＝45°，∵GE⊥DO，∴∠FIK＝45°，即△FIK為等腰直角三角形．設FK＝m，則KI＝m，在Rt△AOL和Rt△GFK中，∵GF∥AO，∴∠AOL＝∠GFK，∴tan∠AOL＝tan∠GFK，∴＝，即＝，∴GK＝2m，∴GI＝GK+KI＝2m+m＝3m．又∵sin∠AOL＝sin∠GFK，∴＝，即＝，∴FG＝m，∴＝＝．∴的值是定值，定值為．22．（2023?甘孜州）如圖，在Rt△ABC中，，點D在AB邊上，連接CD，將CD繞點C逆時針旋轉90°得到CE，連接BE，DE．（1）求證：△CAD≌△CBE；（2）若AD＝2時，求CE的長；（3）點D在AB上運動時，試探究AD2+BD2的值是否存在最小值，如果存在，求出這個最小值；如果不存在，請說明理由．（1）證明：由題意，可知∠ACB＝∠DCE＝90°，CA＝CB，CD＝CE．∴∠ACB﹣∠DCB＝∠DCE﹣∠DCB．即∠ACD＝∠BCE．在△CAD和△CBE中，∴△CAD≌△CBE（SAS）；（2）解：∵在Rt△ABC中，，∴∠CAB＝∠CBA＝45°，，∴BD＝AB﹣AD＝6﹣2＝4．∵△CAD≌△CBE（SAS），∴BE＝AD＝2，∠CBE＝∠CAD＝45°，∴∠ABE＝∠ABC+∠CBE＝90°．∴，∴在Rt△CDE中，；（3）解：存在，理由：由（2）可知，AD2+BD2＝BE2+BD2＝DE2＝2CD2，∴當CD最小時，有AD2+BD2的值最小，此時CD⊥AB．∵△ABC為等腰直角三角形，∴，∴AD2+BD2＝2CD2≥2×32＝18．即AD2+BD2的最小值為18．23．（2023?淄博）在數(shù)學綜合與實踐活動課上，小紅以“矩形的旋轉”為主題開展探究活動．（1）操作判斷小紅將兩個完全相同的矩形紙片ABCD和CEFG拼成“L”形圖案，如圖①．試判斷：△ACF的形狀為等腰直角三角形．（2）深入探究小紅在保持矩形ABCD不動的條件下，將矩形CEFG繞點C旋轉，若AB＝2，AD＝4．探究一：當點F恰好落在AD的延長線上時，設CG與DF相交于點M，如圖②．求△CMF的面積．探究二：連接AE，取AE的中點H，連接DH，如圖③．求線段DH長度的最大值和最小值．解：（1）在Rt△ABC中，AC＝，在Rt△CFG中，CF＝，∵AB＝GF，BC＝CG，∴AC＝CF，∴△ACF是等腰三角形，∵AB＝GF，∠FGC＝∠ABC＝90°．BC＝CG，∴△ABC≌△FGC（SAS），∴∠ACG＝∠GFC，∵∠GCF+∠GFC＝90°，∴∠ACG+∠GCF＝90°，∴∠ACF＝90°，∴△ACF是等腰直角三角形，故答案為：等腰直角三角形；（2）探究一：∵CD＝GF，∠FMG＝∠DMC，∠G＝∠CDF＝90°，∴△CDM≌△FGM（AAS），∴CM＝MF，∵AC＝CF，CD⊥AF，∴AD＝DF，∵AB＝CD＝2，AD＝DF＝4，∴DM＝4﹣CM，在Rt△CDM中，CM2＝CD2+DM2，∴CM2＝22+（4﹣CM）2，解得CM＝，∴MF＝，∴△CMF的面積＝2×＝；探究二：連接DE，取DE的中點P，連接HP，取AD、BC的中點為M、N，連接MN，MH，NH，∵H是AE的中點，∴MH∥DE，且MH＝DE，∵CD＝CE，∴CP⊥DE，DP＝PE，∵MH∥DP，且MH＝DP，∴四邊形MHPD是平行四邊形，∴MD＝HP，MD∥HP，∵AD∥BC，MD＝CN，∴HP∥CN，HP＝CN，∴四邊形HNCP是平行四邊形，∴NH∥CP，∴∠MHN＝90°，∴H點在以MN為直徑的圓上，設MN的中點為T，∴DT＝＝，∴DH的最大值為+1，最小值為﹣1．方法二：設AC的中點為T，連接HT，∵HT是△ACE的中位線，∴HT＝CE＝1，∴H在以T為圓心，1為半徑的圓上，∵DT＝＝，∴DH的最大值為+1，最小值為﹣1．24．（2023?青海）如圖，二次函數(shù)y＝﹣x2+bx+c的圖象與x軸相交于點A和點C（1，0），交y軸于點B（0，3）．（1）求此二次函數(shù)的解析式；（2）設二次函數(shù)圖象的頂點為P，對稱軸與x軸交于點Q，求四邊形AOBP的面積（請在圖1中探索）；（3）二次函數(shù)圖象的對稱軸上是否存在點M，使得△AMB是以AB為底邊的等腰三角形？若存在，請求出滿足條件的點M的坐標；若不存在，請說明理由（請在圖2中探索）．解：（1）由題意得，，∴，∴y＝﹣x2﹣2x+3；（2）如圖，連接OP，∵y＝﹣x2﹣2x+3＝﹣（x+1）2+4，∴P（﹣1，4），∴PQ＝4，OQ＝1，由﹣x2﹣2x+3＝0得，x1＝1，x2＝﹣3，∴OA＝3，∴S四邊形AOBP＝S△AOP+S△BOP＝＝＝；（3）設M（﹣1，m），由AM2＝BM2得，[（﹣3）﹣（﹣1）]2+m2＝（﹣1）2+（m﹣3）2，∴m＝1，∴M（﹣1，1）．25．（2023?鹽城）綜合與實踐【問題情境】如圖1，小華將矩形紙片ABCD先沿對角線BD折疊，展開后再折疊，使點B落在對角線BD上，點B的對應點記為B′，折痕與邊AD，BC分別交于點E，F(xiàn)．【活動猜想】（1）如圖2，當點B′與點D重合時，四邊形BEDF是哪種特殊的四邊形？答：菱形．【問題解決】（2）如圖3，當AB＝4，AD＝8，BF＝3時，求證：點A′，B′，C在同一條直線上．【深入探究】（3）如圖4，當AB與BC滿足什么關系時，始終有A′B′與對角線AC平行？請說明理由．（4）在（3）的情形下，設AC與BD，EF分別交于點O，P，試探究三條線段AP，B′D，EF之間滿足的等量關系，并說明理由．（1）解：當點B′與點D重合時，四邊形BEDF是菱形．理由：設EF與BD交于點O，如圖，由折疊得：EF⊥BD，OB＝OD，∴∠BOF＝∠DOE＝90°，∵四邊形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∴∠OBF＝∠ODE，∴△BFO≌△DEO（ASA），∴OE＝OF，∴四邊形BEDF是菱形．故答案為：菱形．（2）證明：∵四邊形ABCD是矩形，AB＝4，AD＝8，BF＝3，∴BC＝AD＝8，CD＝AB＝4，∠BCD＝90°，∴CF＝BC﹣BF＝8﹣3＝5，∴BD＝＝＝4，如圖，設EF與BD交于點M，過點B′作B′K⊥BC于K，由折疊得：∠A′B′F＝∠ABF＝∠BMF＝∠B′MF＝90°，B′F＝BF＝3，BB′＝2BM，∴∠BMF＝∠BCD，∵∠FBM＝∠DBC，∴△BFM∽△BDC，∴＝，即＝，∴BM＝，∴BB′＝，∵∠BKB′＝∠BCD，∠B′BK＝∠DBC，∴△BB′K∽△BDC，∴＝＝，即＝＝，∴B′K＝，BK＝，∴CK＝BC﹣BK＝8﹣＝，∴B′C＝＝＝4，∵B′F2+B′C2＝32+42＝25，CF2＝52＝25，∴B′F2+B′C2＝CF2，∴∠CB′F＝90°，∴∠A′B′F+∠CB′F＝90°+90°＝180°，∴點A′，B′，C在同一條直線上．（3）解：當BC＝AB時，始終有A′B′與對角線AC平行．理由：如圖，設AC、BD交于點O，∵四邊形ABCD是矩形，∴OA＝OB，∠ABC＝90°，∵BC＝AB，∴tan∠BAC＝＝，∴∠BAC＝60°，∴△OAB是等邊三角形，∴∠ABO＝∠AOB＝60°，由折疊得：∠A′B′B＝∠ABO＝60°，∴∠A′B′B＝∠AOB，∴A′B′∥AC，故當BC＝AB時，始終有A′B′與對角線AC平行．（4）解：EF＝2（AP+B′D），理由如下：如圖，過點E作EG⊥BC于G，設EF交BD于H，由折疊得：EF⊥BD，B′F＝BF，∠BFE＝∠B′FE，設AE＝m，EF＝n，由（3）得：∠BAC＝60°＝∠ABD，∴∠BB′F＝∠DBC＝30°，∴∠BFE＝∠B′FE＝60°，∴EG＝EF?sin60°＝n，F(xiàn)G＝EF?cos60°＝n，∵∠EAB＝∠ABG＝∠BGE＝90°，∴四邊形ABGE是矩形，∴AB＝EG＝n，BG＝AE＝m，AD∥BC，∴BF＝B′F＝m+n，∴BH＝BF?cos30°＝（m+n），∴BB′＝2BH＝（m+n），∵BD＝2AB＝n，∴B′D＝BD﹣BB′＝n﹣（m+n）＝n﹣m，∵AD∥BC，∴∠DEF＝∠EFG＝60°，∴∠APE＝∠DEF﹣∠DAC＝60°﹣30°＝30°＝∠DAC，∴AP＝2AE?cos30°＝m，∴AP+B′D＝m+（n﹣m）＝n，∴AP+B′D＝EF，即EF＝2（AP+B′D）．26．（2023?呼和浩特）探究函數(shù)y＝﹣2|x|2+4|x|的圖象和性質，探究過程如下：（1）自變量x的取值范圍是全體實數(shù)，x與y的幾組對應值列表如下：x…﹣﹣2﹣﹣1﹣012…y…﹣0m020﹣…其中，m＝2.根據(jù)如表數(shù)據(jù)，在圖1所示的平面直角坐標系中，通過描點畫出了函數(shù)圖象的一部分，請畫出該函數(shù)圖象的另一部分．觀察圖象，寫出該函數(shù)的一條性質；（2）點F是函數(shù)y＝﹣2|x|2+4|x|圖象上的一動點，點A（2，0），點B（﹣2，0），當S△FAB＝3時，請直接寫出所有滿足條件的點F的坐標；（3）在圖2中，當x在一切實數(shù)范圍內時，拋物線y＝﹣2x2+4x交x軸于O，A兩點（點O在點A的左邊），點P是點Q（1，0）關于拋物線頂點的對稱點，不平行y軸的直線l分別交線段OP，AP（不含端點）于M，N兩點．當直線l與拋物線只有一個公共點時，PM與PN的和是否為定值？若是，求出此定值；若不是，請說明理由．解：（1）當x＝﹣1時，y＝﹣2×（﹣1）2+4×|﹣1|＝2，∴m＝2，函數(shù)圖象如圖所示：由圖象可得該函數(shù)的性質：該函數(shù)關于y軸對稱；當x＜﹣1或0≤x＜1時，y隨x的增大而增大；當﹣1≤x＜0或x≥1時，y隨x的增大而減?。还蚀鸢笧椋?；（2）當x＜0時，y＝﹣2x2﹣4x，當x≥0時，y＝﹣2x2+4x，∵A（2，0），B（﹣2，0），∴AB＝4，∵S△FAB＝3，∴×4|yF|＝3，∴yF＝±，當yF＝時，若x＜0，則﹣2x2﹣4x＝，解得：x＝﹣或﹣，若x≥0，則﹣2x2+4x＝，解得：x＝或，∴F（﹣，）或（﹣，）或（，）或（，）；當yF＝﹣時，若x＜0，則﹣2x2﹣4x＝﹣，解得：x＝﹣1﹣或x＝﹣1+（舍去），若x≥0，則﹣2x2+4x＝﹣，解得：x＝1﹣（舍去）或x＝1+，∴F（﹣1+，﹣）或（﹣1﹣，﹣）或（1﹣，﹣）或（1+，﹣）；綜上所述，所有滿足條件的點F的坐標為（﹣，）或（﹣，）或（，）或（，）或（﹣1﹣，﹣）或（1+，﹣）；（3）PM與PN的和是定值；如圖2，連接直線PQ，∵拋物線y＝﹣2x2+4x交x軸于O，A兩點，∴O（0，0），A（2，0），∵y＝﹣2x2+4x＝﹣2（x﹣1）2+2，∴拋物線y＝﹣2x2+4x的頂點為（1，2），∵點P是點Q（1，0）關于拋物線頂點（1，2）的對稱點，故點P的坐標為（1，4），由點P、O的坐標得，直線OP的表達式為y＝4x①，同理可得，直線AP的表達式為y＝﹣4x+8②，設直線l的表達式為y＝tx+n，聯(lián)立y＝tx+n和y＝﹣2x2+4x并整理得：2x2+（t﹣4）x+n＝0，∵直線l與拋物線只有一個公共點，故Δ＝（t﹣4）2﹣8n＝0，解得n＝（t﹣4）2，故直線l的表達式為y＝tx+（t﹣4）2③，聯(lián)立①③并解得xM＝﹣（t﹣4），同理可得，xN＝﹣（t﹣12），∵射線PO、PA關于直線PQ：x＝1對稱，則∠APQ＝∠OPQ，設∠APQ＝∠OPQ＝α，則sin∠APQ＝sin∠OPQ＝＝＝＝sinα，∴PM+PN＝+＝（xN﹣xM）＝為定值．27．（2023?樂山）在學習完《圖形的旋轉》后，劉老師帶領學生開展了一次數(shù)學探究活動．【問題情境】劉老師先引導學生回顧了華東師大版教材七年級下冊第121頁“探索”部分內容：如圖1，將一個三角形紙板△ABC繞點A逆時針旋轉θ到達的位置△A′B′C′的位置，那么可以得到：AB＝AB′，AC＝AC′，BC＝B′C′；∠BAC＝∠B′AC′，∠ABC＝∠AB′C′，∠ACB＝∠AC′B′．（_____）劉老師進一步談到：圖形的旋轉蘊含于自然界的運動變化規(guī)律中，即“變”中蘊含著“不變”，這是我們解決圖形旋轉的關鍵．故數(shù)學就是一門哲學．【問題解決】（1）上述問題情境中“（_____）”處應填理由：旋轉前后的圖形對應線段相等，對應角相等；（2）如圖2，小王將一個半徑為4cm，圓心角為60°的扇形紙板ABC繞點O逆時針旋轉90°到達扇形紙板A′B′C′的位置．①請在圖中作出點O；②如果BB′＝6cm，則在旋轉過程中，點B經(jīng)過的路徑長為cm；【問題拓展】小李突發(fā)奇想，將與（2）中完全相同的兩個扇形紙板重疊，一個固定在墻上，使得一邊位于水平位置．另一個在弧的中點處固定，然后放開紙板，使其擺動到豎直位置時靜止．此時，兩個紙板重疊部分的面積是多少呢？如圖3所示，請你幫助小李解決這個問題．解：【問題解決】（1）根據(jù)題意，AB＝AB′，AC＝AC′，BC＝B′C′；∠BAC＝∠B′AC′，∠ABC＝∠AB′C′，∠ACB＝∠AC′B′的理由是：旋轉前后的圖形對應線段相