浙江寧波市北侖區(qū)2025屆高考沖刺數(shù)學(xué)模擬試題含解析

浙江寧波市北侖區(qū)2025屆高考沖刺數(shù)學(xué)模擬試題注意事項(xiàng)1．考試結(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回．2．答題前，請(qǐng)務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)用0．5毫米黑色墨水的簽字筆填寫(xiě)在試卷及答題卡的規(guī)定位置．3．請(qǐng)認(rèn)真核對(duì)監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)與本人是否相符．4．作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對(duì)應(yīng)選項(xiàng)的方框涂滿(mǎn)、涂黑；如需改動(dòng)，請(qǐng)用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無(wú)效．5．如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫(xiě)清楚，線(xiàn)條、符號(hào)等須加黑、加粗．一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于()A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限2．若函數(shù)在時(shí)取得最小值，則（）A． B． C． D．3．某幾何體的三視圖如圖所示（單位：），則該幾何體的體積（單位：）為（）A． B．6 C． D．4．已知中，，則（）A．1 B． C． D．5．已知集合，，若，則（）A．或 B．或 C．或 D．或6．設(shè)M是邊BC上任意一點(diǎn)，N為AM的中點(diǎn)，若，則的值為()A．1 B． C． D．7．已知的展開(kāi)式中第項(xiàng)與第項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等，則奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和為（）．A． B． C． D．8．設(shè)是兩條不同的直線(xiàn),是兩個(gè)不同的平面,下列命題中正確的是（）A．若,,則 B．若，,則C．若,,則 D．若,,則9．如圖，在等腰梯形中，，，，為的中點(diǎn)，將與分別沿、向上折起，使、重合為點(diǎn)，則三棱錐的外接球的體積是（）A． B．C． D．10．對(duì)某兩名高三學(xué)生在連續(xù)9次數(shù)學(xué)測(cè)試中的成績(jī)（單位：分）進(jìn)行統(tǒng)計(jì)得到折線(xiàn)圖，下面是關(guān)于這兩位同學(xué)的數(shù)學(xué)成績(jī)分析．①甲同學(xué)的成績(jī)折線(xiàn)圖具有較好的對(duì)稱(chēng)性，故平均成績(jī)?yōu)?30分；②根據(jù)甲同學(xué)成績(jī)折線(xiàn)圖提供的數(shù)據(jù)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，估計(jì)該同學(xué)平均成績(jī)?cè)趨^(qū)間110,120內(nèi)；③乙同學(xué)的數(shù)學(xué)成績(jī)與測(cè)試次號(hào)具有比較明顯的線(xiàn)性相關(guān)性，且為正相關(guān)；④乙同學(xué)連續(xù)九次測(cè)驗(yàn)成績(jī)每一次均有明顯進(jìn)步．其中正確的個(gè)數(shù)為（）A．4 B．3 C．2 D．111．執(zhí)行如圖所示的程序框圖，輸出的結(jié)果為（）A． B．4 C． D．12．設(shè)函數(shù)，若函數(shù)有三個(gè)零點(diǎn)，則（）A．12 B．11 C．6 D．3二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．?dāng)?shù)學(xué)家狄里克雷對(duì)數(shù)論，數(shù)學(xué)分析和數(shù)學(xué)物理有突出貢獻(xiàn)，是解析數(shù)論的創(chuàng)始人之一.函數(shù)，稱(chēng)為狄里克雷函數(shù).則關(guān)于有以下結(jié)論:①的值域?yàn)?②;③;④其中正確的結(jié)論是_______(寫(xiě)出所有正確的結(jié)論的序號(hào))14．（5分）某膳食營(yíng)養(yǎng)科研機(jī)構(gòu)為研究牛蛙體內(nèi)的維生素E和鋅、硒等微量元素（這些元素可以延緩衰老，還能起到抗癌的效果）對(duì)人體的作用，現(xiàn)從只雌蛙和只雄蛙中任選只牛蛙進(jìn)行抽樣試驗(yàn)，則選出的只牛蛙中至少有只雄蛙的概率是____________．15．在四面體中，分別是的中點(diǎn)．則下述結(jié)論：①四面體的體積為；②異面直線(xiàn)所成角的正弦值為；③四面體外接球的表面積為；④若用一個(gè)與直線(xiàn)垂直，且與四面體的每個(gè)面都相交的平面去截該四面體，由此得到一個(gè)多邊形截面，則該多邊形截面面積最大值為．其中正確的有_____．（填寫(xiě)所有正確結(jié)論的編號(hào)）16．已知實(shí)數(shù)x,y滿(mǎn)足(2x-y)2+4y三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）在銳角中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c.已知.（1）求的值；（2）當(dāng)，且時(shí)，求的面積.18．（12分）如圖，湖中有一個(gè)半徑為千米的圓形小島，岸邊點(diǎn)與小島圓心相距千米，為方便游人到小島觀(guān)光，從點(diǎn)向小島建三段棧道，，，湖面上的點(diǎn)在線(xiàn)段上，且，均與圓相切，切點(diǎn)分別為，，其中棧道，，和小島在同一個(gè)平面上.沿圓的優(yōu)?。▓A上實(shí)線(xiàn)部分）上再修建棧道.記為.用表示棧道的總長(zhǎng)度，并確定的取值范圍；求當(dāng)為何值時(shí)，棧道總長(zhǎng)度最短.19．（12分）在①，②，③這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面問(wèn)題中，求的面積的值（或最大值）．已知的內(nèi)角，，所對(duì)的邊分別為，，，三邊，，與面積滿(mǎn)足關(guān)系式：，且，求的面積的值（或最大值）．20．（12分）有最大值，且最大值大于.（1）求的取值范圍；（2）當(dāng)時(shí)，有兩個(gè)零點(diǎn)，證明：.(參考數(shù)據(jù)：)21．（12分）△ABC的內(nèi)角的對(duì)邊分別為,已知△ABC的面積為(1)求;(2)若求△ABC的周長(zhǎng).22．（10分）已知函數(shù).（Ⅰ）求在點(diǎn)處的切線(xiàn)方程；（Ⅱ）已知在上恒成立，求的值.（Ⅲ）若方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，且，證明：.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、D【解析】

由復(fù)數(shù)除法運(yùn)算求出，再寫(xiě)出其共軛復(fù)數(shù)，得共軛復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)．得結(jié)論．【詳解】，，對(duì)應(yīng)點(diǎn)為，在第四象限．故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算，考查共軛復(fù)數(shù)的概念，考查復(fù)數(shù)的幾何意義．掌握復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則是解題關(guān)鍵．2、D【解析】

利用輔助角公式化簡(jiǎn)的解析式，再根據(jù)正弦函數(shù)的最值，求得在函數(shù)取得最小值時(shí)的值．【詳解】解：，其中，，，故當(dāng)，即時(shí)，函數(shù)取最小值，所以，故選：D【點(diǎn)睛】本題主要考查輔助角公式，正弦函數(shù)的最值的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．3、D【解析】

根據(jù)幾何體的三視圖，該幾何體是由正方體去掉三棱錐得到，根據(jù)正方體和三棱錐的體積公式可求解.【詳解】如圖,該幾何體為正方體去掉三棱錐,所以該幾何體的體積為：,故選：D【點(diǎn)睛】本題主要考查了空間幾何體的三視圖以及體積的求法，考查了空間想象力，屬于中檔題.4、C【解析】

以為基底，將用基底表示，根據(jù)向量數(shù)量積的運(yùn)算律，即可求解.【詳解】,,.故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查向量的線(xiàn)性運(yùn)算以及向量的基本定理，考查向量數(shù)量積運(yùn)算，屬于中檔題.5、B【解析】

因?yàn)?所以,所以或.若，則,滿(mǎn)足.若，解得或.若，則，滿(mǎn)足.若，顯然不成立，綜上或，選B.6、B【解析】

設(shè)，通過(guò)，再利用向量的加減運(yùn)算可得，結(jié)合條件即可得解.【詳解】設(shè)，則有.又，所以，有.故選B.【點(diǎn)睛】本題考查了向量共線(xiàn)及向量運(yùn)算知識(shí)，利用向量共線(xiàn)及向量運(yùn)算知識(shí)，用基底向量向量來(lái)表示所求向量，利用平面向量表示法唯一來(lái)解決問(wèn)題.7、D【解析】因?yàn)榈恼归_(kāi)式中第4項(xiàng)與第8項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等，所以，解得，所以二項(xiàng)式中奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和為．考點(diǎn)：二項(xiàng)式系數(shù)，二項(xiàng)式系數(shù)和．8、C【解析】

在A(yíng)中，與相交或平行；在B中，或；在C中，由線(xiàn)面垂直的判定定理得；在D中，與平行或．【詳解】設(shè)是兩條不同的直線(xiàn)，是兩個(gè)不同的平面，則：在A(yíng)中，若，，則與相交或平行，故A錯(cuò)誤；在B中，若，，則或，故B錯(cuò)誤；在C中，若，，則由線(xiàn)面垂直的判定定理得，故C正確；在D中，若，，則與平行或，故D錯(cuò)誤．故選C．【點(diǎn)睛】本題考查命題真假的判斷，考查空間中線(xiàn)線(xiàn)、線(xiàn)面、面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí)，是中檔題．9、A【解析】

由題意等腰梯形中的三個(gè)三角形都是等邊三角形，折疊成的三棱錐是正四面體，易求得其外接球半徑，得球體積．【詳解】由題意等腰梯形中，又，∴，是靠邊三角形，從而可得，∴折疊后三棱錐是棱長(zhǎng)為1的正四面體，設(shè)是的中心，則平面，，，外接球球心必在高上，設(shè)外接球半徑為，即，∴，解得，球體積為．故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查求球的體積，解題關(guān)鍵是由已知條件確定折疊成的三棱錐是正四面體．10、C【解析】

利用圖形，判斷折線(xiàn)圖平均分以及線(xiàn)性相關(guān)性，成績(jī)的比較，說(shuō)明正誤即可．【詳解】①甲同學(xué)的成績(jī)折線(xiàn)圖具有較好的對(duì)稱(chēng)性，最高130分，平均成績(jī)?yōu)榈陀?30分，①錯(cuò)誤；②根據(jù)甲同學(xué)成績(jī)折線(xiàn)圖提供的數(shù)據(jù)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，估計(jì)該同學(xué)平均成績(jī)?cè)趨^(qū)間[110,120]內(nèi)，②正確；③乙同學(xué)的數(shù)學(xué)成績(jī)與測(cè)試次號(hào)具有比較明顯的線(xiàn)性相關(guān)性，且為正相關(guān)，③正確；④乙同學(xué)在這連續(xù)九次測(cè)驗(yàn)中第四次、第七次成績(jī)較上一次成績(jī)有退步，故④不正確．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查折線(xiàn)圖的應(yīng)用，線(xiàn)性相關(guān)以及平均分的求解，考查轉(zhuǎn)化思想以及計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．11、A【解析】

模擬執(zhí)行程序框圖，依次寫(xiě)出每次循環(huán)得到的的值，當(dāng)，，退出循環(huán)，輸出結(jié)果.【詳解】程序運(yùn)行過(guò)程如下：，；，；，；，；，；，；，，退出循環(huán)，輸出結(jié)果為，故選：A.【點(diǎn)睛】該題考查的是有關(guān)程序框圖的問(wèn)題，涉及到的知識(shí)點(diǎn)有判斷程序框圖輸出結(jié)果，屬于基礎(chǔ)題目.12、B【解析】

畫(huà)出函數(shù)的圖象，利用函數(shù)的圖象判斷函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，然后轉(zhuǎn)化求解，即可得出結(jié)果．【詳解】作出函數(shù)的圖象如圖所示，令，由圖可得關(guān)于的方程的解有兩個(gè)或三個(gè)（時(shí)有三個(gè)，時(shí)有兩個(gè)），所以關(guān)于的方程只能有一個(gè)根（若有兩個(gè)根，則關(guān)于的方程有四個(gè)或五個(gè)根），由，可得的值分別為，則故選B．【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)形結(jié)合以及函數(shù)與方程的應(yīng)用，考查轉(zhuǎn)化思想以及計(jì)算能力，屬于?？碱}型.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、②【解析】

根據(jù)新定義，結(jié)合實(shí)數(shù)的性質(zhì)即可判斷①②③，由定義求得比小的有理數(shù)個(gè)數(shù)，即可確定④.【詳解】對(duì)于①，由定義可知，當(dāng)為有理數(shù)時(shí)；當(dāng)為無(wú)理數(shù)時(shí)，則值域?yàn)?，所以①錯(cuò)誤；對(duì)于②，因?yàn)橛欣頂?shù)的相反數(shù)還是有理數(shù)，無(wú)理數(shù)的相反數(shù)還是無(wú)理數(shù)，所以滿(mǎn)足，所以②正確；對(duì)于③，因?yàn)?，?dāng)為無(wú)理數(shù)時(shí)，可以是有理數(shù)，也可以是無(wú)理數(shù)，所以③錯(cuò)誤；對(duì)于④，由定義可知，所以④錯(cuò)誤；綜上可知，正確的為②.故答案為：②.【點(diǎn)睛】本題考查了新定義函數(shù)的綜合應(yīng)用，正確理解題意是解決此類(lèi)問(wèn)題的關(guān)鍵，屬于中檔題.14、【解析】

記只雌蛙分別為，只雄蛙分別為，從中任選只牛蛙進(jìn)行抽樣試驗(yàn)，其基本事件為，共15個(gè)，選出的只牛蛙中至少有只雄蛙包含的基本事件為，共9個(gè)，故選出的只牛蛙中至少有只雄蛙的概率是．15、①③④．【解析】

補(bǔ)圖成長(zhǎng)方體，在長(zhǎng)方體中利用割補(bǔ)法求四面體的體積，和外接球的表面積，以及異面直線(xiàn)的夾角，作出截面即可計(jì)算截面面積的最值.【詳解】根據(jù)四面體特征，可以補(bǔ)圖成長(zhǎng)方體設(shè)其邊長(zhǎng)為，，解得補(bǔ)成長(zhǎng)，寬，高分別為的長(zhǎng)方體，在長(zhǎng)方體中：①四面體的體積為，故正確②異面直線(xiàn)所成角的正弦值等價(jià)于邊長(zhǎng)為的矩形的對(duì)角線(xiàn)夾角正弦值，可得正弦值為，故錯(cuò)；③四面體外接球就是長(zhǎng)方體的外接球，半徑，其表面積為，故正確；④由于，故截面為平行四邊形，可得，設(shè)異面直線(xiàn)與所成的角為，則，算得，．故正確．故答案為：①③④．【點(diǎn)睛】此題考查根據(jù)幾何體求體積，外接球的表面積，異面直線(xiàn)夾角和截面面積最值，關(guān)鍵在于熟練掌握點(diǎn)線(xiàn)面位置關(guān)系的處理方法，補(bǔ)圖法作為解決體積和外接球問(wèn)題的常用方法，平常需要積累常見(jiàn)幾何體的補(bǔ)圖方法.16、2【解析】

直接利用柯西不等式得到答案.【詳解】根據(jù)柯西不等式：2x-y2+4y當(dāng)2x-y=2y，即x=328故答案為：2.【點(diǎn)睛】本題考查了柯西不等式求最值，也可以利用均值不等式，三角換元求得答案.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）；（2）【解析】

（1）利用二倍角公式求解即可，注意隱含條件.（2）利用（1）中的結(jié)論，結(jié)合正弦定理和同角三角函數(shù)的關(guān)系易得的值，又由求出的值，最后由正弦定理求出的值，根據(jù)三角形的面積公式即可計(jì)算得出.【詳解】（1）由已知可得，所以，因?yàn)樵阡J角中，，所以（2）因?yàn)?，所以，因?yàn)槭卿J角三角形，所以，所以.由正弦定理可得：，所以，所以【點(diǎn)睛】此類(lèi)問(wèn)題是高考的常考題型，主要考查了正弦定理、三角函數(shù)以及三角恒等變換等知識(shí)，同時(shí)考查了學(xué)生的基本運(yùn)算能力和利用三角公式進(jìn)行恒等變換的技能，屬于中檔題.18、，；當(dāng)時(shí)，棧道總長(zhǎng)度最短.【解析】

連，，由切線(xiàn)長(zhǎng)定理知：，，，，即，，則，，進(jìn)而確定的取值范圍；根據(jù)求導(dǎo)得，利用增減性算出，進(jìn)而求得取值.【詳解】解：連，，由切線(xiàn)長(zhǎng)定理知：，，，又，，故，則劣弧的長(zhǎng)為，因此，優(yōu)弧的長(zhǎng)為，又，故，，即，，所以，，，則；，，其中，，-0+單調(diào)遞減極小值單調(diào)遞增故時(shí)，所以當(dāng)時(shí)，棧道總長(zhǎng)度最短.【點(diǎn)睛】本題主要考查導(dǎo)數(shù)在函數(shù)當(dāng)中的應(yīng)用，屬于中檔題.19、見(jiàn)解析【解析】

若選擇①，結(jié)合三角形的面積公式，得，化簡(jiǎn)得到，則，又，從而得到，將代入，得．又，∴，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立．∴，故的面積的最大值為，此時(shí)．若選擇②，，結(jié)合三角形的面積公式，得，化簡(jiǎn)得到，則，又，從而得到，則，此時(shí)為等腰直角三角形，.若選擇③，，則結(jié)合三角形的面積公式，得，化簡(jiǎn)得到，則，又，從而得到，則．20、（1）；（2）證明見(jiàn)解析.【解析】

（1）求出函數(shù)的定義域?yàn)?，，分和兩種情況討論，分析函數(shù)的單調(diào)性，求出函數(shù)的最大值，即可得出關(guān)于實(shí)數(shù)的不等式，進(jìn)而可求得實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）利用導(dǎo)數(shù)分析出函數(shù)在上遞增，在上遞減，可得出，由，構(gòu)造函數(shù)，證明出，進(jìn)而得出，再由函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性可證得結(jié)論.【詳解】（1）函數(shù)的定義域?yàn)椋?當(dāng)時(shí)，對(duì)任意的，，此時(shí)函數(shù)在上為增函數(shù)，函數(shù)為最大值；當(dāng)時(shí)，令，得.當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞減.所以，函數(shù)在處取得極大值，亦即最大值，即，解得.綜上所述，實(shí)數(shù)的取值范圍是；（2）當(dāng)時(shí)，，定義域?yàn)?，，?dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.所以，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為.由于函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)、且，，，構(gòu)造函數(shù)，其中，，令，，當(dāng)時(shí)，，所以，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，則，則.所以，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，，，即，即，，且，而函數(shù)在上為減函數(shù)，所以，，因此，.【點(diǎn)睛】本題考查利用函數(shù)的最值求參數(shù)，同時(shí)也考查了利用導(dǎo)數(shù)證明函數(shù)不等式，利用所證不等式的結(jié)構(gòu)構(gòu)造新函數(shù)是解答的關(guān)鍵，考查推理能力與計(jì)算能力，屬于難題.21、(1)(2).【解析】試題分析：（1）由三角形面積公式建立等式，再利用正弦定理將邊化成角，從而得出的值；（2）由和計(jì)算出，從而求出角，根據(jù)題設(shè)和余弦定理可以求出和的值，從而求出的周長(zhǎng)為.試題解析：（1）由題設(shè)得，即.由正弦定理得.故.（2）由題設(shè)及（1）得，即.所以，故.由題設(shè)得，即.由余弦定理得，即，得.故的周長(zhǎng)為.點(diǎn)睛:在處理解三角形問(wèn)題時(shí)，要注意抓住題目所給的條件，當(dāng)題設(shè)中給定三角形的面積，可以使用面積公式建