高考數學專項復習：圓錐曲線中的定點定值問題（三大題型）

微考點6-3圓錐曲線中的定點定值問題(三大題型)

■考點解密J

求解直線過定點問題常用方法如下：

①“特殊探路，一般證明”：即先通過特殊情況確定定點，再轉化為有方向、有目的的一般性證明；

②“一般推理，特殊求解”：即設出定點坐標，根據題設條件選擇參數，建立一個直線系或曲線的方程，再根

據參數的任意性得到一個關于定點坐標的方程組，以這個方程組的解為坐標的點即為所求點；

③求證直線過定點(%,%),常利用直線的點斜式方程>-%=左(%-5).

④設直線為y=根據題目給出的條件，轉化為坐標之間的關系，利用韋達定理找出人與，〃之間的

關系，即可求出定點。

■題型解密上

題型一：圓錐曲線中直線過定點問題

【精選例題】

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【例1】已知P(O,1)為橢圓C：'+2=1(。>6>0)上一點，點尸與橢圓C的兩個焦點構成的三角形面積

為也.

(1)求橢圓c的標準方程；

(2)不經過點尸的直線/與橢圓C相交于A,B兩點，若直線PA與尸2斜率的乘積為一1,證明：直線/必過

定點，并求出這個定點坐標.

【例2】已知橢圓C：5+/=l(a>b>0)的離心率《=白，且橢圓C經過點，白］

(1)求橢圓C的標準方程；

(2)過點尸(2,0)且斜率不為零的直線與橢圓C交于反。兩點，8關于x軸的對稱點為A,求證：直線AD與無

軸交于定點Q.

【跟蹤訓練】

1.“工藝折紙”是一種把紙張折成各種不同形狀物品的藝術活動，在我國源遠流長，某些折紙活動蘊含豐富

的數學知識，例如：用一張圓形紙片，按如下步驟折紙(如圖)：

步驟1：設圓心是E,在圓內異于圓心處取一定點，記為廠；

步驟2：把紙片折疊，使圓周正好通過點尸(即折疊后圖中的點A與點尸重合)；

步驟3：把紙片展開，并留下一道折痕，記折痕與AE的交點為P；

步驟4：不停重復步驟2和3,就能得到越來越多的折痕.

現取半徑為4的圓形紙片，設點尸到圓心E的距離為2g,按上述方法折紙.以線段E尸的中點為原點，線

段EF所在直線為x軸建立平面直角坐標系xOy,記動點P的軌跡為曲線C.

(1)求C的方程；

(2)設軌跡C與x軸從左到右的交點為點A,B,點尸為軌跡C上異于A,B,的動點，設PB交直線x=4于

點T,連結AT交軌跡C于點。.直線AP、AQ的斜率分別為陽八kAQ.

(i)求證：后",心。為定值；

(ii)證明直線尸。經過無軸上的定點，并求出該定點的坐標.

2.已知橢圓E的中心為坐標原點，對稱軸為坐標軸，且過點A(2,0),BQ,券)，M,N為橢圓E上關于x

軸對稱的兩點(不與點2重合)，2(1,0),直線與橢圓E交于另一點C,直線。尸垂直于直線NC,尸為

垂足.

⑴求E的方程；

(2)證明：⑴直線NC過定點，(ii)存在定點R,使歸用為定值.

題型二：圓錐曲線中圓過定點問題

【精選例題】

【例。已知橢圓C：.+.=1(a〉6>0)的離心率為暗,其左、右焦點分別為耳，％,T為橢圓C上

任意一點，△耕巴面積的最大值為1.

(1)求橢圓C的標準方程；

(2)已知4(0,1),過點的直線/與橢圓C交于不同的兩點N,直線AM,AN與x軸的交點分別為

P,Q,證明：以尸。為直徑的圓過定點.

【例2】在平面直角坐標系xOy中，已知橢圓G：=+E=l(a>b>0)過點(2,1),離心率為正，其左右

ab2

焦點分別為耳，F2.

⑴若點P與耳，F?的距離之比為;，求直線尤-在y+若=0被點P所在的曲線C?截得的弦長；

(2)設A，4分別為橢圓C1的左、右頂點，。為上異于A，4的任意一點，直線A。，4。分別與橢圓C1

的右準線交于點M,N,求證：以MN為直徑的圓經過x軸上的定點.

【跟蹤訓練】

尤2V21

1.設橢圓C:=+A=l(">>>0)的離心率為點A為橢圓上一點，A￡A8的周長為6.

ab乙

⑴求橢圓C的方程；

(2)設動直線/：>=丘+機與橢圓C有且只有一個公共點P,且與直線x=4相交于點。.問：x軸上是否存在定

點/,使得以PQ為直徑的圓恒過定點M?若存在，求出點M的坐標；若不存在，說明理由.

2.在平面直角坐標系尤Oy中，已知橢圓C：二+3=1(。>6>0)的長軸長為4,且經過點S,、歷e),其中e

ab

為橢圓c的離心率.

⑴求橢圓c的方程；

⑵過點尸（0,1）的直線/交橢圓C于A,8兩點，點8關于X軸的對稱點為直線A9交X軸于點2，過點

。作/的垂線垂足為"，求證：點反在定圓上.

題型三：圓錐曲線中圓過定值問題

【精選例題】

【例1】在平面直角坐標系xOy中，已知橢圓c：=+《=1（°>6>0）的離心率為無，且右焦點B到直線

a1b22

2_

/：X=-幺的距離為6石.

C

（1）求橢圓的標準方程；

（2）設橢圓C上的任一點〃（4,幾），從原點。向圓M:（x-與）2+（y-%）2=8引兩條切線，設兩條切線的斜

率分別為匕，魚（秘2工。），

（0求證：《&為定值；

（/■/■）當兩條切線分別交橢圓于P,Q時，求證：I。尸產+|。?！簽槎ㄖ?

【例2】已知橢圓C：0+訝=1（4>6>0）離心率e=,且經點

⑴求橢圓。的標準方程;

⑵過橢圓。右焦點的直線/交橢圓于A,5兩點，交直線尤=2于點O,且。1,手,設直線3,QD,QB

的斜率分別為印，k2,%,若占片0,證明牛b為定值.

【例3】已知橢圓C：5+*l(a”>0)過點4-2,-1),離心率e=亭.

(1)求橢圓C的標準方程；

(2)設過點A的斜率為左直線/交橢圓C于另一點B,若的面積為2,其中。為坐標原點，求直線/的斜

率上的值；

⑶設過點。《0)的直線/'交橢圓C于點M,N,直線M4,附分別交直線x=T于點尸，Q.求證：線段

PQ的中點T為定點.

【跟蹤訓練】

1.如圖，。為圓。：d+y2=i上一動點，過點。分別作x軸，y軸的垂線，垂足分別為A,B,連接54并

延長至點W,使得M到=1,點W的軌跡記為曲線C.

⑴求曲線C的方程；

(2)若過點K(-2,0)的兩條直線4，4分別交曲線C于M，N兩點,且4-L/2,求證：直線MN過定點；

⑶若曲線C交y軸正半軸于點S,直線x=x。與曲線C交于不同的兩點G,H,直線SH,SG分別交x軸于P,

。兩點.請?zhí)骄浚骸份S上是否存在點R,使得NORP+NORQ=5?若存在，求出點R坐標；若不存在，請說

明理由.

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3.已知橢圓。卞+本/八匕〉。)的長軸長為4,離心率為?定點尸(TO).

⑴求橢圓C的方程；

(2)設直線AB與橢圓C分別交于點A3(尸不在直線AB上)，若直線以，尸8與橢圓C分別交于點M,N,

且直線48過定點Q，g,|],問直線的斜率是否為定值？若是，求出定值；若不是，說明理由.

4.已知橢圓C：5+/=1(°>“0)的左、右頂點分別為A,B,其離心率為半，點P是C上的一點(不

同于A,B兩點),且鉆面積的最大值為3K.

(1)求C的方程;

（2）若點。為坐標原點，直線AP交直線x=4于點G,過點。且與直線BG垂直的直線記為/,直線8尸交y

軸于點E,直線3尸交直線/于點F試判斷\知BE\是否為定值？若是，則求出該定值；若不是，請說明理由.

■考點過關練已

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1.設橢圓E：=+4=1（。＞。＞0）的左、右頂點分別為C,D,且焦距為2方為橢圓的右焦點，點M在橢

ab

3

圓上且異于C,。兩點.若直線MC與的斜率之積為-;

（1）求橢圓E的標準方程；

（2）過點尸（4,0）作一條斜率不為0的直線與橢圓E相交于A,8兩點（A在8,P之間），直線M與橢圓E

的另一個交點為H，求證：點A,H關于無軸對稱.

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2.已知橢圓E：=+4=1（。＞6＞0）的左、右焦點分別為耳，F2,左頂點為A,|明|=1,尸是橢圓￡上

ab

一點（異于頂點），。是坐標原點，Q在線段尸尸2上，且。Q〃尸《，|OQ|+|QP|=2.

（1）求橢圓E的標準方程；

⑵若直線/與X軸交于點C、與橢圓￡交于點M,N,8與N關于無軸對稱，直線與X軸交于點。，證

明：|oc|.|oq為定值.

3.已知T為圓M：卜+血丁+丁=房上任一點，N/0）,MQ=AMT,Xe[0,1],且滿足（次+的）?病=0.

（1）求動點Q的軌跡「的方程；

⑵過點尸（0,1）的直線與軌跡「相交于A,8兩點，是否存在與點P不同的定點R,使瑞=舄恒成立？若存

在，求出點R的坐標；若不存在，請說明理由.

4.橢圓C：5+A=l(a>b>0)的兩個焦點分別為月，%,離心率為無，R為橢圓C上任意一點，R不在

a~2

x軸上，心的面積的最大值為百.

⑴求橢圓C的方程；

(2)過點P(bl)的直線/與橢圓C相交于跖N兩點，設點3(0,1),求證：直線的斜率之和心M+L

為定值，并求出定值.

5.已知QM:(尤+2『+y2=i,oN:(x-2y+y2=49,動圓尸與圓M外切且與圓N內切.圓心尸的軌跡

為曲線C.

(1)求曲線C的方程;

⑵是否存在過點。［1g］的直線/交曲線C于A,B兩點,

使得點。為中點時，直線/的斜率與直線。。的斜

率乘積為定值？如果存在，求出這個定值，如果不存在，說明理由.

2222

6.已知橢圓c*+1=l(“>b>0)的長軸為雙曲線=1的實軸，且橢圓C過點尸(2,1).

(1)求橢圓C的標準方程；

(2)設點4B是橢圓C上異于點P的兩個不同的點，直線E4與尸B的斜率均存在,分別記為勺“，若k/=-g,

試問直線A3是否經過定點，若經過，求出定點坐標；若不經過，請說明理由.

8.已知橢圓C：，+/=l(a＞b＞0)的離心率為日，且過點

(1)求橢圓C的標準方程.

(2)已知過右焦點尸的直線,與C交于A,8兩點，在x軸上是否存在一個定點P，使Z.OPA=Z.OPB?若存在,

求出定點尸的坐標；若不存在，請說明理由.

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9.已知橢圓C：=+4=1(。＞人＞0)的左、右焦點分別為《，居，上、下頂點分別為4,&,且四邊形444名

ab

是面積為8的正方形.

(1)求C的標準方程；

(2)M,N為C上且在x軸上方的兩點，MF}//NF2,好與NF；的交點為尸，試問|尸團+|尸閶是否為定值？若

是，求出該定值；若不是，請說明理由.

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10.已知橢圓E:1T+a=1(。＞6＞。)的左、右焦點分別為川-點尸在橢圓E上，且滿足

PE,_Lx軸，tan^PE