《高考數(shù)學(xué)壓軸題通法訓(xùn)練•高分必刷系列》專題17數(shù)列（選填壓軸題）含答案及解析

專題17數(shù)列（選填壓軸題）目錄TOC\o"1-1"\h\u①等差數(shù)列 1②等比數(shù)列 3③數(shù)列的通項(xiàng) 4④遞推數(shù)列 5⑤數(shù)列求和 6⑥數(shù)列的極限 7⑦等差數(shù)列與等比數(shù)列綜合 8⑧數(shù)列不等式 9⑨數(shù)列新定義 11①等差數(shù)列1．（2023·福建寧德·?？级＃┮阎菙?shù)列的前項(xiàng)和，，，，數(shù)列是公差為1的等差數(shù)列，則（

）A．366 B．367 C．368 D．3692．（2023·江西上饒·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）在正項(xiàng)數(shù)列中，，記．整數(shù)滿足，則數(shù)列的前項(xiàng)和為（

）A． B． C． D．3．（多選）（2023·山東·山東省實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？家荒＃┮阎獮榈炔顢?shù)列，前n項(xiàng)和為，，公差，則（

）．A．B．C．當(dāng)或6時(shí)，取得最大值為30D．?dāng)?shù)列與數(shù)列共有671項(xiàng)互為相反數(shù)4．（多選）（2023·湖南長(zhǎng)沙·周南中學(xué)?？既＃┮阎獢?shù)列的前n項(xiàng)和是，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．若，則是等差數(shù)列B．若，，則是等比數(shù)列C．若是等差數(shù)列，則，，成等差數(shù)列D．若是等比數(shù)列，則，，成等比數(shù)列5．（2023·福建泉州·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知是等差數(shù)列{}的前n項(xiàng)和，若僅當(dāng)時(shí)取到最小值，且，則滿足的n的最小值為.6．（2023·上海青浦·統(tǒng)考二模）已知數(shù)列滿足，若滿足且對(duì)任意，都有，則實(shí)數(shù)的取值范圍是.7．（2023·福建福州·福州四中?？寄M預(yù)測(cè)）已知無(wú)窮等差數(shù)列中的各項(xiàng)均大于0，且，則的最小值為.8．（2023·海南省直轄縣級(jí)單位·文昌中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）已知各項(xiàng)都不為0的數(shù)列的前項(xiàng)和滿足，其中，設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，若對(duì)一切，恒有成立，則能取到的最大整數(shù)是.9．（2023·山東煙臺(tái)·統(tǒng)考三模）如圖，某數(shù)陣滿足：每一行從左到右成等差數(shù)列，每一列從上到下成公比相同的等比數(shù)列，數(shù)陣中各項(xiàng)均為正數(shù)，，，則；在數(shù)列中的任意與兩項(xiàng)之間，都插入個(gè)相同的數(shù)，組成數(shù)列，記數(shù)列的前項(xiàng)和為，則．10．（2023·云南·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）定義表示與實(shí)數(shù)的距離最近的整數(shù)（當(dāng)為兩相鄰整數(shù)的算術(shù)平均值時(shí)，取較大整數(shù)），如，，，，令函數(shù)，數(shù)列的通項(xiàng)公式為，其前項(xiàng)和為，則；.②等比數(shù)列1．（2023·陜西寶雞·統(tǒng)考二模）已知是等比數(shù)列的前項(xiàng)和，且，則（

）A． B． C． D．2．（2023·四川綿陽(yáng)·三臺(tái)中學(xué)?？家荒＃┮阎黜?xiàng)都為正數(shù)的等比數(shù)列，滿足，若存在兩項(xiàng)，，使得，則最小值為（

）A．2 B． C． D．13．（2023·四川·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）在數(shù)列中，，，且，則下列結(jié)論成立的是（

）A． B．C． D．4．（2023·山東青島·統(tǒng)考二模）設(shè)表示不超過(guò)的最大整數(shù)（例如：，），則（

）A． B． C． D．5．（2023·河南開(kāi)封·開(kāi)封高中?？寄M預(yù)測(cè)）已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，，且，若不等式對(duì)一切恒成立，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．6．（多選）（2023·福建三明·統(tǒng)考三模）設(shè)等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，前項(xiàng)積為，若滿足，，，則下列選項(xiàng)正確的是（

）A．為遞減數(shù)列 B．C．當(dāng)時(shí)，最小 D．當(dāng)時(shí)，的最小值為40477．（2023·福建泉州·統(tǒng)考三模）某商場(chǎng)設(shè)有電子盲盒機(jī)，每個(gè)盲盒外觀完全相同，規(guī)定每個(gè)玩家只能用一個(gè)賬號(hào)登陸，且每次只能隨機(jī)選擇一個(gè)開(kāi)啟．已知玩家第一次抽盲盒，抽中獎(jiǎng)品的概率為，從第二次抽盲盒開(kāi)始，若前一次沒(méi)抽中獎(jiǎng)品，則這次抽中的概率為，若前一次抽中獎(jiǎng)品，則這次抽中的概率為．記玩家第次抽盲盒，抽中獎(jiǎng)品的概率為，則（

）A． B．?dāng)?shù)列為等比數(shù)列C． D．當(dāng)時(shí)，越大，越小8．（2023·重慶巴南·統(tǒng)考一模）已知等比數(shù)列滿足：，.數(shù)列滿足，其前項(xiàng)和為，若恒成立，則的最小值為.9．（2023·黑龍江·黑龍江實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？既＃┮阎獢?shù)列的通項(xiàng)公式是，記為在區(qū)間內(nèi)項(xiàng)的個(gè)數(shù)，則，不等式成立的的最小值為．10．（2023·山東菏澤·統(tǒng)考二模）設(shè)數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，在和之間插入1個(gè)數(shù)，使，，成等差數(shù)列；在和之間插入2個(gè)數(shù)，，使，，，成等差數(shù)列；…；在和之間插入n個(gè)數(shù)，，…，，使，，，…，，成等差數(shù)列.則＝；令，則＝.③數(shù)列的通項(xiàng)1．（2023·山東濟(jì)寧·嘉祥縣第一中學(xué)統(tǒng)考三模）已知函數(shù)，滿足，.若，函數(shù)，則（

）A．3036 B．3034 C．3032 D．30302．（2023春·浙江杭州·高三浙江省杭州第二中學(xué)?？茧A段練習(xí)）數(shù)列滿足，，則（

）A． B． C． D．3．（多選）（2023·江蘇揚(yáng)州·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）定義：在數(shù)列的每相鄰兩項(xiàng)之間插入此兩項(xiàng)的積，形成新的數(shù)列，這樣的操作叫作該數(shù)列的一次“美好成長(zhǎng)”．將數(shù)列、進(jìn)行“美好成長(zhǎng)”，第一次得到數(shù)列、、；第二次得到數(shù)列、、、、；；設(shè)第次“美好成長(zhǎng)”后得到的數(shù)列為、、、、、，并記，則（

）A． B．C． D．?dāng)?shù)列的前項(xiàng)和為4．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）數(shù)列，，，該數(shù)列為著名的裴波那契數(shù)列，它是自然界的產(chǎn)物揭示了花瓣的數(shù)量、樹(shù)木的分叉、植物種子的排列等植物的生長(zhǎng)規(guī)律，則下面結(jié)論正確的是（

）A． B．C．?dāng)?shù)列為等比數(shù)列 D．?dāng)?shù)列為等比數(shù)列5．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）引得無(wú)數(shù)球迷心情澎湃的世界杯，于今年在卡塔爾舉行，為了弘揚(yáng)頑強(qiáng)拼搏的體育競(jìng)技精神，某學(xué)校的足球社團(tuán)利用課余時(shí)間展開(kāi)“三人足球”的比賽，比賽的第一階段為“傳球訓(xùn)練賽”，即參賽的甲、乙、丙三名同學(xué)，第一次傳球從乙開(kāi)始，隨機(jī)地傳球給其他兩人中的任意一人，接球者再隨機(jī)地將球傳給其他兩人中的任意一人，則第6次傳球，重新由乙同學(xué)傳球的概率為．6．（2023春·湖北武漢·高二武漢西藏中學(xué)?？计谀┮阎c(diǎn)列，其中．是線段的中點(diǎn)，是線段的中點(diǎn)，…，是線段的中點(diǎn)，…．記．則；．④遞推數(shù)列1．（2023春·安徽黃山·高二統(tǒng)考期末）數(shù)列中，，對(duì)任意正整數(shù)都滿足，數(shù)列，若，則（

）A． B． C． D．2．（2023春·新疆·高二校聯(lián)考期末）若數(shù)列滿足，則（

）A．2 B． C． D．3．（2023春·廣西河池·高二校聯(lián)考期中）已知數(shù)列滿足，，，則（

）A． B．3 C． D．4．（多選）（2023春·江西贛州·高二江西省龍南中學(xué)?？计谀┮阎堑那皀項(xiàng)和，，，則（

）A． B．C． D．是以3為周期的周期數(shù)列5．（2023春·浙江·高二期中）已知數(shù)列滿足，其中是給定的實(shí)數(shù).設(shè)，以下判斷正確的是（

）A．是等差數(shù)列B．C．的通項(xiàng)公式為D．?dāng)?shù)列的最小項(xiàng)是6．（2023·貴州黔東南·凱里一中?？寄M預(yù)測(cè)）已知數(shù)列滿足：，，若，則數(shù)列的前50項(xiàng)和為.7．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）函數(shù)為數(shù)學(xué)家高斯創(chuàng)造的取整函數(shù)，表示不超過(guò)的最大整數(shù)，如，，已知數(shù)列滿足，且，若，則數(shù)列的前2023項(xiàng)和為.8．（2023春·山東·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）在數(shù)列中，，，則；的前40項(xiàng)和為.⑤數(shù)列求和1．（2023·北京·?？寄M預(yù)測(cè)）已知公差不為零的等差數(shù)列滿足：，且是與的等比中項(xiàng).設(shè)數(shù)列滿足，則數(shù)列的前項(xiàng)和為（

）A． B．C． D．2．（2023·福建廈門·廈門一中?？家荒＃┮阎獢?shù)列滿足：，，則數(shù)列的前項(xiàng)的和為（

）A． B． C． D．3．（多選）（2023春·安徽亳州·高二亳州二中?？计谥校┮阎獢?shù)列滿足，，數(shù)列的前n項(xiàng)和為，則（

）A． B．C． D．4．（多選）（2023春·重慶沙坪壩·高二重慶八中校考期末）已知數(shù)列滿足，，，為數(shù)列的前項(xiàng)和，則下列說(shuō)法正確的有（

）A． B．C． D．的最大值為5．（2023春·湖南·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）我們定義為數(shù)列的“特別數(shù)”．現(xiàn)已知數(shù)列的“特別數(shù)”為，則．6．（2023·陜西西安·陜西師大附中?？寄M預(yù)測(cè)）數(shù)列中，．定義：使數(shù)列的前項(xiàng)的積為整數(shù)的數(shù)叫做期盼數(shù)，則區(qū)間內(nèi)的所有期盼數(shù)的和等于.7．（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）已知數(shù)列滿足，數(shù)列的通項(xiàng)公式為，記數(shù)列的前項(xiàng)和為，則；若存在正數(shù)，使對(duì)任意恒成立，則的最小值為.⑥數(shù)列的極限1．（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）若數(shù)列滿足：，其中且，若對(duì)任意成立，則實(shí)數(shù)的最小值是（

）A． B．4 C． D．2．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知，記表示中的最大值，表示中的最小值．若，，數(shù)列和滿足，，，，，則下列說(shuō)法中正確的是（）A．若，則存在正整數(shù)，使得B．若，則C．若，則D．若，則存在正整數(shù)，使得3．（多選）（2023春·江西上饒·高二校聯(lián)考期中）如圖，有一列曲線，，……，，……，且1是邊長(zhǎng)為1的等邊三角形，是對(duì)進(jìn)行如下操作而得到：將曲線的每條邊進(jìn)行三等分，以每邊中間部分的線段為邊，向外作等邊三角形，再將中間部分的線段去掉得到，記曲線的邊數(shù)為，周長(zhǎng)為，圍成的面積為，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．?dāng)?shù)列{}是首項(xiàng)為3，公比為4的等比數(shù)列B．?dāng)?shù)列{}是首項(xiàng)為3，公比為的等比數(shù)列C．?dāng)?shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列D．當(dāng)n無(wú)限增大時(shí)，趨近于定值4．（多選）（2023·江蘇·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）佩爾數(shù)列是一個(gè)呈指數(shù)增長(zhǎng)的整數(shù)數(shù)列．隨著項(xiàng)數(shù)越來(lái)越大，其后一項(xiàng)與前一項(xiàng)的比值越來(lái)越接近于一個(gè)常數(shù)，該常數(shù)稱為白銀比．白銀比和三角平方數(shù)、佩爾數(shù)及正八邊形都有關(guān)系．記佩爾數(shù)列為，且，，．則（

）A． B．?dāng)?shù)列是等比數(shù)列C． D．白銀比為5．（2023春·上海浦東新·高一上海市進(jìn)才中學(xué)?？计谀┮阎獢?shù)列的前項(xiàng)和為，數(shù)列滿足，則.⑦等差數(shù)列與等比數(shù)列綜合1．（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）對(duì)于無(wú)窮數(shù)列，給出下列命題：①若既是等差數(shù)列，又是等比數(shù)列，則是常數(shù)列；②若等差數(shù)列滿足，則是常數(shù)列；③若等比數(shù)列滿足，則是常數(shù)列；④若各項(xiàng)為正數(shù)的等比數(shù)列滿足，則是常數(shù)列．其中正確的命題個(gè)數(shù)是（

）．A．1 B．2 C．3 D．42．（2023春·廣東佛山·高二?？茧A段練習(xí)）已知數(shù)列1、1、2、1、2、4、1、2、4、8、1、2、4、8、16、…，其中第一項(xiàng)是，接下來(lái)的兩項(xiàng)是、，再接下來(lái)的三項(xiàng)是、、，以此類推，若且該數(shù)列的前項(xiàng)和為2的整數(shù)冪，則的最小值為（

）A．440 B．330 C．220 D．1103．（多選）（2023春·廣西河池·高二校聯(lián)考期中）在數(shù)列中，如果對(duì)任意，都有（為常數(shù)），則稱數(shù)列為比等差數(shù)列，稱為比公差.則下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（

）A．等比數(shù)列一定是比等差數(shù)列，且比公差B．等差數(shù)列一定不是比等差數(shù)列C．若數(shù)列是等差數(shù)列，是等比數(shù)列，則數(shù)列一定是比等差數(shù)列D．若數(shù)列滿足，，則該數(shù)列不是比等差數(shù)列4．（多選）（2023春·安徽蚌埠·高二蚌埠二中校考階段練習(xí)）在數(shù)列中，如果對(duì)任意都有（為常數(shù)），則稱為等差比數(shù)列，k稱為公差比下列說(shuō)法正確的是（

）A．等差數(shù)列一定是等差比數(shù)列B．等差比數(shù)列的公差比一定不為0C．若，則數(shù)列是等差比數(shù)列D．若等比數(shù)列是等差比數(shù)列，則其公比等于公差比5．（2023春·天津·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）等比數(shù)列中，各項(xiàng)都是正數(shù)，且,,成等差數(shù)列，則=．6．（2023春·吉林長(zhǎng)春·高二校考階段練習(xí)）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為（），且滿足，若對(duì)恒成立，則首項(xiàng)的取值范圍是．⑧數(shù)列不等式1．（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）對(duì)于無(wú)窮數(shù)列，給出下列命題：①若既是等差數(shù)列，又是等比數(shù)列，則是常數(shù)列；②若等差數(shù)列滿足，則是常數(shù)列；③若等比數(shù)列滿足，則是常數(shù)列；④若各項(xiàng)為正數(shù)的等比數(shù)列滿足，則是常數(shù)列．其中正確的命題個(gè)數(shù)是（

）．A．1 B．2 C．3 D．42．（2023春·廣東佛山·高二?？茧A段練習(xí)）已知數(shù)列1、1、2、1、2、4、1、2、4、8、1、2、4、8、16、…，其中第一項(xiàng)是，接下來(lái)的兩項(xiàng)是、，再接下來(lái)的三項(xiàng)是、、，以此類推，若且該數(shù)列的前項(xiàng)和為2的整數(shù)冪，則的最小值為（

）A．440 B．330 C．220 D．1103．（多選）（2023春·廣西河池·高二校聯(lián)考期中）在數(shù)列中，如果對(duì)任意，都有（為常數(shù)），則稱數(shù)列為比等差數(shù)列，稱為比公差.則下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（

）A．等比數(shù)列一定是比等差數(shù)列，且比公差B．等差數(shù)列一定不是比等差數(shù)列C．若數(shù)列是等差數(shù)列，是等比數(shù)列，則數(shù)列一定是比等差數(shù)列D．若數(shù)列滿足，，則該數(shù)列不是比等差數(shù)列4．（多選）（2023春·安徽蚌埠·高二蚌埠二中?？茧A段練習(xí)）在數(shù)列中，如果對(duì)任意都有（為常數(shù)），則稱為等差比數(shù)列，k稱為公差比下列說(shuō)法正確的是（

）A．等差數(shù)列一定是等差比數(shù)列B．等差比數(shù)列的公差比一定不為0C．若，則數(shù)列是等差比數(shù)列D．若等比數(shù)列是等差比數(shù)列，則其公比等于公差比5．（2023春·天津·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）等比數(shù)列中，各項(xiàng)都是正數(shù)，且,,成等差數(shù)列，則=．6．（2023春·吉林長(zhǎng)春·高二?？茧A段練習(xí)）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為（），且滿足，若對(duì)恒成立，則首項(xiàng)的取值范圍是．⑨數(shù)列新定義1．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）南宋數(shù)學(xué)家楊輝在《詳解九章算術(shù)》中提出了高階等差數(shù)列的問(wèn)題，即一個(gè)數(shù)列本身不是等差數(shù)列，但從數(shù)列中的第二項(xiàng)開(kāi)始，每一項(xiàng)與前一項(xiàng)的差構(gòu)成等差數(shù)列（則稱數(shù)列為一階等差數(shù)列），或者仍舊不是等差數(shù)列，但從數(shù)列中的第二項(xiàng)開(kāi)始，每一項(xiàng)與前一項(xiàng)的差構(gòu)成等差數(shù)列（則稱數(shù)列為二階等差數(shù)列），依次類推，可以得到高階等差數(shù)列.類比高階等差數(shù)列的定義，我們亦可定義高階等比數(shù)列，設(shè)數(shù)列：1，1，3，27，729…是一階等比數(shù)列，則的值為（參考公式：）（

）A．60 B．120 C．240 D．4802．（2023春·黑龍江牡丹江·高二牡丹江市第二高級(jí)中學(xué)校考期末）已知定義數(shù)列為數(shù)列的“差數(shù)列”，若的“差數(shù)列”的第項(xiàng)為，則數(shù)列的前2023項(xiàng)和（

）A． B． C． D．3．（2023·河南·河南省內(nèi)鄉(xiāng)縣高級(jí)中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）“角谷猜想”首先流傳于美國(guó)，不久便傳到歐洲，后來(lái)一位名叫角谷靜夫的日本人又把它帶到亞洲，因而人們就順勢(shì)把它叫作“角谷猜想”.“角谷猜想”是指一個(gè)正整數(shù)，如果是奇數(shù)就乘以3再加1，如果是偶數(shù)就除以2，這樣經(jīng)過(guò)若干次運(yùn)算，最終回到1.對(duì)任意正整數(shù)，按照上述規(guī)則實(shí)施第次運(yùn)算的結(jié)果為，若，且均不為1，則（

）A．5或16 B．5或32C．5或16或4 D．5或32或44．（2023春·上海寶山·高一上海交大附中校考期末）意大利著名數(shù)學(xué)家斐波那契在研究兔子繁殖問(wèn)題時(shí)，發(fā)現(xiàn)有這樣一列數(shù)：.該數(shù)列的特點(diǎn)如下：前兩個(gè)數(shù)都是1，從第三個(gè)數(shù)起，每一個(gè)數(shù)都等于它前面兩個(gè)數(shù)的和.人們把由這樣一列數(shù)組成的數(shù)列稱為“斐波那契數(shù)列”，記是數(shù)列的前項(xiàng)和，則.5．（2023·遼寧大連·育明高中?？家荒＃┠掣咧袌D書館為畢業(yè)生提供網(wǎng)上閱讀服務(wù)，其中電子閱覽系統(tǒng)的登錄碼由學(xué)生的屆別+班級(jí)+學(xué)號(hào)+特別碼構(gòu)成.這個(gè)特別碼與如圖數(shù)表有關(guān)，數(shù)表構(gòu)成規(guī)律是：第一行數(shù)由正整數(shù)從小到大排列得到，下一行數(shù)由前一行每?jī)蓚€(gè)相鄰數(shù)的和寫在這兩個(gè)數(shù)正中間下方得到.以此類推特別碼是學(xué)生屆別數(shù)對(duì)應(yīng)表中相應(yīng)行的自左向右第一個(gè)數(shù)的個(gè)位數(shù)字，如：1997屆3班21號(hào)學(xué)生的登陸碼為1997321*.（*為表中第1997行第一個(gè)數(shù)的個(gè)位數(shù)字）.若已知某畢業(yè)生的登錄碼為201*2138，則可以推斷該畢業(yè)生是屆2班13號(hào)學(xué)生.6．（2023·安徽黃山·屯溪一中校考模擬預(yù)測(cè)）對(duì)于數(shù)列，記，，，則稱是的“下界數(shù)列”，令，是的下界數(shù)列，則；（參考公式：）

專題17數(shù)列（選填壓軸題）目錄TOC\o"1-1"\h\u①等差數(shù)列 1②等比數(shù)列 7③數(shù)列的通項(xiàng) 14④遞推數(shù)列 19⑤數(shù)列求和 23⑥數(shù)列的極限 28⑦等差數(shù)列與等比數(shù)列綜合 33⑧數(shù)列不等式 37⑨數(shù)列新定義 40①等差數(shù)列1．（2023·福建寧德·?？级＃┮阎菙?shù)列的前項(xiàng)和，，，，數(shù)列是公差為1的等差數(shù)列，則（

）A．366 B．367 C．368 D．369【答案】A【詳解】設(shè)，由題意是公差為的等差數(shù)列，則，故，則，故于是.故選：A2．（2023·江西上饒·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）在正項(xiàng)數(shù)列中，，記．整數(shù)滿足，則數(shù)列的前項(xiàng)和為（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】因?yàn)?，所以為首?xiàng)是1，公差是1的等差數(shù)列，所以，所以，的前項(xiàng)和為，整數(shù)滿足，所以，是整數(shù)，所以，所以則數(shù)列的前項(xiàng)和為：.故選：C.3．（多選）（2023·山東·山東省實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？家荒＃┮阎獮榈炔顢?shù)列，前n項(xiàng)和為，，公差，則（

）．A．B．C．當(dāng)或6時(shí)，取得最大值為30D．?dāng)?shù)列與數(shù)列共有671項(xiàng)互為相反數(shù)【答案】ABC【詳解】數(shù)列為等差數(shù)列，前n項(xiàng)和為，，公差，則有，A正確；因?yàn)?，所以，B正確；因?yàn)?，即?shù)列為遞減等差數(shù)列，且當(dāng)時(shí)，，因此數(shù)列的前5項(xiàng)均為正，第6項(xiàng)為0，從第7項(xiàng)起為負(fù)，所以當(dāng)或6時(shí)，取得最大值，C正確；令數(shù)列的第n項(xiàng)與數(shù)列的第m項(xiàng)互為相反數(shù)，即，于是，而，則為偶數(shù)，令，有，因此數(shù)列與數(shù)列成互為相反數(shù)的項(xiàng)構(gòu)成等差數(shù)列，且，顯然，即，又，則，所以數(shù)列與數(shù)列共有670項(xiàng)互為相反數(shù)，D錯(cuò)誤.故選：ABC4．（多選）（2023·湖南長(zhǎng)沙·周南中學(xué)?？既＃┮阎獢?shù)列的前n項(xiàng)和是，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．若，則是等差數(shù)列B．若，，則是等比數(shù)列C．若是等差數(shù)列，則，，成等差數(shù)列D．若是等比數(shù)列，則，，成等比數(shù)列【答案】ABC【詳解】對(duì)于A，，時(shí)，，解得，因此，，是等差數(shù)列，A正確；對(duì)于B，，，則，而，是等比數(shù)列，B正確；對(duì)于C，設(shè)等差數(shù)列的公差為，首項(xiàng)是，，，因此，則，成等差數(shù)列，C正確；對(duì)于D，若等比數(shù)列的公比，則不成等比數(shù)列，D錯(cuò)誤.故選：ABC5．（2023·福建泉州·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知是等差數(shù)列{}的前n項(xiàng)和，若僅當(dāng)時(shí)取到最小值，且，則滿足的n的最小值為.【答案】11【詳解】因?yàn)?，?dāng)時(shí)取到最小值，所以，所以，因?yàn)?，所以，即，所?，則，因?yàn)?，所以，解之得?因?yàn)椋詎的最小值為11.故答案為：11.6．（2023·上海青浦·統(tǒng)考二模）已知數(shù)列滿足，若滿足且對(duì)任意，都有，則實(shí)數(shù)的取值范圍是.【答案】【詳解】由題意數(shù)列的通項(xiàng)公式為，,滿足，且對(duì)任意的恒成立，當(dāng)時(shí)，顯然不合題意，根據(jù)二次函數(shù)性質(zhì)可得，解得，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.故答案為：.7．（2023·福建福州·福州四中?？寄M預(yù)測(cè)）已知無(wú)窮等差數(shù)列中的各項(xiàng)均大于0，且，則的最小值為.【答案】【詳解】根據(jù)題意，設(shè)等差數(shù)列的公差為，由于無(wú)窮等差數(shù)列中的各項(xiàng)均大于0，則，由于，則，解得或（舍去），所以，因?yàn)?，所以，令（），則，由，得，得，解得或（舍去）。當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以在上遞減，在上遞增，所以當(dāng)時(shí)，取得最小值，所以的最小值為，故答案為：8．（2023·海南省直轄縣級(jí)單位·文昌中學(xué)校考模擬預(yù)測(cè)）已知各項(xiàng)都不為0的數(shù)列的前項(xiàng)和滿足，其中，設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，若對(duì)一切，恒有成立，則能取到的最大整數(shù)是.【答案】【詳解】因?yàn)?，?dāng)時(shí)，，兩式相減可得，即，因?yàn)閿?shù)列的各項(xiàng)都不為0，所以，因?yàn)?，所以，?shù)列的奇數(shù)項(xiàng)是以1為首項(xiàng)，公差為2的等差數(shù)列，所以；數(shù)列的偶數(shù)項(xiàng)是以2為首項(xiàng)，公差為2的等差數(shù)列，所以，故數(shù)列的通項(xiàng)公式為，可得，所以，令，，，則，所以隨著的增大而增大，即在處取最小值，，又因?yàn)閷?duì)一切，恒有成立，所以，解得，故能取到的最大整數(shù)是.故答案為：.9．（2023·山東煙臺(tái)·統(tǒng)考三模）如圖，某數(shù)陣滿足：每一行從左到右成等差數(shù)列，每一列從上到下成公比相同的等比數(shù)列，數(shù)陣中各項(xiàng)均為正數(shù)，，，則；在數(shù)列中的任意與兩項(xiàng)之間，都插入個(gè)相同的數(shù)，組成數(shù)列，記數(shù)列的前項(xiàng)和為，則．【答案】【詳解】設(shè)第一行公差為，各列的公比為且，且，則，，，，所以，則，由各項(xiàng)均為正數(shù)，故，則，即，綜上，，故，由上，前n項(xiàng)為，且，故在之前共有項(xiàng)，則，則，綜上，前70項(xiàng)為，.故答案為：，10．（2023·云南·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）定義表示與實(shí)數(shù)的距離最近的整數(shù)（當(dāng)為兩相鄰整數(shù)的算術(shù)平均值時(shí)，取較大整數(shù)），如，，，，令函數(shù)，數(shù)列的通項(xiàng)公式為，其前項(xiàng)和為，則；.【答案】489【詳解】空1：因?yàn)椋?，，，，，所以；?：根據(jù)，當(dāng)時(shí)，，則，，當(dāng)時(shí)，，則，，當(dāng)時(shí)，，則，，當(dāng)時(shí)，，則，，以此類推，將重新分組如下，，第組有個(gè)數(shù)，且每組中所有數(shù)之和為，設(shè)在第組中，則，可得，解得，故在第45組，前面共有44組，共1980項(xiàng)，所以.故答案為：4；89.②等比數(shù)列1．（2023·陜西寶雞·統(tǒng)考二模）已知是等比數(shù)列的前項(xiàng)和，且，則（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】因?yàn)?，所以，，，又是等比?shù)列，所以，即，解得，所以．當(dāng)時(shí)，，又滿足，所以，，故數(shù)列是公比為，首項(xiàng)為的等比數(shù)列，所以．故選：A.2．（2023·四川綿陽(yáng)·三臺(tái)中學(xué)校考一模）已知各項(xiàng)都為正數(shù)的等比數(shù)列，滿足，若存在兩項(xiàng)，，使得，則最小值為（

）A．2 B． C． D．1【答案】B【詳解】因?yàn)檎?xiàng)等比數(shù)列滿足，設(shè)其公比為，則，，所以，得，解得，因?yàn)?，所以，則，即，故，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，故的最小值為.故選：B.3．（2023·四川·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）在數(shù)列中，，，且，則下列結(jié)論成立的是（

）A． B．C． D．【答案】C【詳解】因?yàn)?，所以，，兩式相除，得，又，所以，所以是以為公比的等比?shù)列，所以，記，則，所以，所以，所以，即，故A錯(cuò)誤；因?yàn)?，所以，所以，同理，，，所以，即，故B錯(cuò)誤；，所以，故C正確；，所以，故D錯(cuò)誤.故選：C.4．（2023·山東青島·統(tǒng)考二模）設(shè)表示不超過(guò)的最大整數(shù)（例如：，），則（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】當(dāng)時(shí)，，即，共有個(gè).因?yàn)?，故，設(shè)，①則，②①-②,得，所以.所以.故選:B.5．（2023·河南開(kāi)封·開(kāi)封高中?？寄M預(yù)測(cè)）已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，，且，若不等式對(duì)一切恒成立，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】因?yàn)椋?，所以，而，所以是以為首?xiàng)，公比為的等比數(shù)列，所以，即，所以，，所以，所以由，得，則當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，有，所以，當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，有，所以，綜上，的取值范圍為．故選：B.6．（多選）（2023·福建三明·統(tǒng)考三模）設(shè)等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，前項(xiàng)積為，若滿足，，，則下列選項(xiàng)正確的是（

）A．為遞減數(shù)列 B．C．當(dāng)時(shí)，最小 D．當(dāng)時(shí)，的最小值為4047【答案】BC【詳解】A.由條件可知，，與同號(hào)，所以，則，而，則公比，若，數(shù)列單調(diào)遞減，則，那么，與已知矛盾，若，則，則那么，與已知矛盾，只有當(dāng)，才存在，使，所以等比數(shù)列單調(diào)遞增，故A錯(cuò)誤；B.因?yàn)?，單調(diào)遞增，所以，則，即，故B正確；C.因?yàn)椋遥援?dāng)時(shí)，最小，故C正確；D.根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)可知，，，所以當(dāng)時(shí)，的最小值為4046，故D錯(cuò)誤.故選：BC7．（2023·福建泉州·統(tǒng)考三模）某商場(chǎng)設(shè)有電子盲盒機(jī)，每個(gè)盲盒外觀完全相同，規(guī)定每個(gè)玩家只能用一個(gè)賬號(hào)登陸，且每次只能隨機(jī)選擇一個(gè)開(kāi)啟．已知玩家第一次抽盲盒，抽中獎(jiǎng)品的概率為，從第二次抽盲盒開(kāi)始，若前一次沒(méi)抽中獎(jiǎng)品，則這次抽中的概率為，若前一次抽中獎(jiǎng)品，則這次抽中的概率為．記玩家第次抽盲盒，抽中獎(jiǎng)品的概率為，則（

）A． B．?dāng)?shù)列為等比數(shù)列C． D．當(dāng)時(shí)，越大，越小【答案】ABC【詳解】記玩家第次抽盲盒并抽中獎(jiǎng)品為事件，依題意，，，，，對(duì)于A選項(xiàng)，，A對(duì)；對(duì)于B選項(xiàng)，，所以，，所以，，又因?yàn)?，則，所以，數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，B對(duì)；對(duì)于C選項(xiàng)，由B選項(xiàng)可知，，則，當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，，當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，，則隨著的增大而減小，所以，.綜上所述，對(duì)任意的，，C對(duì)；對(duì)于D選項(xiàng)，因?yàn)椋瑒t數(shù)列為擺動(dòng)數(shù)列，D錯(cuò).故選：ABC.8．（2023·重慶巴南·統(tǒng)考一模）已知等比數(shù)列滿足：，.數(shù)列滿足，其前項(xiàng)和為，若恒成立，則的最小值為.【答案】/【詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為，則，解得，所以，，解得，則，所以，，，所以，數(shù)列為等差數(shù)列，所以，，則，因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.又因?yàn)?，故的最大值?因此，對(duì)任意的恒成立，所以，，故的最小值為.故答案為：.9．（2023·黑龍江·黑龍江實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？既＃┮阎獢?shù)列的通項(xiàng)公式是，記為在區(qū)間內(nèi)項(xiàng)的個(gè)數(shù)，則，不等式成立的的最小值為．【答案】1413【詳解】令，得，當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，，當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，，所以.當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，，即，因?yàn)椋?，即，因?yàn)闉槠鏀?shù)，所以的最小值為；當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，，因?yàn)?，所以，，因?yàn)闉榕紨?shù)，所以的最小值為.綜上所述，的最小值為.故答案為：，10．（2023·山東菏澤·統(tǒng)考二模）設(shè)數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，在和之間插入1個(gè)數(shù)，使，，成等差數(shù)列；在和之間插入2個(gè)數(shù)，，使，，，成等差數(shù)列；…；在和之間插入n個(gè)數(shù)，，…，，使，，，…，，成等差數(shù)列.則＝；令，則＝.【答案】【詳解】依題意，，由等差數(shù)列性質(zhì)得，即，解得；，顯然數(shù)列是等差數(shù)列，其前n項(xiàng)和記為，則，令均滿足上式，因此，于是，則，令，則有，兩式相減得：，因此，所以.故答案為：；③數(shù)列的通項(xiàng)1．（2023·山東濟(jì)寧·嘉祥縣第一中學(xué)統(tǒng)考三模）已知函數(shù)，滿足，.若，函數(shù)，則（

）A．3036 B．3034 C．3032 D．3030【答案】A【詳解】因?yàn)椋?，即，所以，則，，所以，又因?yàn)椋?故選：A.2．（2023春·浙江杭州·高三浙江省杭州第二中學(xué)?？茧A段練習(xí)）數(shù)列滿足，，則（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】顯然，對(duì)任意，．，化簡(jiǎn)可得，所以，則，累加可得，所以．又，所以，則，注意到，所以，則，所以．綜上．當(dāng)時(shí)，，，即.故選：C.3．（多選）（2023·江蘇揚(yáng)州·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）定義：在數(shù)列的每相鄰兩項(xiàng)之間插入此兩項(xiàng)的積，形成新的數(shù)列，這樣的操作叫作該數(shù)列的一次“美好成長(zhǎng)”．將數(shù)列、進(jìn)行“美好成長(zhǎng)”，第一次得到數(shù)列、、；第二次得到數(shù)列、、、、；；設(shè)第次“美好成長(zhǎng)”后得到的數(shù)列為、、、、、，并記，則（

）A． B．C． D．?dāng)?shù)列的前項(xiàng)和為【答案】ACD【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，，A對(duì)；對(duì)于B選項(xiàng)，設(shè)第次“美好成長(zhǎng)”后共插入項(xiàng)，即，共有個(gè)間隔，且，則第次“美好成長(zhǎng)”后再插入項(xiàng)，則，可得，且，故數(shù)列是以首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，則，故，B錯(cuò)；對(duì)于C選項(xiàng)，由題意可知：，C對(duì)；對(duì)于D選項(xiàng)，因?yàn)?，且，所以，，且，所以?shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，所以，，故，所以，，所以，數(shù)列的前項(xiàng)和為，D對(duì).故選：ACD.4．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）數(shù)列，，，該數(shù)列為著名的裴波那契數(shù)列，它是自然界的產(chǎn)物揭示了花瓣的數(shù)量、樹(shù)木的分叉、植物種子的排列等植物的生長(zhǎng)規(guī)律，則下面結(jié)論正確的是（

）A． B．C．?dāng)?shù)列為等比數(shù)列 D．?dāng)?shù)列為等比數(shù)列【答案】ABD【詳解】對(duì)于A，由，，…，，兩邊相加并代入得，故A正確；對(duì)于B，因?yàn)?，則，則.故B正確；對(duì)于C，假設(shè)為公比為q等比數(shù)列，故，即，所以，，矛盾，故C不成立.對(duì)于D，假設(shè)為公比為q的等比數(shù)列，故，即，由已知得：，，解得，所以D正確.故選：ABD.5．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）引得無(wú)數(shù)球迷心情澎湃的世界杯，于今年在卡塔爾舉行，為了弘揚(yáng)頑強(qiáng)拼搏的體育競(jìng)技精神，某學(xué)校的足球社團(tuán)利用課余時(shí)間展開(kāi)“三人足球”的比賽，比賽的第一階段為“傳球訓(xùn)練賽”，即參賽的甲、乙、丙三名同學(xué)，第一次傳球從乙開(kāi)始，隨機(jī)地傳球給其他兩人中的任意一人，接球者再隨機(jī)地將球傳給其他兩人中的任意一人，則第6次傳球，重新由乙同學(xué)傳球的概率為．【答案】【詳解】設(shè)第次由乙同學(xué)傳球的概率為，顯然，第一次傳球從乙開(kāi)始，隨機(jī)地傳球給其他兩人中的任意一人，這兩人每人得到球的概率為，如果球傳到乙，則乙不能傳到乙，故第次由乙傳球的概率與第次由乙傳球的概率的關(guān)系為：，即，故數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，則，則，故.故答案為：.6．（2023春·湖北武漢·高二武漢西藏中學(xué)?？计谀┮阎c(diǎn)列，其中．是線段的中點(diǎn)，是線段的中點(diǎn)，…，是線段的中點(diǎn)，…．記．則；．【答案】【詳解】解：是線段的中點(diǎn)，,故，又，故；，即，故是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，即，由，得：，將上面所有式子相加得：，故.故答案為：；.④遞推數(shù)列1．（2023春·安徽黃山·高二統(tǒng)考期末）數(shù)列中，，對(duì)任意正整數(shù)都滿足，數(shù)列，若，則（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】由題意，又，則，，…，，累加得，所以，則，可得.故選：C2．（2023春·新疆·高二校聯(lián)考期末）若數(shù)列滿足，則（

）A．2 B． C． D．【答案】C【詳解】因?yàn)椋裕?，，所以是周期為的?shù)列，故.故選：C3．（2023春·廣西河池·高二校聯(lián)考期中）已知數(shù)列滿足，，，則（

）A． B．3 C． D．【答案】A【詳解】因?yàn)椋?dāng)時(shí)，得，即，顯然不成立，故，將進(jìn)行變形，得，則由得，，，，，所以數(shù)列是以4為周期的周期數(shù)列，又，所以.故選：A．4．（多選）（2023春·江西贛州·高二江西省龍南中學(xué)校考期末）已知是的前n項(xiàng)和，，，則（

）A． B．C． D．是以3為周期的周期數(shù)列【答案】ABD【詳解】由已知可得，，，，，，所以，是以3為周期的周期數(shù)列.對(duì)于A項(xiàng)，因?yàn)?，所以，故A項(xiàng)正確；對(duì)于B項(xiàng)，因?yàn)?，所以，故B項(xiàng)正確；對(duì)于C項(xiàng)，因?yàn)榈闹芷跒?，所以，，，所以，，故C項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于D項(xiàng)，由解析可知，是以3為周期的周期數(shù)列，故D項(xiàng)正確.故選：ABD.5．（2023春·浙江·高二期中）已知數(shù)列滿足，其中是給定的實(shí)數(shù).設(shè)，以下判斷正確的是（

）A．是等差數(shù)列B．C．的通項(xiàng)公式為D．?dāng)?shù)列的最小項(xiàng)是【答案】BCD【詳解】由已知條件，得，即，所以，，…，，將這個(gè)式子左右兩邊分別相加可得，即，代入驗(yàn)證也符合，所以C正確；根據(jù)的通項(xiàng)公式依次求出數(shù)列前三項(xiàng)，，，顯然不是等差數(shù)列，所以A錯(cuò)誤；再由，，得，同理根據(jù)，，得，所以B正確；設(shè)數(shù)列的最小項(xiàng)為，則，即，所以，解得，由于，，所以，即數(shù)列的最小項(xiàng)是.故選：BCD.6．（2023·貴州黔東南·凱里一中?？寄M預(yù)測(cè)）已知數(shù)列滿足：，，若，則數(shù)列的前50項(xiàng)和為.【答案】【詳解】由，，可得數(shù)列中從奇數(shù)項(xiàng)起的連續(xù)三項(xiàng)成等比數(shù)列，從偶數(shù)項(xiàng)起的連續(xù)三項(xiàng)成等差數(shù)列，又，，可得數(shù)列的前10項(xiàng)為1，2，4，6，9，12，16，20，25，30，由此可得進(jìn)而可得，則數(shù)列的前50項(xiàng)和為．故答案為：．7．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）函數(shù)為數(shù)學(xué)家高斯創(chuàng)造的取整函數(shù)，表示不超過(guò)的最大整數(shù)，如，，已知數(shù)列滿足，且，若，則數(shù)列的前2023項(xiàng)和為.【答案】4962【詳解】因?yàn)?，所以，所以，所以?shù)列為常數(shù)列，所以，所以，記的前項(xiàng)和為，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以，故答案為：49628．（2023春·山東·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）在數(shù)列中，，，則；的前40項(xiàng)和為.【答案】0420【詳解】因?yàn)?，，所以，得，所以，所以，因?yàn)椋?，，，……，，，①所以，②因?yàn)?，，，……，，③所以，④由①③得，所以②式減去④式得，所以，所以，故答案為：0，420⑤數(shù)列求和1．（2023·北京·?？寄M預(yù)測(cè)）已知公差不為零的等差數(shù)列滿足：，且是與的等比中項(xiàng).設(shè)數(shù)列滿足，則數(shù)列的前項(xiàng)和為（

）A． B．C． D．【答案】A【詳解】根據(jù)題意可得，則，解得，所以，，.故選：A.2．（2023·福建廈門·廈門一中?？家荒＃┮阎獢?shù)列滿足：，，則數(shù)列的前項(xiàng)的和為（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】由，，令、、、，，可得，，兩式相加可得，，，兩式相加，進(jìn)行推論歸納可得，，所以，對(duì)任意的,，所以，數(shù)列的前項(xiàng)的和為.故選：C.3．（多選）（2023春·安徽亳州·高二亳州二中校考期中）已知數(shù)列滿足，，數(shù)列的前n項(xiàng)和為，則（

）A． B．C． D．【答案】ABD【詳解】由，可得：，，，，，則即，則，又時(shí)也成立，所以故選項(xiàng)B判斷正確；由，可知選項(xiàng)A判斷正確；令則2兩式相減得故選項(xiàng)D判斷正確；由，可得選項(xiàng)C判斷錯(cuò)誤.故選：ABD4．（多選）（2023春·重慶沙坪壩·高二重慶八中?？计谀┮阎獢?shù)列滿足，，，為數(shù)列的前項(xiàng)和，則下列說(shuō)法正確的有（

）A． B．C． D．的最大值為【答案】ACD【詳解】對(duì)于A，當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，，又，，則，A正確；對(duì)于B，當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，，又，；由A知：當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，；則當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，；當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，；，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，，C正確；對(duì)于D，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，；當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，；當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，；綜上所述：，D正確.故選：ACD.5．（2023春·湖南·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）我們定義為數(shù)列的“特別數(shù)”．現(xiàn)已知數(shù)列的“特別數(shù)”為，則．【答案】/【詳解】由于為數(shù)列的“特別數(shù)”，又?jǐn)?shù)列的“特別數(shù)”為，所以，則①，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，②，①減去②可得：，又符合該式，所以，則，所以.故答案為：.6．（2023·陜西西安·陜西師大附中?？寄M預(yù)測(cè)）數(shù)列中，．定義：使數(shù)列的前項(xiàng)的積為整數(shù)的數(shù)叫做期盼數(shù)，則區(qū)間內(nèi)的所有期盼數(shù)的和等于.【答案】【詳解】因?yàn)?，所以，設(shè)，則，所以為的整數(shù)次冪，因?yàn)?，所以，故滿足條件的，，，，，，，，，故區(qū)間內(nèi)的所有期盼數(shù)的和為：．故答案為：．7．（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）已知數(shù)列滿足，數(shù)列的通項(xiàng)公式為，記數(shù)列的前項(xiàng)和為，則；若存在正數(shù)，使對(duì)任意恒成立，則的最小值為.【答案】【詳解】因?yàn)?，所以，故是首?xiàng)為4，公比為2的等比數(shù)列，所以，所以，所以①，②，①-②得，所以.因?yàn)椴坏仁綄?duì)任意恒成立，所以9對(duì)任意恒成立，所以.因?yàn)椋?dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，所以，所以，又，所以，故的最小值是.故答案為：；.⑥數(shù)列的極限1．（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）若數(shù)列滿足：，其中且，若對(duì)任意成立，則實(shí)數(shù)的最小值是（

）A． B．4 C． D．【答案】D【詳解】因?yàn)?，且，所以，即，，，，累加得，又，所以，即，?dāng)為奇數(shù)時(shí)，單調(diào)遞增，，，當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，單調(diào)遞減，，，要使對(duì)任意成立，則，實(shí)數(shù)的最小值是.故選：D2．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知，記表示中的最大值，表示中的最小值．若，，數(shù)列和滿足，，，，，則下列說(shuō)法中正確的是（）A．若，則存在正整數(shù)，使得B．若，則C．若，則D．若，則存在正整數(shù)，使得【答案】B【詳解】設(shè)的解為，作出，，圖象如下圖所示，，；，，結(jié)合圖象可知：；對(duì)于A，，，，以此類推，，，；，不存在正整數(shù)，使得，A錯(cuò)誤；對(duì)于B，當(dāng)或或時(shí)，，，即；當(dāng)時(shí)，，且，，且，以此類推，則有，有極限；當(dāng)時(shí)，，，以此類推，則有，又，有極限；當(dāng)時(shí)，，，，以此類推，則有當(dāng)時(shí)，；又，有極限；當(dāng)時(shí)，，且，且，以此類推，則有當(dāng)時(shí)，，有極限；綜上所述：當(dāng)且時(shí)，無(wú)論取何值，都有極限，且當(dāng)時(shí)，；令，則，，解得：或；當(dāng)時(shí)，，，，B正確.對(duì)于C，當(dāng)時(shí)，，，以此類推，則為遞增數(shù)列，無(wú)極限，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，，，不存在正整數(shù)，使得，D錯(cuò)誤.故選：B.3．（多選）（2023春·江西上饒·高二校聯(lián)考期中）如圖，有一列曲線，，……，，……，且1是邊長(zhǎng)為1的等邊三角形，是對(duì)進(jìn)行如下操作而得到：將曲線的每條邊進(jìn)行三等分，以每邊中間部分的線段為邊，向外作等邊三角形，再將中間部分的線段去掉得到，記曲線的邊數(shù)為，周長(zhǎng)為，圍成的面積為，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．?dāng)?shù)列{}是首項(xiàng)為3，公比為4的等比數(shù)列B．?dāng)?shù)列{}是首項(xiàng)為3，公比為的等比數(shù)列C．?dāng)?shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列D．當(dāng)n無(wú)限增大時(shí)，趨近于定值【答案】ABD【詳解】是在的基礎(chǔ)上，每條邊新增加3條新的邊，故，又,所以數(shù)列{}是首項(xiàng)為3，公比為4的等比數(shù)列,且故A正確，第個(gè)圖形的邊長(zhǎng)為，所以，故數(shù)列{}是首項(xiàng)為3，公比為的等比數(shù)列，故B正確，因?yàn)槭窃诘拿織l邊上再生出一個(gè)小正三角形，于是，同理，對(duì)是在的每條邊上再生出一個(gè)小正三角形，于是的面積等于的面積加上個(gè)新增小三角形的面積，即，于是可以利用累加的方法得到將上面式子累加得當(dāng)時(shí)，，故C錯(cuò)誤，D正確，故選：ABD4．（多選）（2023·江蘇·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）佩爾數(shù)列是一個(gè)呈指數(shù)增長(zhǎng)的整數(shù)數(shù)列．隨著項(xiàng)數(shù)越來(lái)越大，其后一項(xiàng)與前一項(xiàng)的比值越來(lái)越接近于一個(gè)常數(shù)，該常數(shù)稱為白銀比．白銀比和三角平方數(shù)、佩爾數(shù)及正八邊形都有關(guān)系．記佩爾數(shù)列為，且，，．則（

）A． B．?dāng)?shù)列是等比數(shù)列C． D．白銀比為【答案】ACD【詳解】對(duì)于A：因?yàn)?，，，，，，，，故A正確；對(duì)于B：因?yàn)?，，，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C：設(shè)數(shù)列是公比為是等比數(shù)列，則，所以，所以，所以或；當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，解得，故C正確；對(duì)于D：因?yàn)椋驗(yàn)?，所以?dāng)時(shí)，，，故D正確，故選：ACD．5．（2023春·上海浦東新·高一上海市進(jìn)才中學(xué)?？计谀┮阎獢?shù)列的前項(xiàng)和為，數(shù)列滿足，則.【答案】【詳解】因?yàn)閿?shù)列的前項(xiàng)和為，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，.也滿足，故對(duì)任意的，，則，所以，，故數(shù)列為等比數(shù)列，且其首項(xiàng)和公比均為，所以，，因此，.故答案為：.⑦等差數(shù)列與等比數(shù)列綜合1．（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）對(duì)于無(wú)窮數(shù)列，給出下列命題：①若既是等差數(shù)列，又是等比數(shù)列，則是常數(shù)列；②若等差數(shù)列滿足，則是常數(shù)列；③若等比數(shù)列滿足，則是常數(shù)列；④若各項(xiàng)為正數(shù)的等比數(shù)列滿足，則是常數(shù)列．其中正確的命題個(gè)數(shù)是（

）．A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【詳解】①因?yàn)榧仁堑炔顢?shù)列，設(shè)的公差為，則相鄰的三項(xiàng)為，因?yàn)橛质堑缺葦?shù)列，則，設(shè)公比為，則相鄰的三項(xiàng)為，所以①，②，兩式相減得：③，將③代入①中，，因?yàn)?，所以，解得：，則，所以是常數(shù)列，①正確；②因?yàn)榈炔顢?shù)列為無(wú)窮數(shù)列，假設(shè)，則無(wú)最大值，不滿足，所以假設(shè)不成立，即，所以是常數(shù)列，②正確；③考慮，能夠滿足，而不是常數(shù)列，③錯(cuò)誤；④設(shè)各項(xiàng)為正數(shù)的等比數(shù)列的公比為，因?yàn)?，所以，則，若，則無(wú)最大值，不合題意，所以，進(jìn)而是常數(shù)列，④正確．故選：C2．（2023春·廣東佛山·高二?？茧A段練習(xí)）已知數(shù)列1、1、2、1、2、4、1、2、4、8、1、2、4、8、16、…，其中第一項(xiàng)是，接下來(lái)的兩項(xiàng)是、，再接下來(lái)的三項(xiàng)是、、，以此類推，若且該數(shù)列的前項(xiàng)和為2的整數(shù)冪，則的最小值為（

）A．440 B．330 C．220 D．110【答案】A【詳解】把題設(shè)中的數(shù)列分成如下的組：，記前組的和為。則.令即，故.故當(dāng)時(shí)，數(shù)列至少包括前13組且含有第14組的前個(gè)元素.設(shè)前項(xiàng)和為2的整數(shù)冪且第項(xiàng)為第組的第個(gè)元素，則，且前項(xiàng)和，其中，.下證：當(dāng)時(shí)，總有.記，則當(dāng)時(shí)，有，故為單調(diào)增數(shù)列，而，故即.所以，由為2的整數(shù)冪，故，從而，當(dāng)時(shí)，，與矛盾；當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，故選：A.3．（多選）（2023春·廣西河池·高二校聯(lián)考期中）在數(shù)列中，如果對(duì)任意，都有（為常數(shù)），則稱數(shù)列為比等差數(shù)列，稱為比公差.則下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（

）A．等比數(shù)列一定是比等差數(shù)列，且比公差B．等差數(shù)列一定不是比等差數(shù)列C．若數(shù)列是等差數(shù)列，是等比數(shù)列，則數(shù)列一定是比等差數(shù)列D．若數(shù)列滿足，，則該數(shù)列不是比等差數(shù)列【答案】ABC【詳解】若為等比數(shù)列，公比，則，，所以，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤；若，是等差數(shù)列，則，故為比等差數(shù)列，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤；令，，則，此時(shí)無(wú)意義，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤；因?yàn)閿?shù)列滿足，，所以，，故，所以不是比等差數(shù)列，故選項(xiàng)D正確.故選：ABC.4．（多選）（2023春·安徽蚌埠·高二蚌埠二中?？茧A段練習(xí)）在數(shù)列中，如果對(duì)任意都有（為常數(shù)），則稱為等差比數(shù)列，k稱為公差比下列說(shuō)法正確的是（

）A．等差數(shù)列一定是等差比數(shù)列B．等差比數(shù)列的公差比一定不為0C．若，則數(shù)列是等差比數(shù)列D．若等比數(shù)列是等差比數(shù)列，則其公比等于公差比【答案】BCD【詳解】對(duì)于數(shù)列，考慮，無(wú)意義，所以A選項(xiàng)錯(cuò)誤；若等差比數(shù)列的公差比為0，，則與題目矛盾，所以B選項(xiàng)說(shuō)法正確；若，，數(shù)列是等差比數(shù)列，所以C選項(xiàng)正確；若等比數(shù)列是等差比數(shù)列，則，，所以D選項(xiàng)正確.故選：BCD5．（2023春·天津·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）等比數(shù)列中，各項(xiàng)都是正數(shù)，且,,成等差數(shù)列，則=．【答案】/【詳解】等比數(shù)列中，各項(xiàng)都是正數(shù)，且，，成等差數(shù)列，故公比為正數(shù)且不等于1．，即，即為，解得，，故答案為：．6．（2023春·吉林長(zhǎng)春·高二?？茧A段練習(xí)）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為（），且滿足，若對(duì)恒成立，則首項(xiàng)的取值范圍是．【答案】【詳解】因?yàn)椋?，兩式作差得，所以，兩式再作差得，可得?shù)列的偶數(shù)項(xiàng)是以4為公差的等差數(shù)列，從起奇數(shù)項(xiàng)也是以4為公差的等差數(shù)列.若對(duì)恒成立，當(dāng)且僅當(dāng).又，，所以，解得：.即首項(xiàng)的取值范圍是.⑧數(shù)列不等式1．（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）對(duì)于無(wú)窮數(shù)列，給出下列命題：①若既是等差數(shù)列，又是等比數(shù)列，則是常數(shù)列；②若等差數(shù)列滿足，則是常數(shù)列；③若等比數(shù)列滿足，則是常數(shù)列；④若各項(xiàng)為正數(shù)的等比數(shù)列滿足，則是常數(shù)列．其中正確的命題個(gè)數(shù)是（

）．A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【詳解】①因?yàn)榧仁堑炔顢?shù)列，設(shè)的公差為，則相鄰的三項(xiàng)為，因?yàn)橛质堑缺葦?shù)列，則，設(shè)公比為，則相鄰的三項(xiàng)為，所以①，②，兩式相減得：③，將③代入①中，，因?yàn)椋?，解得：，則，所以是常數(shù)列，①正確；②因?yàn)榈炔顢?shù)列為無(wú)窮數(shù)列，假設(shè)，則無(wú)最大值，不滿足，所以假設(shè)不成立，即，所以是常數(shù)列，②正確；③考慮，能夠滿足，而不是常數(shù)列，③錯(cuò)誤；④設(shè)各項(xiàng)為正數(shù)的等比數(shù)列的公比為，因?yàn)?，所以，則，若，則無(wú)最大值，不合題意，所以，進(jìn)而是常數(shù)列，④正確．故選：C2．（2023春·廣東佛山·高二?？茧A段練習(xí)）已知數(shù)列1、1、2、1、2、4、1、2、4、8、1、2、4、8、16、…，其中第一項(xiàng)是，接下來(lái)的兩項(xiàng)是、，再接下來(lái)的三項(xiàng)是、、，以此類推，若且該數(shù)列的前項(xiàng)和為2的整數(shù)冪，則的最小值為（

）A．440 B．330 C．220 D．110【答案】A【詳解】把題設(shè)中的數(shù)列分成如下的組：，記前組的和為。則.令即，故.故當(dāng)時(shí)，數(shù)列至少包括前13組且含有第14組的前個(gè)元素.設(shè)前項(xiàng)和為2的整數(shù)冪且第項(xiàng)為第組的第個(gè)元素，則，且前項(xiàng)和，其中，.下證：當(dāng)時(shí)，總有.記，則當(dāng)時(shí)，有，故為單調(diào)增數(shù)列，而，故即.所以，由為2的整數(shù)冪，故，從而，當(dāng)時(shí)，，與矛盾；當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，故選：A.3．（多選）（2023春·廣西河池·高二校聯(lián)考期中）在數(shù)列中，如果對(duì)任意，都有（為常數(shù)），則稱數(shù)列為比等差數(shù)列，稱為比公差.則下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（

）A．等比數(shù)列一定是比等差數(shù)列，且比公差B．等差數(shù)列一定不是比等差數(shù)列C．若數(shù)列是等差數(shù)列，是等比數(shù)列，則數(shù)列一定是比等差數(shù)列D．若數(shù)列滿足，，則該數(shù)列不是比等差數(shù)列【答案】ABC【詳解】若為等比數(shù)列，公比，則，，所以，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤；若，是等差數(shù)列，則，故為比等差數(shù)列，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤；令，，則，此時(shí)無(wú)意義，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤；因?yàn)閿?shù)列滿足，，所以，，故，所以不是比等差數(shù)列，故選項(xiàng)D正確.故選：ABC.4．（多選）（2023春·安徽蚌埠·高二蚌埠二中?？茧A段練習(xí)）在數(shù)列中，如果對(duì)任意都有（為常數(shù)），則稱為等差比數(shù)列，k稱為公差比下列說(shuō)法正確的是（

）A．等差數(shù)列一定是等差比數(shù)列B．等差比數(shù)列的公差比一定不為0C．若，則數(shù)列是等差比數(shù)列D．若等比數(shù)列是等差比數(shù)列，則其公比等于公差比【答案】BCD【詳解】對(duì)于數(shù)列，考慮，無(wú)意義，所以A選項(xiàng)錯(cuò)誤；若等差比數(shù)列的公差比為0，，則與題目矛盾，所以B選項(xiàng)說(shuō)法正確；若，，數(shù)列是等差比數(shù)列，