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福建省福州七中2025屆高考數(shù)學押題試卷注意事項:1.答卷前,考生務必將自己的姓名、準考證號、考場號和座位號填寫在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型(B)填涂在答題卡相應位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"。2.作答選擇題時,選出每小題答案后,用2B鉛筆把答題卡上對應題目選項的答案信息點涂黑;如需改動,用橡皮擦干凈后,再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3.非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答,答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應位置上;如需改動,先劃掉原來的答案,然后再寫上新答案;不準使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無效。4.考生必須保證答題卡的整潔。考試結束后,請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.已知橢圓的中心為原點,為的左焦點,為上一點,滿足且,則橢圓的方程為()A. B. C. D.2.已知雙曲線的一條漸近線為,圓與相切于點,若的面積為,則雙曲線的離心率為()A. B. C. D.3.已知函數(shù)(,,),將函數(shù)的圖象向左平移個單位長度,得到函數(shù)的部分圖象如圖所示,則是的()A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件4.復數(shù)()A. B. C.0 D.5.已知定義在上的奇函數(shù)和偶函數(shù)滿足(且),若,則函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為()A. B. C. D.6.一個幾何體的三視圖如圖所示,則該幾何體的體積為()A. B.C. D.7.已知向量滿足,且與的夾角為,則()A. B. C. D.8.如圖,長方體中,,,點T在棱上,若平面.則()A.1 B. C.2 D.9.“是函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增”的()A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件10.已知函數(shù),將函數(shù)的圖象向左平移個單位長度,得到函數(shù)的圖象,若函數(shù)的圖象的一條對稱軸是,則的最小值為A. B. C. D.11.在中,,分別為,的中點,為上的任一點,實數(shù),滿足,設、、、的面積分別為、、、,記(),則取到最大值時,的值為()A.-1 B.1 C. D.12.已知復數(shù),則()A. B. C. D.2二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.如圖,在長方體中,,E,F(xiàn),G分別為的中點,點P在平面ABCD內(nèi),若直線平面EFG,則線段長度的最小值是________________.14.實數(shù)滿足,則的最大值為_____.15.已知向量,若向量與共線,則________.16.在中,角的平分線交于,,,則面積的最大值為__________.三、解答題:共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)求下列函數(shù)的導數(shù):(1)(2)18.(12分)已知函數(shù).(1)求函數(shù)的零點;(2)設函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象交于,兩點,求證:;(3)若,且不等式對一切正實數(shù)x恒成立,求k的取值范圍.19.(12分)某健身館為響應十九屆四中全會提出的“聚焦增強人民體質(zhì),健全促進全民健身制度性舉措”,提高廣大市民對全民健身運動的參與程度,推出了健身促銷活動,收費標準如下:健身時間不超過1小時免費,超過1小時的部分每小時收費標準為20元(不足l小時的部分按1小時計算).現(xiàn)有甲、乙兩人各自獨立地來該健身館健身,設甲、乙健身時間不超過1小時的概率分別為,,健身時間1小時以上且不超過2小時的概率分別為,,且兩人健身時間都不會超過3小時.(1)設甲、乙兩人所付的健身費用之和為隨機變量(單位:元),求的分布列與數(shù)學期望;(2)此促銷活動推出后,健身館預計每天約有300人來參與健身活動,以這兩人健身費用之和的數(shù)學期望為依據(jù),預測此次促銷活動后健身館每天的營業(yè)額.20.(12分)已知f(x)=|x+3|-|x-2|(1)求函數(shù)f(x)的最大值m;(2)正數(shù)a,b,c滿足a+2b+3c=m,求證:21.(12分)若函數(shù)為奇函數(shù),且時有極小值.(1)求實數(shù)的值與實數(shù)的取值范圍;(2)若恒成立,求實數(shù)的取值范圍.22.(10分)如圖,在四棱錐P—ABCD中,四邊形ABCD為平行四邊形,BD⊥DC,△PCD為正三角形,平面PCD⊥平面ABCD,E為PC的中點.(1)證明:AP∥平面EBD;(2)證明:BE⊥PC.

參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1、B【解析】由題意可得c=,設右焦點為F′,由|OP|=|OF|=|OF′|知,∠PFF′=∠FPO,∠OF′P=∠OPF′,所以∠PFF′+∠OF′P=∠FPO+∠OPF′,由∠PFF′+∠OF′P+∠FPO+∠OPF′=180°知,∠FPO+∠OPF′=90°,即PF⊥PF′.在Rt△PFF′中,由勾股定理,得|PF′|=,由橢圓定義,得|PF|+|PF′|=2a=4+8=12,從而a=6,得a2=36,于是b2=a2﹣c2=36﹣=16,所以橢圓的方程為.故選B.點睛:橢圓的定義:到兩定點距離之和為常數(shù)的點的軌跡,當和大于兩定點間的距離時,軌跡是橢圓,當和等于兩定點間的距離時,軌跡是線段(兩定點間的連線段),當和小于兩定點間的距離時,軌跡不存在.2、D【解析】

由圓與相切可知,圓心到的距離為2,即.又,由此求出的值,利用離心率公式,求出e.【詳解】由題意得,,,.故選:D.【點睛】本題考查了雙曲線的幾何性質(zhì),直線與圓相切的性質(zhì),離心率的求法,屬于中檔題.3、B【解析】

先根據(jù)圖象求出函數(shù)的解析式,再由平移知識得到的解析式,然后分別找出和的等價條件,即可根據(jù)充分條件,必要條件的定義求出.【詳解】設,根據(jù)圖象可知,,再由,取,∴.將函數(shù)的圖象向右平移個單位長度,得到函數(shù)的圖象,∴.,,令,則,顯然,∴是的必要不充分條件.故選:B.【點睛】本題主要考查利用圖象求正(余)弦型函數(shù)的解析式,三角函數(shù)的圖形變換,二倍角公式的應用,充分條件,必要條件的定義的應用,意在考查學生的數(shù)學運算能力和邏輯推理能力,屬于中檔題.4、C【解析】略5、D【解析】

根據(jù)函數(shù)的奇偶性用方程法求出的解析式,進而求出,再根據(jù)復合函數(shù)的單調(diào)性,即可求出結論.【詳解】依題意有,①,②①②得,又因為,所以,在上單調(diào)遞增,所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為.故選:D.【點睛】本題考查求函數(shù)的解析式、函數(shù)的性質(zhì),要熟記復合函數(shù)單調(diào)性判斷方法,屬于中檔題.6、A【解析】

根據(jù)題意,可得幾何體,利用體積計算即可.【詳解】由題意,該幾何體如圖所示:該幾何體的體積.故選:A.【點睛】本題考查了常見幾何體的三視圖和體積計算,屬于基礎題.7、A【解析】

根據(jù)向量的運算法則展開后利用數(shù)量積的性質(zhì)即可.【詳解】.故選:A.【點睛】本題主要考查數(shù)量積的運算,屬于基礎題.8、D【解析】

根據(jù)線面垂直的性質(zhì),可知;結合即可證明,進而求得.由線段關系及平面向量數(shù)量積定義即可求得.【詳解】長方體中,,點T在棱上,若平面.則,則,所以,則,所以,故選:D.【點睛】本題考查了直線與平面垂直的性質(zhì)應用,平面向量數(shù)量積的運算,屬于基礎題.9、C【解析】,令解得當,的圖像如下圖當,的圖像如下圖由上兩圖可知,是充要條件【考點定位】考查充分條件和必要條件的概念,以及函數(shù)圖像的畫法.10、C【解析】

將函數(shù)的圖象向左平移個單位長度,得到函數(shù)的圖象,因為函數(shù)的圖象的一條對稱軸是,所以,即,所以,又,所以的最小值為.故選C.11、D【解析】

根據(jù)三角形中位線的性質(zhì),可得到的距離等于△的邊上高的一半,從而得到,由此結合基本不等式求最值,得到當取到最大值時,為的中點,再由平行四邊形法則得出,根據(jù)平面向量基本定理可求得,從而可求得結果.【詳解】如圖所示:因為是△的中位線,所以到的距離等于△的邊上高的一半,所以,由此可得,當且僅當時,即為的中點時,等號成立,所以,由平行四邊形法則可得,,將以上兩式相加可得,所以,又已知,根據(jù)平面向量基本定理可得,從而.故選:D【點睛】本題考查了向量加法的平行四邊形法則,考查了平面向量基本定理的應用,考查了基本不等式求最值,屬于中檔題.12、C【解析】

根據(jù)復數(shù)模的性質(zhì)即可求解.【詳解】,,故選:C【點睛】本題主要考查了復數(shù)模的性質(zhì),屬于容易題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】

如圖,連接,證明平面平面EFG.因為直線平面EFG,所以點P在直線AC上.當時.線段的長度最小,再求此時的得解.【詳解】如圖,連接,因為E,F(xiàn),G分別為AB,BC,的中點,所以,平面,則平面.因為,所以同理得平面,又.所以平面平面EFG.因為直線平面EFG,所以點P在直線AC上.在中,,故當時.線段的長度最小,最小值為.故答案為:【點睛】本題主要考查空間位置關系的證明,考查立體幾何中的軌跡問題,意在考查學生對這些知識的理解掌握水平.14、.【解析】

畫出可行域,解出可行域的頂點坐標,代入目標函數(shù)求出相應的數(shù)值,比較大小得到目標函數(shù)最值.【詳解】解:作出可行域,如圖所示,則當直線過點時直線的截距最大,z取最大值.由同理,,取最大值.故答案為:.【點睛】本題考查線性規(guī)劃的線性目標函數(shù)的最優(yōu)解問題.線性目標函數(shù)的最優(yōu)解一般在平面區(qū)域的頂點或邊界處取得,所以對于一般的線性規(guī)劃問題,若可行域是一個封閉的圖形,我們可以直接解出可行域的頂點,然后將坐標代入目標函數(shù)求出相應的數(shù)值,從而確定目標函數(shù)的最值;若可行域不是封閉圖形還是需要借助截距的幾何意義來求最值.15、【解析】

計算得到,根據(jù)向量平行計算得到答案.【詳解】由題意可得,因為與共線,所以有,即,解得.故答案為:.【點睛】本題考查了根據(jù)向量平行求參數(shù),意在考查學生的計算能力.16、15【解析】

由角平分線定理得,利用余弦定理和三角形面積公式,借助三角恒等變化求出面積的最大值.【詳解】畫出圖形:因為,,由角平分線定理得,設,則由余弦定理得:即當且僅當,即時取等號所以面積的最大值為15故答案為:15【點睛】此題考查解三角形面積的最值問題,通過三角恒等變形后利用均值不等式處理,屬于一般性題目.三、解答題:共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1);(2).【解析】

(1)根據(jù)復合函數(shù)的求導法則可得結果.(2)同樣根據(jù)復合函數(shù)的求導法則可得結果.【詳解】(1)令,,則,而,,故.(2)令,,則,而,,故,化簡得到.【點睛】本題考查復合函數(shù)的導數(shù),此類問題一般是先把函數(shù)分解為簡單函數(shù)的復合,再根據(jù)復合函數(shù)的求導法則可得所求的導數(shù),本題屬于容易題.18、(1)x=1(2)證明見解析(3)【解析】

(1)令,根據(jù)導函數(shù)確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,求出極小值,進而求解;(2)轉(zhuǎn)化思想,要證,即證,即證,構造函數(shù)進而求證;(3)不等式對一切正實數(shù)恒成立,,設,分類討論進而求解.【詳解】解:(1)令,所以,當時,,在上單調(diào)遞增;當時,,在單調(diào)遞減;所以,所以的零點為.(2)由題意,,要證,即證,即證,令,則,由(1)知,當且僅當時等號成立,所以,即,所以原不等式成立.(3)不等式對一切正實數(shù)恒成立,,設,,記,△,①當△時,即時,恒成立,故單調(diào)遞增.于是當時,,又,故,當時,,又,故,又當時,,因此,當時,,②當△,即時,設的兩個不等實根分別為,,又,于是,故當時,,從而在單調(diào)遞減;當時,,此時,于是,即舍去,綜上,的取值范圍是.【點睛】(1)考查函數(shù)求導,根據(jù)導函數(shù)確定函數(shù)的單調(diào)性,零點;(2)考查轉(zhuǎn)化思想,構造函數(shù)求極值;(3)考查分類討論思想,函數(shù)的單調(diào)性,函數(shù)的求導;屬于難題.19、(1)見解析,40元(2)6000元【解析】

(1)甲、乙兩人所付的健身費用都是0元、20元、40元三種情況,因此甲、乙兩人所付的健身費用之和共有9種情況,分情況計算即可(2)根據(jù)(1)結果求均值.【詳解】解:(1)由題設知可能取值為0,20,40,60,80,則;;;;.故的分布列為:020406080所以數(shù)學期望(元)(2)此次促銷活動后健身館每天的營業(yè)額預計為:(元)【點睛】考查離散型隨機變量的分布列及其期望的求法,中檔題.20、(1)(2)見解析【解析】

(1)利用絕對值三角不等式求得的最大值.(2)由(1)得.方法一,利用柯西不等式證得不等式成立;方法二,利用“的代換”的方法,結合基本不等式證得不等式成立.【詳解】(1)由絕對值不等式性質(zhì)得當且僅當即時等號成立,所以(2)由(1)得.法1:由柯西不等式得當且僅當時等號成立,即,所以.法2:由得,,當且僅當時“=”成立.【點睛】本小題主要考查絕對值三角不等式,考查利用柯西不等式、基本不等式證明不等式,屬于中檔題.21、(1),;(2)【解析】

(1)由奇函數(shù)可知在定義域上恒成立,由此建立方程,即可求出實數(shù)的值;對函數(shù)進行求導,,通過導數(shù)求出,若,則恒成立不符合題意,當,可證明,此時時有極小值.(2)可知,進而得到,令,通過導數(shù)可知在上為單調(diào)減函數(shù),由可得,從而可求實數(shù)的取值范圍.【詳解】(1)由函數(shù)為奇函數(shù),得在定義域上恒成立,所以,化簡可得,所以.則,令,則.故當時,;當時,,故在上遞減,在上遞增,若,則恒成立,單調(diào)遞增,無極值點;所以,解得,取,則又函數(shù)的圖象在區(qū)間上連續(xù)不間斷,故由函數(shù)零點存在性定理知在區(qū)間上,存在

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