復(fù)數(shù)章節(jié)復(fù)習(xí)講義-2025屆高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)

章節(jié)復(fù)習(xí)2-7《復(fù)數(shù)》（4頁，含答案）

典型例題:

1.（2023年魯J02濟南三模）已知復(fù)數(shù)40是關(guān)于x的方程f一2了+3=0的兩根，則AZ2的值為（?）

A.-3B.-2C.2D.3

2.若復(fù)數(shù)z滿足2+zi=2—2i(i為虛數(shù)單位)，I為z的共軌復(fù)數(shù)，則，+1]=(②)

A.A/5B.2C.A/3D.3

3.(2023年湘J54永州三適)若復(fù)數(shù)z滿足z+3i=＞則復(fù)數(shù)z的虛部為(⑧)

333.3.

A.—B.C.一iD.i

2222

4.在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)z滿足z(l+i)=l—2i,則三對應(yīng)的點位于(④)

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

隨堂練習(xí)：

1.(2023年湘J53懷化二模)若復(fù)數(shù)z是/+%+1=0的根，則目=(?)

A.y/2B.1C.2D.3

2,已知復(fù)數(shù)Z=(3+Z)2,則口=(?)

(A)4(B)6(C)8(D)10

3.若復(fù)數(shù)z滿足2z+1=3—i,其中i為虛數(shù)單位，則|z|=(?)

A.2B.A/3C.A/2D.3

4.如圖在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)4/2對應(yīng)的向量分別是麗麗，則復(fù)數(shù)五的值是(⑥).

Z2

A.-l+2iB.-2-2iC.l+2iD.l-2i

B

知識點2：

高次方處理：

???21:3?2411?4n+l?：4〃+2i?4n+3?

1=1,I——1fl——I,1=1;I=1,Z—IJI——1,I——I;

熟記以上結(jié)論，可以使運算更加快。

復(fù)數(shù)的三角形式：

a+bi=y/a2+Z?2-(cos^+zsin^),其中tan0,即。為直線與x軸的夾角。如圖：

a

若〃+Z?2=l,則Q+b，=cose+isine

棣莫佛定理：/(。力)

若：Zi=ri(cos0i+isin0i),Z2=r2(cos02+isin02),/；

則：ZiZ2=riC2[cos(0i+02)+isin(0i+02)]。---1—^—1---L-

[r(cos^+isin0)^=rn(cosn^+isinnO^

若r=l,貝1J

n

(cos0+ismO)=(cosn0+isinn0)f可以理解成復(fù)數(shù)在平面上的點圍繞著原點轉(zhuǎn)圈。轉(zhuǎn)的角度是原來

角度的n倍。(推導(dǎo)過程略)

推論：若Z="cos(e)+，sin(e)],則Z=r[cos(-^)+isin(-6^)],-Z=r[cos(^+^)+zsin(^+^)]

zzzz

Ir2|=|i|-|2|-旨'

復(fù)數(shù)的幾何意義：

把復(fù)數(shù)理解成直角坐標(biāo)系上面的點，然后分析長度、斜率等即可。

典型例題2：

-2+i—

1.已知復(fù)數(shù)2=三二(i為虛數(shù)單位)，則復(fù)數(shù)Z的共輾復(fù)數(shù)Z的虛部為(?)

A.iB.-iC.1D.-1

2.（2023年粵JOI順德北洛）工=（⑩）

22

13^3.「33A/3.

A...........-iB.1C.—+——iD.-

8822

3.（2023年粵J96三月模擬）在復(fù)平面內(nèi)，已知復(fù)數(shù)z滿足|z—U=|z+i|。為虛數(shù)單位），=2+i

對應(yīng)的點為點Z（,,z對應(yīng)的點為點Z,則點Z。與點Z之間距離的最小值為（U）

A.4B.72C亭D.2A/2

隨堂練習(xí)2：

1.已知復(fù)數(shù)Z滿足Z（l+i）=i2023,其中i為虛數(shù)單位，則z的虛部為（12）

A.--B.1C.--iD.—

2

222

2.（2022年湖北華師附中J61）著名數(shù)學(xué)家棣莫佛（Oenw汕r,16677754）出生于法國香檳,他在概

率論和三角學(xué)方面，發(fā)表了許多重要論文.1707年棣莫佛提出了公式：

[r（cosd+isin。）]“=r"（cos〃e+isin〃e）,其中r>0,“eN*.已知r（cos：+isin?）=—16,

根據(jù)這個公式可知r=_13.

3.如果復(fù)數(shù)Z滿足|z+3z]+|z—3力=6,那么|z+l+z]的最小值是14

4.（2023年魯J43日照三模）復(fù)數(shù)Z滿足|z—5|=|z-l|=|z+i|,貝"z|=（15）

A.V10B.V13C.372D.5

【答案】D；答案：A；【答案】B；答案：B；【答案】B；

答案：D；答案：C；答案：A；答案：C；【答案】D；

【答案】C；【答案】A；【答案】2；答案：1；【答案】C；

?【答案】D

【解析】

【分析】解方程可得與與Z2,利用乘法運算直接計算，或者利用韋達定理即可.

【詳解】解法一：由尤2一2彳+3=0,得馬=1+",z?=l-岳,

所以ZjZ2=(1+721)(1-6)=3；

3

解法二：方程X2-2X+3=0,由韋達定理可得Z]Z2=1=3.

故選：D

?答案：A；

?【答案】B

【解析】

【分析】設(shè)2=。+歷(。力eR),利用共輾復(fù)數(shù)的定義、復(fù)數(shù)的加法以及復(fù)數(shù)相等可求得b的方程，解出

6的值，即可得解.

【詳解】設(shè)2=。+歷(a力eR),則』=a—bi，

因為z+3i=z，則a+(〃+3)i=a—歷，所以，b+3=—b,解得。=—],

3

因此，復(fù)數(shù)z的虛部為--.

2

故選：B.

?答案：B；

?【答案】B

【解析】

【分析】結(jié)合一元二次方程的求根公式及復(fù)數(shù)的模的運算公式即可求得結(jié)果.

【詳解】Vx2+x+l=O-

???由求根公式得：元二二1±'亙=二1蟲受，即：z=T±",

222

；?當(dāng)z=」+3

i時，|z|==b

22

z=_L_^4時，|z|=

當(dāng)

22

綜述:Iz述1.

故選：B.

⑥答案:D；

⑦答案:C；

⑧答案:A

⑨答案:C；

⑩【答案】D

【解析】

【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的乘法運算即可化簡求解.

/7

A/3jK+3i+打16.

【詳解】-+----1----1

(242422

77k

故選：D.

11【答案】C

【解析】

【分析】設(shè)出復(fù)數(shù),代入|z-1卜上+1，整理得點Z在直線上，Z。與點z之間距離的最小值即Z。到直線

的距離，再利用點到直線的距離公式即可求得.

【詳解】設(shè)z=x+yi(x,yeR),代入到|z—igz+i1,

得肛—1)+川=,+('+1)m，

整理得y=—%,

即點z在直線y=一%上,

所以點Z0(2,l)到Z(x,y)之間的距離的最小值，即zo(2,l)到直線x+y=0的距離,

由點到直線的距離公式可得d=三工=—,

V1+12

所以點Z。與點Z之間距離的最小值為述.

2

故選：C.

12【答案】A

【解析】

【分析】先由虛數(shù)單位的性質(zhì)求得12。23,再利用復(fù)數(shù)的四則運算求得Z,從而得解.

【詳解】因為i2023=i505x4+3