高考數(shù)學(xué)專項復(fù)習(xí)：三角恒等變換【九大題型】原卷版

專題4.3三角恒等變換【九大題型】

【新高考專用】

?熱點題型歸納

【題型1兩角和與差的三角函數(shù)公式】..............................................................3

【題型2兩角和與差的三角函數(shù)公式的逆用及變形】................................................3

【題型3輔助角公式的運用】......................................................................4

【題型4角的變換問題】...........................................................................4

【題型5三角函數(shù)式的化簡】......................................................................5

【題型6給角求值】...............................................................................5

【題型7給值求值】...............................................................................6

【題型8給值求角］...............................................................................6

【題型9三角恒等變換的綜合應(yīng)用】................................................................7

?考情分析

1、三角恒等變換

考點要求真題統(tǒng)計考情分析

⑴會推導(dǎo)兩角差的余弦

公式

2022年新課標(biāo)II卷：第6題，

⑵會用兩角差的余弦公三角恒等變換是三角函數(shù)的重要工

5分

式推導(dǎo)出兩角差的正弦、具，是高考數(shù)學(xué)的熱點、重點內(nèi)容.從近

2023年新課標(biāo)I卷：第8題，

正切公式幾年的高考情況來看，主要考察三角函

5分

(3)掌握兩角和與差的正數(shù)的化簡求值、三角函數(shù)的變換等內(nèi)容，

2023年新課標(biāo)II卷：第7題，

弦、余弦、正切公式，并一般以選擇題、填空題的形式出現(xiàn)，試

5分

會簡單應(yīng)用題難度中等或偏下；但在有關(guān)三角函數(shù)

2024年新課標(biāo)I卷：第4題，

(4)能運用兩角和與差的的解答題中有時也會涉及到三角恒等變

5分

正弦、余弦、正切公式推換、合并化簡，此時試題難度中等，復(fù)

2024年新課標(biāo)II卷：第13題，

導(dǎo)二倍角的正弦、余弦、習(xí)時需要同學(xué)熟練運用公式，靈活變換.

5分

正切公式，并進(jìn)行簡單的

恒等變換

?知識梳理

【知識點1三角恒等變換思想】

1.三角恒等變換思想——角的代換、常值代換、輔助角公式

(1)角的代換

代換法是一種常用的思想方法，也是數(shù)學(xué)中一種重要的解題方法，在解決三角問題時，角的代換作用

尤為突出.

常用的角的代換形式：

①Q(mào)=(G+￡)/；

②Q=￡?(夕-Q)；

③Q=,[(Q+￡)+(Q/)]；

@a=-[(a+6)-(￡-[)]；

⑤器/七-外言/)；

@a-y=(a-f))+(/3-y).

(2)常值代換

用某些三角函數(shù)值代換某些常數(shù)，使之代換后能運用相關(guān)的公式，我們把這種代換稱為常值代換，其

中要特別注意的是'T'的代換.

(3)輔助角公式

通過應(yīng)用公式asina+6cosa=-\/a2+b2sin(a+0)威asina+bcosa=\/a2+b2cos(a—夕)將形如

asina+bcosa(a,6都不為零)的三角函數(shù)式收縮為一個三角函數(shù)，iAi區(qū)sin(a+9)[或

"TPcos(a—0)].這種恒等變形實質(zhì)上是將同角的正弦和余弦函數(shù)值與其他常數(shù)積的和收縮為一個

三角函數(shù)，這種恒等變換稱為收縮變換，上述公式也稱為輔助角公式.

【知識點2三角恒等變換的應(yīng)用技巧】

1.兩角和與差的三角函數(shù)公式的應(yīng)用技巧

(1)使用兩角和與差的三角函數(shù)公式，首先要記住公式的結(jié)構(gòu)特征.

(2)使用公式求值，應(yīng)先求出相關(guān)角的函數(shù)值，再代入公式求值.

2.兩角和與差的三角函數(shù)公式的逆用及變形

運用兩角和與差的三角函數(shù)公式時，不但要熟悉公式的正用，還要熟悉公式的逆用及變形應(yīng)用，如

tana+tanjB=tan(a+夕)?(1—tanatanQ)和二倍角的余弦公式的多種變形等.公式的逆用和變形應(yīng)用更能拓

展思路，培養(yǎng)從正向思維向逆向思維轉(zhuǎn)化的能力.

3.輔助角公式的運用技巧

對asinx+bcosx化簡時，輔助角的值如何求要清楚.

4.角的變換問題的解題策略：

(1)當(dāng)“已知角”有兩個時，“所求角”一般表示為兩個"已知角"的和或差的形式；

(2)當(dāng)“已知角”有一個時，此時應(yīng)著眼于“所求角”與“已知角”的和或差的關(guān)系，再應(yīng)用誘導(dǎo)公式

把“所求角”變成“已知角”.

(3)常見的角變換：2a=(a+6)+(a—/?),a=+a,y+ct=y-f^--a'j,

a=(a+￡)—￡=(a—￡)+力，(?+Q+(〃-a)=、等.

【知識點3三角恒等變換幾類問題的解題策略】

1.給值求值問題的解題思路

給值求值問題一般是將待求式子化簡整理，看需要求相關(guān)角的哪些三角函數(shù)值，然后根據(jù)角的范圍求

出相應(yīng)角的三角函數(shù)值，代入即可.

2.給角求值問題的解題思路

給角求值問題一般所給出的角都是非特殊角，從表面上來看是很難的，但仔細(xì)觀察非特殊角與特殊角

之間總有一定的關(guān)系，解題時，要利用觀察得到的關(guān)系，結(jié)合公式轉(zhuǎn)化為特殊角并且消除特殊角三角函數(shù)

而得解.

3.給值求角問題的解題思路

給值求角問題一般先求角的某一三角函數(shù)值，再求角的范圍，最后確定角.

4.三角恒等變換的綜合應(yīng)用的解題策略

三角恒等變換的綜合應(yīng)用的求解策略主要是將三角變換與三角函數(shù)的性質(zhì)相結(jié)合，通過變換把函數(shù)化

為小尸然皿5+°）+6的形式再研究其性質(zhì)，解題時注意觀察角、函數(shù)名、結(jié)構(gòu)等特征，注意利用整體思想

解決相關(guān)問題.

【方法技巧與總結(jié)】

1.tana±tan￡=tan(a±￡)?(1千tanatan￡).

攻宣八f21+cos2a.21—cos2a

2.降累公式：cos-oc=-------------,sin2a=--------------

1+sin2a=(sina+cosa)2,1—sin2a=(sina-cosa)2,sina±cosa=y^sin(a±.

3.

?舉一反三

【題型1兩角和與差的三角函數(shù)公式】

【例1】（2024,江西九江,三模）若2sin（仇+2）=cos（a-2），貝!）tan（a—已）=（）

A.-4-V3B.-4+V3C.4-V3D.4+V3

【變式1-1]（2024?湖南?模擬預(yù)測）已知a€&TI）,tan（多一a）=：,貝[sina=（）

【變式1-2]（2024?安徽合肥?模擬預(yù)測）已知cos（10。一a）=cos（50。一a）+cos（50。+a）,則tana=（）

A.叵B.-農(nóng)C.V3D.-V3

33

【變式1-3]（2024?黑龍江哈爾濱,模擬預(yù)測）已知sinasin（a+§=cosasin停一a）,則tan（2a+=（）

A.2—V3B.-2—V3C.2+y/3D.—2+V3

【題型2兩角和與差的三角函數(shù)公式的逆用及變形】

【例2】（2024?四川?模擬預(yù)測）已知a,0,yC（。弓），若sina+siny=sin￡,cos0+cosy=cosa,則a—￡=

()

TTTTTTTl

A.B.D.

33c.66

【變式2-1]（2024?內(nèi)蒙古呼和浩特?一模）已知sina+cos/?=￡,cosa—sin/?=—則cos（2cr-20）=（）

77

A.—B.------

3232

c5V39n5V39

3232

【變式2-2]（2024?山東泰安?模擬預(yù)測）若:,則sin28的值為（）

1-tan（0--）2

3344

A--iB-?c--?D-7

【變式2?3】（2024?全國?模擬預(yù)測）已知a,/7,y滿足a—-y=m且sina=2cos/?cosy,tanStany=—3,

則tana的值為（）

i1

A.-2B.--C.-D.2

22

【題型3輔助角公式的運用】

【例3】（2024?安徽合肥?三模）已知2sina=1+2V5cosa,貝!jsin（2a-J=（）

【變式3-1](2024?四川遂寧?模擬預(yù)測)已知cos(a-冷)—cosa=/，則sin(a—￡)=()

【變式3-2](2024?湖北?二模)函數(shù)/(%)=3cos%-4sin%,當(dāng)/(%)取得最大值時，sin%=()

【變式3-3](2024?陜西銅川?三模)已知cos(a—cosa=今則sin(2a+()=()

【題型4角的變換問題】

[例4](2024?吉林長春?模擬預(yù)測)已知cos2a=-y,sin(cr+0)=一噂,戊￡[°尋6e[一卜則/一B=

（）

A.-B.YC.YD.?或當(dāng)

4

?重慶?模擬預(yù)測)已知出￡都是銳角，)絆，則的值為()

【變式4-11(2024cosa=sin(a+p=cos2/?

714

A.--B.-C.--D.—

2222

【變式4-2]（2024?福建泉州?模擬預(yù)測）已知a,￡均為銳角，sin（2a-0）=—cosa+sin^?,則sin（a-/?）=

()

2V5n花V5

AA--B-TC.-D.

33

若今=咚,且

【變式4-3](2024?山西?三模)sin2a=sin(/?—a)aGM.Se罔,則cos(a+S)=

6

()

V5+V2V30cV62遙一企

A.D.D.

66CT6

【題型5三角函數(shù)式的化簡】

sin80o4-cos50°V6_(

【例5】（2024?全國?模擬預(yù)測）sin2502tan25°—)

V6V5V2

A.--Do.---D.

22c.—2

【變式5-1]（2023?全國?模擬預(yù)測）化簡：上空羅=（)

sinl0°

A.4B.2C.tan20°D.sin20°

【變式5-2]（2023?吉林延邊?二模）下列化簡不正確的是（）

11

A.cos820sin520+sin82℃osl28==--B.sinl5°sin30°sin75^-

ctan48°+tan72°

ccos215sin215=D.----------------=73

-°-°Tl-tan48°tan72°

【變式5一3】（2024?重慶?模擬預(yù)測）卷：：：晨￡。。的值為（

2+顯1+百c2+V3

A.D.粵

224

【題型6給角求值】

【例6】（2024?遼寧?二模）已知5E（15。一5=12口210。，則sin（60。+a）的值為（）

工12

A.

333

【變式6-1]（23-24高二上?江西景德鎮(zhèn)?期中）已知sina=竽,cos（a—/?）=*且0<a<*,0<。<年,

則sinS=（）

【變式6-2]⑵-24高一下?北京順義?階段練習(xí)）已知aG（0（）且tana=|.

(1)求tan2cr,sin2a,cos2a；

(2)若0為銳角,且cos(a+1)=,,求sin0.

【變式6?3】(2024?浙江臺州?二模)已知函數(shù)/(%)=V^sin%+cos%.

(I)求函數(shù)/(%)的單調(diào)遞增區(qū)間；

(II)若f(a)=€已用］,求sina的值.

566

【題型7給值求值】

【例7】(2024?河北保定?三模)已知銳角a,0(aK0)滿足sina+2cosa=sin0+2cos0,則sin(a+0)

的值為()

A.2B.延C.。D.&

10555

【變式7-1](2024?遼寧丹東?二模)已知sina+sin(a+§=苧，則cos(2a+§=()

A.-7B.-7-C.2￡D.--2

9999

【變式7-2](2024?貴州貴陽?二模)已知cosa—cos0=亨,sina-sin^=-1,貝!Itan(a+0)的值為()

A.-4V5B.4V5C.-2V5D.24

【變式7-3](2024?遼寧?二模)已知a,0e(0,習(xí)，2tana=就黑初，貝!Jcos(2a+夕+§=()

A.—B.--C.-D.--

2222

【題型8給值求角】

【例8】(2023?江蘇無錫三模)已知tan"言》tan(a+位=^，若夕6(0,習(xí)，則0=()

【變式8-1](23-24高三?全國?期末)已知0<a<￡<,,cos2a+cos2s+1=2cos(a—0)+cos(a+0),

貝IJ()

A.a+S=B.a+0=5

C.B—cc——D.S—oc=~

k6產(chǎn)3

【變式8-2](2024?海南?？?模擬預(yù)測)已知cos(a+2/?)=?,tan(a+/?)tanA=—4,寫出符合條件的一個

角a的值為.

【變式8-3](2023?貴州六盤水?模擬預(yù)測)設(shè)a￡/6曲皆，且sina+cosa=V2cos^,則a-0=.

【題型9三角恒等變換的綜合應(yīng)用】

【例9】(2024?上海?模擬預(yù)測)已知函數(shù)f(X)=2cos2y+cos(2x--1.

(1)求函數(shù)f(x)的在[0對上單調(diào)遞減區(qū)間；

(2)若函數(shù)/(x)在區(qū)間[0,m]上有且只有兩個零點，求加的取值范圍.

【變式9-1](2024?重慶?模擬預(yù)測)己知函數(shù)/'(無)=sin(3久+⑴)(3>0,0<⑴<])的最小正周期為m且

八。)=/(*

(1)求f(%)的解析式;

(2)設(shè)g(%)=/(%)+求函數(shù)g(%)在(一也1)內(nèi)的值域.

【變式9-2](2023?河南?模擬預(yù)測)已知函數(shù)/(%)=2cosx(sinx+V3cosx)—V3.

⑴若/'(戊+習(xí)=與求/(2"盤)的值；

(2)設(shè)g(x)=/(乂+①+/(乂一已)—“(久+總)/(刀_)求函數(shù)9(久)的最小值.

【變式9-3](2024?云南?模擬預(yù)測)已知函數(shù)/'(x)=4sintoxsin(a)x+§-百的相鄰兩條對稱軸之間的距

離為泉

⑴求函數(shù)八久)在區(qū)間S有上的值域；

(2)在銳角△ABC中，角力，B,C的對邊分別為a,b,c,且/(A)=百，V2a=43b,c=V6+V2,求△ABC

的面積.

?過關(guān)測試

一、單選題

1.(2024?四川宜賓?模擬預(yù)測)若cos(a—§+cosa=—1,貝!]cos(a—e)=()

V3?V3「275c2遮

AA.-------D.—C.-----D.------

3333

2.(2024?福建泉州?模擬預(yù)測)已知sin(a-S)=2cos(a+S),tan(a—S)=；,則tana—tan￡=()

A-1B-1c-iD-1

3.(2024?福建泉州?模擬預(yù)測)若a/e(0,n),且胃乎=sin(￡—：)[tan(：+0)+1],則()

A.a=6B.a=2pC.a+/?=]D.a+/?=n

4.(2024?陜西安康?模擬預(yù)測)若sin(a—20。)=^^萬，貝!|sin(2a+5(T)=()

tan20—V3

1177

A.-B.--C.--D.-

8888

5.(2024?江西宜春?模擬預(yù)測)已知aE仔,用，tang+a)=[tang-a),則;;黑=()

A.6+4V2B.6-4V2C.17+12V2D.17-12V2

6.(2024?陜西安康?模擬預(yù)測)已知a,0e(O,3,且sin/?=cos(a+0)sina,則黑泮黑的值為()

A.1B.|C.|D.-警

7.(2024?黑龍江雙鴨山,模擬預(yù)測)已知a,。6cos2a-sin2a=：,且3sin￡=sin(2a+/?),則a+0

的值為()

A.—B.-C.-D.-

12643

8.(2024?天津北辰?三模)已知函數(shù)/(久)=V^sin2%cos2x+cos?2%,則下列結(jié)論不正確的是()

A./(%)的最小正周期為］

B.八久)的圖象關(guān)于點管,()對稱

C.若f(x+t)是偶函數(shù)，貝i］t=S+F，fcez

124

D.f(x)在區(qū)間［0周上的值域為［0,1］

二、多選題

9.(2024?河南周口?模擬預(yù)測)設(shè)a6(0,鐘，06(05),則下列計算正確的是()

A.cos(a+S)Vcos(a—B)

B.若sin(a+2)cos(a+2)=—工，貝！Jtana=2

446

C.若tana+tan夕=」一，貝!j2夕一a=巳

cosa2

D.若cos2a+J_=0,則a+0=2i

1+sin2atan￡14

10.(2023?遼寧大連?一模)在△ABC中，若tan等=sinC,則下列結(jié)論正確的是()

A.—=1B.0<sinA+sinB<V2

tanF

C.sin2>l+COS2B=1D.cos27l+cos2B=sin2c

11.(2024?江西?二模)已知函數(shù)/(%)=Hsincoxcosa%-siMa%+g(a>0),則下列說法正確的是()

A.若3