《高考數(shù)學(xué)壓軸題通法訓(xùn)練•高分必刷系列》專題18數(shù)列（解答題壓軸題）含答案及解析

專題18數(shù)列（解答題壓軸題）目錄TOC\o"1-1"\h\u①數(shù)列求通項，求和 1②數(shù)列中的恒成立（能成立）問題 5③數(shù)列與函數(shù) 8④數(shù)列與概率 11①數(shù)列求通項，求和1．（2023·江蘇徐州·校考模擬預(yù)測）已知數(shù)列的前項和為，且，．(1)求數(shù)列的通項公式；(2)集合，將集合的所有非空子集中最小的元素相加，其和記為，求．2．（2023·云南昭通·校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知各項均為正數(shù)的數(shù)列的首項，其前項和為，從①；②，；③中任選一個條件作為已知，并解答下列問題.(1)求數(shù)列的通項公式；(2)設(shè)，設(shè)數(shù)列的前項和，求證：.（注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分）.3．（2023·海南?？凇ずＤ先A僑中學(xué)?？家荒＃┮阎黜椌鶠檎龜?shù)的數(shù)列滿足，其中是數(shù)列的前n項和.(1)求數(shù)列的通項公式；(2)若對任意，且當時，總有恒成立，求實數(shù)的取值范圍.4．（2023·湖南郴州·安仁縣第一中學(xué)校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知數(shù)列的前項和為.(1)求數(shù)列的通項公式；(2)已知數(shù)列的前項和為（取整函數(shù)表示不超過的整數(shù)，如），求數(shù)列的前100項的和.5．（2023·湖南郴州·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知正項等比數(shù)列的前n項和為，且滿足，數(shù)列滿足．(1)求數(shù)列的通項公式；(2)設(shè)，求數(shù)列的前項和．6．（2023·湖南長沙·長郡中學(xué)校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知數(shù)列滿足，且(1)設(shè)，求數(shù)列的通項公式；(2)設(shè)數(shù)列的前n項和為，求使得不等式成立的n的最小值．7．（2023·山西運城·山西省運城中學(xué)校?？级＃┮阎獢?shù)列滿足.(1)求數(shù)列的通項公式；(2)記數(shù)列的前項和為，證明：.8．（2023·福建三明·統(tǒng)考三模）已知數(shù)列滿足，.(1)求數(shù)列的通項公式；(2)設(shè)，的前項和為，證明：.9．（2023·湖北武漢·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知是數(shù)列的前項和，，．(1)求數(shù)列的通項公式；(2)若，求數(shù)列的前項和．10．（2023·福建福州·福建省福州第一中學(xué)?？寄M預(yù)測）已知數(shù)列的首項，，.(1)設(shè)，求數(shù)列的通項公式；(2)在與（其中）之間插入個3，使它們和原數(shù)列的項構(gòu)成一個新的數(shù)列.記為數(shù)列的前n項和，求.11．（2023·山東泰安·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知數(shù)列是遞增的等差數(shù)列，是公比為的等比數(shù)列，的前項和為，且成等比數(shù)列，，成等差數(shù)列．(1)求，的通項公式；(2)若，的前項和．證明：．12．（2023·河北·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知數(shù)列的前項和為，且.(1)證明：數(shù)列是等差數(shù)列；(2)若，，成等比數(shù)列.從下面三個條件中選擇一個，求數(shù)列的前項和.（注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分）①；②；③.②數(shù)列中的恒成立（能成立）問題1．（2023·吉林·長春吉大附中實驗學(xué)校?？寄M預(yù)測）圖中的數(shù)陣滿足：每一行從左到右成等差數(shù)列，每一列從上到下成等比數(shù)列，且公比均為實數(shù)．(1)設(shè)，求數(shù)列的通項公式；(2)設(shè)，是否存在實數(shù)，使恒成立，若存在，求出的所有值，若不存在，請說明理由．2．（2023·河北·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知數(shù)列的前項和為，點在曲線上.(1)證明：數(shù)列為等差數(shù)列；(2)若，數(shù)列的前項和滿足對一切正整數(shù)恒成立，求實數(shù)的值.3．（2023·云南·校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知數(shù)列的前項和為，，，.(1)求數(shù)列的通項公式；(2)設(shè)，的前項和為，若對任意的正整數(shù)，不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍.4．（2023·浙江·二模）記為正數(shù)列的前項和，已知是等差數(shù)列.(1)求；(2)求最小的正整數(shù)，使得存在數(shù)列，.5．（2023·上海徐匯·統(tǒng)考一模）對于數(shù)列，，其中，對任意正整數(shù)都有，則稱數(shù)列為數(shù)列的“接近數(shù)列”.已知為數(shù)列的“接近數(shù)列”，且，.(1)若（是正整數(shù)），求，，，的值；(2)若（是正整數(shù)），是否存在（是正整數(shù)），使得，如果存在，請求出的最小值，如果不存在，請說明理由；(3)若為無窮等差數(shù)列，公差為，求證：數(shù)列為等差數(shù)列的充要條件是.6．（2023·四川雅安·統(tǒng)考模擬預(yù)測）給出以下條件：①，，成等比數(shù)列；②，，成等比數(shù)列；③是與的等差中項．從中任選一個，補充在下面的橫線上，再解答．已知單調(diào)遞增的等差數(shù)列的前n項和為，且，______．(1)求的通項公式；(2)令是以2為首項，2為公比的等比數(shù)列，數(shù)列的前n項和為．若，，求實數(shù)的取值范圍．注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分．③數(shù)列與函數(shù)1．（2023·上海楊浦·復(fù)旦附中?？寄M預(yù)測）設(shè)是定義域為的函數(shù)，如果對任意的、均成立，則稱是“平緩函數(shù)”.(1)若，試判斷和是否為“平緩函數(shù)”?并說明理由;(參考公式:時，恒成立)(2)若函數(shù)是“平緩函數(shù)”，且是以1為周期的周期函數(shù)，證明:對任意的、，均有;(3)設(shè)為定義在上函數(shù)，且存在正常數(shù)使得函數(shù)為“平緩函數(shù)”.現(xiàn)定義數(shù)列滿足:，試證明:對任意的正整數(shù).2．（2023春·上海黃浦·高三上海市大同中學(xué)校考階段練習）設(shè)函數(shù)，．(1)記，，，．證明：數(shù)列為等差數(shù)列；(2)設(shè)．若對任意均有成立，求m的最大值；(3)是否存在正整數(shù)使得對任意，，都有成立?若存在，求的最小可能值；若不存在，說明理由．3．（2023春·上海閔行·高二上海市七寶中學(xué)校考期中）已知，．(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(2)容易證明對任意的都成立，若點的坐標為，、為函數(shù)圖像上橫坐標均大于1的不同兩點，試證明：；(3)數(shù)列滿足，，證明：．4．（2023春·吉林通化·高二梅河口市第五中學(xué)校考階段練習）已知函數(shù).(1)令，討論的單調(diào)性；(2)證明：；(3)若，對于任意的，不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍.5．（2023·全國·高三專題練習）若函數(shù)是其定義域內(nèi)的區(qū)間上的嚴格增函數(shù)，而是上的嚴格減函數(shù)，則稱是上的“弱增函數(shù)”.若數(shù)列是嚴格增數(shù)列，而是嚴格減數(shù)列，則稱是“弱增數(shù)列”.(1)判斷函數(shù)是否為上的“弱增函數(shù)”，并說明理由（其中是自然對數(shù)的底數(shù)）；(2)已知函數(shù)與函數(shù)的圖像關(guān)于坐標原點對稱，若是上的“弱增函數(shù)”，求的最大值；(3)已知等差數(shù)列是首項為4的“弱增數(shù)列”，且公差d是偶數(shù).記的前項和為，設(shè)是正整數(shù)，常數(shù)，若存在正整數(shù)和，使得且，求所有可能的值.6．（2023·上海楊浦·統(tǒng)考一模）已知函數(shù)，其中為正整數(shù)，且為常數(shù)．(1)求函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間；(2)若對于任意，函數(shù)，在內(nèi)均存在唯一零點，求a的取值范圍；(3)設(shè)是函數(shù)大于0的零點，其構(gòu)成數(shù)列．問：是否存在實數(shù)a使得中的部分項：，，，（其中時，）構(gòu)成一個無窮等比數(shù)列若存在；求出a；若不存在請說明理由．7．（2023·全國·高三專題練習）已知等差數(shù)列公差為，前n項和為.(1)若，，求的通項公式；(2)若，、、成等比數(shù)列，且存在正整數(shù)p、，使得與均為整數(shù)，求的值；(3)若，證明對任意的等差數(shù)列，不等式恒成立.④數(shù)列與概率1．（2023·湖南·校聯(lián)考模擬預(yù)測）一部電視連續(xù)劇共有集，某同學(xué)看了第一集后，被該電視劇的劇情所吸引，制定了如下的觀看計劃：從看完第一集后的第一天算起，把余下的集電視劇隨機分配在天內(nèi)；每天要么不看，要么看完完整的一集；每天至多看一集．已知這部電視劇最精彩的部分在第集，設(shè)該同學(xué)觀看第一集后的第天觀看該集．(1)求的分布列；(2)證明：最有可能在第天觀看最精彩的第集．2．（2023春·河北唐山·高二?？计谀┑?2屆世界杯于2022年11月21日到12月18日在卡塔爾舉辦．在決賽中，阿根廷隊通過點球戰(zhàn)勝法國隊獲得冠軍．(1)撲點球的難度一般比較大，假設(shè)罰點球的球員會等可能地隨機選擇球門的左?中?右三個方向射門，門將也會等可能地隨機選擇球門的左?中?右三個方向來撲點球，而且門將即使方向判斷正確也有的可能性撲不到球．不考慮其它因素，在一次點球大戰(zhàn)中，求門將在前三次撲到點球的個數(shù)X的分布列和期望；(2)好成績的取得離不開平時的努力訓(xùn)練，甲?乙?丙三名前鋒隊員在某次傳接球的訓(xùn)練中，球從甲腳下開始，等可能地隨機傳向另外2人中的1人，接球者接到球后再等可能地隨機傳向另外2人中的1人，如此不停地傳下去，假設(shè)傳出的球都能接?。浀趎次傳球之前球在甲腳下的概率為pn，易知．①試證明：為等比數(shù)列；②設(shè)第n次傳球之前球在乙腳下的概率為qn，比較p10與q10的大?。?．（2023·全國·高三專題練習）小明進行射擊練習，他第一次射擊中靶的概率為0.7，從第二次射擊開始，若前一次中靶，則該次射擊中靶的概率為0.9，否則中靶概率為0.7.(1)求小明射擊3次恰有2次中靶的概率；(2)①分別求小明第2次，第3次中靶的概率.②求小明第n次中靶的概率.4．（2023·全國·高三專題練習）學(xué)?；@球隊30名同學(xué)按照1，2，…，30號站成一列做傳球投籃練習，籃球首先由1號傳出，訓(xùn)練規(guī)則要求：第號同學(xué)得到球后傳給號同學(xué)的概率為，傳給號同學(xué)的概率為，直到傳到第29號（投籃練習）或第30號（投籃練習）時，認定一輪訓(xùn)練結(jié)束，已知29號同學(xué)投籃命中的概率為，30號同學(xué)投籃命中的概率為，設(shè)傳球傳到第號的概率為．(1)求的值；(2)證明：是等比數(shù)列；(3)比較29號和30號投籃命中的概率大?。?．（2023·全國·高三專題練習）某校為了解該校學(xué)生“停課不停學(xué)”的網(wǎng)絡(luò)學(xué)習效率，隨機抽查了高一年級100位學(xué)生的某次數(shù)學(xué)成績（單位：分），得到如下所示的頻率分布直方圖：(1)估計這100位學(xué)生的數(shù)學(xué)成績的平均值；（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值代表）(2)根據(jù)整個年級的數(shù)學(xué)成績可以認為學(xué)生的數(shù)學(xué)成績近似地服從正態(tài)分布，經(jīng)計算，（1）中樣本的標準差s的近似值為10，用樣本平均數(shù)作為的近似值，用樣本標準差s作為的估計值，現(xiàn)任抽取一位學(xué)生，求他的數(shù)學(xué)成績恰在64分到94分之間的概率；（若隨機變量，則，，)(3)該年級1班的數(shù)學(xué)老師為了能每天督促學(xué)生的網(wǎng)絡(luò)學(xué)習，提高學(xué)生每天的作業(yè)質(zhì)量及學(xué)習數(shù)學(xué)的積極性，特意在微信上設(shè)計了一個每日作業(yè)小程序，每當學(xué)生提交的作業(yè)獲得優(yōu)秀時，就有機會參與一次小程序中”玩游戲，得獎勵積分”的活動，開學(xué)后可根據(jù)獲得積分的多少向老師領(lǐng)取相應(yīng)的小獎品.小程序頁面上有一列方格，共15格，剛開始有只小兔子在第1格，每點一下游戲的開始按鈕，小兔子就沿著方格跳一下，每次跳1格或跳2格，概率均為，依次點擊游戲的開始按鈕，直到小兔子跳到第14格（獎勵0分）或第15格（獎勵5分）時，游戲結(jié)束，每天的積分自動累加，設(shè)小兔子跳到第格的概率為，試證明是等比數(shù)列，并求（獲勝的概率）的值.6．（2023·全國·高三專題練習）2022年4月23日是第27個“世界讀書日”，某校組織“讀書使青春展翅，知識讓生命飛翔”主題知識競賽，規(guī)定參賽同學(xué)每答對一題得2分，答錯得1分，不限制答題次數(shù).已知小明能正確回答每題的概率都為，且每次回答問題是相互獨立的，記小明得分的概率為，.(1)求，的值；(2)求.7．（2023春·浙江寧波·高二校聯(lián)考期末）某商場擬在周年店慶進行促銷活動，對一次性消費超過200元的顧客，特別推出“玩游戲，送禮券”的活動，游戲規(guī)則如下：每輪游戲都拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子，若向上點數(shù)不超過4點，獲得1分，否則獲得2分，進行若干輪游戲，若累計得分為9分，則游戲結(jié)束，可得到200元禮券，若累計得分為10分，則游戲結(jié)束，可得到紀念品一份，最多進行9輪游戲.(1)當進行完3輪游戲時，總分為，求的分布列和數(shù)學(xué)期望；(2)若累計得分為的概率為，初始分數(shù)為0分，記（i）證明：數(shù)列是等比數(shù)列；（ii）求活動參與者得到紀念品的概率.8．（2023·全國·高三專題練習）某學(xué)校組織數(shù)學(xué)，物理學(xué)科答題競賽活動，該學(xué)校準備了個相同的箱子，其中第個箱子中有個數(shù)學(xué)題，個物理題．每一輪競賽活動規(guī)則如下：任選一個箱子，依次抽取三個題目（每次取出不放回），并全部作答完畢，則該輪活動結(jié)束；若此輪活動中，三個題目全部答對獲得一個獎品．(1)已知學(xué)生甲在每一輪活動中，都抽中了個數(shù)學(xué)題，個物理題，且甲答對每一個數(shù)學(xué)題的概率為，答對每一個物理題的概率為．①求學(xué)生甲第一輪活動獲得一個獎品的概率；②已知，學(xué)生甲理論上至少要進行多少輪活動才能獲得四個獎品？并求此時、的值．(2)若學(xué)生乙只參加一輪活動，求乙第三次抽到物理題的概率．

專題18數(shù)列（解答題壓軸題）目錄TOC\o"1-1"\h\u①數(shù)列求通項，求和 1②數(shù)列中的恒成立（能成立）問題 11③數(shù)列與函數(shù) 18④數(shù)列與概率 28①數(shù)列求通項，求和1．（2023·江蘇徐州·校考模擬預(yù)測）已知數(shù)列的前項和為，且，．(1)求數(shù)列的通項公式；(2)集合，將集合的所有非空子集中最小的元素相加，其和記為，求．【答案】(1)(2)【詳解】（1）當時，，則，且；當時，，，兩式相減得，∴（），∴當時，，即，則，∴．綜上，對任意都成立．（2），集合的非空子集有個，其中最小元素為1的集合中，含1個元素的集合有1個，含2個元素的集合有個，含3個元素的集合有個，……，含個元素的集合有個，所以最小元素為1的子集個數(shù)為個，同理，最小元素為2的子集個數(shù)為個，……，最小元素為的子集個數(shù)為1個，∴，，∴，則．2．（2023·云南昭通·校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知各項均為正數(shù)的數(shù)列的首項，其前項和為，從①；②，；③中任選一個條件作為已知，并解答下列問題.(1)求數(shù)列的通項公式；(2)設(shè)，設(shè)數(shù)列的前項和，求證：.（注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分）.【答案】(1)條件選擇見解析，(2)證明見解析.【詳解】（1）選擇①：因為，則，兩式相減得，即，而，，則，因此數(shù)列是以為首項，2為公差的等差數(shù)列，所以.選擇②：因為，則，于是當時，，即，由，得，即有，因此，，即數(shù)列是以為首項，2為公差的等差數(shù)列，所以.選擇③：因為，又，則，即，顯然，于是，即是以1為首項，1為公差的等差數(shù)列，從而，即，因此，而滿足上式，所以.（2）由（1）知，，，因此，則，顯然數(shù)列單調(diào)遞減，于是，則，所以.3．（2023·海南?？凇ずＤ先A僑中學(xué)校考一模）已知各項均為正數(shù)的數(shù)列滿足，其中是數(shù)列的前n項和.(1)求數(shù)列的通項公式；(2)若對任意，且當時，總有恒成立，求實數(shù)的取值范圍.【答案】(1)(2).【詳解】（1）∵，∴當時，，解得.當時，，即，∵，∴，∴數(shù)列是以1為首項，2為公差的等差數(shù)列，∴.（2）因為，所以∴當時，，∴，∴，∴實數(shù)的取值范圍為.4．（2023·湖南郴州·安仁縣第一中學(xué)校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知數(shù)列的前項和為.(1)求數(shù)列的通項公式；(2)已知數(shù)列的前項和為（取整函數(shù)表示不超過的整數(shù)，如），求數(shù)列的前100項的和.【答案】(1)(2)【詳解】（1），，即，當時，，又適合上式，所以當時，，所以當時，，當時，，符合上式，.（2），，則，，.5．（2023·湖南郴州·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知正項等比數(shù)列的前n項和為，且滿足，數(shù)列滿足．(1)求數(shù)列的通項公式；(2)設(shè)，求數(shù)列的前項和．【答案】(1)，；(2)．【詳解】（1）設(shè)數(shù)列的公比為q，由已知得，因為，所以，得，又．所以，所以，對于數(shù)列，因為

①當時，，則，當時，

②，由①②得，即，又，也適合上式，故，當時，又，所以；（2）由（1）可得：，則，則數(shù)列的前項和為：，所以：．6．（2023·湖南長沙·長郡中學(xué)校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知數(shù)列滿足，且(1)設(shè)，求數(shù)列的通項公式；(2)設(shè)數(shù)列的前n項和為，求使得不等式成立的n的最小值．【答案】(1)(2)20【詳解】（1）因為所以，，，所以．又因為，所以，所以．因為，所以，又因為，所以，所以，所以，即，所以，又因為，所以，所以，所以數(shù)列是以2為首項，2為公比的等比數(shù)列，所以，即．（2）由（1）可知，所以，所以，又因為，所以，即，所以，所以，因為，，所以是一個增數(shù)列，因為，，所以滿足題意的n的最小值是20．7．（2023·山西運城·山西省運城中學(xué)校?？级＃┮阎獢?shù)列滿足.(1)求數(shù)列的通項公式；(2)記數(shù)列的前項和為，證明：.【答案】(1)(2)證明見解析【詳解】（1）解：由題意，數(shù)列滿足，當時，可得，解得；當時，可得，兩式相減得，所以，當時，，適合上式，所以數(shù)列的通項公式為.（2）解：令，由，可得，所以，因為，可得，所以.8．（2023·福建三明·統(tǒng)考三模）已知數(shù)列滿足，.(1)求數(shù)列的通項公式；(2)設(shè)，的前項和為，證明：.【答案】(1)(2)證明見解析【詳解】（1）因為，，所以，所以.所以，所以為等差數(shù)列，首項為，公差，所以，所以（2）證明：因為，所以.所以，因為，所以，即.9．（2023·湖北武漢·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知是數(shù)列的前項和，，．(1)求數(shù)列的通項公式；(2)若，求數(shù)列的前項和．【答案】(1)(2)【詳解】（1）由，則，兩式相減得：，整理得：，即時，，所以時，，又時，，得，也滿足上式．故．（2）由（1）可知：．記，設(shè)數(shù)列的前項和．當時，；當時，綜上：10．（2023·福建福州·福建省福州第一中學(xué)?？寄M預(yù)測）已知數(shù)列的首項，，.(1)設(shè)，求數(shù)列的通項公式；(2)在與（其中）之間插入個3，使它們和原數(shù)列的項構(gòu)成一個新的數(shù)列.記為數(shù)列的前n項和，求.【答案】(1)(2)【詳解】（1）因為，，所以，取倒得，所以，即，即，因為，所以是，的等比數(shù)列，所以.（2）在之間有2個3，之間有個3，之間有個3，之間有個3，合計個3，所以.11．（2023·山東泰安·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知數(shù)列是遞增的等差數(shù)列，是公比為的等比數(shù)列，的前項和為，且成等比數(shù)列，，成等差數(shù)列．(1)求，的通項公式；(2)若，的前項和．證明：．【答案】(1)，(2)證明見解析【詳解】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，成等比數(shù)列，，得．，則得，．又成等差數(shù)列，，，，．（2）證明：，==若為偶數(shù)，，為遞減數(shù)列，當時，取最大值，且，又，．若為奇數(shù)，，為遞增數(shù)列，當時，取最小值，且，又，．所以，．12．（2023·河北·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知數(shù)列的前項和為，且.(1)證明：數(shù)列是等差數(shù)列；(2)若，，成等比數(shù)列.從下面三個條件中選擇一個，求數(shù)列的前項和.（注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分）①；②；③.【答案】(1)證明見解析(2)答案見解析【詳解】（1）因為，即，當時，解得，當時，所以，即，所以，當時上述式子恒成立，當時兩邊同除可得，即，所以為常數(shù)數(shù)列，即，所以，即，當時上述也成立，所以，所以是以為首項，為公差的等差數(shù)列.（2）設(shè)的公差為，因為，，成等比數(shù)列，所以，即，解得，所以；若選①，則，所以.若選②，則，所以.若選③，則，所以.②數(shù)列中的恒成立（能成立）問題1．（2023·吉林·長春吉大附中實驗學(xué)校?？寄M預(yù)測）圖中的數(shù)陣滿足：每一行從左到右成等差數(shù)列，每一列從上到下成等比數(shù)列，且公比均為實數(shù)．(1)設(shè)，求數(shù)列的通項公式；(2)設(shè)，是否存在實數(shù)，使恒成立，若存在，求出的所有值，若不存在，請說明理由．【答案】(1)；(2)存在，.【詳解】（1）設(shè)，第一行從左到右成等差數(shù)列的公差為，則，由，得，即有，于是，又，解得，因此，所以，即．（2）由（1）知，，當為奇數(shù)時，不等式等價于恒成立，而恒成立，則；當為偶數(shù)時，不等式等價于恒成立，而恒成立，則，因此，所以存在，使得恒成立．2．（2023·河北·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知數(shù)列的前項和為，點在曲線上.(1)證明：數(shù)列為等差數(shù)列；(2)若，數(shù)列的前項和滿足對一切正整數(shù)恒成立，求實數(shù)的值.【答案】(1)證明見解析；(2)【詳解】（1）將點代入曲線得：，故，又，符合上式，所以，則，故為1為首項，為公差的等差數(shù)列；（2）由（1）可知：，若，則，此時，易知單調(diào)遞增，，即；若，則，此時，易知單調(diào)遞減，故，故又時，，，即；綜上所述，對于，滿足不等式恒成立.3．（2023·云南·校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知數(shù)列的前項和為，，，.(1)求數(shù)列的通項公式；(2)設(shè)，的前項和為，若對任意的正整數(shù)，不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍.【答案】(1)(2)【詳解】（1）由，得，又，所以數(shù)列是以為首項，公差為1的等差數(shù)列，∴，即，∴當時，，又不滿足上式，所以.（2）由（1）知，∴，∴，①，②①?②得：，整理得，又因為對任意的正整數(shù)，恒成立，所以，∵，∴在上單調(diào)遞增，，由，可得，所以實數(shù)的取值范圍是.4．（2023·浙江·二模）記為正數(shù)列的前項和，已知是等差數(shù)列.(1)求；(2)求最小的正整數(shù)，使得存在數(shù)列，.【答案】(1)1(2)3【詳解】（1）由題意是等差數(shù)列，設(shè)其公差為d，則，則，故.（2）由（1）可知，一方面，故，當且僅當時，取等號，由于m為正整數(shù)，故，另一方面，時，﹐滿足條件，綜上所述，正整數(shù)m的最小值是3．5．（2023·上海徐匯·統(tǒng)考一模）對于數(shù)列，，其中，對任意正整數(shù)都有，則稱數(shù)列為數(shù)列的“接近數(shù)列”.已知為數(shù)列的“接近數(shù)列”，且，.(1)若（是正整數(shù)），求，，，的值；(2)若（是正整數(shù)），是否存在（是正整數(shù)），使得，如果存在，請求出的最小值，如果不存在，請說明理由；(3)若為無窮等差數(shù)列，公差為，求證：數(shù)列為等差數(shù)列的充要條件是.【答案】(1)，，，(2)存在，(3)證明見解析【詳解】（1）因為，所以，又因為為數(shù)列的“接近數(shù)列”，，所以，只能是，，，；（2）當為奇數(shù)時，，由函數(shù)的單調(diào)性可知，即，得，進一步有，當為偶數(shù)時，，由函數(shù)的單調(diào)性可知，即，得，進一步有，綜上所述：，由前項和公式化簡得，，當為偶數(shù)時，令無解；當為奇數(shù)時，令，所以，，即.因此，存在（是正整數(shù)），使得，且；（3）充要條件為：.①若時，由題意對于任意正整數(shù)均有恒成立，且，則，，從而，即.因為，，所以，即.因此為等差數(shù)列，且公差也為；②若為等差數(shù)列，設(shè)公差為，，又，即，亦即對任意正整數(shù)都成立，所以，，又，得.因此，所求充要條件為.6．（2023·四川雅安·統(tǒng)考模擬預(yù)測）給出以下條件：①，，成等比數(shù)列；②，，成等比數(shù)列；③是與的等差中項．從中任選一個，補充在下面的橫線上，再解答．已知單調(diào)遞增的等差數(shù)列的前n項和為，且，______．(1)求的通項公式；(2)令是以2為首項，2為公比的等比數(shù)列，數(shù)列的前n項和為．若，，求實數(shù)的取值范圍．注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分．【答案】(1)；(2).【詳解】（1）選①，設(shè)遞增等差數(shù)列的公差為，由，，，有，化簡得．則，，所以的通項公式為．選②，設(shè)遞增等差數(shù)列的公差為，由，，，有，化簡得，即，解得，則，所以的通項公式為．選③，設(shè)遞增等差數(shù)列的公差為，由是與的等差中項，得，即，則有，化簡得，即，解得，則，所以的通項公式為．（2）由是以2為首項，2為公比的等比數(shù)列，得，由（1）知，即有，則，于是得，兩式相減得：，因此，又，不等式，等價于，于是得，恒成立，令，則，則時，，即數(shù)列遞增，當時，，即數(shù)列遞減，當時，，則，所以實數(shù)的取值范圍是．③數(shù)列與函數(shù)1．（2023·上海楊浦·復(fù)旦附中?？寄M預(yù)測）設(shè)是定義域為的函數(shù)，如果對任意的、均成立，則稱是“平緩函數(shù)”.(1)若，試判斷和是否為“平緩函數(shù)”?并說明理由;(參考公式:時，恒成立)(2)若函數(shù)是“平緩函數(shù)”，且是以1為周期的周期函數(shù)，證明:對任意的、，均有;(3)設(shè)為定義在上函數(shù)，且存在正常數(shù)使得函數(shù)為“平緩函數(shù)”.現(xiàn)定義數(shù)列滿足:，試證明:對任意的正整數(shù).【答案】(1)答案見解析(2)證明見解析(3)證明見解析【詳解】（1）對于函數(shù)，由對任意的、，，可知函數(shù)是上的“平緩函數(shù)”.對于函數(shù)，由對任意的、，，因此函數(shù)也是上的“平緩函數(shù)”；（2）由已知可得，由于函數(shù)是周期函數(shù)，故不妨設(shè)、.當時，由為上的“平緩函數(shù)”得；當時，不妨設(shè)，，此時由為上的“平緩函數(shù)”得綜上所述，命題得證；（3）由為上的“平緩函數(shù)”，且得，則對任意的，，因此2．（2023春·上海黃浦·高三上海市大同中學(xué)?？茧A段練習）設(shè)函數(shù)，．(1)記，，，．證明：數(shù)列為等差數(shù)列；(2)設(shè)．若對任意均有成立，求m的最大值；(3)是否存在正整數(shù)使得對任意，，都有成立?若存在，求的最小可能值；若不存在，說明理由．【答案】(1)證明見詳解；(2)；(3).【詳解】（1）由題，，兩邊取倒數(shù)得，，即，所以數(shù)列為首項是，公差是的等差數(shù)列.（2）令，，則恒成立.,當時，，所以在單調(diào)遞增.又，所以則成立.故.當時，當，，故在單調(diào)遞減；當，，故在單調(diào)遞增.故與矛盾.綜上，，所以m的最大值是.（3）令，，則，所以在單調(diào)遞減，又，所以，即.令分別取得，，，，累加得，即整理得要使存在正整數(shù)使得對任意，，都有成立，只需，即，化簡得，所以.又且為正整數(shù)，故.所以存在正整數(shù)使得對任意，，都有成立，的最小可能值是.3．（2023春·上海閔行·高二上海市七寶中學(xué)?？计谥校┮阎?，．(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(2)容易證明對任意的都成立，若點的坐標為，、為函數(shù)圖像上橫坐標均大于1的不同兩點，試證明：；(3)數(shù)列滿足，，證明：．【答案】(1)減區(qū)間為，增區(qū)間為.(2)證明見解析(3)證明見解析【詳解】（1）因為，定義域為，所以，令，解得，令，解得，所以函數(shù)的減區(qū)間為，增區(qū)間為.（2）構(gòu)造函數(shù)，則，當時，函數(shù)單調(diào)遞減，則，所以在恒成立，所以在單調(diào)遞減，所以，所以在恒成立，又由（1）可知，當時，，所以當時，的圖象始終夾在直線和直線之間，且的圖象不會和直線和直線相交，又因為直線和直線的夾角為，因此恒成立，命題得證.（3），恒成立，且，所以當時，，又由（1）可知數(shù)在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，因為，所以，，，，又因為，所以，所以，又因為在單調(diào)遞減，所以，即即，所以，則，所以.4．（2023春·吉林通化·高二梅河口市第五中學(xué)?？茧A段練習）已知函數(shù).(1)令，討論的單調(diào)性；(2)證明：；(3)若，對于任意的，不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍.【答案】(1)答案見解析(2)證明見解析(3)【詳解】（1），而，①當時，恒成立，所以在上遞減，上遞減；②當時，令，得或；令，得.所以在上遞減，在上遞減，在上遞增；③當時，令，得或；令，得.所以在上遞減，在上遞減，在上遞增.綜上所述，當時，在上遞減，上遞減；當時，在上遞減，在上遞減，在上遞增；當時，在上遞減，在上遞減，在上遞增.（2）由（1）得：當時，當，此時，又當，，當且僅當，等號成立.令，得到，.（3）①，當時，不等式顯然，所以此時不成立；②，不等式顯然成立.③，令，則，令，則.所以當時，單調(diào)遞減；當時，單調(diào)遞增.所以，令，則，則，令，即，則，所以當，單調(diào)遞減；當，單調(diào)遞增則，所以.綜上所述，.5．（2023·全國·高三專題練習）若函數(shù)是其定義域內(nèi)的區(qū)間上的嚴格增函數(shù)，而是上的嚴格減函數(shù)，則稱是上的“弱增函數(shù)”.若數(shù)列是嚴格增數(shù)列，而是嚴格減數(shù)列，則稱是“弱增數(shù)列”.(1)判斷函數(shù)是否為上的“弱增函數(shù)”，并說明理由（其中是自然對數(shù)的底數(shù)）；(2)已知函數(shù)與函數(shù)的圖像關(guān)于坐標原點對稱，若是上的“弱增函數(shù)”，求的最大值；(3)已知等差數(shù)列是首項為4的“弱增數(shù)列”，且公差d是偶數(shù).記的前項和為，設(shè)是正整數(shù)，常數(shù)，若存在正整數(shù)和，使得且，求所有可能的值.【答案】(1)是上的“弱增函數(shù)”，理由見解析(2)1(3)所有可能的值為和【詳解】（1）函數(shù)是上的“弱增函數(shù)”，理由如下：顯然，是上的嚴格增函數(shù)，對于函數(shù)，，當時，恒成立，故是上的嚴格減函數(shù)，從而是上的“弱增函數(shù)”.（2）記，由題意得，，由是上的“弱增函數(shù)”可得函數(shù)是上的嚴格增函數(shù)，而是上的嚴格減函數(shù)，函數(shù)圖像的對稱軸為，且是區(qū)間上的嚴格增函數(shù)，令，則，當，即時，解得或，當時，，則函數(shù)在上單調(diào)遞減，即函數(shù)是區(qū)間上的嚴格減函數(shù)，由是上的“弱增函數(shù)”，得，所以，所以的最大值為1.（3），由是“弱增數(shù)列”得，即.又因為d是偶數(shù)，所以，從而.故，由得，所以當時，，即，故若，則不存在和，使得.從而.若，解得，滿足；若，解得，滿足；若，解得，不滿足.當時，，故不存在大于5的正整數(shù)，使得.綜上，所有可能的值為和.6．（2023·上海楊浦·統(tǒng)考一模）已知函數(shù)，其中為正整數(shù)，且為常數(shù)．(1)求函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間；(2)若對于任意，函數(shù)，在內(nèi)均存在唯一零點，求a的取值范圍；(3)設(shè)是函數(shù)大于0的零點，其構(gòu)成數(shù)列．問：是否存在實數(shù)a使得中的部分項：，，，（其中時，）構(gòu)成一個無窮等比數(shù)列若存在；求出a；若不存在請說明理由．【答案】(1)(2)(3)存在；【詳解】（1）解：由題知，所以，令得，所以函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為．（2）解：當時，恒成立，所以，函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以函數(shù)在內(nèi)均存在唯一零點只需即可，即因為為正整數(shù)，，所以對一切成立因為當時，，當且僅當時等號成立，所以．（3）解：由于得，下面證明時滿足題意.①，則．則．由（2），是上的嚴格增函數(shù)，所以．所以，是恒為1的常數(shù)列，符合題意．②．，由于是上的嚴格增函數(shù)，所以．，由于是上的嚴格增函數(shù)，所以．所以，是嚴格增數(shù)列，那么無窮等比數(shù)列也為嚴格增數(shù)列．所以，．當時，．但這與矛盾故不符合題意．③時，，由于是上的嚴格增函數(shù)，所以．，由于是上的嚴格增函數(shù)，所以．所以，是嚴格減數(shù)列，那么無窮等比數(shù)列也為嚴格減數(shù)列．所以，．當時，．但這與矛盾故不符合題意．綜上，使數(shù)列部分項可以構(gòu)成等比數(shù)列的充要條件是：．7．（2023·全國·高三專題練習）已知等差數(shù)列公差為，前n項和為.(1)若，，求的通項公式；(2)若，、、成等比數(shù)列，且存在正整數(shù)p、，使得與均為整數(shù)，求的值；(3)若，證明對任意的等差數(shù)列，不等式恒成立.【答案】(1)；(2)15；(3)證明見解析．【詳解】（1）設(shè)的公差為，則，，所以；（2）設(shè)的公差為，由、、成等比數(shù)列得，，∵，∴，，都是正整數(shù)，，都是整數(shù)，顯然是正整數(shù)，設(shè)，（都是正整數(shù)），代入得，∴，，則，若，，則，不合題意，若，則，，若，，則，，不合題意，若，，則，，所以或，即．（3）的定義域是R，，∴是奇函數(shù)，又，設(shè)，則，，從而，即，所以是增函數(shù)，是等差數(shù)列，則，若（），則，，，，（），∴，∴，若（），則，，，，（），∴，∴，綜上，對任意的等差數(shù)列，．④數(shù)列與概率1．（2023·湖南·校聯(lián)考模擬預(yù)測）一部電視連續(xù)劇共有集，某同學(xué)看了第一集后，被該電視劇的劇情所吸引，制定了如下的觀看計劃：從看完第一集后的第一天算起，把余下的集電視劇隨機分配在天內(nèi)；每天要么不看，要么看完完整的一集；每天至多看一集．已知這部電視劇最精彩的部分在第集，設(shè)該同學(xué)觀看第一集后的第天觀看該集．(1)求的分布列；(2)證明：最有可能在第天觀看最精彩的第集．【答案】(1)分布列見解析(2)證明見解析【詳解】（1）要在第一集后的第天中觀看后集電視劇，考慮第集在時的概率，則在第天要看集（即第2集到第集），在第天看第集，在第天要看第集（即最后一集），所以，，解得，且，故的分布列是：（2）設(shè)，，下面求中的最大項，因為，由于，則，，所以，即，解得，且，所以時，有，同理可得時，有．所以，所以中的最大項為，即最有可能在第天觀看第集．2．（2023春·河北唐山·高二校考期末）第22屆世界杯于2022年11月21日到12月18日在卡塔爾舉辦．在決賽中，阿根廷隊通過點球戰(zhàn)勝法國隊獲得冠軍．(1)撲點球的難度一般比較大，假設(shè)罰點球的球員會等可能地隨機選擇球門的左?中?右三個方向射門，門將也會等可能地隨機選擇球門的左?中?右三個方向來撲點球，而且門將即使方向判斷正確也有的可能性撲不到球．不考慮其它因素，在一次點球大戰(zhàn)中，求門將在前三次撲到點球的個數(shù)X的分布列和期望；(2)好成績的取得離不開平時的努力訓(xùn)練，甲?乙?丙三名前鋒隊員在某次傳接球的訓(xùn)練中，球從甲腳下開始，等可能地隨機傳向另外2人中的1人，接球者接到球后再等可能地隨機傳向另外2人中的1人，如此不停地傳下去，假設(shè)傳出的球都能接?。浀趎次傳球之前球在甲腳下的概率為pn，易知．①試證明：為等比數(shù)列；②設(shè)第n次傳球之前球在乙腳下的概率為qn，比較p10與q10的大?。敬鸢浮?1)分布列見解析；期望為(2)①證明見解析；②【詳解】（1）方法一：的所有可能取值為，在一次撲球中，撲到點球的概率，所以，，所以的分布列如下：0123方法二：依題意可得，門將每次可以撲到點球的概率為，門將在前三次撲到點球的個數(shù)可能的取值為，易知，所以，故的分布列為：0123所以的期望．（2）①第次傳球之前球在甲腳下的概率為，則當時，第次傳球之前球在甲腳下的概率為，第次傳球之前球不在甲腳下的概率為，則，即，又，所以是以為首項，公比為的等比數(shù)列．②由①可知，所以，所以，故．3．（2023·全國·高三專題練習）小明進行射擊練習，他第一次射擊中靶的概率為0.7，從第二次射擊開始，若前一次中靶，則該次射擊中靶的概率為0.9，否則中靶概率為0.7.(1)求小明射擊3次恰有2次中靶的概率；(2)①分別求小明第2次，第3次中靶的概率.②求小明第n次中靶的概率.【答案】(1)(2)①第2次中靶的概率為，第3次中靶的概率為；②小明第n次中靶的概率為【詳解】（1）小明射擊3次恰有2次中靶包括以下三種情況：第一種：第一、二次中靶，第三次未中靶，其概率為；第二種：第一、三次中靶，第二次未中靶，其概率為；第三種：第二、三次中靶，第一次未中靶，其概率為;所以，小明射擊3次恰有2次中靶的概率為（2）小明第2次中靶的概率由以下兩種情況組成：第一種：第一次中靶、第二次也中靶，其概率為；第二種：第一次未中靶、第二次中靶，其概率為；所以，小明第2次中靶的概率為.因此，小明第2次未中靶的概率為同理，第3次中靶的概率包括以下兩種情況：第一種：第二次中靶、第三次也中靶，其概率為；第二種：第二次未中靶、第三次中靶，其概率為；則小明第3次中靶的概率為②設(shè)小明第n次中靶的概率為，則第次中靶的概率為，第n次中靶的概率由以下兩種情況組成：第一種：第次中靶，第n次也中靶，其概率為；第二種：第次未中靶，第n次中靶，其概率為；第n次中靶的概率即，即數(shù)列是以為首項，為公比的等比數(shù)列；所以，即當時，符合該式；所以，小明第n次中靶的概率為4．（2023·全國·高三專題練習）學(xué)?；@球隊30名同學(xué)按照1，2，…，30號站成一列做傳球投籃練習，籃球首先由1號傳出，訓(xùn)練規(guī)則要求：第號同學(xué)得到球后傳給號同學(xué)的概率為，傳給號同學(xué)的概率為，直到傳到第29號（投籃練習）或第30號（投籃練習）時，認定一輪訓(xùn)練結(jié)束，已知29號同學(xué)投籃命中的概率為，30號同學(xué)投籃命中的概率為，設(shè)傳球傳到第號的概率為．(1)求的值；(2)證明：是等比數(shù)列；(3)比較29號和30號投籃命中的概率大?。敬鸢浮?1)(2)證明見解析(3)29號投籃命中概率大于30號投籃命中概率．【詳解】（1）解：依題意，籃球傳到4號有以下三種途徑：1號傳2號傳3號傳4號其概率為；1號傳2號傳4號其概率為；1號傳3號傳4號其概率為，因此．（2）解：依題意籃球傳到第號，再傳給號其概率為；籃球傳到第號，再傳給號其概率為，因此有，可得，且，所以是首先為，公比為的等比數(shù)列．（3）解：，，，，，，由累加法，可得，所以，，所以號投籃命中的概率為號投籃命中的概率為，因為，所以29號投籃命中概率大于30號投籃命中概率．5．（2023·全國·高三專題練習）某校為了解該校學(xué)生“停課不停學(xué)”的網(wǎng)絡(luò)學(xué)習效率，隨機抽查了高一年級100位學(xué)生的某次數(shù)學(xué)成績（單位：分），得到如下所示的頻率分布直方圖：(1)估計這100位學(xué)生的數(shù)學(xué)成績的平均值；（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值代表）(2)根據(jù)整個年級的數(shù)學(xué)成績可以認為學(xué)生的數(shù)學(xué)成績近似地服從正態(tài)分布，經(jīng)計算，（1）中樣本的標準差s的近似值為10，用樣本平均數(shù)作為的近似值，用樣本標準差s作為的估計值，現(xiàn)任抽取一位學(xué)生，求他的數(shù)學(xué)成績恰在64分到94分之間的概率；（若隨機變量，則，，)(3)該年級1班的數(shù)學(xué)老師為了能每天督促學(xué)生的網(wǎng)絡(luò)學(xué)習，提高學(xué)生每天的作業(yè)質(zhì)量及學(xué)習數(shù)學(xué)的積極性，特意在微信上設(shè)計了一個每日作業(yè)小程序，每當學(xué)生提交的作業(yè)獲得優(yōu)秀時，就有機會參與一次小程序中”玩游戲，得獎勵積分”的活動，開學(xué)后可根據(jù)獲得積分的多少向老師領(lǐng)取相應(yīng)的小獎品.小程序頁面上有一列方格，共15格，剛開始有只小兔子在第1格，每點一下游戲的開始按鈕，小兔子就沿著方格跳一下，每次跳1格或跳2格，概率均為，依次點擊游戲的開始按鈕，直到小兔子跳到第14格（獎勵0分）或第15格（獎勵5分）時，游戲結(jié)束，每天的積分自動累加，設(shè)小兔子跳到第格的概率為，試證明是等比數(shù)列，并求（獲勝的概率）的值.【答案】(1)(2)(3)證明見解析，【詳解