5最值系列之阿氏圓問題

公眾號：有一點數(shù)學(xué)公眾號：有一點數(shù)學(xué)#那么這個玩意和最值有什么關(guān)系呢？且來先看個例子：如圖，在Rt^ABC中，NC=90°,AC=4,BC=3,以點C為圓心，2為半徑作圓C,分別交AC、BC于D、E兩點，點P是圓C上一個動點，則1PA+PB的最小值為.2【分析】這個問題最大的難點在于轉(zhuǎn)化1PA，此處P點軌跡是圓，故轉(zhuǎn)化方法與之前有所2不同，如下，提供兩種思路．法一：構(gòu)造相似三角形注意到圓C半徑為2，CA=4，連接CP，構(gòu)造包含線段AP的4CPA，在CA邊上取點M使得CM=2,連接PM,可得^CPAs^CMP,故PA：PM=2:1,即PM=1PA.2問題轉(zhuǎn)化為PM+PB最小值，直接連BM即可.【問題剖析】(1)這里為什么是1PA?2答：因為圓C半徑為2,CA=4,比值是1:2,所以構(gòu)造的是1PA，也只能構(gòu)造1PA.

(2)如果問題設(shè)計為PA+kPB最小值，k應(yīng)為多少？答：根據(jù)圓C半徑與CB之比為2:3,k應(yīng)為2.3【小結(jié)】此類問題都是構(gòu)造好的圖形搭配恰當(dāng)?shù)谋壤?，?gòu)造相似轉(zhuǎn)化線段即可解決．法二：阿氏圓模型對比一下這個題目的條件，P點軌跡是圓，A是定點，我們需要找出另一個定點M使得PM:PA=1:2,這不就是把“阿氏圓”的條件與結(jié)論互換了一下嘛！已知PA、已知PA、PB之比確定圓而且這種問題里，給定的圓的位置、定點A的位置、線段的比例等，往往都是搭配好的!P點軌跡圓的圓心C點和A點在直線AC上，故所求M點在AC邊上，考慮到PM：PA=1:2,不妨讓P點與D點重合，此時DM=1DA=1,即可確定M點位置.2如果對這個結(jié)果不是很放心，不妨再取個特殊的位置檢驗一下，如下圖，此時PM=3,PA=6,亦滿足PM:PA=1:2.【小結(jié)】法二其實是開了上帝視角,在已知其是阿氏圓的前提下,通過特殊點找出所求M點位置,雖不夠嚴(yán)謹(jǐn),卻很實用.

【練習(xí)1】如圖，在AABC中，NACB=90°,BC=12,AC=9,以點C為圓心，6為半徑的圓上有一個動點D.連接AD、BD、CD,貝U2AD+3BD的最小值是. （2 \…，、2 【分析】首先對問題作變式2AD+3BD=3—AD+BD，故求—AD+BD最小值即可.13 ） 3考慮到D點軌跡是圓，A是定點，且要求構(gòu)造-AD，條件已經(jīng)足夠明顯.3當(dāng)D點運動到AC邊時，DA=3,此時在線段CD上取點M使得DM=2,則在點D運動過程2中，始終存在DM=-AA.3問題轉(zhuǎn)化為DM+DB的最小值，直接連接BM,BM長度的3倍即為本題答案.【練習(xí)2】如圖，已知正方ABCD的邊長為4,圓B的半徑為2,點P是圓B上的一個動點，則PD-1PC的最大值為.2【分析】當(dāng)P點運動到BC邊上時，此時PC=2,根據(jù)題意要求構(gòu)造1PC,在BC上取M2使得此時PM=1,則在點P運動的任意時刻，均有PM=1PC,從而將