《高考數(shù)學(xué)壓軸題通法訓(xùn)練•高分必刷系列》專題06一元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用（利用導(dǎo)函數(shù)研究不等式恒成立問(wèn)題）（全題型壓軸題）含答案及解析

專題06一元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用（利用導(dǎo)函數(shù)研究不等式恒成立問(wèn)題）（全題型壓軸題）目錄TOC\o"1-1"\h\u①已知函數(shù)在區(qū)間上單調(diào) 1②變量分離法 2③最值法 4④變更主元法 5⑤雙變量問(wèn)題型 6①已知函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)1．（2023春·內(nèi)蒙古阿拉善盟·高二阿拉善盟第一中學(xué)?？计谥校┤艉瘮?shù)在上是減函數(shù)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是．2．（2023春·內(nèi)蒙古興安盟·高二烏蘭浩特市第四中學(xué)?？计谥校┤艉瘮?shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)的取值范圍是.3．（2023春·山東煙臺(tái)·高二統(tǒng)考期末）若函數(shù)在上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為．4．（2023春·甘肅酒泉·高二統(tǒng)考期末）已知函數(shù)在上單調(diào)遞增，則a的取值范圍是．5．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)在內(nèi)單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)的取值范圍為②變量分離法1．（2023春·吉林白城·高二?？计谀┮阎瘮?shù)在處的切線與直線：垂直．(1)求的單調(diào)區(qū)間；(2)若對(duì)任意實(shí)數(shù)，恒成立，求整數(shù)的最大值．2．（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）已知.(1)討論函數(shù)在上的單調(diào)性；(2)對(duì)一切實(shí)數(shù)，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.3．（2023春·山東德州·高二德州市第一中學(xué)校考期末）已知函數(shù)（為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)），函數(shù)．(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(2)若不等式在上恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．4．（2023春·陜西咸陽(yáng)·高二統(tǒng)考期末）已知函數(shù)，其中.(1)若，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；(2)若對(duì)于任意，都有成立，求的取值范圍.5．（2023春·山東德州·高二統(tǒng)考期末）已知函數(shù)，.(1)若是的極值點(diǎn)，求函數(shù)的極值；(2)若時(shí)，恒有成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.6．（2023春·福建寧德·高二校聯(lián)考期中）已知函數(shù)，；(1)求函數(shù)的單調(diào)性；(2)設(shè)函數(shù)，對(duì)于任意的都有成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.③最值法1．（2023春·江蘇鎮(zhèn)江·高二江蘇省揚(yáng)中高級(jí)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù).(1)求在點(diǎn)處函數(shù)的切線方程；(2)若對(duì)任意，都有成立，求正數(shù)的取值范圍.2．（2023春·湖北武漢·高二校聯(lián)考期中）已知函數(shù)，(1)求函數(shù)的極值點(diǎn)；(2)若恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.3．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，若對(duì)任意的，恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．4．（2023春·陜西渭南·高二合陽(yáng)縣合陽(yáng)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)，其中e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)．(1)若在處取到極值，求a的值及函數(shù)的最值；(2)若有極值點(diǎn)，求a的取值范圍．(3)若當(dāng)時(shí)，恒成立，求a的取值范圍．5．（2023春·西藏日喀則·高二統(tǒng)考期末）設(shè)函數(shù)，且．(1)求函數(shù)的單調(diào)性；(2)若恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．④變更主元法1．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）若不等式，當(dāng)時(shí)恒成立，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．2．（2022秋·江西撫州·高一金溪一中校考階段練習(xí)）已知函數(shù)，對(duì)任意的，恒成立，則的取值范圍為．3．（2023·高一課時(shí)練習(xí)）不等式對(duì)滿足的一切實(shí)數(shù)m的取值都成立，求x的取值范圍．⑤雙變量問(wèn)題型1．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知，若對(duì)使得，則實(shí)數(shù)的取值范圍是.2．（2023春·海南海口·高一?？谝恢行？计谥校?，都有，且，，，，使得成立，則的范圍是.3．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）設(shè)函數(shù)()．設(shè)，若對(duì)任意的，存在，使得成立，求的取值范圍．4．（2023·黑龍江佳木斯·佳木斯一中?？寄M預(yù)測(cè)）已知是定義在[－2，2]上的函數(shù)，若滿足且．(1)求的解析式；(2)設(shè)函數(shù)，若對(duì)任意，都有恒成立，求m的取值范圍．5．（2023春·湖北荊門(mén)·高一統(tǒng)考期末）已知(1)求的值；(2)求證有且僅有兩個(gè)零點(diǎn)，并求的值；(3)若，對(duì)任意的，不等式恒成立，求的取值范圍.

專題06一元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用（利用導(dǎo)函數(shù)研究不等式恒成立問(wèn)題）（全題型壓軸題）目錄TOC\o"1-1"\h\u①已知函數(shù)在區(qū)間上單調(diào) 1②變量分離法 3③最值法 9④變更主元法 13⑤雙變量問(wèn)題型 14①已知函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)1．（2023春·內(nèi)蒙古阿拉善盟·高二阿拉善盟第一中學(xué)?？计谥校┤艉瘮?shù)在上是減函數(shù)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是．【答案】【詳解】由題可知：，在區(qū)間恒成立，得恒成立，即，設(shè)，，在區(qū)間恒成立，則函數(shù)的最小值為，所以.故答案為：2．（2023春·內(nèi)蒙古興安盟·高二烏蘭浩特市第四中學(xué)校考期中）若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)的取值范圍是.【答案】【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以在區(qū)間上函數(shù)，所以設(shè)，，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以只需即可.故答案為：.3．（2023春·山東煙臺(tái)·高二統(tǒng)考期末）若函數(shù)在上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為．【答案】【詳解】因?yàn)?，，所以，又函?shù)在上單調(diào)遞增，所以在上恒成立，即在上恒成立，令，對(duì)稱軸為直線，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以，所以，即實(shí)數(shù)a的取值范圍為.故答案為：.4．（2023春·甘肅酒泉·高二統(tǒng)考期末）已知函數(shù)在上單調(diào)遞增，則a的取值范圍是．【答案】【詳解】，，又在上單調(diào)遞增，所以在上恒成立，即在上恒成立.令，，由得，得，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，所以有最大值，所以.故答案為：5．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)在內(nèi)單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)的取值范圍為【答案】【詳解】因?yàn)椋?，，因?yàn)楹瘮?shù)在內(nèi)單調(diào)遞增，則在內(nèi)恒成立，即，解得．令，，則，故在內(nèi)單調(diào)遞增，則，故，即實(shí)數(shù)的取值范圍為.故答案為：.②變量分離法1．（2023春·吉林白城·高二?？计谀┮阎瘮?shù)在處的切線與直線：垂直．(1)求的單調(diào)區(qū)間；(2)若對(duì)任意實(shí)數(shù)，恒成立，求整數(shù)的最大值．【答案】(1)單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為．(2)1【詳解】（1）由，得，又切線與直線：垂直，所以，即．所以，令，得，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增．所以的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為．（2）對(duì)任意實(shí)數(shù)，恒成立，即對(duì)任意實(shí)數(shù)恒成立．設(shè)，即．，令，所以恒成立，所以在上單調(diào)遞增．又，，所以存在，使得，即，所以．當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增．所以，當(dāng)時(shí)，，所以，由題意知且所以，即整數(shù)的最大值為1．2．（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）已知.(1)討論函數(shù)在上的單調(diào)性；(2)對(duì)一切實(shí)數(shù)，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】(1)答案見(jiàn)解析(2)【詳解】（1）解：因?yàn)?，則，令，可得，①當(dāng)時(shí)，對(duì)任意的，，此時(shí)函數(shù)的減區(qū)間為；②當(dāng)時(shí)，令可得，令可得，此時(shí)函數(shù)的減區(qū)間為，增區(qū)間為，綜上所述，當(dāng)時(shí)，函數(shù)的減區(qū)間為；當(dāng)時(shí)，函數(shù)的減區(qū)間為，增區(qū)間為.（2）解：因?yàn)?，可得，由?duì)一切實(shí)數(shù)，不等式恒成立，即恒成立，可得，即在恒成立，令，其中，則，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞減，所以，則，解得，所以a的取值范圍為.3．（2023春·山東德州·高二德州市第一中學(xué)?？计谀┮阎瘮?shù)（為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)），函數(shù)．(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(2)若不等式在上恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】(1)單調(diào)遞減區(qū)間為，；單調(diào)遞增區(qū)間為(2)【詳解】（1）函數(shù)定義域?yàn)?，又?/p>

令，解得，所以、與的關(guān)系如下所示：?jiǎn)握{(diào)遞減單調(diào)遞減極小值單調(diào)遞增所以的單調(diào)遞減區(qū)間為，；單調(diào)遞增區(qū)間為.（2）不等式在上恒成立，等價(jià)于不等式在上恒成立，故不等式在上恒成立，

令，，則，當(dāng)時(shí)，，所以在上為增函數(shù)；當(dāng)時(shí)，，所以在上為減函數(shù)；所以，所以．4．（2023春·陜西咸陽(yáng)·高二統(tǒng)考期末）已知函數(shù)，其中.(1)若，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；(2)若對(duì)于任意，都有成立，求的取值范圍.【答案】(1)(2)【詳解】（1），，，，∴在處切線方程為,.（2）∵，有恒成立，則，即，令，當(dāng)時(shí)，，，∵當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增，∴．∴．5．（2023春·山東德州·高二統(tǒng)考期末）已知函數(shù)，.(1)若是的極值點(diǎn)，求函數(shù)的極值；(2)若時(shí)，恒有成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.【答案】(1)極大值為，極小值為(2)【詳解】（1），因?yàn)槭堑臉O值點(diǎn)，

所以，所以，所以當(dāng)或時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，，單調(diào)遞減區(qū)間為.所以極大值，極小值為（2）若時(shí)，恒有恒成立，即，即，因?yàn)?，所以?/p>

令，則，則時(shí)，，時(shí)，

所以在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，所以的最小值為，所以.

所以a的取值范圍為6．（2023春·福建寧德·高二校聯(lián)考期中）已知函數(shù)，；(1)求函數(shù)的單調(diào)性；(2)設(shè)函數(shù)，對(duì)于任意的都有成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】(1)答案見(jiàn)解析(2)【詳解】（1）的定義域?yàn)?，則，當(dāng)時(shí)，即時(shí)，在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，即時(shí)，則即，令得，令得，則在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，綜上所述：當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，則在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；（2）依題得因?yàn)閷?duì)于任意的總有成立，不妨設(shè)由，得設(shè)，可得在單調(diào)遞增；在恒成立；∴在恒成立；設(shè)，令，得，因?yàn)?，所以在單調(diào)遞增；同理，在單調(diào)遞減，所以的最大值為，所以.③最值法1．（2023春·江蘇鎮(zhèn)江·高二江蘇省揚(yáng)中高級(jí)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù).(1)求在點(diǎn)處函數(shù)的切線方程；(2)若對(duì)任意，都有成立，求正數(shù)的取值范圍.【答案】(1)(2)【詳解】（1）因?yàn)?，所以所以，所以切線的方程為；（2）設(shè)，則，令，即，解得，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)，，由對(duì)任意，都有成立，所以，解得，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.2．（2023春·湖北武漢·高二校聯(lián)考期中）已知函數(shù)，(1)求函數(shù)的極值點(diǎn)；(2)若恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】(1)極大值點(diǎn)為，無(wú)極小值點(diǎn)；(2).【詳解】（1）函數(shù)的定義域?yàn)椋髮?dǎo)得，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，因此函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為，所以的極大值點(diǎn)為，無(wú)極小值點(diǎn).（2）設(shè)，，依題意，，求導(dǎo)得，令，，顯然函數(shù)在上單調(diào)遞減，又，，則，使得，即，有，即，因此當(dāng)時(shí)，，即，則單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，即，則單調(diào)遞減，從而，解得，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.3．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，若對(duì)任意的，恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】【詳解】解法一，由在上恒成立，得在上恒成立，即在上恒成立令，則．當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以因?yàn)?，，所以，所以，即?shí)數(shù)的取值范圍為．解法二，由在上恒成立，得在上恒成立．令，，則滿足即可，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以．因?yàn)?，，所以，所以，即?shí)數(shù)的取值范圍為．4．（2023春·陜西渭南·高二合陽(yáng)縣合陽(yáng)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)，其中e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)．(1)若在處取到極值，求a的值及函數(shù)的最值；(2)若有極值點(diǎn)，求a的取值范圍．(3)若當(dāng)時(shí)，恒成立，求a的取值范圍．【答案】(1)，，無(wú)最大值(2)(3)．【詳解】（1）（1）由題知，，∴．經(jīng)檢驗(yàn)滿足，∴，當(dāng)時(shí)，，即在上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，即在上單調(diào)遞增，∴，函數(shù)無(wú)最大值．（2）由題知在有變號(hào)零點(diǎn)，即在有解．即與在有交點(diǎn)，∴；（3）法一：由題意可知，在時(shí)恒成立，∵，令，得，當(dāng)即，，∴在單調(diào)遞增，∴，∴，當(dāng)即時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，∴，∴，不符合題意，綜上，．法二：由恒成立，，當(dāng)時(shí)，顯然恒成立，∴，當(dāng)時(shí)，原式等價(jià)于恒成立，令，即恒成立，易得，令，則在成立，∴在上單調(diào)遞增，故，∴，在上單調(diào)遞增，∴，又，∴．5．（2023春·西藏日喀則·高二統(tǒng)考期末）設(shè)函數(shù)，且．(1)求函數(shù)的單調(diào)性；(2)若恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．【答案】(1)答案見(jiàn)解析(2)【詳解】（1），，當(dāng)時(shí)，恒成立，則在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，時(shí)，，則在上單調(diào)遞減；時(shí)，，則在上單調(diào)遞增．（2）方法一：在恒成立，則當(dāng)時(shí)，，顯然成立，符合題意；當(dāng)時(shí)，得恒成立，即記，，，構(gòu)造函數(shù)，，則，故為增函數(shù)，則.故對(duì)任意恒成立，則在遞減，在遞增，所以∴．方法二：在上恒成立，即．記，，，當(dāng)時(shí)，在單增，在單減，則，得，舍：當(dāng)時(shí)，在單減，在單增，在單減，，，得；當(dāng)時(shí)，在單減，成立；當(dāng)時(shí)，在單減，在單增，在單減，，，而，顯然成立．綜上所述，．④變更主元法1．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）若不等式，當(dāng)時(shí)恒成立，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】D【詳解】不等式可化為，由已知可得令，可得∴

或，故選D.2．（2022秋·江西撫州·高一金溪一中?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)，對(duì)任意的，恒成立，則的取值范圍為．【答案】【詳解】，定義域?yàn)?，則，可知函數(shù)為奇函數(shù)，又均為增函數(shù)，所以為增函數(shù)，由，得，即，則，即，由題意可知，對(duì)任意的，恒成立，令，所以，解得，所以的取值范圍為．故答案為：．3．（2023·高一課時(shí)練習(xí)）不等式對(duì)滿足的一切實(shí)數(shù)m的取值都成立，求x的取值范圍．【答案】【詳解】不等式化為：對(duì)于任意的恒成立，令，要使對(duì)于任意恒成立，由于函數(shù)是關(guān)于的一條直線，則有，解得，故x的取值范圍為.⑤雙變量問(wèn)題型1．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知，若對(duì)使得，則實(shí)數(shù)的取值范圍是.【答案】【詳解】當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可得此時(shí)也單調(diào)遞增，所以；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，所以.因?yàn)閷?duì)使得，所以，即，解得.故答案為：2．（2023春·海南?？凇じ咭缓？谝恢行？计谥校?，都有，且，，，，使得成立，則的范圍是.【答案】【詳解】，都有，所以函數(shù)為偶函數(shù)，所以，即，所以，故，所以，因?yàn)?，，使得成立，所以函?shù)在上的最小值不小于函數(shù)在上的最小值，因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)有最小值為，又的對(duì)稱軸為，，當(dāng)時(shí)，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，可得，由題意，且，所以；當(dāng)時(shí)，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，可得，由題意，且，所以；當(dāng)時(shí)，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，可得，由題意，且，所以；綜上可知，實(shí)數(shù)的取值范圍為.故答案為：.3．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）設(shè)函數(shù)()．設(shè)，若對(duì)任意的，存在，使得成立，求的取值范圍．【答案】【詳解】“對(duì)任意的，存在，使得成立”，等價(jià)