高考數(shù)學專項復習：不等關系與不等式性質【六大題型】

專題L3不等關系與不等式性質【六大題型】

【新高考專用】

?熱點題型歸納

【題型1不等式性質的應用】......................................................................2

【題型2比較數(shù)(式)的大小】....................................................................3

【題型3證明不等式】.............................................................................5

【題型4利用不等式的性質求目標式的取值范圍】..................................................7

【題型5不等式的綜合問題】......................................................................9

【題型6糖水不等式】............................................................................12

?考情分析

1、不等關系與不等式性質

考點要求真題統(tǒng)計考情分析

高考對不等式的性質的考查比較穩(wěn)定，

一般以選擇題、填空題為主，主要考查

不等式的求解；單獨考查的題目雖然不

(1)等式性質

多，但不等式的相關知識往往可以滲透

(2)比較兩個數(shù)的大小

2022年H卷：第12題，5分到高考的各個知識領域，作為解題工具

(3)理解不等式的性質，并

與函數(shù)、向量、解析幾何、數(shù)列等知識

能簡單應用

相結合，在知識的交匯處命題，是進行

不等式變形、證明以及解不等式的依據(jù)，

是高考考查的一個重點內容.

?知識梳理

【知識點1等式性質與不等式性質】

1.等式的基本性質

性質1如果a=b,那么b=a；

性質2如果a=b,b=c,那么a=c；

性質3如果a=b,那么=

性質4如果a=b,那么ac=bc\

性質5如果a—b,今o,那么@=2

CC

2.不等式的性質

(1)如果a>b,那么b<a；如果b<a,那么Q>6.即a>b=b<a.

(2)如果a>b,b>c,那么q>c.即b>c=>a>c.

(3)如果a>b,那么a+c>b+c.

(4)如果a>bfc>Of那么ac>bc；如果a>b,c<0,那么ac<bc.

(5)如果a>b,c>d,那么a-\-c>b-\-d.

(6)如果a>b>0,c>d>0,那么ac>bd.

⑺如果Q>6>0,那么n>2).

3.比較大小的基本方法

方法

關系作差法作商法

與0比較與1比較

a>ba-b>0—>1(?,>0)或@<l(a,b<0)

bb

a=ba-b=01=l(^0)

a<ba-b=0q<1(。，6>0)或q>l(a,b<0)

bb

【方法技巧與總結】

1.應用不等式的基本性質，不能忽視其性質成立的條件，特別提醒的是在解決有關不等式的判斷題時,

有時可用特殊值驗證法，以提高解題的效率.

2,比較數(shù)（式）的大小常用的方法有作差法、作商法.、直接應用不等式的性質、基本不等式、利用函

數(shù)的單調性，需要靈活運用方法求解.

?舉一反三

【題型1不等式性質的應用】

【例1】（2024?上海楊浦?二模）已知實數(shù)a,b,c,d滿足：a>b>Q>c>d,則下列不等式一定正確的

是（）

A.a+d>b+cB.ad>beC.a+c>b+dD.ac>bd

【解題思路】舉例說明判斷ABD；利用不等式的性質推理判斷C.

【解答過程】對于ABD,取a=2,匕=l,c=-2,d=-4,滿足a>b>0>c>d,

顯然a+d=-2<—1=b+c,ccd=—8V—2=be,ac=-4=bd,ABD錯誤；

對于C,a>b>O>c>d,貝!Ja+c>b+d,C正確.

故選：C.

【變式1-1］（2024?全國?模擬預測）"V0<y”是“（％-丫）2>%2+、2”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【解題思路】由不等式的性質結合充分不必要的條件即可得解.

【解答過程】若（x-y）2=x2+y2-2xy>x2+y2,貝！Jxy<0,所以y<0<x或者x<0<y,

所以"x<0<y”是“（x-y）2>x2+產(chǎn)，的充分不必要條件.

故選：A.

【變式1-2］（2023?上海楊浦?一模）已知實數(shù)a,b滿足a>b,則下列不等式恒成立的是（）

A.a2>b2B.a?>b3C.|a|>\b\D.a-1>b-1

【解題思路】根據(jù)函數(shù)的性質判斷即可.

【解答過程】因為/O）=/,/（x）=田是定義在R上的偶函數(shù)，

所以當實數(shù)a,b滿足a>b時，a2>振,|可>向不一定成立，故A,C不符合題意；

因為/（%）=/是定義在R上單調遞增的奇函數(shù)，

所以當實數(shù)a,b滿足a>b時，則a3>〃，故B符合題意；

因為/'（X）=在（一8,0）,（0,+00）上單調遞減，

所以當實數(shù)a,b滿足a>b時，aT>6T不一定成立，不符合題意.

故選：B.

【變式1-3］（2023?貴州遵義?模擬預測）已知a,6,x均為實數(shù)，下列不等式恒成立的是（）

A.若a<b,則a2°24<62024

D/7rT|.（20242024

B.右a〈b,則?。ü?/p>

2024

C.若Q/024<^,則a<b

D.若a<b,貝|JQ%2024<b%2024

【解題思路】結合特殊值與不等式的性質可求.

【解答過程】A,當。=一2/=1時，（—2）2024>"024,人錯誤；

B,當a=0時，也沒意義，B錯誤；

a

C,由a/°24<6乂2024,知刀2024>0,所以a<6,C正確；

D,當X=0時，a/024<b/024不成立，D錯誤.

故選：C.

【題型2比較數(shù)（式）的大小】

【例2】（2023?湖南?模擬預測）已知正實數(shù)x,y滿足久<y,設。=xe*+y,b-yey+x,c-yex+x（

中e為自然對數(shù)：2.71828…)，則。，b,c的大小關系是()

A.a<c<bB.c<a<bC.c<b<aD.b<c<a

【解題思路】利用作差比較法，結合指數(shù)函數(shù)的單調性可得答案.

【解答過程】因為a=xex+y,b=yey+%,c=yex+x,所以b—c=y(ey—ex)

又y>%>0,e>1,所以e'Ae”,所以b>c；

又c—a=(%—y)+(y—x)ex=(x—y)(l—ex),

又y>%>0,ex>1,所以c>a.

綜上，a<c<b.

故選：A.

【變式2-1](2023?江西?模擬預測)已知logs。>logsb,則下列不等式一定成立的是()

A.y[a<4bB.log5(a—b)>0

C.Sa-b>1D.ac>be

【解題思路】由log5a>log5b可得a>b>0,然后對選項一一分析即可得出答案.

【解答過程】由log5a>log5b可知a>b>0,所以所以A錯誤；

因為a—b>0,但無法判定a—b與1的大小，所以B錯誤；

當cWO時，ac<be,故D錯誤；

因為a—b>0,所以5。-匕>5。=1,故C正確.

故選：C.

【變式2-2](2023?北京東城?一模)已知久V-1,那么在下列不等式中，不成立的是

O1

A.%2-1>0B.x+-<—2C.sinx—%>0D.cosx+%>0

X

【解題思路】利用作差法可判斷A、B選項的正誤，利用正弦、余弦值的有界性可判斷C、D選項的正誤.

綜合可得出結論.

【解答過程】???X<-1,則/一1=(%—1)(%+1)>0,%+工+2=/+2X+1=處之<0,

XXX

又??,sin%、cosxG[—1,1],sinx—x>0,cosx+x<0.

可得：ABC成立，D不成立.

故選：D.

【變式2-3](2024?福建泉州?模擬預測)若c>b>a>0,貝!J()

A.abbc>acbbB.21nb<Ina+Inc

C.CL—>b—D.logc>log^

aba

【解題思路】利用不等式的基本性質，并對選項化簡，轉化，判斷對錯即可.

【解答過程】解：選項A中，由于得=4-758=仁?1>1,所以a5c>a%b成立；故A正確;

選項B中，21nh=Inb2,Ina+Inc=Inac,扶與此大小不能確定,故B錯誤；

選項C中，由于。一：一（b-3=（。-5）（1+京）V0，故C錯誤；

選項D中，令c=l,則log/=log8c=0,故。錯誤.

故選：A.

【題型3證明不等式】

【例3】（2024高三?全國?專題練習）已知a,b為正實數(shù).求證：^-+—>a+6.

ba

【解題思路】根據(jù)題意，化簡得到《+眩-（a+b）=生空坦，結合不等式的性質，即可得證.

baab

【解答過程】證明：因為］+.一（a+b）=a旺氏十加=a2（~）=（j）?a+b）,

baababab

又因為a>0,6>0,所以空斗上絲20,當且僅當a=b時等號成立，

ab

所以j+匕>a+b.

ba

【變式3-1］（22-23高一上?全國?課后作業(yè)）證明下列不等式：

（1）已知a>b,e>f,c>0,求證/—acVe—be

（2）已知。>b>0,cVd<0,求證：苦V小.

【解題思路】（1）（2）利用不等式的基本性質即可證明.

【解答過程】（1）證明：c>0,

???ac>be,?"ac<—be,

又因為e>f,即/<e,

所以/—ac<e—be.

（2）證明：vcVdCO,?,?一”>一工>0；

acac

又a>b>0,T>」，；.中；

acac

【變式3-2］（2023高三?全國?專題練習）證明命題：“若在△ABC中a、仇c分別為角A、B、C所對的邊長,

則上〈捻+W”

aab

【解題思路】由作差法證明白<再由--------<----------------<白證明盤<

1+cl，+:c等+(a+『b—c)=-1+a+b1+a+bl+cz+b1+a+b1+af1+a+b

士+￡

【解答過程】證明：取l+c=d,a+b-c=zn,:c+m_c(d+m)—d(c+m)_m(c-d)

ad+md^d+m)d^d+m)

因為d>c>0,m>0,所以宏之<0,即:<善?

a{a+m)aa+m

匚匕i、ic,c+fa+b—c)a+ba,a

所以---<-------------=------=--------1----------

1+cl+c+(a+b—c)1+a+bl+a+匕1+a+b

aab,b./a,a,a,b

又因為?<___sy_______|----------<_____|-------

1+b1+a+b1+a+b1+a1+b

所以搟+

1+c1+a1+b

【變式3-3](22-23高二下?湖北省直轄縣級單位?期末)若a>b>0,c<d<0,網(wǎng)>|c|

(1)求證：b+c>0；

b+c/a+d

(2)求證:----<-?

(a-c)2----(b—d)2,

(3)在(2)中的不等式中,能否找到一個代數(shù)式，滿足券<所求式<白？若能,請直接寫出該代數(shù)

式；若不能，請說明理由.

【解題思路】(1)根據(jù)b,c的符號去絕對值可證不等式成立;

(2)根據(jù)同向不等式相加和同向同正的不等式可相乘的性質可證明不等式成立;

⑶在°<旨<小的兩邊同時乘以b+c，得蒜<般，在a+d>b+c>。的兩邊同時乘以七,

a+db+cb+ca+d

得所以b+c<…<_____

(b—d)2>(b-d)2'(a-c)2(匕一02(b-d)2'

【解答過程】(1)因為網(wǎng)>|c|,且b>0,c<0,所以b>—c,所以b+c>0.

(2)因為c<d<0,所以—c>—d>0.又因為a>b>0,所以由同向不等式的相加性可將以上兩式相

加得a—c>b—d>0,所以(a—c)2>(b—d)2>0.

11

所以0V(a-c)2V{b—d)2f

因為a>b,d>c,所以由同向不等式的相加性可將以上兩式相加得a+d>b+c.

所以Q+d>b+c>0,

所以由兩邊都是正數(shù)的同向不等式的相乘可得高

<(…產(chǎn)

(3)因為b+c>0,0<-^-2<-i-2，

(a-c)z(b—d)

匕匕I、I

所以Eb+c<,Eb+c，

-1

因為Ovb+c<a+d,——7>0,

(b-dy

所以就<臺,

6[I、]b+cb+ca+d

所'(a-c)2(b-d)2(b-d)2'

所以在(2)中的不等式中，能找到一個代數(shù)式小鼻滿足題意.

(*-d)

【題型4利用不等式的性質求目標式的取值范圍】

【例4】(2023?江蘇南通?模擬預測)已知a—be[0,l],a+be[2,4],則4a-2b的取值范圍是()

A.[1,5]B.[2,7]C.[1,6]D.[0,9]

【解題思路】利用方程組以及不等式的性質計算求解.

【解答過程】設4a—2b=m(a—b)+n(a+h)=(m+ri)a—(m—n)b,

所以fn+〃=3解得[爪=

—n=2tn=1

所以4a—2b=3(a—b)+(a+b),

又a—be[0,1],a+bC[2,4],

所以3(a—b)w[0,3],4a—2bE[2,7],故A,C,D錯誤.

故選：B.

【變式4-1](23-24高一上?山東荷澤?階段練習)已知一l〈X+y4l,1<x-y<3,則3%-2y的取值

范圍是()

A.2<3%—2y<8B.3<3x—2y<8

C.2<3%—2y<7D.5<3%—2y<10

【解題思路】

設3%-2y=m(x+y)-n(x-y)=(m-n)x4-(m+n)y,利用待定系數(shù)法求得皿九，利用不等式的性質

即可求3%-2y的取值范圍.

【解答過程】設3%—2y=m(x+y)—n(x—y)=(m—n)x+(m+n)y,

所以7113解得[“一]，即可得3x—2y=；(x+y)+“x—y),

l/n十71——ZI-yj—___ZL

因為一+第一yW3,

所以2W3%-2y=[(x+y)+|(x-y)<8,

故選：A.

【變式4-2](23-24高三上?湖北?階段練習)已知a<6<c且a+2b+4c=0,貝暇的取值范圍是()

a

A-(一8，-9B.C.(o,i)D.g,l)

【解題思路】根據(jù)題目條件得到a<0,c>0,由?=—"―1和b<c得至上>—由a<b得至暇<1,從而

42a6a

得到答案.

【解答過程】因為a+2b+4c=0,a<b<c,所以a<0,c>0,

由a+2b+4c=0得到c=--a--b,則一工?！へ?gt;0,解得>-

4242a2

由b<c得b<—La—整理得;a<—解得2>—3

4242a6

由a<b得1,

a

綜上，-J<eVL

6a

故選：B.

【變式4-3](2023,廣西南寧?模擬預測)已知函數(shù)/(%)=第2++c,0<x1<l<x2<2,

/(X1)=/(%2)=。，貝昉+2c的取值范圍為()

A.(-2,-1)B.(-2,1)C.(-1,1)D.(-1,2)

【解題思路】先利用一元二次方程根的分布求得關于實數(shù)瓦c的不等式組，再利用不等式的性質即可求得b+

2c的取值范圍

【解答過程】由函數(shù)/(%)=/++。中，/(x1)=f(x2)=0,0<x1<l<x2<2f

可知一元二次方程/+b%+c=0有二相異根，分別位于區(qū)間(0,1)和(1,2)內

(7(0)>o'c>0c>0

則"⑴V0,即1+6+c<0,即b+c<-1

1/(2)>04+2b+c>02b+c>—4

^Cb+c<-l-rzf3(h+c)<-3

由12b+c4'可信Bt—(2b+c)<4

則3(Z)+c)—(2Z?+c)V4—3,即b+2c<1

由X-可得｛3c>0

2b+c>—4

則(2b+c)+3c>-4,貝昉+2c>-2

綜上，b+2c的取值范圍為(-2,1)

故選：B.

【題型5不等式的綜合問題】

【例5】(23-24高一上?上海浦東新?階段練習)解決下列問題：

(1)已知m,nCR,設a=(爪2+1)52+4),b=(mn+2尸.比較a與b的大小;

(2)已知a>b>0,c<d<0,e>0,求證：—<—.

a—cb—d

【解題思路】(1)利用作差法進行求解即可;

(2)利用作差法,結合不等式的性質進行證明即可

【解答過程】(1)a—b=(m2+l)(n2+4)—(jnn+2)2=m2n2+4m2+n2+4—m2n2—4mn—4=

4m2+n2—4mn=(2m—n)2>0=>a—fo>O=>a>b；

(2)ee_e(b-d)-e(a-c)_e(b-d-a+c)_e[(d—d)—(a—c)]

a—cb-d(a—c)(b—d)(a—c)(b—d)(a—c)(b-d)

因為c<d<0,所以一c>-d>0,

因為a>b>0,所以a—c〉b—d>0今(a—c)一(b—d)>0,

因為e>0,所以上—￡=平陪?<on上〈意.

a—cb—a{a—c){b—a)a—cb—a

【變式5-1](2023高一?上海?專題練習)給定無理數(shù)ee(0,1).若正整數(shù)a,b,c,d滿足

(1)試比較三數(shù)三，g5的大??；

b+dba

(2)若bc-ad=l,證明下面三個不等式中至少有一個不成立

①I"股看②I”恕2^^;③卜。|2春

【解題思路】(1)作差法比較大小；

(2)利用反證法，因等又三故可分然與8〈器證明?

bb+dabab+aab+d

【解答過程】(1)由題意可知，所以bc>ad,

ba

所以￡±￡—烏=上%>0,所以￡±￡>9，

7/1b(b+d)b7/1^b+db

a+cc_ad-be<0所以鬻<3

b+dd(b+d)d'b+aa

所以產(chǎn)

(2)證明：由(1)汽<3又？

bb+aaba

若/<吟

假設①9一(2意；②一會2焉了；需一92點都成立,

①③之和可得:2+，

②③之和可得：就r>需2點+—?，

④化簡得02/+-V5bd,⑤化簡得02(2-V5)d2+(2-㈣bd+b2,

由④⑤之和可得：0>2[(3-V5)d2+2(1-V5)hd+2b2]=[(V5-l)d]2-4(V5-l)bd+(2b)2,

即02[(V5-l)d-2b]2,貝%=后，

又a,b,c,d為正整數(shù)，所以[是有理數(shù)，故矛盾；假設不成立

若9<咨且be-ad=l,同理可證下列三個不等式中至少有一個不成立；

b+d

①。一韓康②鬻一。27^^；③點

所以三個不等式中至少有一個不成立.

【變式5-21(23-24高一上?河北保定?階段練習)(1)當pq都為正數(shù)且p+q=l時,試比較代數(shù)式(px+qyY

與p%24-qy2的大小.

(2)已知14%-y<2,3<2%+y44,求4%—y的取值范圍.

【解題思路】(1)利用作差比較法比較大小即可；

(2)先利用％-y,2%+y表示出4%-y,結合式一y,2%+y的范圍可得答案.

【解答過程】(1)(px+qy)2—(px2+qy2)=p(p-l)%2+q(q—l)y2+2pqxy.

因為p+q=l,所以p—1=—q,q—1=—p,

所以(p%+qy)2—(px2+qy2)=—PQ(X2+y2—2xy)=—pq(x—y)2.

因為p，q都為正數(shù)，所以一pq(%-y)2W0,

因此(p%+qy)2<px24-qy2,當且僅當汽=y時等號成立.

(2)由題意可設4%—y=a(%-y)+b(2%+y),

則｛4;"2b,解得&=2,6=1,

l—l=b—a

因為1W%—yW2,3W2%+yW4,

所以2<2(%—y)<4,3<2%+y<4,

則5W4%—y<8.

【變式5-3K23-24高一上?上海普陀?期中)設t是不小于1的實數(shù).若對任意a,bC[一14,總存在c,d€

使得(a+c)(b+d)=1,則稱這樣的t滿足“性質r

(1)分別判斷t>2和1<t<決寸是否滿足“性質1”；

(2)先證明:若u>且〃+u>貝！>1;并由此證明當|<t<2時，對任意a,b6[-1,。，總存在“心G

[-1,t],使得(a+ci)(b+&)N+

(3)求出所有滿足“性質1”的實數(shù)t

【解題思路】(1)分別舉反例證明t>2和1Wt<m時性質1不成立；

(2)先分別就|a-切Wg,|a-訓>g討論證明若a,u2g,且a+u2|,貝！再利用這個結論可得

證；

(3)結合(2)的結論可得解.

【解答過程】(1)iH/t=[—1,t],S=(a+c)(b+d),

假如t>2,則當a=b=t時，對任意c,dE/t，均有SN(t-1)2>1,不滿足要求；

假如則當。=-1,b=2-t時，對任意c,5均有-2<a+c<t—1,l-t<b+d<2,

若Q+C,b+d同正或同負，則S42(t—l)<l,其余情況下總有S40V1,不滿足要求.

(2)先來證明：若〃,uN?，且〃+"之|,則“uNl,同時該結論記為引理.

當也一訓W|時，"V=(^)2-(JT)22(丁一(J=L

當也一切>|時，不妨設UN",則u>〃+|,又〃之3所以〃u>D|)=l.

所以右〃,UNQ,且〃+貝!N1.

下面證當力工2時，對任意a,bE[—1用，總存在“森E[—1用，使得(a+q)(b+盛)21,

若a+b<—則取Q—di——1,此時S=(d—1)(/?—1)—(1—a)(l—b),

其中，1——人之日+0之1,且(1—a)+(1—b)=2—(a+b)N

由引理可得SNL

33

r3\

--Ga+T+-

12Jt2

27

3315

其禮b

a+-+->--

2222

綜上，當53亡42時，對任意a,bE[-1,打，總存在“翁E[-1用，使得(a+q)(b+獺)21.

(3)當2時，當a,be/七時，可取cE4，使得|a+c|WL理由如下：

當ae[一1,1]時，取c=0,則|a+c|=\a\<1；

當ae(l，H時，取。=-1,貝iJlVaWt42,貝ij0<a—lWl,故|a+c|=|a-1|41,

同理，可取deIt,使得|b+d|<1,此時S=(a+c)(b+d)<|a+c|?|&+d|<1,

所以當時，對任意￡[-1,t],總存在c,d￡[-1,打，使得(a+c)(b+d)W1.

結合(2)的結論可得，對任意a,bE[-1,t],總存在c,d￡[-1用，使得(a+c)(b+d)=1.

綜上，所有滿足性質1的實數(shù)te[|,2].

【題型6糖水不等式】

[例6](22-23高一上?貴州六盤水?期末)十六世紀中葉，英國數(shù)學家雷科德在《礪智石》一書中首先把“=”

作為等號使用，后來英國數(shù)學家哈利奧特首次使用“<”和“〉”符號，并逐漸被數(shù)學界接受，不等號的引入對

不等式的發(fā)展影響深遠.如糖水在日常生活中經(jīng)常見到，可以說大部分人都喝過糖水.如果a克糖水中含有b

克糖(a>6>0),再添加n克糖(n>0)(假設全部溶解)，糖水變甜了，將這一事實表示為不等式正

確的是()

A.也>2B.

a+naa+na

cb+nbca+na

a+nab+nb

【解題思路】根據(jù)加糖前后糖水濃度的變化即可得答案.

【解答過程】解：由題意可知，加入ri克糖(n>0)后糖水變甜了，

即糖水的濃度增加了，

加糖之前，糖水的濃度為：-；加糖之后，糖水的濃度為：~

aa+n

所以也>2

a+na

故選：A.

【變式6-1](23-24高一上?廣東揭陽?階段練習)已知bg糖水中含有ag糖(b>a>0),若再添加mg糖

完全溶解在其中，則糖水變得更甜了(即糖水中含糖濃度變大).根據(jù)這個事實，下列不等式中一定不成

立的有()

m

Aa一a+mca+m,a+2

A.—<---B.---<----

?bb+mb+mb+2m

2i

C.(a+2.171)(^b+TH)V(a+m)(b+2TTI)D.--V^a-i

【解題思路】根據(jù)題意得三<產(chǎn)，進而根據(jù)？<產(chǎn)依次討論各選項即可得答案.

bb+mbb+m

【解答過程】對于A選項，由題意可知？<產(chǎn)，故正確；

bb+m

對于B選項，因為0<小<2『所以誓=故正確；

b+mb+m+2,H—mb+2,H

對于C選項，由？v?”可得（四v進而得（a+2m）（b+zn）>（a+m）（b+2m）,故錯誤；

bb+mb+mb+2m

對于D選項，/<曰=*<擊，故正確?

故選：C.

【變式6-21（22-23高一上?廣東東莞?階段練習）（1）已知6克糖水中含有a克糖（b>a>0）,再添加根克糖（爪>0）

（假設全部溶解），糖水變甜了.請將這一事實表示為一個不等式，并證明這個不等式成立.

（2）東東和華華拿著錢去超市買糖，超市里面提供兩種糖：力種糖每千克pi元，B種糖每千克「2元（兩種糖

價格不相等）.東東買了相同質量的兩種糖，華華買了相同價錢的兩種糖.請問兩人買到糖的平均價格分別是

多少？誰買的糖的平均價格比較高？請證明你的結論.（物品的平均價格=物品的總價錢+物品的總質量）

【解題思路】（1）根據(jù)糖在糖水中所占的比例的變化可得出不等式，再利用作差法可證得結論成立；

（2）求出兩人買到的糖的平均價格，利用作差法可得出結論.

【解答過程】解：（1）b克糖水中含有a克糖（b>a>0）,則糖在糖水中所占的比例為今

再添加M克糖（巾>0）（假設全部溶解）,則糖在糖水中所占的比例黑,

糖水變甜了，說明加糖后，糖在糖水中所占的比例變大了，即有黑瑕，證明如下:

m+aa(m+a)6—(m+b)am(b—a)、八i?n+a、a

----------------------------=〉U,則mi〉—：

m+bbb(m+b)b(m+b)-------m+bb

（2）對于東東而言，他買到的糖的平均價格為號（元/千克），

對于華華而言，設華華買兩種糖的費用均為c元，則他買到的糖的總質量為上+?千克，

PlP2

故華華買到的糖的平均價格為3=呼（元/千克），

港+逅P1+P2

中-呼=粵三/>0,即東東買到的糖的平均價格較高.

2P1+P22（P1+P2）

【變式6-3］（22-23高一上?江蘇蘇州?階段練習）已知她糖水中有ag糖（6>a>0）,往糖水中加入mg

糖（m>0）,（假設全部溶解）糖水更甜了.

（1）請將這個事實表示為一個不等式，并證明這個不等式.

⑵利用（1）的結論證明命題：“若在△ABC中a、6、c分別為角/、B、C所對的邊長，貝匕亍<3+3”

【解題思路】（1）根據(jù)題意直接寫出答案，利用作差法證明該不等式;

（2）利用三角形的三邊關系和放縮法即可證明.

【解答過程】（1）由題可得，汴惡

ab+am—ab—bm

證明：因為7—魯b>a>0,m>0,

bb+mb(b+m)b(b+m)'

所以，a—b<0,b+m>0,從而晟—F^<0,即？<

bb+mbb+m

（2）由三角形三邊關系，可得a+b>c,而函數(shù)y=W=l-2,為單調遞增函數(shù),

.cvc+(a+b-c)a+ba,b

---------=------------1,

1+cl+c+(a+b—c)1+a+b----1+a+b-----1+a+b

a<ab<b

1+a+b1+a1+a+b1+b

AA_B

1+a+b1+a+b

ab

所以，上<---1.

1+a----1+b

?過關測試

一、單選題

1.（2024?全國?模擬預測）已知x>y,則下列不等式正確的是（）

A.l-x<l—yB.x2>y2C.|||>1D.xz>yz

【解題思路】利用不等式的性質可判斷A項正確，D項錯誤，通過舉反例可說明B,C兩項錯誤.

【解答過程】?；x>y,x<-y,x+1<—y+LBP1-x<1—y,故選項A正確；

當％=-1,?=一2時，滿足久〉y,但/=l,y2=4,此時%2<必，|^|=|Z1|=|<1,故選項B,C錯誤;

當z<0時，由無〉y可得xz<yz,故選項D錯誤.

故選:A.

2.（2024?北京豐臺?二模）若a,beR,且a>b,貝1J（）

A."n—V—B.a2b>ab2

cz2+lb2+l

a+b

C.a2>ab>b2D.a>、—>、bR

2

【解題思路】舉反例即可求解ABC,根據(jù)不等式的性質即可求解D.

【解答過程】由于Q>b,取a=l,b=-1,=*■=a2b=ab2=1,無法得到蔡匕<**，02b>ab2,

故AB錯誤，

22

取a=0,b=—2,則小=Qfab=0,b=4,無法得到/>ab>b,C錯誤，

由于Q>b,貝ij2a>b+a>2b,所以a>>b,

故選：D.

3.（2023?湖南岳陽?模擬預測）已知1Va<3,3VbV6,則二的取值范圍為（）

A.（|,1）B.（2,6）C.（1,6）D.&3）

【解題思路】由不等式的性質即可得解.

【解答過程】因為l<a<3,3<6<6,所以2<2a<6,

62a2

所以工<2<2<2<3.

262a2

故選：D.

4.（2024?江西?模擬預測）已知a,b,c￡R,則下列選項中是“a<b”的一個充分不必要條件的是（）

A.—>B.ac2<be2

ab

C.a3<b3D.3a<3b

【解題思路】根據(jù)充分不必要條件的定義，結合不等式的性質判斷即可.

【解答過程】由回〉可得工>3因為a,b的符號不確定，推不出a<b,故A不滿足題意；

abab

由ac?vbe?,可得a<b,反之當a<b,c=0時不成立，故"ac2<be?”是"a<b”的充分不必要條件，故B

滿足題意；

因為a3Vb30a<b,3a<3ba<b,所以C,D不滿足題意.

故選：B.

5.（2023?湖南岳陽?模擬預測）已知內瓦c為實數(shù)，則下列命題成立的是（）

A.若aVb,則ac<be

B.若a<b,則Q—c>b—c

C.若a|c|>b|c|,則a>b

D.若a>b9則,<—

ab

【解題思路】根據(jù)不等式性質對選項逐一判斷即可得出結論.

【解答過程】對于A,若a<b,當c=0時，不滿足ac<bc,即A錯誤;

對于B,若aVb,則Q—cVb—c,所以B錯誤；

對于C,若a|c|>b|c|,可知cAO,不等式兩邊同時除以|c|,即萼〉誓，可得a>b,即C正確；

\c\\c\

對于D,若a>b,不妨取a=l,b=—1,貝脛=2>]=—2,可得D錯誤；

ab

故選：c.

6.（2023?全國?模擬預測）已知實數(shù)a,b.設甲：義>與乙：§<盧|,則（）

y/a7bbD+3

A.甲是乙的充分不必要條件B.甲是乙的必要不充分條件

C.甲是乙的充要條件D.甲是乙的既不充分也不必要條件

【解題思路】根據(jù)不等式的性質由命題甲可得到b>a>0,作差法可判斷命題乙正確，得出甲是乙的充分

條件；將命題乙變形后分類討論得出甲是乙的不必要條件，即可得出答案.

【解答過程】由連>吃可知a>0,b>0.

所以工>3即b>a>0.

ab

因為k震3(a—b)

b(b+3)

所以寢<0,即￡〈寢.

aD+3bD+3

所以甲是乙的充分條件.

若二〈出，即巴一出=迤也<0,

bb+3bb+3b（b+3）

a—b<0詞/a-b>0

人」+3）>0或+3）<0,

當L2二貝肪>?；蜇?lt;一3,顯然小>W不一定成立;

1b（b4-3）>0VaVb

當二H°n，則一3<b<0,顯然右>去不成立.

（伏。+3J<Uyjay/b

所以甲是乙的不必要條件.

綜上可知，甲是乙的充分不必要條件.

故選：A.

7.（2023?廣東?二模）若。=百++6=有—總c=&+專，則（）

A.a>c>bB.a>b>c

C.c>b>aD.b>c>a

【解題思路】利用作差法比較大小即可得出正確選項.

【解答過程】因為a-c=用-五+>°>所以a>c.c-b=&-遍+奈=

2V2+V3-2V5

因為（2金+遮）2-（2V5）2=4V6-9=V96-V81>0,

且2a+百>0,2*>0,所以2e+國>2通，所以c—b>0,所以c>b.故a>c>尻

故選：A.

8.（2023?陜西?模擬預測）已知一1Va<5,—3<b<l,則以下錯誤的是（）

A.-15<ab<5