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福建寧德市2025屆高三第一次模擬考試數(shù)學(xué)試卷考生請(qǐng)注意:1.答題前請(qǐng)將考場(chǎng)、試室號(hào)、座位號(hào)、考生號(hào)、姓名寫(xiě)在試卷密封線內(nèi),不得在試卷上作任何標(biāo)記。2.第一部分選擇題每小題選出答案后,需將答案寫(xiě)在試卷指定的括號(hào)內(nèi),第二部分非選擇題答案寫(xiě)在試卷題目指定的位置上。3.考生必須保證答題卡的整潔。考試結(jié)束后,請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.拋物線的焦點(diǎn)為F,點(diǎn)為該拋物線上的動(dòng)點(diǎn),若點(diǎn),則的最小值為()A. B. C. D.2.在中,內(nèi)角所對(duì)的邊分別為,若依次成等差數(shù)列,則()A.依次成等差數(shù)列 B.依次成等差數(shù)列C.依次成等差數(shù)列 D.依次成等差數(shù)列3.已知在平面直角坐標(biāo)系中,圓:與圓:交于,兩點(diǎn),若,則實(shí)數(shù)的值為()A.1 B.2 C.-1 D.-24.復(fù)數(shù)的虛部為()A.—1 B.—3 C.1 D.25.設(shè)雙曲線的左右焦點(diǎn)分別為,點(diǎn).已知?jiǎng)狱c(diǎn)在雙曲線的右支上,且點(diǎn)不共線.若的周長(zhǎng)的最小值為,則雙曲線的離心率的取值范圍是()A. B. C. D.6.已知非零向量、,若且,則向量在向量方向上的投影為()A. B. C. D.7.某四棱錐的三視圖如圖所示,記為此棱錐所有棱的長(zhǎng)度的集合,則().A.,且 B.,且C.,且 D.,且8.已知復(fù)數(shù)z滿足,則在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在()A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限9.復(fù)數(shù)滿足為虛數(shù)單位),則的虛部為()A. B. C. D.10.已知向量,,則向量在向量上的投影是()A. B. C. D.11.若,則下列不等式不能成立的是()A. B. C. D.12.已知直線:與橢圓交于、兩點(diǎn),與圓:交于、兩點(diǎn).若存在,使得,則橢圓的離心率的取值范圍為()A. B. C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.“”是“”的__________條件.(填寫(xiě)“充分必要”、“充分不必要”、“必要不充分”、“既不充分也不必要”之一)14.動(dòng)點(diǎn)到直線的距離和他到點(diǎn)距離相等,直線過(guò)且交點(diǎn)的軌跡于兩點(diǎn),則以為直徑的圓必過(guò)_________.15.如圖,在長(zhǎng)方體中,,E,F(xiàn),G分別為的中點(diǎn),點(diǎn)P在平面ABCD內(nèi),若直線平面EFG,則線段長(zhǎng)度的最小值是________________.16.設(shè)隨機(jī)變量服從正態(tài)分布,若,則的值是______.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17.(12分)若,且(1)求的最小值;(2)是否存在,使得?并說(shuō)明理由.18.(12分)已知函數(shù).(1)若曲線存在與軸垂直的切線,求的取值范圍.(2)當(dāng)時(shí),證明:.19.(12分)已知函數(shù).(Ⅰ)當(dāng)時(shí),求函數(shù)在上的值域;(Ⅱ)若函數(shù)在上單調(diào)遞減,求實(shí)數(shù)的取值范圍.20.(12分)如圖1,四邊形是邊長(zhǎng)為2的菱形,,為的中點(diǎn),以為折痕將折起到的位置,使得平面平面,如圖2.(1)證明:平面平面;(2)求點(diǎn)到平面的距離.21.(12分)如圖,在四棱錐中,,,.(1)證明:平面;(2)若,,為線段上一點(diǎn),且,求直線與平面所成角的正弦值.22.(10分)為貫徹十九大報(bào)告中“要提供更多優(yōu)質(zhì)生態(tài)產(chǎn)品以滿足人民日益增長(zhǎng)的優(yōu)美生態(tài)環(huán)境需要”的要求,某生物小組通過(guò)抽樣檢測(cè)植物高度的方法來(lái)監(jiān)測(cè)培育的某種植物的生長(zhǎng)情況.現(xiàn)分別從、、三塊試驗(yàn)田中各隨機(jī)抽取株植物測(cè)量高度,數(shù)據(jù)如下表(單位:厘米):組組組假設(shè)所有植株的生長(zhǎng)情況相互獨(dú)立.從、、三組各隨機(jī)選株,組選出的植株記為甲,組選出的植株記為乙,組選出的植株記為丙.(1)求丙的高度小于厘米的概率;(2)求甲的高度大于乙的高度的概率;(3)表格中所有數(shù)據(jù)的平均數(shù)記為.從、、三塊試驗(yàn)田中分別再隨機(jī)抽取株該種植物,它們的高度依次是、、(單位:厘米).這個(gè)新數(shù)據(jù)與表格中的所有數(shù)據(jù)構(gòu)成的新樣本的平均數(shù)記為,試比較和的大?。ńY(jié)論不要求證明)
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、B【解析】
通過(guò)拋物線的定義,轉(zhuǎn)化,要使有最小值,只需最大即可,作出切線方程即可求出比值的最小值.【詳解】解:由題意可知,拋物線的準(zhǔn)線方程為,,過(guò)作垂直直線于,由拋物線的定義可知,連結(jié),當(dāng)是拋物線的切線時(shí),有最小值,則最大,即最大,就是直線的斜率最大,設(shè)在的方程為:,所以,解得:,所以,解得,所以,.故選:.【點(diǎn)睛】本題考查拋物線的基本性質(zhì),直線與拋物線的位置關(guān)系,轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用,屬于基礎(chǔ)題.2、C【解析】
由等差數(shù)列的性質(zhì)、同角三角函數(shù)的關(guān)系以及兩角和的正弦公式可得,由正弦定理可得,再由余弦定理可得,從而可得結(jié)果.【詳解】依次成等差數(shù)列,,正弦定理得,由余弦定理得,,即依次成等差數(shù)列,故選C.【點(diǎn)睛】本題主要考查等差數(shù)列的定義、正弦定理、余弦定理,屬于難題.解三角形時(shí),有時(shí)可用正弦定理,有時(shí)也可用余弦定理,應(yīng)注意用哪一個(gè)定理更方便、簡(jiǎn)捷.如果式子中含有角的余弦或邊的二次式,要考慮用余弦定理;如果遇到的式子中含有角的正弦或邊的一次式時(shí),則考慮用正弦定理;以上特征都不明顯時(shí),則要考慮兩個(gè)定理都有可能用到.3、D【解析】
由可得,O在AB的中垂線上,結(jié)合圓的性質(zhì)可知O在兩個(gè)圓心的連線上,從而可求.【詳解】因?yàn)椋設(shè)在AB的中垂線上,即O在兩個(gè)圓心的連線上,,,三點(diǎn)共線,所以,得,故選D.【點(diǎn)睛】本題主要考查圓的性質(zhì)應(yīng)用,幾何性質(zhì)的轉(zhuǎn)化是求解的捷徑.4、B【解析】
對(duì)復(fù)數(shù)進(jìn)行化簡(jiǎn)計(jì)算,得到答案.【詳解】所以的虛部為故選B項(xiàng).【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的計(jì)算,虛部的概念,屬于簡(jiǎn)單題.5、A【解析】
依題意可得即可得到,從而求出雙曲線的離心率的取值范圍;【詳解】解:依題意可得如下圖象,所以則所以所以所以,即故選:A【點(diǎn)睛】本題考查雙曲線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì),屬于中檔題.6、D【解析】
設(shè)非零向量與的夾角為,在等式兩邊平方,求出的值,進(jìn)而可求得向量在向量方向上的投影為,即可得解.【詳解】,由得,整理得,,解得,因此,向量在向量方向上的投影為.故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查向量投影的計(jì)算,同時(shí)也考查利用向量的模計(jì)算向量的夾角,考查計(jì)算能力,屬于基礎(chǔ)題.7、D【解析】
首先把三視圖轉(zhuǎn)換為幾何體,根據(jù)三視圖的長(zhǎng)度,進(jìn)一步求出個(gè)各棱長(zhǎng).【詳解】根據(jù)幾何體的三視圖轉(zhuǎn)換為幾何體為:該幾何體為四棱錐體,如圖所示:所以:,,.故選:D..【點(diǎn)睛】本題考查三視圖和幾何體之間的轉(zhuǎn)換,主要考查運(yùn)算能力和轉(zhuǎn)換能力及思維能力,屬于基礎(chǔ)題.8、A【解析】
設(shè),由得:,由復(fù)數(shù)相等可得的值,進(jìn)而求出,即可得解.【詳解】設(shè),由得:,即,由復(fù)數(shù)相等可得:,解之得:,則,所以,在復(fù)平面對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為,在第一象限.故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查共軛復(fù)數(shù)的求法,考查對(duì)復(fù)數(shù)相等的理解,考查復(fù)數(shù)在復(fù)平面對(duì)應(yīng)的點(diǎn),考查運(yùn)算能力,屬于常考題.9、C【解析】
,分子分母同乘以分母的共軛復(fù)數(shù)即可.【詳解】由已知,,故的虛部為.故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算,考查學(xué)生的基本運(yùn)算能力,是一道基礎(chǔ)題.10、A【解析】
先利用向量坐標(biāo)運(yùn)算求解,再利用向量在向量上的投影公式即得解【詳解】由于向量,故向量在向量上的投影是.故選:A【點(diǎn)睛】本題考查了向量加法、減法的坐標(biāo)運(yùn)算和向量投影的概念,考查了學(xué)生概念理解,數(shù)學(xué)運(yùn)算的能力,屬于中檔題.11、B【解析】
根據(jù)不等式的性質(zhì)對(duì)選項(xiàng)逐一判斷即可.【詳解】選項(xiàng)A:由于,即,,所以,所以,所以成立;選項(xiàng)B:由于,即,所以,所以,所以不成立;選項(xiàng)C:由于,所以,所以,所以成立;選項(xiàng)D:由于,所以,所以,所以,所以成立.故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查不等關(guān)系和不等式,屬于基礎(chǔ)題.12、A【解析】
由題意可知直線過(guò)定點(diǎn)即為圓心,由此得到坐標(biāo)的關(guān)系,再根據(jù)點(diǎn)差法得到直線的斜率與坐標(biāo)的關(guān)系,由此化簡(jiǎn)并求解出離心率的取值范圍.【詳解】設(shè),且線過(guò)定點(diǎn)即為的圓心,因?yàn)?,所以,又因?yàn)椋?,所以,所以,所以,所以,所以,所?故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查橢圓與圓的綜合應(yīng)用,著重考查了橢圓離心率求解以及點(diǎn)差法的運(yùn)用,難度一般.通過(guò)運(yùn)用點(diǎn)差法達(dá)到“設(shè)而不求”的目的,大大簡(jiǎn)化運(yùn)算.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、充分不必要【解析】
由余弦的二倍角公式可得,即或,即可判斷命題的關(guān)系.【詳解】由,所以或,所以“”是“”的充分不必要條件.故答案為:充分不必要【點(diǎn)睛】本題考查命題的充分條件與必要條件的判斷,考查余弦的二倍角公式的應(yīng)用.14、【解析】
利用動(dòng)點(diǎn)到直線的距離和他到點(diǎn)距離相等,,可知?jiǎng)狱c(diǎn)的軌跡是以為焦點(diǎn)的拋物線,從而可求曲線的方程,將,代入,利用韋達(dá)定理,可得,從而可知以為直徑的圓經(jīng)過(guò)原點(diǎn)O.【詳解】設(shè)點(diǎn),由題意可得,,,可得,設(shè)直線的方程為,代入拋物線可得,,,,以AB為直徑的圓經(jīng)過(guò)原點(diǎn).故答案為:(0,0)【點(diǎn)睛】本題考查了拋物線的定義,考查了直線和拋物線的交匯問(wèn)題,同時(shí)考查了方程的思想和韋達(dá)定理,考查了運(yùn)算能力,屬于中檔題.15、【解析】
如圖,連接,證明平面平面EFG.因?yàn)橹本€平面EFG,所以點(diǎn)P在直線AC上.當(dāng)時(shí).線段的長(zhǎng)度最小,再求此時(shí)的得解.【詳解】如圖,連接,因?yàn)镋,F(xiàn),G分別為AB,BC,的中點(diǎn),所以,平面,則平面.因?yàn)?,所以同理得平面,?所以平面平面EFG.因?yàn)橹本€平面EFG,所以點(diǎn)P在直線AC上.在中,,故當(dāng)時(shí).線段的長(zhǎng)度最小,最小值為.故答案為:【點(diǎn)睛】本題主要考查空間位置關(guān)系的證明,考查立體幾何中的軌跡問(wèn)題,意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平.16、1【解析】
由題得,解不等式得解.【詳解】因?yàn)椋?,所以c=1.故答案為1【點(diǎn)睛】本題主要考查正態(tài)分布的圖像和性質(zhì),意在考查學(xué)生對(duì)該知識(shí)的理解掌握水平和分析推理能力.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、(1);(2)不存在.【解析】
(1)由已知,利用基本不等式的和積轉(zhuǎn)化可求,利用基本不等式可將轉(zhuǎn)化為,由不等式的傳遞性,可求的最小值;(2)由基本不等式可求的最小值為,而,故不存在.【詳解】(1)由,得,且當(dāng)時(shí)取等號(hào).故,且當(dāng)時(shí)取等號(hào).所以的最小值為;(2)由(1)知,.由于,從而不存在,使得成立.【考點(diǎn)定位】基本不等式.18、(1)(2)證明見(jiàn)解析【解析】
(1)在上有解,,設(shè),求導(dǎo)根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性得到最值,得到答案.(2)證明,只需證,記,求導(dǎo)得到函數(shù)的單調(diào)性,得到函數(shù)的最小值,得到證明.【詳解】(1)由題可得,在上有解,則,令,,當(dāng)時(shí),單調(diào)遞增;當(dāng)時(shí),單調(diào)遞減.所以是的最大值點(diǎn),所以.(2)由,所以,要證明,只需證,即證.記在上單調(diào)遞增,且,當(dāng)時(shí),單調(diào)遞減;當(dāng)時(shí),單調(diào)遞增.所以是的最小值點(diǎn),,則,故.【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)的切線問(wèn)題,證明不等式,意在考查學(xué)生的綜合應(yīng)用能力和轉(zhuǎn)化能力.19、(Ⅰ)(Ⅱ)【解析】
(Ⅰ)把代入,可得,令,求出其在上的值域,利用對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性即可求解.(Ⅱ)根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可得在上單調(diào)遞增,再利用二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)可得解不等式組即可求解.【詳解】(Ⅰ)當(dāng)時(shí),,此時(shí)函數(shù)的定義域?yàn)?因?yàn)楹瘮?shù)的最小值為.最大值為,故函數(shù)在上的值域?yàn)椋唬á颍┮驗(yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞減,故在上單調(diào)遞增,則解得,綜上所述,實(shí)數(shù)的取值范圍.【點(diǎn)睛】本題主要考查了利用對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性求值域、利用對(duì)數(shù)型函數(shù)的單調(diào)區(qū)間求參數(shù)的取值范圍以及二次函數(shù)的圖像與性質(zhì),屬于中檔題.20、(1)證明見(jiàn)解析(2)【解析】
(1)由題意可證得,,所以平面,則平面平面可證;(2)解法一:利用等體積法由可求出點(diǎn)到平面的距離;解法二:由條件知點(diǎn)到平面的距離等于點(diǎn)到平面的距離,過(guò)點(diǎn)作的垂線,垂足,證明平面,計(jì)算出即可.【詳解】解法一:(1)依題意知,因?yàn)?,所?又平面平面,平面平面,平面,所以平面.又平面,所以.由已知,是等邊三角形,且為的中點(diǎn),所以.因?yàn)?,所?又,所以平面.又平面,所以平面平面.(2)在中,,,所以.由(1)知,平面,且,所以三棱錐的體積.在中,,,得,由(1)知,平面,所以,所以,設(shè)點(diǎn)到平面的距離,則三棱錐的體積,得.解法二:(1)同解法一;(2)因?yàn)?,平面,平面,所以平?所以點(diǎn)到平面的距離等于點(diǎn)到平面的距離.過(guò)點(diǎn)作的垂線,垂足,即.由(1)知,平面平面,平面平面,平面,所以平面,即為點(diǎn)到平面的距離.由(1)知,,在中,,,得.又,所以.所以點(diǎn)到平面的距離為.【點(diǎn)睛】本題主要考查空間面面垂直的的判定及點(diǎn)到面的距離,考查學(xué)生的空間想象能力、推理論證能力、運(yùn)算求解能力.求點(diǎn)到平面的距離一般可采用兩種方法求解:①等體積法;②作(找)出點(diǎn)到平面的垂線段,進(jìn)行計(jì)算即可.21、(1)證明見(jiàn)解析(2)【解析】
(1)利用線段長(zhǎng)度得到與間的垂直關(guān)系,再根據(jù)線面垂直的判定定理完成證明;(2)以、、為軸、軸、軸建立空間直角坐標(biāo)系,利用直線的方向向量與平面的法向量夾角的余弦值的絕對(duì)值等于線面角的正弦值,計(jì)算出結(jié)果.【詳解】(1)∵,,∴,∴,∵,平面,∴平面(2)由(1)知,,又為坐標(biāo)原點(diǎn),分別以、、為軸、軸、軸建立空間直角坐標(biāo)系,則,,,,,,,∵,∴,設(shè)是平面的一個(gè)法向量則,即,取得∴∴直線與平面所成的正弦值為【點(diǎn)睛】本題考查線面垂直的證明以及用向量法求解線面角的正弦,難度一般.用向量方法求解線面角的正弦值時(shí),注意直線方向向量與平面法向量夾角的余弦值的絕對(duì)值等于線面角的正弦值.22、(1);(2);(3).【解析】
設(shè)事件為“甲是組的第株植物”,事件為“乙是組的第株植物”,事件為“丙是組的第株植物”,、、、,可得出.(1)設(shè)事件為“丙的高度
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