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文檔簡(jiǎn)介

河北省永年二中2025屆高考仿真卷數(shù)學(xué)試卷考生須知:1.全卷分選擇題和非選擇題兩部分,全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂;非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應(yīng)位置上。2.請(qǐng)用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準(zhǔn)考證號(hào)。3.保持卡面清潔,不要折疊,不要弄破、弄皺,在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.已知數(shù)列對(duì)任意的有成立,若,則等于()A. B. C. D.2.命題:的否定為A. B.C. D.3.設(shè),是方程的兩個(gè)不等實(shí)數(shù)根,記().下列兩個(gè)命題()①數(shù)列的任意一項(xiàng)都是正整數(shù);②數(shù)列存在某一項(xiàng)是5的倍數(shù).A.①正確,②錯(cuò)誤 B.①錯(cuò)誤,②正確C.①②都正確 D.①②都錯(cuò)誤4.執(zhí)行如圖所示的程序框圖,若輸出的結(jié)果為3,則可輸入的實(shí)數(shù)值的個(gè)數(shù)為()A.1 B.2 C.3 D.45.設(shè)等比數(shù)列的前項(xiàng)和為,則“”是“”的()A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件6.在中,,分別為,的中點(diǎn),為上的任一點(diǎn),實(shí)數(shù),滿足,設(shè)、、、的面積分別為、、、,記(),則取到最大值時(shí),的值為()A.-1 B.1 C. D.7.已知函數(shù),若曲線上始終存在兩點(diǎn),,使得,且的中點(diǎn)在軸上,則正實(shí)數(shù)的取值范圍為()A. B. C. D.8.執(zhí)行下面的程序框圖,則輸出的值為()A. B. C. D.9.執(zhí)行如圖所示的程序框圖,當(dāng)輸出的時(shí),則輸入的的值為()A.-2 B.-1 C. D.10.已知集合,集合,則()A. B. C. D.11.已知斜率為的直線與雙曲線交于兩點(diǎn),若為線段中點(diǎn)且(為坐標(biāo)原點(diǎn)),則雙曲線的離心率為()A. B.3 C. D.12.已知符號(hào)函數(shù)sgnxf(x)是定義在R上的減函數(shù),g(x)=f(x)﹣f(ax)(a>1),則()A.sgn[g(x)]=sgnx B.sgn[g(x)]=﹣sgnxC.sgn[g(x)]=sgn[f(x)] D.sgn[g(x)]=﹣sgn[f(x)]二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.已知函數(shù),則不等式的解集為____________.14.曲線在處的切線的斜率為________.15.已知實(shí)數(shù),滿足約束條件,則的最大值是__________.16.已知是拋物線上一點(diǎn),是圓關(guān)于直線對(duì)稱的曲線上任意一點(diǎn),則的最小值為________.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)已知在中,角,,的對(duì)邊分別為,,,且.(1)求的值;(2)若,求面積的最大值.18.(12分)如圖所示,在四面體中,,平面平面,,且.(1)證明:平面;(2)設(shè)為棱的中點(diǎn),當(dāng)四面體的體積取得最大值時(shí),求二面角的余弦值.19.(12分)已知函數(shù),.(1)若不等式的解集為,求的值.(2)若當(dāng)時(shí),,求的取值范圍.20.(12分)已知函數(shù),(1)證明:在區(qū)間單調(diào)遞減;(2)證明:對(duì)任意的有.21.(12分)如圖,在四棱錐中,底面為矩形,側(cè)面底面,為棱的中點(diǎn),為棱上任意一點(diǎn),且不與點(diǎn)、點(diǎn)重合..(1)求證:平面平面;(2)是否存在點(diǎn)使得平面與平面所成的角的余弦值為?若存在,求出點(diǎn)的位置;若不存在,請(qǐng)說明理由.22.(10分)如圖,在三棱柱中,已知四邊形為矩形,,,,的角平分線交于.(1)求證:平面平面;(2)求二面角的余弦值.

參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、B【解析】

觀察已知條件,對(duì)進(jìn)行化簡(jiǎn),運(yùn)用累加法和裂項(xiàng)法求出結(jié)果.【詳解】已知,則,所以有,,,,兩邊同時(shí)相加得,又因?yàn)?,所?故選:【點(diǎn)睛】本題考查了求數(shù)列某一項(xiàng)的值,運(yùn)用了累加法和裂項(xiàng)法,遇到形如時(shí)就可以采用裂項(xiàng)法進(jìn)行求和,需要掌握數(shù)列中的方法,并能熟練運(yùn)用對(duì)應(yīng)方法求解.2、C【解析】

命題為全稱命題,它的否定為特稱命題,將全稱量詞改為存在量詞,并將結(jié)論否定,可知命題的否定為,故選C.3、A【解析】

利用韋達(dá)定理可得,,結(jié)合可推出,再計(jì)算出,,從而推出①正確;再利用遞推公式依次計(jì)算數(shù)列中的各項(xiàng),以此判斷②的正誤.【詳解】因?yàn)?是方程的兩個(gè)不等實(shí)數(shù)根,所以,,因?yàn)?所以,即當(dāng)時(shí),數(shù)列中的任一項(xiàng)都等于其前兩項(xiàng)之和,又,,所以,,,以此類推,即可知數(shù)列的任意一項(xiàng)都是正整數(shù),故①正確;若數(shù)列存在某一項(xiàng)是5的倍數(shù),則此項(xiàng)個(gè)位數(shù)字應(yīng)當(dāng)為0或5,由,,依次計(jì)算可知,數(shù)列中各項(xiàng)的個(gè)位數(shù)字以1,3,4,7,1,8,9,7,6,3,9,2為周期,故數(shù)列中不存在個(gè)位數(shù)字為0或5的項(xiàng),故②錯(cuò)誤;故選:A.【點(diǎn)睛】本題主要考查數(shù)列遞推公式的推導(dǎo),考查數(shù)列性質(zhì)的應(yīng)用,考查學(xué)生的綜合分析以及計(jì)算能力.4、C【解析】試題分析:根據(jù)題意,當(dāng)時(shí),令,得;當(dāng)時(shí),令,得,故輸入的實(shí)數(shù)值的個(gè)數(shù)為1.考點(diǎn):程序框圖.5、C【解析】

根據(jù)等比數(shù)列的前項(xiàng)和公式,判斷出正確選項(xiàng).【詳解】由于數(shù)列是等比數(shù)列,所以,由于,所以,故“”是“”的充分必要條件.故選:C【點(diǎn)睛】本小題主要考查充分、必要條件的判斷,考查等比數(shù)列前項(xiàng)和公式,屬于基礎(chǔ)題.6、D【解析】

根據(jù)三角形中位線的性質(zhì),可得到的距離等于△的邊上高的一半,從而得到,由此結(jié)合基本不等式求最值,得到當(dāng)取到最大值時(shí),為的中點(diǎn),再由平行四邊形法則得出,根據(jù)平面向量基本定理可求得,從而可求得結(jié)果.【詳解】如圖所示:因?yàn)槭恰鞯闹形痪€,所以到的距離等于△的邊上高的一半,所以,由此可得,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),即為的中點(diǎn)時(shí),等號(hào)成立,所以,由平行四邊形法則可得,,將以上兩式相加可得,所以,又已知,根據(jù)平面向量基本定理可得,從而.故選:D【點(diǎn)睛】本題考查了向量加法的平行四邊形法則,考查了平面向量基本定理的應(yīng)用,考查了基本不等式求最值,屬于中檔題.7、D【解析】

根據(jù)中點(diǎn)在軸上,設(shè)出兩點(diǎn)的坐標(biāo),,().對(duì)分成三類,利用則,列方程,化簡(jiǎn)后求得,利用導(dǎo)數(shù)求得的值域,由此求得的取值范圍.【詳解】根據(jù)條件可知,兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)互為相反數(shù),不妨設(shè),,(),若,則,由,所以,即,方程無解;若,顯然不滿足;若,則,由,即,即,因?yàn)?,所以函?shù)在上遞減,在上遞增,故在處取得極小值也即是最小值,所以函數(shù)在上的值域?yàn)?,?故選D.【點(diǎn)睛】本小題主要考查平面平面向量數(shù)量積為零的坐標(biāo)表示,考查化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法,考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最小值,考查分析與運(yùn)算能力,屬于較難的題目.8、D【解析】

根據(jù)框圖,模擬程序運(yùn)行,即可求出答案.【詳解】運(yùn)行程序,,

,,,,,結(jié)束循環(huán),故輸出,故選:D.【點(diǎn)睛】本題主要考查了程序框圖,循環(huán)結(jié)構(gòu),條件分支結(jié)構(gòu),屬于中檔題.9、B【解析】若輸入,則執(zhí)行循環(huán)得結(jié)束循環(huán),輸出,與題意輸出的矛盾;若輸入,則執(zhí)行循環(huán)得結(jié)束循環(huán),輸出,符合題意;若輸入,則執(zhí)行循環(huán)得結(jié)束循環(huán),輸出,與題意輸出的矛盾;若輸入,則執(zhí)行循環(huán)得結(jié)束循環(huán),輸出,與題意輸出的矛盾;綜上選B.10、D【解析】

可求出集合,,然后進(jìn)行并集的運(yùn)算即可.【詳解】解:,;.故選.【點(diǎn)睛】考查描述法、區(qū)間的定義,對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性,以及并集的運(yùn)算.11、B【解析】

設(shè),代入雙曲線方程相減可得到直線的斜率與中點(diǎn)坐標(biāo)之間的關(guān)系,從而得到的等式,求出離心率.【詳解】,設(shè),則,兩式相減得,∴,.故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查求雙曲線的離心率,解題方法是點(diǎn)差法,即出現(xiàn)雙曲線的弦中點(diǎn)坐標(biāo)時(shí),可設(shè)弦兩端點(diǎn)坐標(biāo)代入雙曲線方程相減后得出弦所在直線斜率與中點(diǎn)坐標(biāo)之間的關(guān)系.12、A【解析】

根據(jù)符號(hào)函數(shù)的解析式,結(jié)合f(x)的單調(diào)性分析即可得解.【詳解】根據(jù)題意,g(x)=f(x)﹣f(ax),而f(x)是R上的減函數(shù),當(dāng)x>0時(shí),x<ax,則有f(x)>f(ax),則g(x)=f(x)﹣f(ax)>0,此時(shí)sgn[g(x)]=1,當(dāng)x=0時(shí),x=ax,則有f(x)=f(ax),則g(x)=f(x)﹣f(ax)=0,此時(shí)sgn[g(x)]=0,當(dāng)x<0時(shí),x>ax,則有f(x)<f(ax),則g(x)=f(x)﹣f(ax)<0,此時(shí)sgn[g(x)]=﹣1,綜合有:sgn[g(x)]=sgn(x);故選:A.【點(diǎn)睛】此題考查函數(shù)新定義問題,涉及函數(shù)單調(diào)性辨析,關(guān)鍵在于讀懂定義,根據(jù)自變量的取值范圍分類討論.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】

,,分類討論即可.【詳解】由已知,,,若,則或解得或,所以不等式的解集為.故答案為:【點(diǎn)睛】本題考查分段函數(shù)的應(yīng)用,涉及到解一元二次不等式,考查學(xué)生的計(jì)算能力,是一道中檔題.14、【解析】

求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù),利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義令,即可求出切線斜率.【詳解】,,,即曲線在處的切線的斜率.故答案為:【點(diǎn)睛】本題考查了導(dǎo)數(shù)的幾何意義、導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則以及基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù),屬于基礎(chǔ)題.15、【解析】

令,所求問題的最大值為,只需求出即可,作出可行域,利用幾何意義即可解決.【詳解】作出可行域,如圖令,則,顯然當(dāng)直線經(jīng)過時(shí),最大,且,故的最大值為.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查線性規(guī)劃中非線性目標(biāo)函數(shù)的最值問題,要做好此類題,前提是正確畫出可行域,本題是一道基礎(chǔ)題.16、【解析】

由題意求出圓的對(duì)稱圓的圓心坐標(biāo),求出對(duì)稱圓的圓坐標(biāo)到拋物線上的點(diǎn)的距離的最小值,減去半徑即可得到的最小值.【詳解】假設(shè)圓心關(guān)于直線對(duì)稱的點(diǎn)為,則有,解方程組可得,所以曲線的方程為,圓心為,設(shè),則,又,所以,,即,所以,故答案為:.【點(diǎn)睛】該題考查的是有關(guān)動(dòng)點(diǎn)距離的最小值問題,涉及到的知識(shí)點(diǎn)有點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn),點(diǎn)與圓上點(diǎn)的距離的最小值為到圓心的距離減半徑,屬于中檔題目.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1);(2).【解析】分析:(1)在式子中運(yùn)用正弦、余弦定理后可得.(2)由經(jīng)三角變換可得,然后運(yùn)用余弦定理可得,從而得到,故得.詳解:(1)由題意及正、余弦定理得,整理得,∴(2)由題意得,∴,∵,∴,∴.由余弦定理得,∴,,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立.∴.∴面積的最大值為.點(diǎn)睛:(1)正、余弦定理經(jīng)常與三角形的面積綜合在一起考查,解題時(shí)要注意整體代換的應(yīng)用,如余弦定理中常用的變形,這樣自然地與三角形的面積公式結(jié)合在一起.(2)運(yùn)用基本不等式求最值時(shí),要注意等號(hào)成立的條件,在解題中必須要注明.18、(1)見證明;(2)【解析】

(1)根據(jù)面面垂直的性質(zhì)得到平面,從而得到,利用勾股定理得到,利用線面垂直的判定定理證得平面;(2)設(shè),利用椎體的體積公式求得,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,從而求得時(shí),四面體的體積取得最大值,之后利用空間向量求得二面角的余弦值.【詳解】(1)證明:因?yàn)椋矫嫫矫?,平面平面,平面,所以平面,因?yàn)槠矫妫?因?yàn)?,所以,所以,因?yàn)?,所以平?(2)解:設(shè),則,四面體的體積.,當(dāng)時(shí),,單調(diào)遞增;當(dāng)時(shí),,單調(diào)遞減.故當(dāng)時(shí),四面體的體積取得最大值.以為坐標(biāo)原點(diǎn),建立空間直角坐標(biāo)系,則,,,,.設(shè)平面的法向量為,則,即,令,得,同理可得平面的一個(gè)法向量為,則.由圖可知,二面角為銳角,故二面角的余弦值為.【點(diǎn)睛】該題考查的是有關(guān)立體幾何的問題,涉及到的知識(shí)點(diǎn)有面面垂直的性質(zhì),線面垂直的判定,椎體的體積,二面角的求法,在解題的過程中,注意巧用導(dǎo)數(shù)求解體積的最大值.19、(1);(2)【解析】試題分析:(1)求得的解集,根據(jù)集合相等,列出方程組,即可求解的值;(2)①當(dāng)時(shí),恒成立,②當(dāng)時(shí),轉(zhuǎn)化為,設(shè),求得函數(shù)的最小值,即可求解的取值范圍.試題解析:(1)由,得,因?yàn)椴坏仁降慕饧癁?,所以,故不等式可化為,解得,所以,解?(2)①當(dāng)時(shí),恒成立,所以.②當(dāng)時(shí),可化為,設(shè),則,所以當(dāng)時(shí),,所以.綜上,的取值范圍是.20、(1)答案見解析.(2)答案見解析【解析】

(1)利用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)求出,利用導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性之間的關(guān)系即可求解.(2)首先證,令,求導(dǎo)可得單調(diào)遞增,由即可證出;再令,再利用導(dǎo)數(shù)可得單調(diào)遞增,由即可證出.【詳解】(1)顯然時(shí),,故在單調(diào)遞減.(2)首先證,令,則單調(diào)遞增,且,所以再令,所以單調(diào)遞增,即,∴【點(diǎn)睛】本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、利用導(dǎo)數(shù)證明不等式,解題的關(guān)鍵掌握復(fù)合函數(shù)求導(dǎo),屬于難題.21、(1)證明見解析(2)存在,為中點(diǎn)【解析】

(1)證明面,即證明平面平面;(2)以為坐標(biāo)原點(diǎn),為軸正方向,為軸正方向,為軸正方向,建立空間直角坐標(biāo)系.利用向量方法得,解得,所以為中點(diǎn).【詳解】(1)由于為中點(diǎn),.又,故,所以為直角三角形且,即.又因?yàn)槊妫婷?,面面,故面,又面,所以面面.?)由(1)知面,又四邊形為矩形,則兩兩垂直.以為坐標(biāo)原點(diǎn),為軸正方向,為軸正方向,為軸正方向,建立空間直角坐標(biāo)系.則,設(shè),則,設(shè)平面的法向量為,則有,令,則,則平面的一個(gè)法向量為,同理可得平面的一個(gè)法向量為,設(shè)平面與平面所成角為,則由題意可得,解得,所以點(diǎn)為中點(diǎn).【點(diǎn)睛】本題主要考查空間幾何位置關(guān)系的證明,考查空間二面角的應(yīng)用,意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平.22、(1)見解析;(2)【解析】

(1)過點(diǎn)作交于,連接,設(shè),連接,由角平分線的性質(zhì),正方形的性質(zhì),三角形的全等,證得,,由線面垂直的判斷定理證得平面,再由面面垂直的判斷得證.(2)平面幾何知識(shí)和線面的關(guān)系可證得平面,建立空間直角

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