滬科版-數(shù)學(xué)-七年級(jí)上冊-基本方法-數(shù)軸、相反數(shù)和絕對(duì)值

初中-數(shù)學(xué)-打印版初中-數(shù)學(xué)-打印版1.2數(shù)軸、相反數(shù)和絕對(duì)值5．?dāng)?shù)軸上兩點(diǎn)間的距離與點(diǎn)表示的數(shù)之間的關(guān)系(1)數(shù)軸使數(shù)和直線上的點(diǎn)建立了對(duì)應(yīng)關(guān)系，它揭示了數(shù)和形的內(nèi)在聯(lián)系．正是這種聯(lián)系，使得數(shù)軸上兩點(diǎn)之間的距離與所表示的數(shù)之間存在密切關(guān)系．(2)數(shù)軸上表示數(shù)a的點(diǎn)與原點(diǎn)之間的距離：當(dāng)a為一個(gè)正數(shù)時(shí)，它與原點(diǎn)的距離是a個(gè)單位長度，當(dāng)a是負(fù)數(shù)時(shí)，它與原點(diǎn)的距離是|a|個(gè)單位長度；當(dāng)a是0時(shí)，距離為0.(3)注意：到某一點(diǎn)距離等于a(a是正數(shù))的點(diǎn)有兩個(gè)，在原點(diǎn)的左右兩側(cè)各一個(gè)．解技巧確定數(shù)軸上兩點(diǎn)間的距離解決此類問題的最好方法是畫出數(shù)軸，并表示出所求的數(shù)，再求兩點(diǎn)間的距離．【例5－1】如圖，A，B兩點(diǎn)在數(shù)軸上，點(diǎn)A對(duì)應(yīng)的數(shù)為2，若線段AB的長為3，求點(diǎn)B對(duì)應(yīng)的數(shù)是多少？分析：由于點(diǎn)A對(duì)應(yīng)的數(shù)為2，說明它到原點(diǎn)的距離為2，又線段AB的長為3，則點(diǎn)B對(duì)應(yīng)的數(shù)就很容易確定了．解：因?yàn)辄c(diǎn)A對(duì)應(yīng)的數(shù)為2，又線段AB的長為3，所以點(diǎn)B到原點(diǎn)的長為1.又因?yàn)辄c(diǎn)B在原點(diǎn)的左邊，所以點(diǎn)B對(duì)應(yīng)的數(shù)為－1.【例5－2】已知數(shù)軸上A，B表示的數(shù)互為相反數(shù)，并且A，B兩點(diǎn)間的距離為6個(gè)單位長度，求A，B兩點(diǎn)表示的數(shù)(A在B的左邊)．分析：互為相反數(shù)的數(shù)，位于原點(diǎn)的兩側(cè)，且到原點(diǎn)的距離相等，根據(jù)A，B的距離為6個(gè)單位長度，即可求出A，B兩點(diǎn)表示的數(shù)．解：由點(diǎn)A，B表示的數(shù)互為相反數(shù)，且A，B兩點(diǎn)間的距離為6，可知點(diǎn)A，B在原點(diǎn)的兩側(cè)，到原點(diǎn)距離都為3，又A在B的左邊，所以A點(diǎn)表示－3，B點(diǎn)表示3.6.運(yùn)用相反數(shù)化簡符號(hào)(1)理解：①在任意－個(gè)數(shù)前面添上“－”號(hào)，新的數(shù)就是原數(shù)的相反數(shù)．如：＋5的相反數(shù)表示為－(＋5)，而5的相反數(shù)就是－5，所以－(＋5)＝－5.因此運(yùn)用相反數(shù)可以進(jìn)行符號(hào)化簡．(2)分類：簡單的符號(hào)化簡共有3種情況：①－(＋a)＝－a；②＋(－a)＝－a；③－(－a)＝a.(3)延伸：①－＝－a；－＝a等．②－0＝0，表示0的相反數(shù)是0.多重符號(hào)的結(jié)果是由“－”號(hào)的個(gè)數(shù)決定的，與“＋”號(hào)無關(guān)，據(jù)此可以對(duì)帶有多重符號(hào)的數(shù)進(jìn)行化簡．化簡時(shí)“＋”號(hào)的個(gè)數(shù)不影響結(jié)果，可省去；而“－”號(hào)的個(gè)數(shù)是偶數(shù)個(gè)時(shí)也可全部省去，奇數(shù)個(gè)時(shí)，結(jié)果保留一個(gè)“－”號(hào)即可．【例6－1】填空：(1)－eq\b\lc\(\rc\)(eq\a\vs4\al\co1(－1\f(2,7)))的相反數(shù)是__________；(2)如果－x＝＋(－80.5)，那么x＝__________.解析：(1)∵－eq\b\lc\(\rc\)(eq\a\vs4\al\co1(－1\f(2,7)))＝1eq\f(2,7)，因此此題實(shí)際上是求1eq\f(2,7)的相反數(shù)，∴－eq\b\lc\(\rc\)(eq\a\vs4\al\co1(－1\f(2,7)))的相反數(shù)是－1eq\f(2,7)；(2)是已知x的相反數(shù)求原數(shù)x的問題，∵－x＝＋(－80.5)＝－80.5，∴x＝80.5.答案：(1)－1eq\f(2,7)(2)80.5【例6－2】化簡下列各符號(hào)：(1)－；(2)＋{－}；(3)－{－{－…－(－6)…}}(共n個(gè)負(fù)號(hào))．分析：化簡的法則是：結(jié)果的符號(hào)與負(fù)號(hào)的個(gè)數(shù)有關(guān)，有偶數(shù)個(gè)負(fù)號(hào)時(shí)，結(jié)果為正；有奇數(shù)個(gè)負(fù)號(hào)時(shí)，結(jié)果為負(fù)．解：(1)－2；(2)5；(3)當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，為6；當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，為－6.7.絕對(duì)值的化簡和計(jì)算化簡絕對(duì)值符號(hào)主要根據(jù)絕對(duì)值的非負(fù)性，解題時(shí)看清楚“－”號(hào)在絕對(duì)值符號(hào)的里面還是外面．如果“－”號(hào)在絕對(duì)值符號(hào)的里面，化簡時(shí)把“－”號(hào)去掉；如果“－”號(hào)在絕對(duì)值符號(hào)的外面，化簡時(shí)不能把“－”號(hào)去掉．解技巧準(zhǔn)確化簡絕對(duì)值符號(hào)化簡絕對(duì)值符號(hào)的關(guān)鍵是判斷絕對(duì)值符號(hào)內(nèi)的數(shù)是正數(shù)、負(fù)數(shù)或是0.【例7】化簡：(1)－eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(－\f(2,3)))；(2)＋|－24|；(3)eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(＋3\f(1,2)))))；(4)|－(－7.5)|.分析：先判斷絕對(duì)值符號(hào)內(nèi)數(shù)的符號(hào)，再求絕對(duì)值．解：(1)－eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(－\f(2,3)))＝－eq\f(2,3)；(2)＋|－24|＝24；(3)eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(＋3\f(1,2)))))＝3eq\f(1,2)；(4)|－(－7.5)|＝7.5.8.字母表示的數(shù)的絕對(duì)值的求法應(yīng)用因?yàn)橛米帜杆硎镜臄?shù)既可以是正數(shù)也可以是負(fù)數(shù)，還可以是0.它具有不確定性，而求絕對(duì)值首先要考慮的就是符號(hào)，因此求字母表示的數(shù)的絕對(duì)值時(shí)，必須考慮題目中給定的條件，若有限定條件，就按限定條件求出，若沒有限定條件，則要分正、負(fù)、0三種情況討論．解技巧求字母表示的數(shù)的絕對(duì)值(1)限制型逆用求法，如：|a|＝6，那么a＝±6；(2)開放型分類討論求法：如求|x|＋x的值，當(dāng)x＞0時(shí)，|x|＝x，所以|x|＋x＝x＋x＝2x，當(dāng)x＜0時(shí)，|x|＝－x，原式＝0，當(dāng)x＝0時(shí)，原式＝0；(3)化簡型求法：如：|a|＝|－8|，|－a|＝|－8|，|－a|＝|8|都能化為|a|＝|8|＝8解決．【例8－1】已知a＝－5，|a|＝|b|，則b的值等于()．A．＋5 B．－5C．0 D．±5解析：因?yàn)閍＝－5，所以|a|＝5.所以|b|＝5.所以b＝±5.注：本題常見的思維誤區(qū)是由|a|＝|b|推出a＝b，錯(cuò)選B.事實(shí)上，由|a|＝|b|，可得b＝±a，所以b＝a或b＝－a，即b＝5或b＝－5.答案：D【例8－2】下面推理正確的是()．A．若|m|＝|n|，則m＝nB．若|m|＝n，則m＝nC．若|m|＝－n，則m＝nD．若m＝n，則|m|＝|n|解析：A中若|m|＝|n|，則m＝±n；B中若|m|＝n(n一定是非負(fù)數(shù))，則m＝±n，例如|±2|＝2，此時(shí)m＝±2，n＝2，顯然m＝±n；C中若|m|＝－n，則m＝n或m＝－n，例如|±3|＝－(－3)(n一定是非正數(shù))，此時(shí)m＝±3，n＝－3，所以m＝±n.答案：D9．利用數(shù)軸解決生活中的實(shí)際問題本節(jié)知識(shí)常與運(yùn)動(dòng)問題結(jié)合在一起，利用數(shù)形結(jié)合將運(yùn)動(dòng)問題解決．這種利用數(shù)形結(jié)合解決問題的方法是中考考查的熱點(diǎn)題型之一．?dāng)?shù)軸是一種數(shù)學(xué)工具，它使數(shù)和數(shù)軸上的點(diǎn)建立了對(duì)應(yīng)關(guān)系，運(yùn)用數(shù)軸可以直觀表示點(diǎn)的移動(dòng)，正確找出數(shù)在數(shù)軸上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)，會(huì)由數(shù)軸上的點(diǎn)的位置確定對(duì)應(yīng)的數(shù)，是解決這類問題的關(guān)鍵．解題時(shí)，通常根據(jù)題意正確地畫出數(shù)軸，在選取長度單位時(shí)，要根據(jù)題目中的實(shí)際情況來確定，再在數(shù)軸上表示點(diǎn)的移動(dòng)過程，用箭頭和豎線來表示．【例9】超市、書店、玩具店依次坐落在一條東西走向的大街上，超市在書店西邊20米處，玩具店位于書店東邊50米處．小明從書店出來沿街向東走了50米，接著又向東走了－80米，此時(shí)小明的位置在何處？在數(shù)軸上標(biāo)出超市、書店、玩具店的位置以及小明最后的位置．分析：書店處于超市和玩具店之間，且書店與玩具店之間的距離是50米，書店與超市之間的距離是20米，這樣可以畫出數(shù)軸，即可表示出小明最后的位置．解決點(diǎn)的移動(dòng)問題，可畫出數(shù)軸，在數(shù)軸上表示點(diǎn)的移動(dòng)，關(guān)鍵是確定原點(diǎn)，最后的點(diǎn)相對(duì)于原點(diǎn)來說，若在原點(diǎn)的右側(cè)，表示的是正數(shù)，若在原點(diǎn)的左側(cè)，則表示的是負(fù)數(shù)．解：根據(jù)題意可以畫出如圖所示的數(shù)軸，小明位于超市西邊10米處．10.利用絕對(duì)值解決實(shí)際問題絕對(duì)值的產(chǎn)生來源于實(shí)際問題的需要，反過來又可以運(yùn)用它解決一些實(shí)際問題．利用絕對(duì)值求距離路程問題中，當(dāng)出現(xiàn)用“＋”、“－”號(hào)表示帶方向的路程，求最后實(shí)際路程時(shí)，實(shí)際上是求絕對(duì)值的和．方法：①求各個(gè)數(shù)的絕對(duì)值；②求所有數(shù)的絕對(duì)值的和；③寫出答案．【例10】一天上午，出租車司機(jī)小王在東西走向的中山路上營運(yùn)，如果規(guī)定向東為正，向西為負(fù)，出租車的行車?yán)锍倘缦?單位：千米)：＋15，－3，＋12，－11，－13，＋3，－12，－18，請問小王將最后一位乘客送到目的地時(shí)，共行駛了多少千米？分析：本題是絕對(duì)值意義在實(shí)際問