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四川省廣安市鄰水縣鄰水實(shí)驗(yàn)學(xué)校2025屆高三下第一次測試數(shù)學(xué)試題注意事項(xiàng):1.答卷前,考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上。2.回答選擇題時(shí),選出每小題答案后,用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑,如需改動(dòng),用橡皮擦干凈后,再選涂其它答案標(biāo)號(hào)?;卮鸱沁x擇題時(shí),將答案寫在答題卡上,寫在本試卷上無效。3.考試結(jié)束后,將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.若復(fù)數(shù)滿足,則的虛部為()A.5 B. C. D.-52.已知拋物線C:,過焦點(diǎn)F的直線l與拋物線C交于A,B兩點(diǎn)(A在x軸上方),且滿足,則直線l的斜率為()A.1 B.C.2 D.33.復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)記作,已知復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)復(fù)平面上的點(diǎn),復(fù)數(shù):滿足.則等于()A. B. C. D.4.在中,是的中點(diǎn),,點(diǎn)在上且滿足,則等于()A. B. C. D.5.設(shè)是等差數(shù)列的前n項(xiàng)和,且,則()A. B. C.1 D.26.已知等差數(shù)列中,則()A.10 B.16 C.20 D.247.關(guān)于函數(shù),下列說法正確的是()A.函數(shù)的定義域?yàn)锽.函數(shù)一個(gè)遞增區(qū)間為C.函數(shù)的圖像關(guān)于直線對(duì)稱D.將函數(shù)圖像向左平移個(gè)單位可得函數(shù)的圖像8.執(zhí)行如圖所示的程序框圖,則輸出的值為()A. B. C. D.9.已知函數(shù)在上有兩個(gè)零點(diǎn),則的取值范圍是()A. B. C. D.10.曲線上任意一點(diǎn)處的切線斜率的最小值為()A.3 B.2 C. D.111.某幾何體的三視圖如圖所示,則該幾何體中的最長棱長為()A. B. C. D.12.著名的斐波那契數(shù)列:1,1,2,3,5,8,…,滿足,,,若,則()A.2020 B.4038 C.4039 D.4040二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.一次考試后,某班全班50個(gè)人數(shù)學(xué)成績的平均分為正數(shù),若把當(dāng)成一個(gè)同學(xué)的分?jǐn)?shù),與原來的50個(gè)分?jǐn)?shù)一起,算出這51個(gè)分?jǐn)?shù)的平均值為,則_________.14.已知正方形邊長為,空間中的動(dòng)點(diǎn)滿足,,則三棱錐體積的最大值是______.15.在直角坐標(biāo)系中,某等腰直角三角形的兩個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為,函數(shù)的圖象經(jīng)過該三角形的三個(gè)頂點(diǎn),則的解析式為___________.16.已知實(shí)數(shù)a,b,c滿足,則的最小值是______.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)已知等差數(shù)列中,,數(shù)列的前項(xiàng)和.(1)求;(2)若,求的前項(xiàng)和.18.(12分)已知的內(nèi)角、、的對(duì)邊分別為、、,滿足.有三個(gè)條件:①;②;③.其中三個(gè)條件中僅有兩個(gè)正確,請(qǐng)選出正確的條件完成下面兩個(gè)問題:(1)求;(2)設(shè)為邊上一點(diǎn),且,求的面積.19.(12分)如圖,在直三棱柱中,,,D,E分別為AB,BC的中點(diǎn).(1)證明:平面平面;(2)求點(diǎn)到平面的距離.20.(12分)已知數(shù)列是各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列,,且,,成等差數(shù)列.(Ⅰ)求數(shù)列的通項(xiàng)公式;(Ⅱ)設(shè),為數(shù)列的前項(xiàng)和,記,證明:.21.(12分)記拋物線的焦點(diǎn)為,點(diǎn)在拋物線上,且直線的斜率為1,當(dāng)直線過點(diǎn)時(shí),.(1)求拋物線的方程;(2)若,直線與交于點(diǎn),,求直線的斜率.22.(10分)改革開放40年,我國經(jīng)濟(jì)取得飛速發(fā)展,城市汽車保有量在不斷增加,人們的交通安全意識(shí)也需要不斷加強(qiáng).為了解某城市不同性別駕駛員的交通安全意識(shí),某小組利用假期進(jìn)行一次全市駕駛員交通安全意識(shí)調(diào)查.隨機(jī)抽取男女駕駛員各50人,進(jìn)行問卷測評(píng),所得分?jǐn)?shù)的頻率分布直方圖如圖所示.規(guī)定得分在80分以上為交通安全意識(shí)強(qiáng).安全意識(shí)強(qiáng)安全意識(shí)不強(qiáng)合計(jì)男性女性合計(jì)(Ⅰ)求的值,并估計(jì)該城市駕駛員交通安全意識(shí)強(qiáng)的概率;(Ⅱ)已知交通安全意識(shí)強(qiáng)的樣本中男女比例為4:1,完成2×2列聯(lián)表,并判斷有多大把握認(rèn)為交通安全意識(shí)與性別有關(guān);(Ⅲ)在(Ⅱ)的條件下,從交通安全意識(shí)強(qiáng)的駕駛員中隨機(jī)抽取2人,求抽到的女性人數(shù)的分布列及期望.附:,其中0.0100.0050.0016.6357.87910.828
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、C【解析】
把已知等式變形,再由復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算化簡得答案.【詳解】由(1+i)z=|3+4i|,得z,∴z的虛部為.故選C.【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算,考查復(fù)數(shù)的基本概念,是基礎(chǔ)題.2、B【解析】
設(shè)直線的方程為代入拋物線方程,利用韋達(dá)定理可得,,由可知所以可得代入化簡求得參數(shù),即可求得結(jié)果.【詳解】設(shè),(,).易知直線l的斜率存在且不為0,設(shè)為,則直線l的方程為.與拋物線方程聯(lián)立得,所以,.因?yàn)椋裕?,所以,即,,所?故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查直線與拋物線的位置關(guān)系,考查韋達(dá)定理及向量的坐標(biāo)之間的關(guān)系,考查計(jì)算能力,屬于中檔題.3、A【解析】
根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義得出復(fù)數(shù),進(jìn)而得出,由得出可計(jì)算出,由此可計(jì)算出.【詳解】由于復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)復(fù)平面上的點(diǎn),,則,,,因此,.故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)模的計(jì)算,考查了復(fù)數(shù)的坐標(biāo)表示、共軛復(fù)數(shù)以及復(fù)數(shù)的除法,考查計(jì)算能力,屬于基礎(chǔ)題.4、B【解析】
由M是BC的中點(diǎn),知AM是BC邊上的中線,又由點(diǎn)P在AM上且滿足可得:P是三角形ABC的重心,根據(jù)重心的性質(zhì),即可求解.【詳解】解:∵M(jìn)是BC的中點(diǎn),知AM是BC邊上的中線,又由點(diǎn)P在AM上且滿足∴P是三角形ABC的重心∴又∵AM=1∴∴故選B.【點(diǎn)睛】判斷P點(diǎn)是否是三角形的重心有如下幾種辦法:①定義:三條中線的交點(diǎn).②性質(zhì):或取得最小值③坐標(biāo)法:P點(diǎn)坐標(biāo)是三個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)的平均數(shù).5、C【解析】
利用等差數(shù)列的性質(zhì)化簡已知條件,求得的值.【詳解】由于等差數(shù)列滿足,所以,,.故選:C【點(diǎn)睛】本小題主要考查等差數(shù)列的性質(zhì),屬于基礎(chǔ)題.6、C【解析】
根據(jù)等差數(shù)列性質(zhì)得到,再計(jì)算得到答案.【詳解】已知等差數(shù)列中,故答案選C【點(diǎn)睛】本題考查了等差數(shù)列的性質(zhì),是數(shù)列的??碱}型.7、B【解析】
化簡到,根據(jù)定義域排除,計(jì)算單調(diào)性知正確,得到答案.【詳解】,故函數(shù)的定義域?yàn)?,故錯(cuò)誤;當(dāng)時(shí),,函數(shù)單調(diào)遞增,故正確;當(dāng),關(guān)于的對(duì)稱的直線為不在定義域內(nèi),故錯(cuò)誤.平移得到的函數(shù)定義域?yàn)?,故不可能為,錯(cuò)誤.故選:.【點(diǎn)睛】本題考查了三角恒等變換,三角函數(shù)單調(diào)性,定義域,對(duì)稱,三角函數(shù)平移,意在考查學(xué)生的綜合應(yīng)用能力.8、B【解析】
列出每一次循環(huán),直到計(jì)數(shù)變量滿足退出循環(huán).【詳解】第一次循環(huán):;第二次循環(huán):;第三次循環(huán):,退出循環(huán),輸出的為.故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查由程序框圖求輸出的結(jié)果,要注意在哪一步退出循環(huán),是一道容易題.9、C【解析】
對(duì)函數(shù)求導(dǎo),對(duì)a分類討論,分別求得函數(shù)的單調(diào)性及極值,結(jié)合端點(diǎn)處的函數(shù)值進(jìn)行判斷求解.【詳解】∵,.當(dāng)時(shí),,在上單調(diào)遞增,不合題意.當(dāng)時(shí),,在上單調(diào)遞減,也不合題意.當(dāng)時(shí),則時(shí),,在上單調(diào)遞減,時(shí),,在上單調(diào)遞增,又,所以在上有兩個(gè)零點(diǎn),只需即可,解得.綜上,的取值范圍是.故選C.【點(diǎn)睛】本題考查了利用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)零點(diǎn)的問題,考查了函數(shù)的單調(diào)性及極值問題,屬于中檔題.10、A【解析】
根據(jù)題意,求導(dǎo)后結(jié)合基本不等式,即可求出切線斜率,即可得出答案.【詳解】解:由于,根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義得:,即切線斜率,當(dāng)且僅當(dāng)?shù)忍?hào)成立,所以上任意一點(diǎn)處的切線斜率的最小值為3.故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義的應(yīng)用以及運(yùn)用基本不等式求最值,考查計(jì)算能力.11、C【解析】
根據(jù)三視圖,可得該幾何體是一個(gè)三棱錐,并且平面SAC平面ABC,,過S作,連接BD,,再求得其它的棱長比較下結(jié)論.【詳解】如圖所示:由三視圖得:該幾何體是一個(gè)三棱錐,且平面SAC平面ABC,,過S作,連接BD,則,所以,,,,該幾何體中的最長棱長為.故選:C【點(diǎn)睛】本題主要考查三視圖還原幾何體,還考查了空間想象和運(yùn)算求解的能力,屬于中檔題.12、D【解析】
計(jì)算,代入等式,根據(jù)化簡得到答案.【詳解】,,,故,,故.故選:.【點(diǎn)睛】本題考查了斐波那契數(shù)列,意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和應(yīng)用能力.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、1【解析】
根據(jù)均值的定義計(jì)算.【詳解】由題意,∴.故答案為:1.【點(diǎn)睛】本題考查均值的概念,屬于基礎(chǔ)題.14、【解析】
以為原點(diǎn),為軸,為軸,過作平面的垂線為軸建立空間直角坐標(biāo)系,設(shè)點(diǎn),根據(jù)題中條件得出,進(jìn)而可求出的最大值,由此能求出三棱錐體積的最大值.【詳解】以為原點(diǎn),為軸,為軸,過作平面的垂線為軸建立空間直角坐標(biāo)系,則,,,設(shè)點(diǎn),空間中的動(dòng)點(diǎn)滿足,,所以,整理得,,當(dāng),時(shí),取最大值,所以,三棱錐的體積為.因此,三棱錐體積的最大值為.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查三棱錐體積的最大值的求法,考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí),考查運(yùn)算求解能力,是中檔題.15、【解析】
結(jié)合題意先畫出直角坐標(biāo)系,點(diǎn)出所有可能組成等腰直角三角形的點(diǎn),采用排除法最終可確定為點(diǎn),再由函數(shù)性質(zhì)進(jìn)一步求解參數(shù)即可【詳解】等腰直角三角形的第三個(gè)頂點(diǎn)可能的位置如下圖中的點(diǎn),其中點(diǎn)與已有的兩個(gè)頂點(diǎn)橫坐標(biāo)重復(fù),舍去;若為點(diǎn)則點(diǎn)與點(diǎn)的中間位置的點(diǎn)的縱坐標(biāo)必然大于或小于,不可能為,因此點(diǎn)也舍去,只有點(diǎn)滿足題意.此時(shí)點(diǎn)為最大值點(diǎn),所以,又,則,所以點(diǎn),之間的圖像單調(diào),將,代入的表達(dá)式有由知,因此.故答案為:【點(diǎn)睛】本題考查由三角函數(shù)圖像求解解析式,數(shù)形結(jié)合思想,屬于中檔題16、【解析】
先分離出,應(yīng)用基本不等式轉(zhuǎn)化為關(guān)于c的二次函數(shù),進(jìn)而求出最小值.【詳解】解:若取最小值,則異號(hào),,根據(jù)題意得:,又由,即有,則,即的最小值為,故答案為:【點(diǎn)睛】本題考查了基本不等式以及二次函數(shù)配方求最值,屬于中檔題.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1),;(2).【解析】
(1)由條件得出方程組,可求得的通項(xiàng),當(dāng)時(shí),,可得,當(dāng)時(shí),,得出是以1為首項(xiàng),2為公比的等比數(shù)列,可求得的通項(xiàng);(2)由(1)可知,,分n為偶數(shù)和n為奇數(shù)分別求得.【詳解】(1)由條件知,,,當(dāng)時(shí),,即,當(dāng)時(shí),,是以1為首項(xiàng),2為公比的等比數(shù)列,;(2)由(1)可知,,當(dāng)n為偶數(shù)時(shí),當(dāng)n為奇數(shù)時(shí),綜上,【點(diǎn)睛】本題考查等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項(xiàng)的求得,以及其前n項(xiàng)和,注意分n為偶數(shù)和n為奇數(shù)兩種情況分別求得其數(shù)列的和,屬于中檔題.18、(1);(2).【解析】
(1)先求出角,進(jìn)而可得出,則①②中有且只有一個(gè)正確,③正確,然后分①③正確和②③正確兩種情況討論,結(jié)合三角形的面積公式和余弦定理可求得的值;(2)計(jì)算出和,計(jì)算出,可得出,進(jìn)而可求得的面積.【詳解】(1)因?yàn)椋?,得,,,為鈍角,與矛盾,故①②中僅有一個(gè)正確,③正確.顯然,得.當(dāng)①③正確時(shí),由,得(無解);當(dāng)②③正確時(shí),由于,,得;(2)如圖,因?yàn)?,,則,則,.【點(diǎn)睛】本題考查解三角形綜合應(yīng)用,涉及三角形面積公式和余弦定理的應(yīng)用,考查計(jì)算能力,屬于中等題.19、(1)證明見解析;(2).【解析】
(1)通過證明面,即可由線面垂直推證面面垂直;(2)根據(jù)面,將問題轉(zhuǎn)化為求到面的距離,利用等體積法求點(diǎn)面距離即可.【詳解】(1)因?yàn)槔庵侵比庵杂?,所以面又,分別為AB,BC的中點(diǎn)所以//即面又面,所以平面平面(2)由(1)可知////所以//平面即點(diǎn)到平面的距離等于點(diǎn)到平面的距離設(shè)點(diǎn)到面的距離為由(1)可知,面且在中,,易知由等體積公式可知即由得所以到平面的距離等于【點(diǎn)睛】本題考查由線面垂直推證面面垂直,涉及利用等體積法求點(diǎn)面距離,屬綜合中檔題.20、(Ⅰ),;(Ⅱ)見解析【解析】
(Ⅰ)由,且成等差數(shù)列,可求得q,從而可得本題答案;(Ⅱ)化簡求得,然后求得,再用裂項(xiàng)相消法求,即可得到本題答案.【詳解】(Ⅰ)因?yàn)閿?shù)列是各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列,,可設(shè)公比為q,,又成等差數(shù)列,所以,即,解得或(舍去),則,;(Ⅱ)證明:,,,則,因?yàn)?,所以?【點(diǎn)睛】本題主要考查等差等比數(shù)列的綜合應(yīng)用,以及用裂項(xiàng)相消法求和并證明不等式,考查學(xué)生的運(yùn)算求解能力和推理證明能力.21、(1)(2)0【解析】
(1)根據(jù)題意,設(shè)直線,與聯(lián)立,得,再由弦長公式,求解.(2)設(shè),根據(jù)直線的斜率為1,則,得到,再由,所以線段中點(diǎn)的縱坐標(biāo)為,然后直線的方程與直線的方程聯(lián)立解得交點(diǎn)H的縱坐標(biāo),說明直線軸,直線的斜率為0.【詳解】(1)依題意,,則直線,聯(lián)立得;設(shè),則,解得,故拋物線的方程為.(2),因?yàn)橹本€的斜率為1,則,所以,因?yàn)?,所以線段中點(diǎn)的縱坐標(biāo)為.直線的方程為,即①直線的方程為,即②聯(lián)立①②解得即點(diǎn)的縱坐標(biāo)為,即直線軸,故直線的斜率為0.如果直線的斜率不存在,結(jié)論也顯然成立,綜上所述,直線的斜率為0.【點(diǎn)睛】本題考查拋物線的方程、直線與拋物線的位置關(guān)系,還考查推理論證能力以及
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