高考數(shù)學(xué)專項(xiàng)復(fù)習(xí)：導(dǎo)數(shù)必考?jí)狠S解答題全歸類【十一大題型】（新高考專用解析版）

重難點(diǎn)06導(dǎo)數(shù)必考?jí)狠S解答題全歸類【十一大題型】

【新高考專用】

?題型梳理

【題型1函數(shù)的切線問題】.....................................................................3

【題型2（含參）函數(shù)的單調(diào)性問題】...........................................................8

【題型3函數(shù)的極值、最值問題】..............................................................13

【題型4函數(shù)零點(diǎn)（方程根）問題】...........................................................17

【題型5不等式的證明】......................................................................22

【題型6利用導(dǎo)數(shù)研究不等式恒成立問題】....................................................25

【題型7利用導(dǎo)數(shù)研究能成立問題】...........................................................30

【題型8雙變量問題】........................................................................34

【題型9導(dǎo)數(shù)中的極值點(diǎn)偏移問題】...........................................................39

【題型10導(dǎo)數(shù)與三角函數(shù)結(jié)合問題】..........................................................44

【題型11導(dǎo)數(shù)與數(shù)列不等式的綜合問題】......................................................49

?命題規(guī)律

導(dǎo)數(shù)是高中數(shù)學(xué)的重要考查內(nèi)容，是高考必考的熱點(diǎn)內(nèi)容.從近幾年的高考情況來看，在解答題中試

題的難度較大，主要涉及導(dǎo)數(shù)的幾何意義、函數(shù)的單調(diào)性問題、函數(shù)的極值和最值問題、函數(shù)零點(diǎn)問題、

不等式恒成立與存在性問題以及不等式的證明等內(nèi)容，考查分類討論、轉(zhuǎn)化與化歸等思想，屬綜合性問

題，解題時(shí)要靈活求解.

其中，對(duì)于不等式證明中極值點(diǎn)偏移、隱零點(diǎn)問題和不等式的放縮應(yīng)用這三類問題是目前高考導(dǎo)數(shù)壓

軸題的熱點(diǎn)方向.

?知識(shí)梳理

【知識(shí)點(diǎn)1切線方程的求法】

1.求曲線“在”某點(diǎn)的切線方程的解題策略：

①求出函數(shù)產(chǎn)絲)在產(chǎn)沏處的導(dǎo)數(shù)，即曲線產(chǎn)心)在點(diǎn)(沏加0))處切線的斜率；

②在已知切點(diǎn)坐標(biāo)和切線斜率的條件下，求得切線方程為y=y0+f(x0)(x-x0).

2.求曲線“過”某點(diǎn)的切線方程的解題通法：

①設(shè)出切點(diǎn)坐標(biāo)7的加o))(不出現(xiàn)K)；

②利用切點(diǎn)坐標(biāo)寫出切線方程：y=/(xo)4/(xoXx-xo)；

③將已知條件代入②中的切線方程求解.

【知識(shí)點(diǎn)2導(dǎo)數(shù)中函數(shù)單調(diào)性問題的解題策略】

1.含參函數(shù)的單調(diào)性的解題策略：

(1)研究含參數(shù)的函數(shù)的單調(diào)性，要依據(jù)參數(shù)對(duì)不等式解集的影響進(jìn)行分類討論.

(2)若導(dǎo)函數(shù)為二次函數(shù)式，首先看能否因式分解，再討論二次項(xiàng)系數(shù)的正負(fù)及兩根的大??；若不能因

式分解，則需討論判別式△的正負(fù)，二次項(xiàng)系數(shù)的正負(fù)，兩根的大小及根是否在定義域內(nèi).

2.根據(jù)函數(shù)單調(diào)性求參數(shù)的一般思路：

(1)利用集合間的包含關(guān)系處理：y=/a)在(0力)上單調(diào)，則區(qū)間缶力)是相應(yīng)單調(diào)區(qū)間的子集.

(2求用為增(減)函數(shù)的充要條件是對(duì)任意的讓①必都有f(x)>0(/(x)<0),且在36)內(nèi)的任一非空子區(qū)間

上，/(x)不恒為零，應(yīng)注意此時(shí)式子中的等號(hào)不能省略，否則會(huì)漏解.

(3)函數(shù)在某個(gè)區(qū)間上存在單調(diào)區(qū)間可轉(zhuǎn)化為不等式有解問題.

【知識(shí)點(diǎn)3函數(shù)的極值與最值問題的解題思路】

1.運(yùn)用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)人處極值的一般步驟：

(1)確定函數(shù)兀T)的定義域；

(2)求導(dǎo)數(shù)/(X)；

(3)解方程/(x尸0,求出函數(shù)定義域內(nèi)的所有根；

(4)列表檢驗(yàn)/(x)在/(x)=0的根XQ左右兩側(cè)值的符號(hào);

⑸求出極值.

2.根據(jù)函數(shù)極值求參數(shù)的一般思路：

已知函數(shù)極值，確定函數(shù)解析式中的參數(shù)時(shí)，要注意：根據(jù)極值點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)為0和極值這兩個(gè)條件列方

程組，利用待定系數(shù)法求解.

3.利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)最值的解題策略：

⑴利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)/)在口用上的最值的一般步驟：

①求函數(shù)在(a,b)內(nèi)的極值；

②求函數(shù)在區(qū)間端點(diǎn)處的函數(shù)值八°),?；

③將函數(shù)人x)的各極值與人a),人力比較，其中最大的一個(gè)為最大值，最小的一個(gè)為最小值.

(2)求函數(shù)在無窮區(qū)間(或開區(qū)間)上的最值的一般步驟：

求函數(shù)在無窮區(qū)間(或開區(qū)間)上的最值，不僅要研究其極值情況，還要研究其單調(diào)性，并通過單調(diào)性

和

極值情況，畫出函數(shù)的大致圖象，然后借助圖象觀察得到函數(shù)的最值.

【知識(shí)點(diǎn)4導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用】

1.導(dǎo)數(shù)中的函數(shù)零點(diǎn)(方程根)問題

利用導(dǎo)數(shù)研究含參函數(shù)的零點(diǎn)(方程的根)主要有兩種方法：

(1)利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)於)的最值，轉(zhuǎn)化為段)圖象與x軸的交點(diǎn)問題，主要是應(yīng)用分類討論思想解決.

(2)分離參變量，即由兀0=0分離參變量，得斫且⑴，研究產(chǎn)。與尸g(x)圖象的交點(diǎn)問題.

2.導(dǎo)數(shù)中的不等式證明

(1)一般地，要證外)>g(x)在區(qū)間(a,6)上成立，需構(gòu)造輔助函數(shù)尸(?=危)一g(x),通過分析尸(x)在端

點(diǎn)處的函數(shù)值來證明不等式.若F(a)=0,只需證明尸(x)在(a,3上單調(diào)遞增即可；若尸(6)=0,只需證明

F(x)在(a,6)上單調(diào)遞減即可.

(2)在證明不等式中，若無法轉(zhuǎn)化為一個(gè)函數(shù)的最值問題，可考慮轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)的最值問題.

3.導(dǎo)數(shù)中的恒成立、存在性問題

解決不等式恒(能)成立問題有兩種思路:

（1）分離參數(shù)法解決恒（能）成立問題，根據(jù)不等式的性質(zhì)將參數(shù)分離出來，得到一個(gè)一端是參數(shù)，另

一端是變量表達(dá)式的不等式，構(gòu)造函數(shù)，直接把問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題，即可解決問題.

（2）分類討論法解決恒（能）成立問題，將恒成立問題轉(zhuǎn)化為最值問題，此類問題關(guān)鍵是對(duì)參數(shù)進(jìn)行分

類討論，在參數(shù)的每一段上求函數(shù)的最值，并判斷是否滿足題意，據(jù)此進(jìn)行求解即可.

4.導(dǎo)數(shù)中的雙變量問題

破解雙參數(shù)不等式的方法：

一是轉(zhuǎn)化，即由已知條件入手，尋找雙參數(shù)滿足的關(guān)系式，并把含雙參數(shù)的不等式轉(zhuǎn)化為含單參數(shù)的

不等式；

二是巧構(gòu)函數(shù)，再借用導(dǎo)數(shù)，判斷函數(shù)的單調(diào)性，從而求其最值；

三是回歸雙參的不等式的證明，把所求的最值應(yīng)用到雙參不等式，即可證得結(jié)果.

5.極值點(diǎn)偏移的相關(guān)概念

所謂極值點(diǎn)偏移，是指對(duì)于單極值函數(shù)，由于函數(shù)極值點(diǎn)左右的增減速度不同，使得函數(shù)圖像沒有對(duì)

稱性.

極值點(diǎn)偏移的定義：對(duì)于函數(shù)在區(qū)間伍力）內(nèi)只有一個(gè)極值點(diǎn)看,方程/a）的解分別為

Xpx2且Q<匹<<b

、1+%2J%

（i）若2°,則稱函數(shù)在區(qū)間a，/）上極值點(diǎn)/偏移；

匹+一2〉/

（2）若2°,則函數(shù)V=/（x）在區(qū)間（下，》2）上極值點(diǎn)X。左偏，簡稱極值點(diǎn)X。左偏；

X1+-2—0

（3）若2°,則函數(shù)V=/（x）在區(qū)間（下，》2）上極值點(diǎn)X。右偏，簡稱極值點(diǎn)X。右偏.

?舉一反三

【題型1函數(shù)的切線問題】

[例1](2023?河南?統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè))已知函數(shù)/(無)=a(e%-l)-lnx.

(1)當(dāng)a=1時(shí)，求”外的圖象在點(diǎn)(1/(1))處的切線方程；

(2)當(dāng)。之1時(shí)，證明：/(%)>sinx.

【解題思路】(1)分別求出八1)/(1),再利用直線的點(diǎn)斜式方程即可求解；

(2)利用作差法并構(gòu)造函數(shù)g(%)=e”-l-ln%-sin%,并利用二次導(dǎo)數(shù)求出雇觀^>。恒成立，即可求解.

【解答過程】⑴當(dāng)a=l時(shí)，/(x)=ex-1-Inx,貝=

所以f(l)=e-l,又因?yàn)?(l)=e-l,

故所求切線方程為y-(e-1)=(e-l)(x-1),即、=(e-l)x.

(2)因?yàn)?(%)的定義域是(0,+8),

所以當(dāng)a>1時(shí)，/(x)-sinx=a(e%-1)-Inx-sinx>e%-1-Inx-sinx

設(shè)g(%)=e%-1-Inx-sinx,貝Ug(x)=e%-1-cosx,

設(shè)h(%)=g(x)=excosx,則h(%)=e'+[+sinx>0在(0,+8)上恒成立，

XX

1

所以h(%)在(0,+8)上是增函數(shù)，則=-3-cos1<0,

nIT

又因?yàn)閺?e"-：-sin1,因?yàn)閑">2.7^>16=2匕所以e">2,

又因?yàn)槿?sin^<?1.984<2,所以>0,

所以九0)在Q9上存在唯一零點(diǎn)汽°,也是M%)在(0,+8)上的唯一零點(diǎn)，

Z>.XQ1XQ1

所以/i(%o)=e---cosx0=0,即e=—+cos%0，

當(dāng)0<久<%0時(shí)，g(%)<0,g(%)在(Ox。)上單調(diào)遞減,

當(dāng)%>和時(shí)，g(%)>0,gCr)在(%0,+8)上單調(diào)遞增，

%01

所以g(x)min=g(%0)=eo_lnx0-1-Sinxo=-+cos,-ln%0-1-sinxQ

由于0<和<：,所以[>1,Inx。<0,cos%0>sinx0,

所以gGr)min=g(”o)>°，所以g(x)>0,

所以當(dāng)a21時(shí),/(x)-sinx>0,即/'(x)>sinx成立.

【變式1-1](2023?四川雅安?統(tǒng)考一模)已知函數(shù)/(久)=aex+bx+c在工=ln2時(shí)有極小值.曲線y=f(x)

在點(diǎn)(0/(。))處的切線方程為x+V=0.

⑴求a,b,c的值；

⑵若對(duì)任意實(shí)數(shù)K,/(X)>(e-2)x+nt恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.

【解題思路】(1)對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，利用在x=ln2時(shí)有極小值和在點(diǎn)(0/(0))處的切線方程，即可求出a力,c的

值；

(2)將函數(shù)代入不等式并分離參數(shù)，轉(zhuǎn)化成--ex-l>爪對(duì)任意實(shí)數(shù)x恒成立問題，構(gòu)造函數(shù)g(x)=ex

-ex-l(xe/?),通過討論新函數(shù)的單調(diào)性，求出新函數(shù)的取值范圍，進(jìn)而得出實(shí)數(shù)皿的取值范圍.

【解答過程】(1)由題意，XER,

在/(x)=ae"+bx+c中，f(x)=aex+b,

在％=ln2時(shí)有極小值.曲線y=/(>)在點(diǎn)(0/(0))處的切線方程為x+y=0.

,?(⑹=。fa+c=0,a=1

f(0)=—1即,a+6=—1,b=-2

,/(ln2)=0(2a+b=0c=-1

???f(x)=ex-2x-l,/(%)=ex-2,

當(dāng)％>ln2時(shí)，/(%)>0/(%)在(ln2,+8)上單調(diào)遞增.

當(dāng)久<ln2時(shí)，/(%)<0/(%)在(-8,ln2)上單調(diào)遞減.

當(dāng)久=ln2時(shí)，/(%)=0/(%)在％=ln2時(shí)有極小值.

故。=1力=—2,c=—l符合題意，即為所求.

(2)由題意及(1)得，xER,

在/(%)=aex+b%+c中，/(%)>(e-2)x+m,即e"-ex-12m對(duì)任意實(shí)數(shù)%恒成立，

設(shè)g(%)=不一e久一1(%€R),則g(%)=e%—e.

當(dāng)%>1時(shí)，ex-e>0,則g(%)>0,故g(%)在(1,+8)上單調(diào)遞增；

當(dāng)％<1時(shí)，ex-e<0,則g(%)v0,故g(%)在(-8,1)上單調(diào)遞減；

當(dāng)％=1時(shí),ex-e=0,則g(%)=0,

故％=1時(shí)g(x)有極小值，也就是g(%)的最小值g(l)=-1,

故加工-1即為所求.

2

【變式1-2](2023?廣東?東莞市校聯(lián)考一模)函數(shù)/'(X)=鬢+lnx在x=4處的切線方程為y=h(久).

⑴求h(x)；

(2)已知:<a<l,過(a,b)可作f(x)的三條切線，證明：h(a)<b</(a).

【解題思路】(1)根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可求解；

(2)先求出過①力)的切線方程，根據(jù)過(a力)可作三條切線，得到所證不等式.

-21x-2

【解答過程】(1)/'(久)的定義域(0,+8),/(%)=--+-=

XX

?111

所以f(4)=g，且f(4)=2+ln4=]+21n2,

11

則/(%)在％=4處的切線方程為y--21n2=g(x-4),

1

即h(%)=g%+21n2.

(2)設(shè)切點(diǎn)Q,|+lnt),又/(t)=,

則切線方程為y-(|+Int)=-t),

又過點(diǎn)(a力)，

2xt—2.

(7+IntJ=F(a-t),

2xt-2.

(-+Intj+-^-(a-t),

Lr4t-2

即b=7+Int+-丁a-1,

1t

4t-2

令g(t)=7+Int+~^~a-l,tE(0,+oo),

1t

-41-1+4

3a,

則g(t)=-/+E+t

4tt2-t+4t2-(4+a)t+4a

=，+/+-----------3----------

tttt

(t-4)(t-a)

=~?-'

因?yàn)閠e(0,+8),且］<a<l,所以g(t)在區(qū)間(0,a)單調(diào)遞增，在區(qū)間(a,4)單調(diào)遞減，在區(qū)間(4,+8)單

調(diào)遞增，

_5

,./_耳e—2耳、，、44-2CL

~S*g(e)-4e-5+_10a-1=e(4+a-2ae)-6<0Vg(4)=4+ln4+貨a—1—g-F21n2,

t趨向+8時(shí)g(t)趨向于+8.

又因?yàn)檫^(。力)可作/(%)的三條切線，所以b與g(t)有三個(gè)公共點(diǎn),

所以g(4)V(Vg(a)f

4-4—2a

又9⑷=1+ln4+-rr-a-1=p+21n2>0,

一4loO

根據(jù)(1)ft(x)=+21n2,所以g(4)=，+21n2=h(a),

,、4u—2.2,、

又gw=~+Ina+—-1=-+Ina=fva),

aaa

所以h(a)<b<f(d).

【變式1-3](2023?全國?模擬預(yù)測(cè))已知函數(shù)/'(久)=alnx-(；a-1*之-2x++1.

(1)當(dāng)a=4時(shí)，求/(久)的極值及曲線y=/(X)在點(diǎn)處的切線方程；

(2)若函數(shù)/(久)有兩個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

【解題思路】(1)求導(dǎo)得到單調(diào)區(qū)間，計(jì)算極值，再計(jì)算切線方程得到答案.

(2)求導(dǎo)得到導(dǎo)函數(shù)，確定/(1)=0,考慮aN2,1<a<2,a=l,0<a<1,aWO幾種情況，根據(jù)函

數(shù)的極值結(jié)合零點(diǎn)存在定理計(jì)算得到答案.

【解答過程】(1)當(dāng)a=4時(shí)，/(x)=41nx-x2-2x+3,x6(0,+oo),

Ll//、4-2(%—1)(%+2)

貝1/(%)=M-2%-2=-----------,

令得0<%Vl；令/(%)v。，得%>1,

/(%)在(0,1)上單調(diào)遞增，在(L+8)上單調(diào)遞減，

故/(%)在％=1處取得極大值f(1)=0,無極小值，

/(1)=0,/(1)=0,故曲線y=/(功在點(diǎn)(1/(1))處的切線方程為y=0.

(2)/(%)=[-(a-2)%-2=0"”I%€(0,+8),/⑴=一Q"1)-2+)+1=0,f(1)=0.

①當(dāng)a>2時(shí)，(2-a)x-a<0,

當(dāng)OV%<1時(shí)，/(x)>0,/(%)單調(diào)遞增；

當(dāng)汽>1時(shí)，/(%)<0,/(%)單調(diào)遞減，

所以/(%)4/(1)=0,則/(%)只有一個(gè)零點(diǎn)，不符合題意，舍去.

a.(21)

②當(dāng)1<。<2時(shí)，/(%)=---------------，

令/(%)>0,得第e(o,l)u(￡,+8)；令f(%)<o,得％e(i,乙)，

所以f(%)在(0,1)上單調(diào)遞增，在(1,//上單調(diào)遞減，在島,+8)上單調(diào)遞增.

因?yàn)?(1)=0,所以/(￡)VO，取%1>1且%1>工，

-

則f(%J=a\nx1-Qa-1卜：-2x1+|a+1=^1-1a^x1-2k+aln%]+|a+1>|(1-2k1+a

11

In,+產(chǎn)+1=alnx1+產(chǎn)+1>0,

所以/(占)"(xj<。.因?yàn)?'(x)在Q三,+8)上單調(diào)遞增,

所以由零點(diǎn)存在定理，得存在唯一x()eQ三,+8),使得/(%)=(),

又/⑴=0,此時(shí),函數(shù)人外有兩個(gè)零點(diǎn)，符合題意.

I(X-1)2

③當(dāng)a=1時(shí)，f(X)=--->0,/(X)在(0,+8)上單調(diào)遞增，

則f(x)只有一個(gè)零點(diǎn)，不符合題意，舍去.

a.(2-a)(x-￡)(x-l)

④當(dāng)。<a<1時(shí)，0<YTa<1>fW=---------------，

令/(x)>o,得xe優(yōu)，占)u(1,+8)；令/(x)<o,得比

所以f(%)在伍，尤)上單調(diào)遞增，在(￡,1)上單調(diào)遞減，在(1,+8)上單調(diào)遞增.

因?yàn)?(1)=0,所以且當(dāng)i>1時(shí)，/(x)>0,無零點(diǎn)，

2222222

取0V%2<。。且X2VA。)=alne。-Qa-l)(e-2ea+|a+1<-2+1-|a-2ea+|a+1

2

=-2e-a<0,

則/⑷<0,所以/昆)?/Q三卜0.因?yàn)?(X)在他，金)上單調(diào)遞增,

所以由零點(diǎn)存在定理，可得存在唯一嗎6(。，尤)，使得/(叼)=°，

又f(l)=o,此時(shí)，函數(shù)外公有兩個(gè)零點(diǎn)，符合題意.

⑤當(dāng)aWO時(shí)，(2-加卜-尤)>0,

當(dāng)0<x<l時(shí)，/(%)<0,/■(￡)單調(diào)遞減；

當(dāng)x>l時(shí)，/(x)>0,外幻單調(diào)遞增，

所以/(02/(1)=0,則/(x)只有一個(gè)零點(diǎn)，不符合題意，舍去.

綜上所述：實(shí)數(shù)a的取值范圍為(0,1)U(1,2).

【題型2(含參)函數(shù)的單調(diào)性問題】

【例2】(2023?海南?校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè))已知函數(shù)/G)=xlnx-a，.

(1)當(dāng)a=l時(shí)，討論函數(shù)/(久)的單調(diào)性；

(2)若不等式/(x)>aex+(1-a)/-%恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

【解題思路】(1)當(dāng)a=l時(shí)，對(duì)/(%)求導(dǎo)，令血(久)=/(%)=ln%+0,討論血(%)與0的大小可

得血(%)<0,即/(久)<0,即可得出函數(shù)/(%)的單調(diào)性；

(2)由題意可得a<丑也在(0,+8)上恒成立，設(shè)九(%)=:+：<€(0,+8),只需a<h(%)i,

e"emin

求解即可得出答案.

【解答過程】(1)當(dāng)。=1時(shí)，/(%)=xlnx-x2,x>0,所以/(、)=In%+1-2%,

令m(%)=/(%)=Inx+1-2x,x>0,

_11-2%

可得m(x)=--2

當(dāng)％G(。，時(shí)，m(%)>0,m(%)單調(diào)遞增；

當(dāng)xGQ,+8卜寸，rn(x)<O,m(x)單調(diào)遞減，

所以當(dāng)x時(shí)，爪(x)取得極大值，也為最大值，且爪0=1《+=

所以「(無)<0,所以/(X)在(0,+8)上單調(diào)遞減.

(2)由/(%)>aex+(1-a)x2-x,得ae*<xlnx-%2+%,

即a<Mnx-f+x在(0,+8)上恒成立.

e

./、xlnx-x2+x,，/、(%-l)(x-2-In%)

令h(x)=--------,%€(0,+8),可得fi(%)=------------,

ee

i1jc—1

令9(%)=%-2-ln%,(%)=1--=—,

令9(%)>0,可得％>1；

令cp(x)<0,可得0<%V1,

所以0(%)在91)單調(diào)遞減，在(L+8)單調(diào)遞增，

又g(e3)二屋3一2一Ine-3=e-3+l>0,

9⑴=l-2-lnl=-1<0,

9⑷=4-2-ln4=2-21n2>0,

所以在(e-3,。中存在唯一的》]使得"(xj=0,

在(1,4)中存在唯一的馬使得9(馬)=°，

即有％1-2-In%[=0,x2-2-ln%2=0.

因?yàn)樽?%)在(0,1)單調(diào)遞減，在(1,+8)單調(diào)遞增，

所以當(dāng)時(shí)，(/>(%)>0；當(dāng)久i<%Vl時(shí)，(p(x)<0；

當(dāng)1V%<%2時(shí)，0（%）<0；當(dāng)%>%2時(shí)，0（%）>0.

(x-l)(x-2-Inx)(x-1)</>(%)

又fl(%)=>0,

所以當(dāng)0<%V%i時(shí)，/i(%)<0；當(dāng)?shù)冢軻%V1時(shí)，/i(%)>0；

當(dāng)1V%<%2時(shí)，/i(%)<0；當(dāng)％A/時(shí)，h(%)>0,

所以在(o,比J單調(diào)遞減，在a")單調(diào)遞增，

在(1,%)單調(diào)遞減，在(久2,+8)單調(diào)遞增，

所以Xe(0,1)時(shí)，Mx)的極小值為

xe(l,+8)時(shí),八(動(dòng)的極小值為

%(比2)=

因?yàn)?2-In%1=0,%2-2-ln%2=0,

一x-In%,7XQ-lnx7

129

可得%1-ln%1=2,X2-ln%2=2,所以e=e,e=e,

xiX2XXr

、19

即e或=章e=e2,所ct*i以i工1=石2=e—2?

12ee

代入In%1=%1一2和In%2=4-2，

%1(%1-2)-％j+/x.

則有=

同理可得％(4)=-e-2

所以八(久J=/i(x2),

所以a<二，即實(shí)數(shù)a的取值范圍為(-8,_目.

【變式2-1](2023?黑龍江?校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè))已知函數(shù)/G)=xe：xeR.

(1)求函數(shù)/(工)=xe”單調(diào)區(qū)間；

(2)若過點(diǎn)P(l,t)(teR)可以作曲線y=f(x)的3條切線，求實(shí)數(shù)t的取值范圍.

【解題思路】(1)求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，解不等式，即可求得函數(shù)單調(diào)區(qū)間；

(2)設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為(％,y°),利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線方程，推出方程1=:。(-4+,+1)有三個(gè)不

等實(shí)數(shù)根，構(gòu)造函數(shù)，將方程根的問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)y=t,y=e%(-4+,+：L)圖像的交點(diǎn)問題，利用導(dǎo)數(shù)

判斷函數(shù)的性質(zhì)，作出函數(shù)圖像，數(shù)形結(jié)合，即可求解.

【解答過程】(1)函數(shù)/(x)的定義域?yàn)镽,f'(x)=ex+xex^e\x+l),

令f(x)>0,解得%>-1,所以函數(shù)/(%)的單調(diào)遞增區(qū)間是(-1,+8);

令f(x)<0,解得％<-1,所以函數(shù)/(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是(-8，-1)

(2)由題意可得/(動(dòng)=0+1)-，

設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為(與,%)，則切線斜率卜=(x0+1)-e”,

X

所以切線方程為y-xoe°=(%0+1)-e\x-x0),

%0

將P(Lt)代入得t=e(-%o+x0+1).

因?yàn)榇嬖谌龡l切線，即方程t=e%(-XQ+%0+1)有三個(gè)不等實(shí)數(shù)根，

%0

方程t=e(-+x0+1)有三個(gè)不等實(shí)數(shù)根等價(jià)于函數(shù)y=t,y=e/(-焉+/+1)的圖像有三個(gè)交點(diǎn)，

設(shè)g(x)=(-/+%+1)/,則g(x)=-(x-l)(x+2)ex,

當(dāng)(-2,1)時(shí)，g(x)>0,g(x)在(-2,1)上單調(diào)遞增；

在(-8,-2)和(1,+8)上,g(%)<0,g(x)在(-8,-2)和(1,+8)上單調(diào)遞減,

9(-2)=--i，g⑴=e；

e

.1-A/51+1--\/51+,/、

當(dāng)式<—或％>―2-時(shí)，gw<0,—2—<x<—2時(shí)，g(%)>0,

當(dāng)久->一8時(shí)，g(%)-?0；當(dāng)%7+8時(shí)，g(%)T-8,

畫出g(%)=(-，+乂+l)e”的圖象如圖,

要使函數(shù)y=t,y=+,+1)的圖像有三個(gè)交點(diǎn)，需g⑵<t<0,

即即實(shí)數(shù)t的取值范圍(-R.

【變式2-2](2023?四川成都?統(tǒng)考一模)已知函數(shù)“幻=2『-。孫16兄

(1)討論函數(shù)f(久)的單調(diào)性；

(2)當(dāng)a=e時(shí)，求證：/(%)>e(l-cosx).

【解題思路】(1)求導(dǎo)，然后分QW0和。>0討論分別求單調(diào)性；

(2)當(dāng)久W0時(shí)，通過證明l+1-cos%W0可得結(jié)論；當(dāng)久>0時(shí)，轉(zhuǎn)化為證明2e*T-2%>1-cos%-汽,

不等式兩邊分別構(gòu)造函數(shù)，求出函數(shù)最值即可得結(jié)論.

【解答過程】(1)由已知/(%)=2/-m

當(dāng)QW0時(shí)，/(%)>0恒成立，函數(shù)/(%)在R上單調(diào)遞增；

當(dāng)。>0時(shí)，若/(%)>0,得％>ln,函數(shù)f(%)單調(diào)遞增，

若/(%)<0,得久<ln(,函數(shù)f(%)單調(diào)遞減;

綜上所述：當(dāng)。<0,函數(shù)/(%)在R上單調(diào)遞增，

當(dāng)。>0時(shí)，函數(shù)/(%)在(ln2+8)單調(diào)遞增，在(-8,1《)單調(diào)遞減;

(2)由0=e,f(x)>e(l-cos%)得2e"-ex>e(l-cosx),

即證2e*-i>%+1-cosx,

①當(dāng)無<0時(shí)，設(shè)函數(shù)k(%)=x+1-cosx,

則k(%)=1+sin%>0,k(%)在(-8,0］上單調(diào)遞增，

所以々(%)<MO)=0

所以2e*T>02％+1-cos%成立；

②當(dāng)%>0時(shí)，要證2e*T>%+1-cos%成立，

即證2e“-1-2%>1-cosx-x

設(shè)函數(shù)h(%)=2e"T-2%,%>0,

則h(x)=2e%-1-2,

當(dāng)h(%)<0時(shí)，0<%Vl,函數(shù)/i(%)單調(diào)遞減，

當(dāng)h(%)>0時(shí)，x>1,函數(shù)h(%)單調(diào)遞增，

所以h(%)>Ml)=2e°-2=0,gp2ex-1-2x>0,

設(shè)g(%)=1-cosx-%,%>0

則g(x)=sinx-1<0,g(%)在(0,+8)上單調(diào)遞減,

所以g(%)<g(o)=o,即o>1-cos%-x,

所以2e“-1-2x>0>1-cosx-x,

綜上：/(%)>e(l-cos%)成立.

【變式2-3](2023?河北邢臺(tái)?寧晉中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè))已知函數(shù)/0)=。(丁+屋5-1(0是非零常數(shù)，e

為自然對(duì)數(shù)的底數(shù))

(1)討論函數(shù)/O)的單調(diào)性；

(2)當(dāng)a>0時(shí)，若在R上恒成立，求實(shí)數(shù)0的取值范圍.

【解題思路】(1)對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，討論a<0、a>0研究函數(shù)的單調(diào)性；

X2+2

(2)問題化為a2丁工在R上恒成立，利用導(dǎo)數(shù)研究右側(cè)單調(diào)性并求最值，即可得參數(shù)范圍.

e+e

(e2x-1

【解答過程】(1)由題設(shè)/(%)=*(—[),

e

當(dāng)aV0,若%￡(-8,0)時(shí)((%)>0,即/(%)遞增，若%￡(0,+8)時(shí)f(久)v0,即/(%)遞減；

當(dāng)。>0,若％E(-8,0)時(shí)/(%)<0,即/(%)遞減，若%€(0,+8)時(shí)/(%)>0,即/(%)遞增；

綜上，0則/(%)在(-8,0)上遞增，在(0,+8)上遞減；

a>0則/(%)在(-8,0)上遞減，在(0,+8)上遞增；

x2+2

(2)由題設(shè)a2^~~不在R上恒成立，

e+e

人22-x2x

令=X+2貝,-(x--+-2-%-+--2?)e一-七(x---2-x-+--2)一e，

e+e(ex+e-x)

2

令@(X)=(%2+2%+2)e-x-(%2-2%+2)ex,則g((%)=-^-x2ex<0,

e

所以0(%)單調(diào)遞減,且@(0)=0,故(-8,0)上0(%)>0,(0,+8)上w(%)v0,

所以(-8,0)上g(%)>(),即g(%)遞增，(0,+8)上g(%)V0,即9(%)遞減，

所以g(%)wg(o)=L故心1.

【題型3函數(shù)的極值、最值問題】

[例3](2023?全國?模擬預(yù)測(cè))已知函數(shù)/(%)=xlnx+(t-1)(%-t)(tER).

(1)當(dāng)t=0時(shí)，討論函數(shù)/(%)的極值;

⑵若F(x)=f(x)-7有兩個(gè)不同的極值點(diǎn)，求t的取值范圍.

e

【解題思路】(1)求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)判斷原函數(shù)的單調(diào)性和極值；

(2)根據(jù)題意可得向>)有兩個(gè)不同的變號(hào)零點(diǎn)，整理得eMx+lmc=丁-'+(久-匕設(shè)函數(shù)g(x)=e*+x,

結(jié)合單調(diào)性可知直線y=t與曲線Mx)=x-lnx有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，利用導(dǎo)數(shù)判斷原函數(shù)單調(diào)性和極值，進(jìn)

而根據(jù)交點(diǎn)分析求解.

【解答過程】(1)當(dāng)t=0時(shí)，f(x)=xlnx-%,則/(%)的定義域?yàn)?0,+8),且/(%)=ln%,

在(0,1)上，/(%)<0,/(%)單調(diào)遞減；

在(1,+8)上，/(%)>0,/(%)單調(diào)遞增；

所以八%)的極小值為無極大值.

e"'gx

(2)由題意可知：F(x)=xlnx+(t-l)(x-t)-則F(%)=In%+t-彳=In%+C-不一；

ee

因?yàn)镕(x)有兩個(gè)不同的極值點(diǎn)，則函數(shù)/(X)有兩個(gè)不同的變號(hào)零點(diǎn),

可知方程In久+t=e*T有兩個(gè)不等實(shí)根，

此方程可變形為Inx+x=ex~t+x-t,即e”"+Inx=不一+(%-t).

設(shè)函數(shù)g(x)=e"+x,則g(lnx)=g(x-t),

又因?yàn)閥=e；y=x在R內(nèi)單調(diào)遞增，則g(x)在R內(nèi)單調(diào)遞增，

可得In%=x-t,即t=x-Inx.

設(shè)M%)=x-\nx,則直線y=t與曲線y=h(%)有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，

?i%—1

可知h(%)的定義域?yàn)?0,+8),且hO)=1,

在(0,1)上，h(x)<0,在%)單調(diào)遞減;

在(1,+8)上，ft(%)>0,樞%)單調(diào)遞增;

則衣X)mm=九(1)=1，當(dāng)XT。小時(shí)，h(X)f+8,當(dāng)X7+8時(shí)，九(%)一+8,

若直線y=t與曲線y=%(久)有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，則t>1,

故f的取值范圍為(L+8).

【變式3-1］(2023?陜西西安?校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè))已知奇函數(shù)/(0=ad+bx2+ex在x=1處取得極大值2.

(1)求f(久)的解析式；

(2)求fG)在［-4,3］上的最值.

【解題思路】(1)利用函數(shù)奇偶性可得b=0,再由f(x)在x=l上取得極大值2可求得a=-l,c=3,可得

解析式；

(2)由(1)中解析式求導(dǎo)可得其在［-4,3］上的單調(diào)性，得出極值并比較端點(diǎn)處的函數(shù)值即可求出其最值.

【解答過程】(1)易知函數(shù)/G)的定義域?yàn)閄CR,

因?yàn)椤巴馐瞧婧瘮?shù)，所以"-%)=-/G),貝拈=0.

由/(%)=a%3+ex,得f(%)=3ax2+c.

因?yàn)?(%)在久=1上取得極大值2,

所以康(仁渭建2°'解得「黑’

經(jīng)經(jīng)檢驗(yàn)當(dāng)(時(shí)，外動(dòng)在x=1處取得極大值2,

故/(%)=-x+3%.

(2)由(1)可知，/(%)=-3%2+3=-3(%-1)(%+1),

當(dāng)時(shí)，/(%)>0/(%)單調(diào)遞增；

當(dāng)無￡［-4,-1)和(1,3］時(shí)，/(%)<0,/(汽)單調(diào)遞減；

即函數(shù)/(%)在％=-1處取得極小值/(-1)=-2,在％=1處取得極大值/(1)=2；

又因?yàn)閒(-4)=52/(3)=-18,

所以f(功在［-4,3］上的最大值為52,最小值為-18.

【變式3-2］(2023?寧夏固原?寧夏回族自治區(qū)西吉中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè))已知實(shí)數(shù)a>0,函數(shù)f(x)=xln

a-alnx+(x-e)2,e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù).

(1)當(dāng)a=e時(shí)，求函數(shù)/(無)的單調(diào)區(qū)間；

(2)求證：f(x)存在極值點(diǎn)久。,并求小的最小值.

【解題思路】(1)f(x)求導(dǎo)，根據(jù)/(%)的正負(fù)判定函數(shù)的增減即可；

(2)根據(jù)導(dǎo)數(shù)的分母正，需要分子有變號(hào)零點(diǎn)，轉(zhuǎn)變?yōu)殡p變量函數(shù)的恒成立和有解問題，利用導(dǎo)數(shù)再次

確定新函數(shù)單調(diào)性和最值即可求解.

【解答過程】(1)當(dāng)a=e時(shí)，/(%)=x-elnx+(x-e)2,

-)

i,1e2x+(1-2e)x-e(2x+1)(%-e)

則/(%)=1一￡+2(%-e)=-------------=----------,(第>0)

令f(%)>0,得x>e；令f(%)<0,得x<e；

所以，函數(shù)y=g(%)的單調(diào)增區(qū)間為(e,+8),單調(diào)減區(qū)間為(0,e).

'a2x2+(Ina-2e)x-a

(2)/(%)=Ina--+2(%-e)=-------------

令力(%)=2%+(Ina-2e)x-a=0,因?yàn)锳=(lna-2e)+8a>0,

所以方程2#+(Ina-2e)x-a=0,有兩個(gè)不相等的實(shí)根<x2),

又因?yàn)椋ニ裕<0V%2，令列表如下：

(0,久0

X%（久0,+a

-0+

f(x)減極小值增

所以f(x)存在極值點(diǎn)..所以存在X0使得2久()2+(Ina-2e)x0-a=0成立，

所以存在%o使得2%o-2ex0=a-xolna,

所以存在久°使得a-％olna=2%：-2、對(duì)任意的a>0有解，

因此需要討論等式左邊的關(guān)于。的函數(shù)，ifiu(t)=t-xolnt,所以〃=

當(dāng)OVtV%o時(shí)，單調(diào)遞減；當(dāng)I〉與時(shí)，〃⑷>0,〃(。單調(diào)遞增.

所以當(dāng)t=，時(shí)，u(t)=t-％01nt的最小值為〃(和)=xo-xolnxo.

所以需要2君-2ex0-a-%olna>xQ-x0ln%0,即需要2君-(2e+1)%0+%0ln%0>0,

即需要2,-(2e+1)+ln%0>0,即需要2%4-lnxQ-(2e+1)>0

因?yàn)閡(t)=2t+Int-(2e+1)在(0,+8)上單調(diào)遞增，且"(,)>v(e)=0,

所以需要％>e,

故%°的最小值是e.

【變式3-3](2023?吉林長春?東北師大附中?？级?已知函數(shù)/(%)=mxe-%%-lnx(meR).

(1)討論函數(shù)/(%)的極值點(diǎn)個(gè)數(shù)；

(2)若m>0,/(%)的最小值是1+Inm,求實(shí)數(shù)血的取值范圍.

【解題思路】(1)求出/(幻的導(dǎo)數(shù)，按血<e和分類討論，并借助零點(diǎn)存在性定理推理作答即可;

(2)利用(1)中信息，按mWe和zn>e探討，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)/(%)的最小值求解即可.

【解答過程】(1)函數(shù)f(%)的定義域?yàn)?+8),

,11//\

e?e1%—1_)

令〃(%)=--m,則〃(x)=--2—，

人X

令〃(%)<0,可得令〃(%)>0,可得％>1,

所以“(%)在(0,1)上單調(diào)遞減，在(1,+8)上單調(diào)遞增，

故〃(%)min=〃(1)=e-m,

①時(shí)，u(x)min>0,則“(%)之0,令/(%)<0,可得0<%Vl,

令f(%)>0,可得久>1,

所以/(%)在(0,1)上單調(diào)遞減，在(L+8)上單調(diào)遞增，所以/(%)有1個(gè)極小值點(diǎn)；

@m>e時(shí)，u(x)min<0,

因?yàn)榱罹?%)=ex-%-1,則九(%)=ex-1,

當(dāng)%>0時(shí)，/i(%)>0,則/i(%)在(0,+8)上單調(diào)遞增，

當(dāng)％V0時(shí)，/i(x)<0,則九(%)在(-8,0)上單調(diào)遞減，

故九(%)之/i(O)=0,所以丁2％+1,當(dāng)久=0時(shí)取等號(hào).

當(dāng)％時(shí)，u(x)>—^-m=l+--m>0,

止匕時(shí)E(0,1),使得〃(%J=0,

令u(%)=e"-x2,x>1,有u(x)=ex-2x,令g(%)=ex-2x,x>1,

9(%)=e"-2>0,9(%)在(1,+8)上單調(diào)遞增，即0(%)>0(1)=e-2>0,

即有u(%)>0,即u(%)在(1,+8)上單調(diào)遞增,

即u(%)>v(l)=e-2>0,所以e%>x2,

%2

當(dāng)％>?n>e時(shí)，u(x)>—-m=x-m>0,止匕時(shí)2c(1,+8),使得〃(％2)=。，

因此ie(0,%J,/(%)<0,/(%)單調(diào)遞減,

XE(Xpl),/(%)>0,/(%)單調(diào)遞增，

%E(L%2)，/(%)V。，/(%)單調(diào)遞減，

xe(%2,+oo),/(%)>o,/(%)單調(diào)遞增，

所以/(%)由3個(gè)極值點(diǎn)；

所以當(dāng)THMe時(shí)，/(%)恰有1個(gè)極值點(diǎn)；當(dāng)m>e時(shí)，/(%)恰有3個(gè)極值點(diǎn)；

(2)由(1)知，當(dāng)OVznWe時(shí)，/(%)在(0,1)上單調(diào)遞減，在(L+8)上單調(diào)遞增，

所以f(%)min=f⑴=1+2=1+Inm,

~,1Inm“,、Inx/1-In%

所以&=至~,令g(%)=7ME(0,e],則g(%x)=,NO,

函數(shù)g(%)在(0,e]上單調(diào)遞增，g(%)max=g(e)=(則TH=e,

當(dāng)zn>e時(shí)，E(0,1),使得〃(%J=0,3%2G(1,+oo),使得〃(%2)=0,

所以/(%)在(0,%1)上單調(diào)遞減，在(叼,1)上單調(diào)遞增，在(1,%2)上單調(diào)遞減，在(%2，+8)上單調(diào)遞增,

X.I

其中《-jn=0。=1,2),即々=lnm+lnxr所以/(心訕=min{/(x1),/(x2)}=1+Inm,

mx

而f(%)=FL+毛-In/=1+Irun符合要求，所以m>e,

e

綜上可得，實(shí)數(shù)血的取值范圍為{m|m之e}.

【題型4函數(shù)零點(diǎn)(方程根)問題】

【例4】(2023?全國?模擬預(yù)測(cè))已知函數(shù)/(%)=2%+萼+a.

X

(1)當(dāng)a=1時(shí)，求曲線f(x)在點(diǎn)(1)(1))處的切線方程.

(2)若/(久)有兩個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

【解題思路】(1)利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求得切點(diǎn)與切線的斜率，從而得解;

x24-Inx

(2)利用參變分離，構(gòu)造函數(shù)g(x)=利用導(dǎo)數(shù)研究其性質(zhì)，從而作出圖象，結(jié)合圖象即可得解.

【解答過程】(1)當(dāng)。=1時(shí)，/(%)=2%+[+1,則"1)=3,

X

'1-21nx-,1

/(%)=2+^^,所以/(1)=3.

X

故曲線/(%)在點(diǎn)(1/(1))處的切線方程為y-3=3(x-l),BP3%-y=0.

,alnx.__..__,

(2)由/(%)=2%+—+a有t兩個(gè)零點(diǎn)，

X

a(x+In%)

得方程2x+—%—=0在(0,+8)上有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)解.

X

當(dāng)a=0時(shí)，顯然方程沒有正實(shí)數(shù)解，所以a#0.

2%2+]n%

則方程-￡=—L在(0,+8)上有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)解.

uX

.%2+Inx?,,1-%2-31nx

令9(x)=——(x>0),則g(%)=----4----

XX

顯然8(x)=1-X2-31nx在(0,+8)上為減函數(shù),又尹⑴=1-1-31nl=0,

所以當(dāng)xe(0,1)時(shí)，g(%)>0；當(dāng)xe(l,+8)時(shí)，g(%)<0.

所以g(X)在(0,1)上單調(diào)遞增，在(1,+8)上單調(diào)遞減，且gQ)max=g(l)=1.

當(dāng)X時(shí)，g(x)=eg-e)<0；當(dāng)x>l時(shí)，g(x)>0,

2支2+InV

要使方程-￡=在(0,+8)上有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，

uX

2

則g(x)與y=-￡的圖象在(0,+8)上有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，

2

結(jié)合圖象可知0<-￡<1,解得a<-2,

綜上，實(shí)數(shù)a的取值范圍為(-8,-2).

1

【變式4-1](2023?廣東廣州?廣東廣雅中學(xué)?？级?已知函數(shù)=

(1)求函數(shù)/(%)的最小值；

(2)若g(%)=x2[/(x)+l-a]-x+a,求函數(shù)g(%)的零點(diǎn)個(gè)數(shù).

【解題思路】(1)求出定義域，求導(dǎo)，得到函數(shù)單調(diào)性，進(jìn)而得到最值；

(2)化簡得到gCr)=/(in%+g-a),令0(x)=In%+§-。，求出y=@(%)在(0,+8)上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)即

可，求導(dǎo)，當(dāng)a40時(shí)，9(%)有唯一零點(diǎn)，a>0時(shí)，求出函數(shù)單調(diào)性，最值夕(%)min=

-a+于換元后，求導(dǎo)得到函數(shù)單調(diào)性，分聲=1,0<靖<1,回>1,三種情況，結(jié)合函數(shù)單調(diào)性

和零點(diǎn)存在性定理求出零點(diǎn)個(gè)數(shù).

【解答過程】(1)由