天津市濱海新區(qū)天津開發(fā)區(qū)第一中學(xué)2025屆高三最后一卷數(shù)學(xué)試卷含解析

天津市濱海新區(qū)天津開發(fā)區(qū)第一中學(xué)2025屆高三最后一卷數(shù)學(xué)試卷注意事項(xiàng):1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)碼填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。2．答題時(shí)請(qǐng)按要求用筆。3．請(qǐng)按照題號(hào)順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試卷上答題無效。4．作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5．保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．執(zhí)行如圖所示的程序框圖，如果輸入，則輸出屬于（）A． B． C． D．2．已知函數(shù)，若函數(shù)的所有零點(diǎn)依次記為，且，則（）A． B． C． D．3．若直線y＝kx＋1與圓x2＋y2＝1相交于P、Q兩點(diǎn)，且∠POQ＝120°(其中O為坐標(biāo)原點(diǎn))，則k的值為()A． B． C．或－ D．和－4．給出下列四個(gè)命題：①若“且”為假命題，則﹑均為假命題；②三角形的內(nèi)角是第一象限角或第二象限角；③若命題，，則命題，；④設(shè)集合，，則“”是“”的必要條件；其中正確命題的個(gè)數(shù)是（）A． B． C． D．5．下列函數(shù)中，圖象關(guān)于軸對(duì)稱的為（）A． B．，C． D．6．若函數(shù)恰有3個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．7．函數(shù)的圖象為C，以下結(jié)論中正確的是（）①圖象C關(guān)于直線對(duì)稱；②圖象C關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱；③由y=2sin2x的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度可以得到圖象C.A．① B．①② C．②③ D．①②③8．在鈍角中，角所對(duì)的邊分別為，為鈍角，若，則的最大值為（）A． B． C．1 D．9．已知甲盒子中有個(gè)紅球，個(gè)藍(lán)球，乙盒子中有個(gè)紅球，個(gè)藍(lán)球，同時(shí)從甲乙兩個(gè)盒子中取出個(gè)球進(jìn)行交換，（a）交換后，從甲盒子中取1個(gè)球是紅球的概率記為.（b）交換后，乙盒子中含有紅球的個(gè)數(shù)記為.則（）A． B．C． D．10．設(shè)某大學(xué)的女生體重y（單位：kg）與身高x（單位：cm）具有線性相關(guān)關(guān)系，根據(jù)一組樣本數(shù)據(jù)（xi，yi）（i=1，2，…，n），用最小二乘法建立的回歸方程為=0.85x-85.71，則下列結(jié)論中不正確的是A．y與x具有正的線性相關(guān)關(guān)系B．回歸直線過樣本點(diǎn)的中心（，）C．若該大學(xué)某女生身高增加1cm，則其體重約增加0.85kgD．若該大學(xué)某女生身高為170cm，則可斷定其體重比為58.79kg11．函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象的交點(diǎn)橫坐標(biāo)的和為（）A． B． C． D．12．已知雙曲線的一條漸近線傾斜角為，則（）A．3 B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．（5分）函數(shù)的定義域是____________．14．拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為______.15．已知橢圓的左焦點(diǎn)為，點(diǎn)在橢圓上且在軸的上方，若線段的中點(diǎn)在以原點(diǎn)為圓心，為半徑的圓上，則直線的斜率是_______.16．如圖，在三棱錐中，平面，，已知，，則當(dāng)最大時(shí)，三棱錐的體積為__________．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）正項(xiàng)數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn滿足：(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)令，數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為Tn，證明：對(duì)于任意的n∈N*，都有Tn＜.18．（12分）已知函數(shù)，.（1）當(dāng)時(shí)，判斷是否是函數(shù)的極值點(diǎn)，并說明理由；（2）當(dāng)時(shí)，不等式恒成立，求整數(shù)的最小值.19．（12分）如圖，在中，角的對(duì)邊分別為，且滿足，線段的中點(diǎn)為.（Ⅰ）求角的大小；（Ⅱ）已知，求的大小.20．（12分）設(shè)函數(shù)，是函數(shù)的導(dǎo)數(shù).（1）若，證明在區(qū)間上沒有零點(diǎn)；（2）在上恒成立，求的取值范圍.21．（12分）如圖,直角三角形所在的平面與半圓弧所在平面相交于,，,分別為,的中點(diǎn),是上異于,的點(diǎn),.（1）證明:平面平面;（2）若點(diǎn)為半圓弧上的一個(gè)三等分點(diǎn)(靠近點(diǎn))求二面角的余弦值.22．（10分）已知函數(shù).（1）求不等式的解集；（2）若不等式在上恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、B【解析】

由題意，框圖的作用是求分段函數(shù)的值域，求解即得解.【詳解】由題意可知，框圖的作用是求分段函數(shù)的值域，當(dāng)；當(dāng)綜上：.故選：B【點(diǎn)睛】本題考查了條件分支的程序框圖，考查了學(xué)生邏輯推理，分類討論，數(shù)學(xué)運(yùn)算的能力，屬于基礎(chǔ)題.2、C【解析】

令，求出在的對(duì)稱軸，由三角函數(shù)的對(duì)稱性可得，將式子相加并整理即可求得的值.【詳解】令，得，即對(duì)稱軸為.函數(shù)周期，令，可得.則函數(shù)在上有8條對(duì)稱軸.根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)可知，將以上各式相加得：故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查了三角函數(shù)的對(duì)稱性，考查了三角函數(shù)的周期性，考查了等差數(shù)列求和.本題的難點(diǎn)是將所求的式子拆分為的形式.3、C【解析】

直線過定點(diǎn)，直線y=kx+1與圓x2+y2=1相交于P、Q兩點(diǎn)，且∠POQ=120°（其中O為原點(diǎn)），可以發(fā)現(xiàn)∠QOx的大小，求得結(jié)果．【詳解】如圖，直線過定點(diǎn)（0，1），∵∠POQ=120°∴∠OPQ=30°，?∠1=120°，∠2=60°，∴由對(duì)稱性可知k=±．故選C．【點(diǎn)睛】本題考查過定點(diǎn)的直線系問題，以及直線和圓的位置關(guān)系，是基礎(chǔ)題．4、B【解析】

①利用真假表來判斷，②考慮內(nèi)角為，③利用特稱命題的否定是全稱命題判斷，④利用集合間的包含關(guān)系判斷.【詳解】若“且”為假命題，則﹑中至少有一個(gè)是假命題，故①錯(cuò)誤；當(dāng)內(nèi)角為時(shí)，不是象限角，故②錯(cuò)誤；由特稱命題的否定是全稱命題知③正確；因?yàn)?，所以，所以“”是“”的必要條件，故④正確.故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查命題真假的問題，涉及到“且”命題、特稱命題的否定、象限角、必要條件等知識(shí)，是一道基礎(chǔ)題.5、D【解析】

圖象關(guān)于軸對(duì)稱的函數(shù)為偶函數(shù),用偶函數(shù)的定義及性質(zhì)對(duì)選項(xiàng)進(jìn)行判斷可解.【詳解】圖象關(guān)于軸對(duì)稱的函數(shù)為偶函數(shù)；A中，，，故為奇函數(shù)；B中，的定義域?yàn)?，不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，故為非奇非偶函數(shù)；C中，由正弦函數(shù)性質(zhì)可知，為奇函數(shù)；D中，且，，故為偶函數(shù).故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查判斷函數(shù)奇偶性.判斷函數(shù)奇偶性的兩種方法:(1)定義法：對(duì)于函數(shù)的定義域內(nèi)任意一個(gè)都有，則函數(shù)是奇函數(shù)；都有，則函數(shù)是偶函數(shù)(2)圖象法：函數(shù)是奇(偶)函數(shù)函數(shù)圖象關(guān)于原點(diǎn)(軸)對(duì)稱．6、B【解析】

求導(dǎo)函數(shù)，求出函數(shù)的極值，利用函數(shù)恰有三個(gè)零點(diǎn)，即可求實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為，令，則或，上單調(diào)遞減，上單調(diào)遞增，所以0或是函數(shù)y的極值點(diǎn)，函數(shù)的極值為：，函數(shù)恰有三個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是：.故選B.【點(diǎn)睛】該題考查的是有關(guān)結(jié)合函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)，來確定參數(shù)的取值范圍的問題，在解題的過程中，注意應(yīng)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)圖象的走向，利用數(shù)形結(jié)合思想，轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象間交點(diǎn)個(gè)數(shù)的問題，難度不大.7、B【解析】

根據(jù)三角函數(shù)的對(duì)稱軸、對(duì)稱中心和圖象變換的知識(shí)，判斷出正確的結(jié)論.【詳解】因?yàn)椋?，所以①正確.，所以②正確.將的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得，所以③錯(cuò)誤.所以①②正確，③錯(cuò)誤.故選:B【點(diǎn)睛】本小題主要考查三角函數(shù)的對(duì)稱軸、對(duì)稱中心，考查三角函數(shù)圖象變換，屬于基礎(chǔ)題.8、B【解析】

首先由正弦定理將邊化角可得，即可得到，再求出，最后根據(jù)求出的最大值；【詳解】解：因?yàn)?，所以因?yàn)樗?，即，，時(shí)故選：【點(diǎn)睛】本題考查正弦定理的應(yīng)用，余弦函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用，屬于中檔題.9、A【解析】分析：首先需要去分析交換后甲盒中的紅球的個(gè)數(shù)，對(duì)應(yīng)的事件有哪些結(jié)果，從而得到對(duì)應(yīng)的概率的大小，再者就是對(duì)隨機(jī)變量的值要分清，對(duì)應(yīng)的概率要算對(duì)，利用公式求得其期望.詳解：根據(jù)題意有，如果交換一個(gè)球，有交換的都是紅球、交換的都是藍(lán)球、甲盒的紅球換的乙盒的藍(lán)球、甲盒的藍(lán)球交換的乙盒的紅球，紅球的個(gè)數(shù)就會(huì)出現(xiàn)三種情況；如果交換的是兩個(gè)球，有紅球換紅球、藍(lán)球換藍(lán)球、一藍(lán)一紅換一藍(lán)一紅、紅換藍(lán)、藍(lán)換紅、一藍(lán)一紅換兩紅、一藍(lán)一紅換亮藍(lán)，對(duì)應(yīng)的紅球的個(gè)數(shù)就是五種情況，所以分析可以求得，故選A.點(diǎn)睛：該題考查的是有關(guān)隨機(jī)事件的概率以及對(duì)應(yīng)的期望的問題，在解題的過程中，需要對(duì)其對(duì)應(yīng)的事件弄明白，對(duì)應(yīng)的概率會(huì)算，以及變量的可取值會(huì)分析是多少，利用期望公式求得結(jié)果.10、D【解析】根據(jù)y與x的線性回歸方程為y=0.85x﹣85.71，則=0.85＞0，y與x具有正的線性相關(guān)關(guān)系，A正確；回歸直線過樣本點(diǎn)的中心（），B正確；該大學(xué)某女生身高增加1cm，預(yù)測(cè)其體重約增加0.85kg，C正確；該大學(xué)某女生身高為170cm，預(yù)測(cè)其體重約為0.85×170﹣85.71=58.79kg，D錯(cuò)誤．故選D．11、B【解析】

根據(jù)兩個(gè)函數(shù)相等，求出所有交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，然后求和即可.【詳解】令，有，所以或.又，所以或或或，所以函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象交點(diǎn)的橫坐標(biāo)的和，故選B.【點(diǎn)睛】本題主要考查三角函數(shù)的圖象及給值求角，側(cè)重考查數(shù)學(xué)建模和數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).12、D【解析】

由雙曲線方程可得漸近線方程，根據(jù)傾斜角可得漸近線斜率，由此構(gòu)造方程求得結(jié)果.【詳解】由雙曲線方程可知：，漸近線方程為：，一條漸近線的傾斜角為，，解得：.故選：.【點(diǎn)睛】本題考查根據(jù)雙曲線漸近線傾斜角求解參數(shù)值的問題，關(guān)鍵是明確直線傾斜角與斜率的關(guān)系；易錯(cuò)點(diǎn)是忽略方程表示雙曲線對(duì)于的范圍的要求.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】

要使函數(shù)有意義，則，即，解得，故函數(shù)的定義域是．14、【解析】

變換得到，計(jì)算焦點(diǎn)得到答案.【詳解】拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，，所以焦點(diǎn)坐標(biāo)為．故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查了拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)，屬于簡(jiǎn)單題.15、【解析】

結(jié)合圖形可以發(fā)現(xiàn)，利用三角形中位線定理，將線段長(zhǎng)度用坐標(biāo)表示成圓的方程，與橢圓方程聯(lián)立可進(jìn)一步求解.利用焦半徑及三角形中位線定理，則更為簡(jiǎn)潔.【詳解】方法1：由題意可知，由中位線定理可得，設(shè)可得，聯(lián)立方程可解得（舍），點(diǎn)在橢圓上且在軸的上方，求得，所以方法2：焦半徑公式應(yīng)用解析1：由題意可知，由中位線定理可得，即求得，所以.【點(diǎn)睛】本題主要考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程、橢圓的幾何性質(zhì)、直線與圓的位置關(guān)系，利用數(shù)形結(jié)合思想，是解答解析幾何問題的重要途徑.16、4【解析】設(shè)，則，，，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立.,故答案為4三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）見解析【解析】

（1）因?yàn)閿?shù)列的前項(xiàng)和滿足：，所以當(dāng)時(shí)，，即解得或，因?yàn)閿?shù)列都是正項(xiàng)，所以，因?yàn)椋?，解得或，因?yàn)閿?shù)列都是正項(xiàng)，所以，當(dāng)時(shí)，有，所以，解得，當(dāng)時(shí)，，符合所以數(shù)列的通項(xiàng)公式，;（2）因?yàn)?，所以，所以?shù)列的前項(xiàng)和為：，當(dāng)時(shí)，有，所以，所以對(duì)于任意，數(shù)列的前項(xiàng)和.18、（1）是函數(shù)的極大值點(diǎn)，理由詳見解析；（2）1.【解析】

（1）將直接代入，對(duì)求導(dǎo)得，由于函數(shù)單調(diào)性不好判斷，故而構(gòu)造函數(shù)，繼續(xù)求導(dǎo)，判斷導(dǎo)函數(shù)在左右兩邊的正負(fù)情況，最后得出，是函數(shù)的極大值點(diǎn)；（2）利用題目已有條件得，再證明時(shí)，不等式恒成立，即證，從而可知整數(shù)的最小值為1.【詳解】解:（1）當(dāng)時(shí)，.令，則當(dāng)時(shí)，.即在內(nèi)為減函數(shù)，且∴當(dāng)時(shí)，;當(dāng)時(shí)，.∴在內(nèi)是增函數(shù)，在內(nèi)是減函數(shù).綜上，是函數(shù)的極大值點(diǎn).（2）由題意，得，即.現(xiàn)證明當(dāng)時(shí)，不等式成立，即.即證令則∴當(dāng)時(shí)，;當(dāng)時(shí)，.∴在內(nèi)單調(diào)遞增，在內(nèi)單調(diào)遞減，的最大值為.∴當(dāng)時(shí)，.即當(dāng)時(shí)，不等式成立.綜上，整數(shù)的最小值為.【點(diǎn)睛】本題考查學(xué)生利用導(dǎo)數(shù)處理函數(shù)的極值，最值，判斷函數(shù)的單調(diào)性，由此來求解函數(shù)中的參數(shù)的取值范圍，對(duì)學(xué)生要求較高，然后需要學(xué)生能構(gòu)造新函數(shù)處理恒成立問題，為難題19、（Ⅰ）；（Ⅱ）.【解析】

（Ⅰ）由正弦定理邊化角，再結(jié)合轉(zhuǎn)化即可求解；（Ⅱ）可設(shè)，由，再由余弦定理解得，對(duì)中，由余弦定理有，通過勾股定理逆定理可得，進(jìn)而得解【詳解】（Ⅰ）由正弦定理得.而.由以上兩式得，即.由于，所以，又由于，得.（Ⅱ）設(shè)，在中，由正弦定理有.由余弦定理有，整理得，由于，所以.在中，由余弦定理有.所以，所以.【點(diǎn)睛】本題考查正弦定理和余弦定理的綜合運(yùn)用，屬于中檔題20、（1）證明見解析（2）【解析】

（1）先利用導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則和導(dǎo)數(shù)公式求出，再由函數(shù)的導(dǎo)數(shù)可知，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，而，，可知在區(qū)間上恒成立，即在區(qū)間上沒有零點(diǎn)；（2）由題意可將轉(zhuǎn)化為，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)討論研究其在上的單調(diào)性，由，即可求出的取值范圍．【詳解】（1）若，則，，設(shè)，則，，，故函數(shù)是奇函數(shù)．當(dāng)時(shí)，，，這時(shí)，又函數(shù)是奇函數(shù)，所以當(dāng)時(shí)，.綜上，當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減.又，，故在區(qū)間上恒成立，所以在區(qū)間上沒有零點(diǎn).（2），由，所以恒成立，若，則，設(shè)，.故當(dāng)時(shí)，，又，所以當(dāng)時(shí)，，滿足題意；當(dāng)時(shí)，有，與條件矛盾，舍去；當(dāng)時(shí)，令，則，又，故在區(qū)間上有無窮多個(gè)零點(diǎn)，設(shè)最小的零點(diǎn)為，則當(dāng)時(shí)，，因此在上單調(diào)遞增.，所以.于是，當(dāng)時(shí)，，得，與條件矛盾.故的取值范圍是.【點(diǎn)睛】本題主要考查導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則和導(dǎo)數(shù)公式的應(yīng)用，以及利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和最值，涉及分類討論思想和放縮法的應(yīng)用，難度較大，意在考查學(xué)生的數(shù)學(xué)建模能力，數(shù)學(xué)運(yùn)算能力和邏輯推理能力，屬于較難題．21、（1）詳見解析；（2）.【解析】

（1）由直徑所對(duì)的圓周角為，可知，通過計(jì)算，利用勾股定理的逆定理可以判斷出為直角三角形，所以有.由已知可以證明出，這樣利用線面垂直的判定定理可以證明平面，利用面面垂直的判定定理可以證明出平面平面;（2）以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以