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文檔簡介
專題15排列組合
——題型一:相鄰問題0、易錯點:相鄰與不相鄰問題處理方法不當致誤
——題型二:不相鄰問題易錯點:“捆綁法"中忽略了"內醐例"或"整體列"
排列組合------題型三:排列組合綜合司、易錯點:忽概例數(shù)、組合數(shù)公式的隱含條件
——題型四:力口法與乘法原理易錯點:實際問題不清楚導致計算重復或者遺漏致誤
——題型五:相同元素與不同元素分配問題易錯點:均勻分組與不均勻分組混淆致誤
易錯點一:相鄰與不相鄰問題處理方法不當致誤(相鄰問題)
相鄰問題
技巧總結
相鄰問題
1、思路:對于相鄰問題,一般采用“捆綁法”解決,即將相鄰的元素看做是一個整體,在于其他元素放在
一起考慮.如果設計到順序,則還應考慮相鄰元素的順序問題,再與其他元素放在一起進行計算.
2、解題步驟:
第一步:把相鄰元素看作一個整體(捆綁法),求出排列種數(shù)
第二步:求出其余元素的排列種數(shù)
第三步:求出總的排列種數(shù)
易錯提醒:排列組合實際問題主要有相鄰問題和不相鄰問題。(1)相鄰問題捆綁法(把相鄰的若干個特殊
元素“捆綁”為一個大元素,然后再與其余“普通元素”全排列,最后再“松綁”,將特殊元素在這些位置上全排
列);
(2)不相鄰(相間)問題插空法(某些元素不能相鄰或某些元素要在某特殊位置時可采用插空法,即先安
排好沒有限制條件的元素,然后再把有限制條件的元素按要求插入排好的元素之間);
三當
例、現(xiàn)有8個人排成一排照相,其中甲、乙、丙3人不能相鄰的排法有()
A.A「A;種B.(A:-A?A;)種
C.A;種D.(A;-A3種
變式1:加工某種產品需要5道工序,分別為A,B,C,D,E,其中工序A,8必須相鄰,工序C,。不能
相鄰,那么有()種加工方法.
A.24B.32C.48D.64
變式2:中國航天工業(yè)迅速發(fā)展,取得了輝煌的成就,使我國躋身世界航天大國的行列.中國的目標是到2030
年成為主要的太空大國.它通過訪問月球,發(fā)射火星探測器以及建造自己的空間站,擴大了太空計劃.在航天
員進行的一項太空實驗中,要先后實施6個程序,其中程序A只能出現(xiàn)在第一步或最后一步,程序8和C
實施時必須相鄰,請問實驗順序的編排方法共有()
A.24種B.48種C.96種D.144種
變式3:為推動黨史學習教育各項工作扎實開展,營造“學黨史、悟思想、辦實事、開新局”的濃厚氛圍,某
校黨委計劃將中心組學習、專題報告會、黨員活動日、主題班會、主題團日這五種活動分5個階段安排,
以推動黨史學習教育工作的進行,若主題班會、主題團日這兩個階段相鄰,且中心組學習必須安排在前兩
階段并與黨員活動日不相鄰,則不同的安排方案共有()
A.10種B.12種C.16種D.24種
1.2023年杭州亞運會期間,甲、乙、丙3名運動員與5名志愿者站成一排拍照留念,若甲與乙相鄰、丙不
排在兩端,則不同的排法種數(shù)有()
A.1120B.7200C.8640D.14400
2.六名同學暑期相約去都江堰采風觀景,結束后六名同學排成一排照相留念,若甲與乙相鄰,丙與丁不相
鄰,則不同的排法共有()
A.48種B.72種C.120種D.144種
3.把二項式的所有展開項重新排列,記有理項都相鄰的概率為p,有理項兩兩不相鄰的概率為q,
則"=()
q
A.5B.-C.4D.一
54
4.A,B,C,D,E,E六人站成一排,滿足A,8相鄰,C,。不相鄰的不同站法的種數(shù)為()
A.48B.96C.144D.288
5.2023年5月21日,中國羽毛球隊在2023年蘇迪曼杯世界羽毛球混合團體錦標賽決賽中以總比分3:0戰(zhàn)
勝韓國隊,實現(xiàn)蘇迪曼杯三連冠.甲、乙、丙、丁、戊五名球迷賽后在現(xiàn)場合影留念,其中甲、乙均不能
站左端,且甲、丙必須相鄰,則不同的站法共有()
A.18種B.24種C.30種D.36種
6.為配合垃圾分類在學校的全面展開,某學校舉辦了一次垃圾分類知識比賽活動.高一、高二、高三年級分別
有1名、2名、3名同學獲一等獎.若將上述獲一等獎的6名同學排成一排合影,要求同年級同學排在一起,則
不同的排法共有()
A.18種B.36種C.72種D.144種
7.甲、乙兩個家庭周末到附近景區(qū)游玩,其中甲家庭有2個大人和2個小孩,乙家庭有2個大人和3個小
孩,他們9人在景區(qū)門口站成一排照相,要求每個家庭的成員要站在一起,且同一家庭的大人不能相鄰,
則所有不同站法的種數(shù)為()
A.144B.864C.1728D.2880
8.某駕校6名學員站成一排拍照留念,要求學員A和8不相鄰,則不同的排法共有()
A.120種B.240種C.360種D.480種
9.某高鐵動車檢修基地庫房內有共5條并行的停車軌道線,每條軌道線只能停一列車,現(xiàn)有動車01,02、
高鐵01,02,03共五列車入庫檢修,若已知兩列動車安排在相鄰軌道,則動車01停放在A道的概率為()
A.—B.-C.—D.—
45810
10.班長邀請A民四位同學參加圓桌會議.如圖,班長坐在⑤號座位,四位同學隨機坐在①②③④四
個座位,則A3兩位同學座位相鄰的概率是()
①
1
B.
3
2
D.
3
11.將3名男生,2名女4要求男生甲必須站在中間,2名女生必須相鄰的排法種數(shù)有()
A.4種B.12D.
12.5名同學排成一排,其中甲、乙、丙三人必須排在一起的不同排法有()
A.70種B.72種C.36種D.12種
13.現(xiàn)有2名男生和3名女生,在下列不同條件下進行排列,則()
A.排成前后兩排,前排3人后排2人的排法共有120種
B.全體排成一排,女生必須站在一起的排法共有36種
C.全體排成一排,男生互不相鄰的排法共有72種
D.全體排成一排,甲不站排頭,乙不站排尾的排法共有72種
14.甲、乙、丙、丁、戊五人并排站成一排,下列說法正確的是()
A.若甲、乙、丙按從左到右的順序排列,則不同的排法有12種
B.若甲、乙不相鄰,則不同的排法有72種
C.若甲不能在最左端,且乙不能在最右端,則不同的排法共有72種
D.如果甲、乙必須相鄰且乙在甲的右邊,則不同的排法有24種
15.甲乙丙等5人的身高互不相同,站成一排進行列隊訓練,則()
A.甲乙不相鄰的不同排法有48種
B.甲乙中間恰排一個人的不同排法有36種
C.甲乙不排在兩端的不同排法有36種
D.甲乙丙三人從左到右由高到矮的不同排法有20種
16.某學校舉行校園歌手大賽,共有4名男生,3名女生參加,組委會對他們的出場順序進行安排,則下列
說法正確的是()
A.若3個女生不相鄰,則有144種不同的出場順序
B.若女生甲在女生乙的前面,則有2520種不同的出場順序
C.若4位男生相鄰,則有576種不同的出場順序
D.若學生的節(jié)目順序已確定,再增加兩個教師節(jié)目,共有72種不同的出場順序
17.某校高二年級安排甲、乙、丙三名同學到A,B,C,D,E五個社區(qū)進行暑期社會實踐活動,每名同學只
能選擇一個社區(qū)進行實踐活動,且多名同學可以選擇同一個社區(qū)進行實踐活動,則下列說法正確的有()
A.如果社區(qū)A必須有同學選擇,則不同的安排方法有61種
B.如果同學甲必須選擇社區(qū)A,則不同的安排方法有50種
C.如果三名同學選擇的社區(qū)各不相同,則不同的安排方法共有60種
D.如果甲、乙兩名同學必須在同一個社區(qū),則不同的安排方法共有20種
18.在樹人中學舉行的演講比賽中,有3名男生,2名女生獲得一等獎.現(xiàn)將獲得一等獎的學生排成一排合
影,貝U()
A.3名男生排在一起,有6種不同排法B.2名女生排在一起,有48種不同排法
C.3名男生均不相鄰,有12種不同排法D.女生不站在兩端,有108種不同排法
19.甲,乙,丙,丁,戊五人并排站成一排,下列說法正確的是()
A.如果甲,乙必須相鄰且乙在甲的右邊,那么不同的排法有24種
B.最左端只能排甲或乙,最右端不能排甲,則不同的排法共有42種
C.甲乙不相鄰的排法種數(shù)為72種
D.甲乙丙按從左到右的順序排列的排法有40種
20.(多選)把5件不同產品A,B,C,D,E擺成一排,貝U()
A.A與8相鄰有48種擺法
B.4與C相鄰有48種擺法
C.A,8相鄰又A,C相鄰,有12種擺法
D.A與2相鄰,且A與C不相鄰有24種擺法
21.甲、乙、丙、丁四名同學和一名老師站成一排合影留念.要求老師必須站在正中間,且甲同學不與老
師相鄰,則不同的站法種數(shù)為()
A.…B.A”C;A;C.C;C;A;D.夫
易錯點二:“捆綁法”中忽略了“內部排列”或“整體列”
(不相鄰問題)
不相鄰強
技巧總結
1.思路:對于不相鄰問題一般采用“插空法”解決,即先將無要求的元素進行全排列,然后將要求不相鄰
的元素插入到已排列的元素之間,最后進行計算即可
2.解題步驟:
①先考慮不受限制的元素的排列種數(shù)
②再將不相鄰的元素插入到已排列元素的空當種(插空法),求出排列種數(shù)
③求出總的排列種數(shù)
易錯提醒:處理相鄰問題的基本方法是“捆綁法”,即把相鄰的若干個特殊元素“捆綁”為一個元素,然后與其
余元素全排列,最后“松綁”,將特殊元素在這些位置上全排列.處理不相鄰問題的基本方法是“插空法”,即
先安排好沒有限制條件的元素,然后把有限制條件的元素按要求插入到排好的元素之間.但應該注意插入
的元素之間如果也有順序,應先進行排列.
例、有3名男生,4名女生,在下列不同條件下,求不同的排列方法的總數(shù).
(1)全體排成一行,其中男、女生各站在一起;
(2)全體排成一行,其中男生必須排在一起.
變式1:為推動黨史學習教育各項工作扎實開展,營造“學黨史、悟思想、辦實事、開新局”的濃厚氛圍,某
校黨委計劃將中心組學習、專題報告會、黨員活動日、主題班會、主題團日這五種活動分5個階段安排,
以推動黨史學習教育工作的進行,若主題班會、主題團日這兩個階段相鄰,且中心組學習必須安排在前兩
階段并與黨員活動日不相鄰,則不同的安排方案共有()
A.10種B.12種C.16種D.,24種
變式2:甲,乙、丙、丁、戊共5人隨機地排成一行,則甲、乙相令R,丙、丁不相鄰的概率為(
1-1-15
A.—B.C.-D.
543,12
變式3:某地元旦匯演有2男3女共5名主持人站成一排,則舞臺站位時男女間隔的不同排法共有()
A.12種B.24種C.72種D.120種
1.4名男生和3名女生排隊(排成一排)照相,下列說法正確的是()
A.若女生必須站在一起,那么一共有A;A;種排法
B.若女生互不相鄰,那么一共有A;A:種排法
C.若甲不站最中間,那么一共有種排法
D.若甲不站最左邊,乙不站最右邊,那么一共有A;-2A:種排法
2.某校文藝匯演共6個節(jié)目,其中歌唱類節(jié)目3個,舞蹈類節(jié)目2個,語言類節(jié)目1個,則下列說法正確
的是()
A.若以歌唱類節(jié)目開場,則有360種不同的出場順序
B.若舞蹈類節(jié)目相鄰,則有120種出場順序
C.若舞蹈類節(jié)目不相鄰,則有240種不同的出場順序
D.從中挑選2個不同類型的節(jié)目參加市藝術節(jié),則有11種不同的選法
3.現(xiàn)將8把椅子排成一排,4位同學隨機就座,則下列說法中正確的是()
A.4個空位全都相鄰的坐法有120種
B.4個空位中只有3個相鄰的坐法有240種
C.4個空位均不相鄰的坐法有120種
D.4個空位中至多有2個相鄰的坐法有900種
4.有甲、乙、丙、丁、戊五位同學,下列說法正確的是().
A.若五位同學排隊要求甲、乙必須相鄰且丙、丁不能相鄰,則不同的排法有12種
B.若五位同學排隊最左端只能排甲或乙,最右端不能排甲,則不同的排法共有42種
C.若甲、乙、丙三位同學按從左到右的順序排隊,則不同的排法有20種
D.若甲、乙、丙、丁四位同學被分配到三個社區(qū)參加志愿活動,每個社區(qū)至少一位同學,則不同的分
配方案有36種
5.現(xiàn)將9把椅子排成一排,5位同學隨機就座,則下列說法中正確的是()
A.4個空位全都相鄰的坐法有720種
B.4個空位中只有3個相鄰的坐法有1800種
C.4個空位均不相鄰的坐法有1800種
D.4個空位中至多有2個相鄰的坐法有9000種
6.現(xiàn)有3位歌手和4名粉絲站成一排,要求任意兩位歌手都不相鄰,則不同的排法種數(shù)可以表示為()
A.A;-A;A;A:-A;A:B.A:A:
C.A;-A;A;A:-C;A;A;A:D.A:A:
7.為弘揚我國古代的“六藝文化”,某夏令營主辦單位計劃利用暑期開設“禮”、“樂”、“射”、“御”、“書”、“數(shù)”
六門體驗課程,每周一門,連續(xù)開設六周,則下列說法正確的是()
A.某學生從中選2門課程學習,共有15種選法
B.課程“樂”“射”排在不相鄰的兩周,共有24。種排法
C.課程“御”“書”“數(shù)”排在相鄰的三周,共有144種排法
D.課程“禮”不排在第一周,也不排在最后一周,共有480種排法
8.有甲、乙、丙等6名同學,則說法正確的是()
A.6人站成一排,甲、乙兩人不相鄰,則不同的排法種數(shù)為480
B.6人站成一排,甲、乙、丙按從左到右的順序站位,則不同的站法種數(shù)為240
C.6名同學平均分成三組到A、B、C工廠參觀(每個工廠都有人),則有90種不同的安排方法
D.6名同學分成三組參加不同的活動,甲、乙、丙在一起,則不同的分組方法有6種
9.有甲、乙、丙、丁、戊五位同學,下列說法正確的是()
A.若五位同學排隊要求甲、乙必須相鄰且丙、丁不能相鄰,則不同的排法有12種
B.若五位同學排隊最左端只能排甲或乙,最右端不能排甲,則不同的排法共有42種
C.若甲乙丙三位同學按從左到右的順序排隊,則不同的排法有20種
D.若甲、乙、丙、丁四位同學被分配到三個社區(qū)參加志愿活動,每個社區(qū)至少一位同學,則不同的分
配方案有72種
10.4名男生和3名女生排成一排照相,要求男生和男生互不相鄰,女生與女生也互不相鄰,則不同的排法
種數(shù)是()
A.36B.72C.81D.144
11.杭州第19屆亞運會火炬9月14日在浙江臺州傳遞,火炬?zhèn)鬟f路線以“和合臺州活力城市”為主題,全長
8公里.從和合公園出發(fā),途經(jīng)臺州市圖書館、文化館、體育中心等地標建筑.假設某段線路由甲、乙等6
人傳遞,每人傳遞一棒,且甲不從乙手中接棒,乙不從甲手中接棒,則不同的傳遞方案共有()
A.288種B.360種C.480種D.504種
12.A,B,C,D,E五名學生按任意次序站成一排,其中A和B不相鄰,則不同的排法種數(shù)為()
A.72B.36C.18D.64
13.某選拔性考試需要考查4個學科(語文、數(shù)學、物理、政治),則這4個學科不同的考試順序中物理考
試與數(shù)學考試不相鄰的概率為()
A.-B.1C.-D.-
3234
14.現(xiàn)有4男3女共7個人排成一排照相,其中三個女生不全相鄰的排法種數(shù)為()
A.A;A;B.A;-A;A;C.A:A;D.A;-A;
15.黃金分割最早見于古希臘和古埃及.黃金分割又稱黃金率、中外比,即把一條線段分成長短不等的b
兩段,使得長線段。與原線段a+b的比等于短線段b與長線段。的比,即a:(a+b)=6:a,其比值約為
0.618339.…小王酷愛數(shù)學,他選了其中的6,1,8,3,3,9這六個數(shù)字組成了手機開機密碼,如果兩個3
不相鄰,則小王可以設置的不同密碼個數(shù)為()
A.180B.210C.240D.360
易錯點三:忽視排列數(shù)、組合數(shù)公式的隱含條件(排列組合綜合)
1.兩個重要公式
(1)排列數(shù)公式
=7~\=〃(“一1X"-2)........{n-m+l)(n,mcN*,且<n).
\ii-my.
(2)組合數(shù)公式
°”而匕T…且隆〃)
2、要點:C:=……'—加+1)一般用于計算,而c:=J和禺,=冬一般用于證
明、解方程(不等式).
重點:三個重要性質和定理
組合數(shù)性質
(1)對稱性:C;=工=dmeN\且加<n);
組合意義:從九個不同的元素中任取加個元素,則
從幾個不同的元素中任取加個元素后只剩下〃一加個元素了,則從九個不同的元素中任取加個元素與從"
個不同的元素中任取〃-加個元素是等效的.則CT"',故c;二c7".
等式特點:等號兩邊組合數(shù)的下標相同,上標之和等于下標.
應用:①簡化計算,當機〉〃時,通常將計算C:轉化為計算CT,如(^=0=8x7x6=56
23x2x1
②列等式:由C:=C3可得x=y或x+y=",如C;=C3則3=%或3+%=8故x=3或x=5.
(2)Ml=C:+C/T(〃,加eN*,且根<〃);
組合意義:從(n+1)個不同的元素中任取加個元素,則C::「
對于某一元素,只存在著取與不取兩種可能,如果取這一元素,則需從剩下的幾個元素中任取(m-1)個元
素,所以共有C:"T種,如果不取這一元素,則需從剩下的九個元素中任取加個元素,所以共有C:,根據(jù)
分類加法原理:=c;+c:i.
等式特點:下標相同而上標相差1的兩個組合數(shù)之和,等于下標比原下標多1而上標與較大的相同的一個組
合數(shù).
應用:恒等變形
H—-4-1Hn
常見的組合恒等式:C:二C『,c:=-^C£,C:=-C^
mn-mm
C;+C;+1++…+q=B,C;E+c『c:+C『c:+…+c:c;=c:
(3)C°=l.
重點:三個重要性質和定理
組合數(shù)性質
=務=。;喉機eN*,且小n);
(1)對稱性:
21
組合意義:從九個不同的元素中任取加個元素,則c:".
從幾個不同的元素中任取加個元素后只剩下n-加個元素了,則從〃個不同的元素中任取加個元素與從〃
個不同的元素中任取〃一加個元素是等效的.則CT1,故c:=c;f.
等式特點:等號兩邊組合數(shù)的下標相同,上標之和等于下標.
應用:①簡化計算,當機〉4時,通常將計算C:轉化為計算CT"如=0=8x7x6=56
23x2x1
②列等式:由C:=G:,可得無=丁或兀+y=〃,如*=Cj,則3=%或3+*=8故%=3或x=5.
(3)CM=C;+qi(%加eN*,且根<九);
組合意義:從(n+1)個不同的元素中任取加個元素,則
對于某一元素,只存在著取與不取兩種可能,如果取這一元素,則需從剩下的九個元素中任取(加-1)個元
素,所以共有C;"T種,如果不取這一元素,則需從剩下的〃個元素中任取掰個元素,所以共有C:,根據(jù)
分類加法原理:C%=C:+c;-1.
等式特點:下標相同而上標相差1的兩個組合數(shù)之和,等于下標比原下標多1而上標與較大的相同的一個組
合數(shù).
應用:恒等變形
常見的組合恒等式:禺,=紇絲1。丁1,C:=^—C:T,c;f=-c^
mn—mm
C;+C著+c;+2+…+G;=c::;,c:C+c7c:+c『c:+…+c;c;=c,;!+?.
(3)C:=1.
易錯提醒:解排列、組合的綜合問題要注意以下幾點
(1)元素是否有序是區(qū)分排列與組合的基本方法,無序的問題是組合問題,有序的問題是排列問題.
(2)對于有限多個限制條件的復雜問題,應認真分析每個限制條件,然后再考慮是分類還是分步,這是處
理排列、組合的綜合問題的一般方法.
例、解不等式笠<6A:2.
變式1.若C:=C;,則w的值為()
A.7B.8C.9D.10
變式2.計算C;+C;+C;+L+^015的值為()
A?』B.%
C%6TD.C5-l
變式3.若整數(shù)X滿足C;:+3,+2=C?,則X的值為()
A.1B.-1C.1或-1D.1或3
*
1.(x-2)(x-3)(x—4).(x-15)(xeN+,x>15)可表示為()
A.AMB.A匕
C.A;"D.A'
2.已知A:=C:v,貝|〃=)
A.6B.7C.8D.9
3.l-l!+2-2!+3-3!++672-672!除以2019的余數(shù)為()
A.1B.2018C.2017D.前三個答案都不對
4.甲,乙,丙3位同學從即將開設的4門校本課程中任選一門參加,則他們參加的校本課程各不相同的概
率為()
c.A
A.-B.-D.&
84279
5.若A:=12C:,則〃等()
A.8B.4C.3或4D.5或6
6.若3c“=5A:,則正整數(shù)〃=()
A.7B.8C.9D.10
7.一條鐵路有幾個車站,為適應客運需要,新增了機個車站,且知力>1,客運車票增加了62種,則現(xiàn)
在車站的個數(shù)為()
A.15B.16C.17D.18
8.不等式窖<6x窖點的解集為()
A.{2,8}B.{2,6}
C.{7,12}D.{8}
9.若24C:=P,:',貝打〃=.
10.已知A:+A3=xA;:;(〃eN+,〃22),求x的值.
11.解關于正整數(shù)x的不等式?。?P:2.
12.解關于正整數(shù)〃的方程:At+1=140At
,;2
13.已知A:=56C:,.1.(1-2x)=a0+(\x+a2xH--1~0"尤”.求。1+2。2+3。3_|-------的值.
14.(1)解不等式A;<4A}.
(2)若C;+C;+C;+..+C;=55,求正整數(shù)”.
15.(1)若3A:=2A,+6A;,貝5]x=.
(2)不等式C:>C:的解集為.
易錯點四:實際問題不清楚導致計算重復或者遺漏致誤
(加法與乘法原理)
正難則反問題
技巧總結
正難則反排除處理:對于正面不好解決的排列、組合問題,考慮反面(取補集的思想),一般在題目中有字
眼“至多、至少”等體現(xiàn)。
正規(guī)方法:限制(定位)問題優(yōu)先處理:某個(幾個)元素要排在指定位置,可先排這個(幾個)元素,
再排其它元素,或某個(幾個)位置要求排指定元素,可先排這個(幾個)位置,再排其它位置。(即可從
限制元素或限制位置兩方面去考慮。)。
秒殺方法:對立事件處理+韋恩圖解釋
模型:7個同學站隊,要求甲同學不站在排首,乙同學不站在排尾,求站隊的總方案數(shù).
包含合理的方案
破解:①全部方案:'[包含不合理的方案
L甲站在排首的情況:耳(含乙站在排尾的情況)
②其中不合理的方案<2、乙站在排尾的情況:河j含甲站在排首的情況)
3、甲站在排首、乙站在排尾的情況:反
貝(JA;-星-醴+H=3720種方案.
解釋:
Ar\B
易錯提醒:排列、組合問題由于其思想方法獨特,計算量龐大,對結果的檢驗困難,所以我們在解決這類
問題時就要遵循一定的解題原則,如特殊元素原則、位置優(yōu)先原則、先取后排原則、先分組后分配原則、
正難則反原則等,只有這樣我們才能有明確的解題方向.同時,解答組合問題必須心思細膩,考慮周全,
這樣才能做到不重不漏,正確解題.
三
例、有20個零件,其中16個一等品,4個二等品,若從這20個零件中任意取3個,那么至少有1個一等
品的不同取法有多少種?
變式1:四面體的頂點和各棱中點共10個點,在其中取4個不共面點,不同取法有種。
變式2:從5名男醫(yī)生、4名女醫(yī)生中選3名醫(yī)生組成一個醫(yī)療小分隊,要求其中男、女醫(yī)生都有,則不同
的組隊方案共有()
A.70種B.80種C.100種D.140種
變式3:定義“規(guī)范01數(shù)列”卜,}如下:{4“}共有2加項,其中加項為0,加項為1,且對任意左W2機,
。1,出,…,以中0的個數(shù)不少于1的個數(shù)。若m=4,則不同的“規(guī)范01數(shù)列”共有()
A.18個B.16C.14個D.12個
1.高考期間,為保證考生能夠順利進入考點,交管部門將5名交警分配到該考點周邊三個不同路口疏導交
通,每個路口至少1人,至多2人,則不同的分配方染共有()
A.60種B.90種C.125種D.150種
2.某日,甲、乙、丙三個單位被系統(tǒng)隨機預約到A,B,C三家醫(yī)院接種疫苗,每家醫(yī)院每日至多接待兩個
單位.已知A醫(yī)院接種的是只需要打一針的腺病毒載體疫苗,8醫(yī)院接種的是需要打兩針的滅活疫苗,C醫(yī)
院接種的是需要打三針的重組蛋白疫苗,則甲單位不接種需要打三針的重組蛋白疫苗的概率為()
A.-B,-C,-D.-
3355
3.將3張不同的電影票全部分給10個人,每人至多一張,則不同的分法種數(shù)是()
A.1260B.120C.240D.720
4.用數(shù)字3,6,9組成四位數(shù),各數(shù)位上的數(shù)字允許重復,且數(shù)字3至多出現(xiàn)一次,則可以組成的四位數(shù)
的個數(shù)為()
A.81B.48C.36D.24
5.從4名優(yōu)秀學生中選拔參加池州一中數(shù)學、物理、化學三學科培優(yōu)研討會,要求每名學生至多被一學科
選中,則每學科至少要選用一名學生的情況有()種
A.24B.36C.48D.60
6.將5個不同的小球放入3個不同的盒子,每個盒子至少1個球,至多2個球,則不同的放法種數(shù)有()
A.30種B.90種C.180種D.270種
7.哈六中高一學習雷鋒志愿小組共有16人,其中一班、二班、三班、四班各4人,現(xiàn)在從中任選3人,要
求這三人不能是同一個班級的學生,且在三班至多選1人,不同的選取法的種數(shù)為
A.484B.472C.252D.232
8.下列說法正確的是()
A.4名同學選報跑步、跳高、跳遠三個項目,每人報一項,共有81種報名方法
B.4名同學選報跑步、跳高、跳遠三個項目,每項限報一人,且每人至多報一項,共有24種報名方法
C.4名同學爭奪跑步、跳高、跳遠三項冠軍,共有64種可能的結果
D.從0,2中選一個數(shù)字,從1,3,5中選兩個數(shù)字,組成無重復數(shù)字的三位數(shù),其中奇數(shù)的個數(shù)為12
個
9.如圖,線路從A到8之間有五個連接點,若連接點斷開,可能導致線路不通,現(xiàn)發(fā)現(xiàn)AB之間線路不通,
則下列判斷正確的是()
2
1HZLh5
>r_*-4-§
------■
A.至多三個斷點的有19種B.至多三個斷點的有22種
C.共有25種D.共有28種
10.某班有5名同學報名參加校運會的四個比賽項目,計算在下列情況下各有多少種不同的報名方法.
(1)每人恰好參加一項,每項人數(shù)不限;
(2)每項限報一人,每項都有人報名,且每人至多參加一項;
(3)每人限報一項,人人參加了項目,且每個項目均有人參加.
11.已知8件不同的產品中有3件次品,現(xiàn)對它們一一進行測試,直至找到所有次品.
(1)若在第5次測試時找到最后一件次品,則共有多少種不同的測試方法?
(2)若至多測試5次就能找到所有次品,則共有多少種不同的測試方法?
12.杭州亞運會啟動志愿者招募工作,甲、乙等6人報名參加了A、B,C三個項目的志愿者工作,因工作
需要,每個項目僅需1名志愿者,每人至多參加一個項目,若甲不能參加8項目,乙不能參加8、C項
目,那么共有種不同的選拔志愿者的方案.(用數(shù)字作答)
13.某校在高二年級開設選修課,其中數(shù)學選修課開四個班.選課結束后,有四名同學要求改修數(shù)學,但每
班至多可再接收2名同學,那么不同的分配方案有(用數(shù)字作答)
14.某單位有A、B、C、。四個科室,為實現(xiàn)減負增效,每科室抽調2人,去參加再就業(yè)培訓,培訓后這8
人中有2人返回原單位,但不回到原科室工作,且每科室至多安排1人,問共有一種不同的安排方法?
易錯點五:均勻分組與不均勻分組混淆致誤(相同元素與不同元素分配問
題)
不同元素分組分配問題
技巧總結
分組問題與分配問題
I:將“個不同元素按照某些條件分成左組,稱為分組問題.
分組問題共分為3類:不平均分組、平均分組、部分平均分組.
將〃個不同元素按照某些條件分配給人個不同的對象,稱為分配問題.
分配問題共分為2類:定額分配、隨機分配.
區(qū)別:分組問題是組與組之間只要元素個數(shù)相同,是不區(qū)分的.而分配問題即使兩組元素個數(shù)相同,但因對
象不同,仍然是可區(qū)分的,對于分配問題必須先分組后分配.
w分組問題的常見形式及快速處理方逋)
①非均勻不編號分組:九個不同元素分成,〃組,每組元素數(shù)目均不相等,且不考慮各組間的順序,不管是
否分完,其分法種數(shù)為:
N=C;、CM,
(呵+叫)n-(mi+m2+……
如:6個不同的球分為3組,且每組數(shù)目不同,有多少種情況?
Cg-Cs-Cj=6x10x1=60
②均勻不編號分組:將〃個不同元素分成不編號的加組,假定其中「組元素個數(shù)相等,不管是否分盡,其
分法種數(shù)為下(N為非均勻不編號分組的分法種數(shù)).如果再有左組均勻分組,應再除以Af.除的原因為:
如:123456平均分成3組,可能是[1,243,445,6]
也可能是[1,2]、[5,6刊3,4]或者是[5,6此3,4]、[1,2]等,一共有用種不同的組別,但這些組都是一樣的,所以
除以用.
如:A、B、C、。兩兩一組,分兩組,若直接用C1C:=6種,但列舉出來的分別為{[A、聞,仁、。]}、
QA、C][B、。]}、{[A、鳳由、c]}再往下列舉就已經(jīng)重復了.
如:{仍、C][A、£>]}、{仍、D],[A,c]}、{[c、D],[A,聞}.
如:6個不同的球分為3組,且每組數(shù)目相同,有多少種情況?
N=C;CC=90,種數(shù)=a=里=15.
86
③非均勻編號分組:將"個不同元素分成加組,各組元素數(shù)目均不相等,且考慮各組間的順序,其分法種
數(shù)為N-a;'(N為非均勻不編號分組的分法種數(shù))
④均勻編號分組:將〃個不同元素分成機組,各組兀素數(shù)目均相等,且考慮各組間的順序,其分法種數(shù)為
N-Am
-(N為非均勻不編號分組的分法種數(shù)).
易錯提醒:均勻分組和部分均勻分組在計數(shù)過程中易出現(xiàn)重復現(xiàn)象,注意計算公式的應用.重復的次數(shù)是
均勻分組的階乘數(shù),即若有m組元素個數(shù)相等,則分組時應除以加.
三
例、將6本不同的書分給甲、乙、丙、丁4個人,每人至少一本的不同分法共有種.(用數(shù)字作答)
變式1:12名同學分別到三個不同的路口進行車流量的調查,若每個路口4人,則不同的分配方案共有
)種。
>^4
A.C*C;C:B.3墨C;C:C.C^CX12)1284
變式2:將2名教師,4名學生分成2個小組,分別安排到甲、乙兩地參加社會實踐活動,每個小組由1名
教師和2名學生組成,不同的安排方案共有()
A.12種B.10種C.9種D.8種
變式3:某校安排5個班到4個工廠進行社會實踐,每個班去一個工廠,每個工廠至少
安排一個班,不同的安排方法共有種。(用數(shù)字作答)
1.第19屆亞運會將于2023年9月23日在杭州開幕,因工作需要,還需招募少量志愿者.甲、乙等4人
報名參加了“蓮花”、“泳鏡”、“玉琮”三個場館的各一個項目的志愿者工作,每個項目僅需1名志愿者,每人
至多參加一個項目.若甲不能參加“蓮花”場館的項目,則不同的選擇方案共有()
A.6種B.12種C.18種D.24種
2.從2個不同的紅球、2個不同的黃球、2個不同的藍球共六個球中任取2個,放入紅、黃、藍色的三個
袋子中,每個袋子至多放入一個球,且球色與袋色不同,那么不同的放法有()
A.42種B.36種C.72種D.46種
3.陽春三月,草長鶯飛,三個家庭的3位媽媽和1位爸爸帶著3位女寶寶和2位男寶寶共9人踏春.在沿行
一條小溪時,為了安全起見,他們排隊前進,寶寶不排最前面也不排最后面,為了方便照顧孩子,每兩位
大人之間至多排2位寶寶,由于男寶寶喜歡打鬧,由這位爸爸照看且排在2位男寶寶之間.則不同的排法種
數(shù)為()
A.216B.288
C.432D.512
4.甲、乙、丙3位志愿者安排在周一至周五的5天中參加某項志愿者活動,要求每人參加一天且每天至多
安排一人,并要求甲安排在另外兩位前面.不同的安排方法共有()
A.20種B.30種C.50種D.60種
5.杭州亞運會啟動志愿者招募工作,甲、乙等6人報名參加了A、3、C三個項目的志愿者工作,因工作需要,
每個項目僅需1名志愿者,每人至多參加一個項目,若甲不能參加A、3項目,乙不能參加8、C項目,那么
共有()種不同的選拔志愿者的方案.
A.36B.40C.48D.52
6.現(xiàn)有甲、乙、丙3位同學在周一至周五參加某項公益勞動,要求每人參加一天且每天至多安排一人,并要
求甲同學安排在另外兩位前面,則不同的安排總數(shù)為()
A.10B.20C.40D.60
7.甲、乙、丙3位志愿者安排在周一至周五的5天中參加某項志愿者活動,要求每人參加一天且每天至多
安排一人,并要求甲安排在另外兩位前面,不同的安排方法共有()
A.20種B.30種C.40種D.60種
8.甲、乙、丙3位教師安排在周一至周五中的3天值班,要求每人值班1天且每天至多安排1人,則恰好
甲安排在另外兩位教師前面值班的概率是
A.-B.-C.-D.-
3345
9.從2個不同的紅球,2個不同的黃球,2個不同的藍球共6個球中任取2個,放入紅、黃、藍色的三個
袋子中,每個袋子至多放入1個球,且球色與袋色不同,則不同的放法有種.
10.將2枚白棋和2枚黑棋放入一個4x4的棋盤中,使得棋盤的每個方格內至多放入一枚棋子,且相同顏
色的棋子既不在同一行,也不在同一列,如果我們只區(qū)分顏色而不區(qū)分同種顏色的棋子,則不同放法的種
數(shù)為.
11.現(xiàn)有紅、黃、白三種顏色的小球(形狀、大小完全相同)5個,每種顏色至多2個小球,若將這5個小
球排成一排,要求中
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