《高考數(shù)學壓軸題通法訓練•高分必刷系列》專題15解三角形（解答題壓軸題）含答案及解析

專題15解三角形（解答題壓軸題）目錄TOC\o"1-1"\h\u專題15解三角形（解答題壓軸題） 1①三角形中線問題 1②三角形角平分線問題 3③三角形周長（邊長）（定值） 6④三角形周長（邊長）（最值，范圍問題） 8⑤三角形面積（定值） 11⑥三角形面積（最值，范圍問題） 13①三角形中線問題1．（2023春·江西·高一校聯(lián)考期末）記的內角的對邊分別為的面積.(1)若，求；(2)已知為上一點，從下列兩個條件中任選一個作為已知，求線段長度的最大值.①為的平分線；②為邊上的中線.注：如選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分.2．（2023春·河北保定·高一校聯(lián)考期中）在中，內角所對邊的長分別為，且滿足．(1)求；(2)若是的中線，求的長．3．（2023春·浙江舟山·高二統(tǒng)考期末）記的內角的對邊分別為，函數(shù)，角滿足．(1)求的值；(2)若，且在下列兩個條件中選擇一個作為已知，求邊上的中線長度．①的周長為；

②的面積為．4．（2023春·湖北孝感·高一校聯(lián)考期末）記的內角的對邊分別為，滿足.(1)求角；(2)若，，是中線，求的長.5．（2023春·廣東茂名·高二統(tǒng)考期末）在中，角所對的邊分別為，其面積為為邊上的中線.(1)證明：；(2)當時，求的最小值.②三角形角平分線問題1．（2023春·遼寧沈陽·高一沈陽二中?？茧A段練習）如圖，設中的角A，B，C所對的邊是a，b，c，AD為∠BAC的角平分線，已知，，，點E，F(xiàn)分別為邊AB，AC上的動點，線段EF交AD于點G，且的面積是面積的一半.

(1)求邊BC的長度；(2)設，，，當時，求k的值.2．（2023春·河北保定·高一校聯(lián)考期中）已知的內角的對邊分別為，滿足(1)求角；(2)是的角平分線，若的面積為，求的值．3．（2023春·貴州安順·高一統(tǒng)考期末）在中，角，，的對邊分別為，，，且.(1)求和的值；(2)設點在邊上，且，是的角平分線，求的最小值.4．（2023春·甘肅隴南·高一統(tǒng)考期末）設的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，．(1)求A；(2)若AD為的角平分線，，且，求的周長．5．（2023春·云南·高一校聯(lián)考期末）在中，角所對的邊分別為，且滿足.(1)求角A；(2)若為的中點，且的角平分線交于點，且，求邊長.6．（2023春·廣東梅州·高二統(tǒng)考期末）已知的內角A，B，C的對邊為a，b，c，且．(1)求；(2)若的面積為，求內角A的角平分線長的最大值．7．（2023春·全國·高一專題練習）已知的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，滿足(1)求角C；(2)CD是的角平分線，若，的面積為，求c的值.8．（2023春·山西大同·高一大同一中?？茧A段練習）已知函數(shù).(1)求函數(shù)的單調遞增區(qū)間；(2)在中，分別是角的對邊，，若為上一點，且滿足____________，求的面積.請從①；②為的中線，且；③為的角平分線，且.這三個條件中任意選一個補充到橫線處并作答.（注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分）③三角形周長（邊長）（定值）1．（2023·全國·高三專題練習）在中，是，B，所對應的分邊別為，，，且滿足.(1)求；(2)若，的面積為，求的周長.2．（2023春·貴州黔西·高一?？茧A段練習）在中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且．(1)求角C的大??；(2)若，，求的周長．3．（2023春·吉林長春·高一長春市解放大路學校?？计谥校┮阎膬冉撬鶎Φ倪叿謩e為，，，向量，且，且．(1)求A；(2)若，且的面積為，求的周長．4．（2023春·廣東惠州·高一?？计谥校┰谥校?、、的對邊分別為、、，已知．(1)求角的大?。?2)若的面積為且，求的周長．5．（2023春·安徽淮南·高一淮南第三中學校考期末）在中，角、、的邊分別為、、，且．(1)求角；(2)若，的面積為，求的周長．④三角形周長（邊長）（最值，范圍問題）1．（2023春·云南紅河·高二開遠市第一中學校?？茧A段練習）已知分別為三個內角的對邊，，且有(1)求角的值；(2)求周長的取值范圍.2．（2023春·湖南·高二校聯(lián)考階段練習）已知的內角所對的邊分別為，向量，，且，若的外接圓直徑為2．(1)求角；(2)請從下面兩個問題中任選一個作答，如果多選，則按第一個解答計分．①求周長的最大值；②求面積的最大值．3．（2023春·貴州貴陽·高一?？茧A段練習）記鈍角的內角的對邊分別為，已知．(1)若，求；(2)求的最小值．4．（2023春·河北邢臺·高一校聯(lián)考階段練習）在①，②，③，這三個條件中任選一個，補充在下面問題中，并完成解答.問題：銳角的內角，，的對邊分別為，，，已知______.(1)求；(2)若，求的取值范圍.5．（2023春·甘肅武威·高一?？茧A段練習）已知中，角A，B，C所對的邊分別是a，b，c，向量，，且．(1)求A的值；(2)若，求周長的取值范圍．6．（2023春·遼寧朝陽·高一校聯(lián)考階段練習）在銳角△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且．(1)求B；(2)若，求的取值范圍．7．（2023春·江蘇徐州·高一統(tǒng)考期中）已知銳角三個內角、、的對應邊分別為、、，．(1)求；(2)若，求的取值范圍．8．（2023春·新疆·高一兵團第三師第一中學?？茧A段練習）在中，角A，B，C所對的邊分別是a，b，c，且滿足．(1)求角A；(2)若，求周長的最大值；(3)求的取值范圍．9．（2023春·高一單元測試）在中，.（1）當時，求的最大值；（2）當時，求周長的最小值.10．（2023春·福建南平·高一?？计谀┰谥?，設角的對邊分別為，已知.（1）求角的大?。唬?）若，求周長的取值范圍.⑤三角形面積（定值）1．（2023·全國·高三專題練習）已知的內角的對邊分別為，，平分交于點，且．(1)求；(2)求的面積．2．（2023·全國·高三專題練習）如圖，在中，內角的對邊分別為，過點作，交線段于點D，且，．

(1)求；(2)求的面積．3．（2023·全國·高三專題練習）已知分別為內角的對邊，若滿足，.(1)求角；(2)求的面積.4．（2023·江蘇無錫·校考模擬預測）已知函數(shù).(1)求函數(shù)的最小正周期和單調遞增區(qū)間；(2)在中，內角所對的邊分別是，且，若，求的面積.5．（2023春·高一單元測試）已知的內角的對邊分別為，滿足，(1)求；(2)是線段邊上的點，若，求的面積.⑥三角形面積（最值，范圍問題）1．（2023春·安徽滁州·高一校聯(lián)考階段練習）在中，角所對的邊分別為，且滿足.(1)已知為線段上一點，且滿足，若，求的長；(2)若為銳角三角形，求面積的范圍.2．（2023春·江西·高三統(tǒng)考階段練習）在銳角中，角的對邊分別是，且.(1)求；(2)若外接圓的半徑是1，求面積的取值范圍.3．（2023春·江西景德鎮(zhèn)·高一景德鎮(zhèn)一中?？计谀╀J角中，內角的邊分別對應，已知.(1)求；(2)若，求的取值范圍.4．（2023春·山西大同·高一?？茧A段練習）如圖，在平面四邊形中，，，.

(1)求；(2)若，，，四點共圓，求四邊形面積的最大值.5．（2023春·重慶沙坪壩·高一重慶南開中學?？计谥校┤鐖D，在等邊中，，點D，E，F(xiàn)分別在邊AB，BC，CA上，且，，.(1)用k，表示DE，DF；(2)若為等腰直角三角形，求k的取值范圍；(3)若，求面積的最小值.6．（2023春·江蘇南京·高一南京師大附中?？计谥校┰谥?，角所對的邊分別為，且.(1)求的最大值；(2)若，，求面積的最大值.7．（2023·全國·模擬預測）已知銳角三角形ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且滿足，.(1)求的取值范圍；(2)若，求三角形ABC面積的取值范圍.8．（2023春·云南昆明·高一?？计谥校┤鐖D，為了檢測某工業(yè)園區(qū)的空氣質量，在點處設立一個空氣監(jiān)測中心(大小忽略不計)，在點處安裝一套監(jiān)測設備．為了使監(jiān)測數(shù)據(jù)更加準確，在點和點處，再分別安裝一套監(jiān)測設備，且滿足且為正三角形．(1)若，求面積；(2)設，試用表示的面積，并求最大值．9．（2023春·山東青島·高一?？计谀┤鐖D，在中，，是角的平分線，且．（1）若，求實數(shù)的取值范圍．（2）若，時，求的面積的最大值及此時的值．

專題15解三角形（解答題壓軸題）目錄TOC\o"1-1"\h\u專題15解三角形（解答題壓軸題） 1①三角形中線問題 1②三角形角平分線問題 6③三角形周長（邊長）（定值） 15④三角形周長（邊長）（最值，范圍問題） 18⑤三角形面積（定值） 28⑥三角形面積（最值，范圍問題） 32①三角形中線問題1．（2023春·江西·高一校聯(lián)考期末）記的內角的對邊分別為的面積.(1)若，求；(2)已知為上一點，從下列兩個條件中任選一個作為已知，求線段長度的最大值.①為的平分線；②為邊上的中線.注：如選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分.【答案】(1)(2).【詳解】（1）因為，由余弦定理可得，所以，由三角形的面積公式可得，所以，所以，又，所以.因為，所以為銳角，，所以，由正弦定理得，即，所以.（2）選擇條件①：在中由余弦定理得，即，即，故，當且僅當時等號成立，又因為，所以，所以，當且僅當時等號成立，故的最大值為.選擇條件②：由點為的中點得，平方得，在中由余弦定理得，即，所以.當且僅當時等號成立，故有，從而，故的最大值為.2．（2023春·河北保定·高一校聯(lián)考期中）在中，內角所對邊的長分別為，且滿足．(1)求；(2)若是的中線，求的長．【答案】(1)(2)【詳解】（1），所以，由正弦定理得：，又，得，即（2），，得，由余弦定理得：，由于是的中線，所以,,所以3．（2023春·浙江舟山·高二統(tǒng)考期末）記的內角的對邊分別為，函數(shù)，角滿足．(1)求的值；(2)若，且在下列兩個條件中選擇一個作為已知，求邊上的中線長度．①的周長為；

②的面積為．【答案】(1)(2)【詳解】（1），由得，因為，所以，所以（2）,由正弦定理邊化角得,所以或得（舍）或所以，選①，因,所以周長，解得,設邊上的中線為，由余弦定理得,為中點，即.選②因，所以三角形面積，解得，設邊上的中線為，由余弦定理得,為中點，,,即.4．（2023春·湖北孝感·高一校聯(lián)考期末）記的內角的對邊分別為，滿足.(1)求角；(2)若，，是中線，求的長.【答案】(1)(2)【詳解】（1）因為，由正弦定理可知：，由，故，∴∴，∴，又，所以；（2）根據(jù)數(shù)量積的定義，由，得，又，在中由余弦定理得：∵，∴，所以5．（2023春·廣東茂名·高二統(tǒng)考期末）在中，角所對的邊分別為，其面積為為邊上的中線.(1)證明：；(2)當時，求的最小值.【答案】(1)證明見解析(2)2【詳解】（1）方法一：為邊上中線，，，在中，由余弦定理得：，，，.方法二：為邊上中線，在中，，在和中，由余弦定理得：，即，，即；（2），，在中，由余弦定理得：，由（1）知：，，當且僅當時，取得最小值為2.②三角形角平分線問題1．（2023春·遼寧沈陽·高一沈陽二中?？茧A段練習）如圖，設中的角A，B，C所對的邊是a，b，c，AD為∠BAC的角平分線，已知，，，點E，F(xiàn)分別為邊AB，AC上的動點，線段EF交AD于點G，且的面積是面積的一半.

(1)求邊BC的長度；(2)設，，，當時，求k的值.【答案】(1)；(2).【詳解】（1）解：由，得,又因為，所以，又因為，過D分別作DM∥AC,DN∥AB,交AB,AC于點M，N，

所以，，所以,所以,又因為,所以；（2）解：因為，，，的面積是面積的一半，所以，所以①，，由，得，又因為三點共線，所以，即，所以，又，所以，又因為，所以②，由①②解得，所以.2．（2023春·河北保定·高一校聯(lián)考期中）已知的內角的對邊分別為，滿足(1)求角；(2)是的角平分線，若的面積為，求的值．【答案】(1)(2)【詳解】（1）由正弦定理得，即，整理得，化簡得，由余弦定理得，又，則；（2）由面積公式得，解得；即，所以．3．（2023春·貴州安順·高一統(tǒng)考期末）在中，角，，的對邊分別為，，，且.(1)求和的值；(2)設點在邊上，且，是的角平分線，求的最小值.【答案】(1)，(2)【詳解】（1）因為，由正弦定理可得，即，即，由余弦定理，又，所以.（2）因為，解得或（舍去），又是的角平分線，，所以，即，即，所以，所以且，所以，當且僅當，即、時取等號，所以的最小值為.4．（2023春·甘肅隴南·高一統(tǒng)考期末）設的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，．(1)求A；(2)若AD為的角平分線，，且，求的周長．【答案】(1)(2)【詳解】（1）由正弦定理得，即．因為，所以．因為，所以．又，則．（2）因為，所以．由，得，得．又，解得，，則，所以的周長為．5．（2023春·云南·高一校聯(lián)考期末）在中，角所對的邊分別為，且滿足.(1)求角A；(2)若為的中點，且的角平分線交于點，且，求邊長.【答案】(1)(2)【詳解】（1）因為，所以，因為，所以，所以由正弦定理得，因為，所以，所以，所以，所以，所以，所以，因為，所以，（2）因為，的角平分線交于點，所以，因為，所以，所以，所以，因為為的中點，且，所以，所以，所以，所以，所以，所以，解得或（舍去），所以所以由余弦定理得，所以

6．（2023春·廣東梅州·高二統(tǒng)考期末）已知的內角A，B，C的對邊為a，b，c，且．(1)求；(2)若的面積為，求內角A的角平分線長的最大值．【答案】(1)(2)【詳解】（1）由正弦定理，得，即，故，因為，所以，所以；（2）由（1）知，因為的面積為，所以，解得，在中，由正弦定理，得，在中，由正弦定理，得，因為AD為角A的角平分線，所以，又，所以，所以，不妨設，，則，故，延長至點E，使得，連接，則，又，所以，故，，則，，則，，在中，由余弦定理，得，即，因為，所以，其中，當且僅當，即時，等號成立，故，故.所以長的最大值為.7．（2023春·全國·高一專題練習）已知的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，滿足(1)求角C；(2)CD是的角平分線，若，的面積為，求c的值.【答案】(1)；(2)【詳解】（1）由正弦定理得，即，整理得，化簡得，由余弦定理得，又，則；（2）由面積公式得，解得，又CD是的角平分線，則，即，則，所以，即，整理得，又，解得，則，由（1）知，則.8．（2023春·山西大同·高一大同一中?？茧A段練習）已知函數(shù).(1)求函數(shù)的單調遞增區(qū)間；(2)在中，分別是角的對邊，，若為上一點，且滿足____________，求的面積.請從①；②為的中線，且；③為的角平分線，且.這三個條件中任意選一個補充到橫線處并作答.（注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分）【答案】(1)，(2)答案見解析【詳解】（1），由，得，，∴函數(shù)的單調遞增區(qū)間為，；（2）由，得，又中，，可知；若選①：由，可知，可化為，又，則，又中，故，所以，則，故；若選②：為的中線，且在中，，，則有，在中，，在中，，又，則則，又知，故；故；若選③：為的角平分線，且.由題意知，，即，整理得又在中，，，則有，故解之得，，故.③三角形周長（邊長）（定值）1．（2023·全國·高三專題練習）在中，是，B，所對應的分邊別為，，，且滿足.(1)求；(2)若，的面積為，求的周長.【答案】(1)(2)【詳解】（1）因為，所以由正弦定理得，因為，所以，則，因為，所以，又因為，所以；（2）因為，所以，又由余弦定理得，，所以，則，所以的周長為：．2．（2023春·貴州黔西·高一校考階段練習）在中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且．(1)求角C的大?。?2)若，，求的周長．【答案】(1)(2)【詳解】（1）因為，所以由正弦定理得，，所以，因為，所以，因為，所以，（2）因為，，所以，得，由余弦定理得，，所以，得，所以的周長為.3．（2023春·吉林長春·高一長春市解放大路學校?？计谥校┮阎膬冉撬鶎Φ倪叿謩e為，，，向量，且，且．(1)求A；(2)若，且的面積為，求的周長．【答案】(1)(2)【詳解】（1）∵，∴，由正弦定理得，因為是三角形內角，所以，∴，，因為A是三角形內角，∴.（2）∵，，又由余弦定理得，，，即的周長為．4．（2023春·廣東惠州·高一?？计谥校┰谥?，角、、的對邊分別為、、，已知．(1)求角的大小；(2)若的面積為且，求的周長．【答案】(1)(2)【詳解】（1）解：因為，則，整理可得，由正弦定理可得，由余弦定理可得，因為，故.（2）解：，解得，由余弦定理可得，解得，因此，的周長為.5．（2023春·安徽淮南·高一淮南第三中學?？计谀┰谥校?、、的邊分別為、、，且．(1)求角；(2)若，的面積為，求的周長．【答案】(1)(2)【詳解】（1）解：，因為、，則，，故.（2）解：由三角形的面積公式可得，由余弦定理得：，可得，因此，的周長為.④三角形周長（邊長）（最值，范圍問題）1．（2023春·云南紅河·高二開遠市第一中學校校考階段練習）已知分別為三個內角的對邊，，且有(1)求角的值；(2)求周長的取值范圍.【答案】(1)(2)【詳解】（1）因為，，所以，即，所以，因為，故.（2）由正弦定理可知，故周長，因為，，則，∴周長的取值范圍是．2．（2023春·湖南·高二校聯(lián)考階段練習）已知的內角所對的邊分別為，向量，，且，若的外接圓直徑為2．(1)求角；(2)請從下面兩個問題中任選一個作答，如果多選，則按第一個解答計分．①求周長的最大值；②求面積的最大值．【答案】(1)；(2)選①：周長的最大值為；選②：面積的最大值為.【詳解】（1）由題意知，由正弦定理(是外接圓的半徑)，所以,所以.因為，所以，所以.因為,所以.（2）選①：由，則.由余弦定理可得：,即，所以，即，解得，當且僅當時等號成立.故周長的最大值為.選②：由，則.由余弦定理可得：,即，則，當且僅當時等號成立.故面積的最大值為.3．（2023春·貴州貴陽·高一?？茧A段練習）記鈍角的內角的對邊分別為，已知．(1)若，求；(2)求的最小值．【答案】(1)(2)【詳解】（1）由已知得，，即，即，即．若，則，因為，故．從而．（2）由得，若，則，即，與為鈍角三角形矛盾．因此，得，故．所以．當且僅當時，的最小值為．4．（2023春·河北邢臺·高一校聯(lián)考階段練習）在①，②，③，這三個條件中任選一個，補充在下面問題中，并完成解答.問題：銳角的內角，，的對邊分別為，，，已知______.(1)求；(2)若，求的取值范圍.【答案】(1)(2)【詳解】（1）若選①，，∵；若選②，，∵；若選③∵，而.（2）因為，所以由正弦定理得：，，∵是銳角三角形，∴,∴,∴∴∴.5．（2023春·甘肅武威·高一?？茧A段練習）已知中，角A，B，C所對的邊分別是a，b，c，向量，，且．(1)求A的值；(2)若，求周長的取值范圍．【答案】(1)；(2).【詳解】（1）因為，所以，即，即，則，因為，所以.（2）因為，所以，所以，因為，所以，，，則，所以三角形的周長的取值范圍為.6．（2023春·遼寧朝陽·高一校聯(lián)考階段練習）在銳角△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且．(1)求B；(2)若，求的取值范圍．【答案】(1)(2)【詳解】（1）在中，由正弦定理，且，則，，由，則，，由，則，，，，，由銳角中，，則.（2）由（1）可知，則，在中，由正弦定理可得：，由，則，解得，，，由，且，則，，由銳角，，，則，解得，由余弦函數(shù)的單調性，可得，解得.7．（2023春·江蘇徐州·高一統(tǒng)考期中）已知銳角三個內角、、的對應邊分別為、、，．(1)求；(2)若，求的取值范圍．【答案】(1)(2)【詳解】（1）解：因為，由正弦定理得，又因為，所以，，所以，，即，所以，，又因為，則，所以，，又因為，則，所以，，故.（2）解：由正弦定理知，則，，所以，，因為為銳角三角形，且，則，解得，所以，，則，所以，，因此，的取值范圍是．8．（2023春·新疆·高一兵團第三師第一中學?？茧A段練習）在中，角A，B，C所對的邊分別是a，b，c，且滿足．(1)求角A；(2)若，求周長的最大值；(3)求的取值范圍．【答案】(1)(2)(3)【詳解】（1），由正弦定理得，，因為，所以，即，因為，所以，故，所以，因為，所以，故，解得；（2）由（1）知，又，由余弦定理得，即，所以，由基本不等式可知，所以，解得，當且僅當時，等號成立，故的周長最大值為；（3）由（1）知，則，令，因為，所以，，則，故當時，取得最小值，最小值為，當時，取得最大值，最大值為，故的取值范圍是.9．（2023春·高一單元測試）在中，.（1）當時，求的最大值；（2）當時，求周長的最小值.【答案】（1）；（2）12.【詳解】解：（1）由題意，，，由余弦定理可得，，，的最大值為；（2），，又，，，周長為當且僅當時，周長的最小值為12.10．（2023春·福建南平·高一?？计谀┰谥校O角的對邊分別為，已知.（1）求角的大??；（2）若，求周長的取值范圍.【答案】（1）；（2）【詳解】（1）由題意知，即，由正弦定理得由余弦定理得，又.（2），則的周長.，，周長的取值范圍是.⑤三角形面積（定值）1．（2023·全國·高三專題練習）已知的內角的對邊分別為，，平分交于點，且．(1)求；(2)求的面積．【答案】(1)(2)【詳解】（1）因為，所以，所以由正弦定理得，因為，所以，因為，所以，所以.（2）因為平分交于點，且，所以，即，①所以，，所以，，所以，因為，所以，得，因為，所以，在中由正弦定理得，得，所以，所以,在中由余弦定理得，得，②由①②解得，所以的面積為.

2．（2023·全國·高三專題練習）如圖，在中，內角的對邊分別為，過點作，交線段于點D，且，．

(1)求；(2)求的面積．【答案】(1)(2)【詳解】（1）解：因為，由正弦定理得，即，又由余弦定理得，因為，所以，（2）解：因為，所以，由（1）知，，所以，又因為，所以，在中，由正弦定理，所以，又因為，所以，所以的面積為.3．（2023·全國·高三專題練習）已知分別為內角的對邊，若滿足，.(1)求角；(2)求的面積.【答案】(1)(2)【詳解】（1）因為，所以，所以，即，所以,解得或，又，所以，即．（2）由正弦定理得，解得，因為，所以，所以，所以的面積．4．（2023·江蘇無錫·?？寄M預測）已知函數(shù).(1)求函數(shù)的最小正周期和單調遞增區(qū)間；(2)在中，內角所對的邊分別是，且，若，求的面積.【答案】(1)最小正周期為，單調遞增區(qū)間為.(2)【詳解】（1），所以函數(shù)的最小正周期為.令，得，故函數(shù)的單調遞增區(qū)間為.（2）由，得，由得，所以，得.由余弦定理得，即，因為，所以，從而有，得，則5．（2023春·高一單元測試）已知的內角的對邊分別為，滿足，(1)求；(2)是線段邊上的點，若，求的面積.【答案】(1)(2)【詳解】（1）因為，，，所以，即，又，所以，又，所以，則，故，又，所以.（2）設，，，在中，由余弦定理得，在中，由余弦定理得，又，，所以，，整理得①，在中，由余弦定理得，則②，由①－②得，故，將代入①式得，所以的面積..⑥三角形面積（最值，范圍問題）1．（2023春·安徽滁州·高一校聯(lián)考階段練習）在中，角所對的邊分別為，且滿足.(1)已知為線段上一點，且滿足，若，求的長；(2)若為銳角三角形，求面積的范圍.【答案】(1)(2)【詳解】（1）由題設，則，故，又，則，又，則為等邊三角形，故，

由，則，所以（負值舍），故.（2）由題意，則，又，則，所以，由，而，所以.2．（2023春·江西·高三統(tǒng)考階段練習）在銳角中，角的對邊分別是，且.(1)求；(2)若外接圓的半徑是1，求面積的取值范圍.【答案】(1)(2)【詳解】（1）因為，所以，則，因為是銳角三角形，所以，則所以，所以；（2）因為外接圓的半徑是1，所以，則，所以，因為是銳角三角形，所以，所以，則，故面積的取值范圍是.3．（2023春·江西景德鎮(zhèn)·高一景德鎮(zhèn)一中校考期末）銳角中，內角的邊分別對應，已知.(1)求；(2)若，求的取值范圍.【答案】(1)(2)【詳解】（1）解：因為，由正弦定理得，整理得，所以，因為，所以.（2）解：設的外接圓的半徑為，因為，且，可得，由正弦定理可得，，又因為，可得，所以,因為為銳角三角形，可得，解得，所以，可得，所以，所以.4．（2023春·山西大同·高一?？茧A段練習）如圖，在平面四邊形中，，，.

(1)求；(2)若，，，四點共圓，求四邊形面積的最大值.【答案】(1)(2)【詳解】（1）在中，由正弦定理得，所以.又，所以，則（2）因為，，，四點共圓，所以，.在中，