導(dǎo)數(shù)中的同構(gòu)問題（學(xué)生版）-2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)專練（新高考專用）

重難點(diǎn)08導(dǎo)數(shù)中的同構(gòu)問題【八大題型】

【新高考專用】

?題型歸納

【題型1同構(gòu)：利用人x)與x構(gòu)造函數(shù)1.......................................................................................2

【題型2同構(gòu)：利用兀0與構(gòu)造函數(shù)1......................................................................................3

【題型3同構(gòu)：利用兀r)與situ,cosx構(gòu)造函數(shù)1..........................................................................3

【題型4指對同構(gòu)問題】.......................................................................4

【題型5利用同構(gòu)比較大小】...................................................................5

【題型6利用同構(gòu)解決不等式恒成立問題】......................................................5

【題型7利用同構(gòu)證明不等式】.................................................................6

【題型8與零點(diǎn)有關(guān)的同構(gòu)問題】...............................................................7

?命題規(guī)律

1、導(dǎo)數(shù)中的同構(gòu)問題

導(dǎo)數(shù)是高中數(shù)學(xué)的重要考查內(nèi)容，而導(dǎo)數(shù)中的同構(gòu)問題是高考考查的一個(gè)熱點(diǎn)內(nèi)容，經(jīng)常以客觀題出

現(xiàn)，同構(gòu)法構(gòu)造函數(shù)也在解答題中出現(xiàn)，通過已知等式或不等式的結(jié)構(gòu)特征，構(gòu)造新函數(shù)，解決比較大小、

解不等式、恒成立等問題，難度較大.

?方法技巧總結(jié)

【知識點(diǎn)1導(dǎo)數(shù)中的同構(gòu)問題的解題策略】

1.導(dǎo)數(shù)中的同構(gòu)問題是通過已知等式或不等式的結(jié)構(gòu)特征，構(gòu)造新函數(shù)，解決比較大小、解不等式、

恒成立等問題，主要有以下幾種類型：

⑴利用作)與X構(gòu)造函數(shù)

①出現(xiàn),貿(mào)乃+引力)形式，構(gòu)造函數(shù)網(wǎng)x)=x7(x).

②出現(xiàn)獷G)-次V)形式，構(gòu)造函數(shù)刊(尤)=.

(2)利用/(x)與e，構(gòu)造函數(shù).

⑶利用/(X)與sinx,cosx構(gòu)造函數(shù).

2.同構(gòu)式的應(yīng)用

(1)在方程中的應(yīng)用：如果方程人。尸0和/(6)=()呈現(xiàn)同構(gòu)特征，則a,6可視為方程/(x)=0的兩個(gè)根.

(2)在不等式中的應(yīng)用：如果不等式的兩側(cè)呈現(xiàn)同構(gòu)特征，則可將相同的結(jié)構(gòu)構(gòu)造為一個(gè)函數(shù)，進(jìn)而

利用導(dǎo)數(shù)找到和函數(shù)單調(diào)性、最值等之間的練習(xí)，來解決比較大小、解不等式、恒成立等問題.

【知識點(diǎn)2指對同構(gòu)問題】

1.指對同構(gòu)解決不等式問題

在解決指對混合不等式時(shí)，如恒成立求參數(shù)取值范圍或證明不等式，有一部分題是命題者利用函數(shù)單

調(diào)性構(gòu)造出來的，如果我們能找到這個(gè)函數(shù)模型(即不等式兩邊對應(yīng)的同一函數(shù))，無疑大大加快解決問題的

速度.找到這個(gè)函數(shù)模型的方法，我們稱為同構(gòu)法.

(1)五個(gè)常見變形：

pxYox

xx+lnxxlnxx

xe=e,—=e-,—=*一戶+比％=ln(xe),x-lnx=ln—.

(2)三種基本模式:

三種同構(gòu)方式

三種同構(gòu)方式

①積型:aea^blnb-------->

同左：aea^(lnb)einb……/(%)=泥，

同右：exlnea&blnb...f{x)—xInx,

取對：a+Ina&Inb+In(In/?)......../(x)=x+Inx.

eab三種同構(gòu)方式

②商型:<

a'inb

a\nbx

同左：一.../(x)=一，

aInbJx

<同右：鼻wg……〃x)=4，

IneIn/?Inx

取對:a-Ina&Inb—In(Inb)......./(x)=x—Inx.

K

兩種同構(gòu)方式

③和差型：ea±a^b±\nb-------->

J同左：ea±a>einb±lnb……f(x)=ex±x,

1同右：ex±lnea>b±InZ?......./(x)=x±Inx.

?舉一反三

【題型i同構(gòu)：利用加)與刀構(gòu)造函數(shù)】

【例1】(2024?全國?模擬預(yù)測)已知/'(x)是定義在R上的偶函數(shù)，且/(2)=0,當(dāng)無>0時(shí)，x/(x)-/(x)>0,

則不等式好。)>0的解集是()

A.(—8,—2)U(2,+8)B.(—2,2)

C.(—8,—2)U(0,2)D.(-2,0)U(2,+8)

【變式1-1](2024?安徽?一模)已知/(%)是定義在R上的偶函數(shù)，且/(2)=1,當(dāng)％>0時(shí)，xf(x)+f

G)>1,則不等式/二<0的解集為()

X

A.(-QO,2)U(2,+oo)B.(-00,2)U(0,2)

C.(-2,0)U(2,+oo)D.(-2,0)U(0,2)

【變式1-21(23?24高二下?天津南開?期中)已知/(%)是定義在(-8,0)1；(0,+8)上的奇函數(shù)，若對于任意

的％e(0,+8),都有2/(%)+%/6)>0成立，且/⑵則不等式/(%)—0解集為()

A.(2,+oo)B.(-2,0)U(0,2)

C.(0,2)D.(—2,0)U(2,+oo)

【變式1-3］⑵-24高二下?湖北武漢?期中）/（x）是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)尤>0時(shí)，有好6）+2/（久）>0

恒成立，則（）

A.f⑴>”⑵B./(-I)<4/(-2)

C.4/(2)<9/(3)D.4/(-2)<9/(-3)

【題型2同構(gòu)：利用{*）與e*構(gòu)造函數(shù)】

【例2】（2024?湖北武漢?一模）若函數(shù)/（久）的定義域?yàn)镽,滿足f（0）=2,Vxeft,都有/（x）+/'（x）>1,

則關(guān)于x的不等式f（久）>e-x+1的解集為（）

A.{x\x>0}B.{x\x>e}C.{x\x<0}D.{%|0<%<e}

【變式2-1］（2024?全國?模擬預(yù)測）已知f（x）是可導(dǎo)的函數(shù)，且（久）</0）對于xeR恒成立，則下列不等

式關(guān)系正確的是（）

A.f（l）>ef（0）,f（2023）<e2023f（0）B./（I）<e/（0）,/（l）>e2/（-l）

C./⑴<e/（0）,/⑴<e2/（-l）D./⑴<e/（0）,/（2023）>e2023/（0）

【變式2-2］（23-24高二下?江蘇南京?期中）已知函數(shù)/O）及其導(dǎo)函數(shù)/&）定義域均為R,且/O）-/'（X）>0,

/（0）=e,則關(guān)于久的不等式/（久）>研+1的解集為（）

A.{x\x>0}B.{x\x<0}C.{x\x<e}D.{x\x>e}

【變式2-31（23-24高二下?河南駐馬店?期末）己知定義在R上的偶函數(shù)/（久）滿足f（久+/（-%-1）=0,

e4/（2022）=1,若/'（X）>「（—光），則關(guān)于x的不等式/（無+2）的解集為（）

A.（4,+oo）B.（-oo,4）C.（-oo,3）D.（3,+00）

【題型3同構(gòu)：利用外）與sinx,cosx構(gòu)造函數(shù)】

【例3】（2023?重慶九龍坡?二模）己知偶函數(shù)八久）的定義域?yàn)椋?去/其導(dǎo)函數(shù)為尸⑺，當(dāng)時(shí),

有/''OOcos%+y（X）sinx>。成立，則關(guān)于X的不等式fO）>2,0?cosx的解集為（）

【變式3-1］（2023?全國?模擬預(yù)測）己知定義在（-芳）上的函數(shù)人式）滿足汽r）=/O）,當(dāng)比6（0,習(xí)時(shí),

不等式/(%)sin%+/(x)cosx<0恒成立(/'(%)為/(%)的導(dǎo)函數(shù))，若acosl=/(—1),bcosj=/(-InVe),

A.a>b>cB.a>c>bC.b>a>cD.b>c>a

【變式3?2】（23?24高二上?重慶沙坪壩?期末）已知-（%）是函數(shù)f（%）的導(dǎo)函數(shù)，/（%）-/（-%）=0,且對于

任意的％C（0弓）有f（%）cos%>/（-%）sin（-%）.則下列不等式一定成立的是（）

C./（-I）<V2/g）cosl

D.

【變式3?3】（2024?河南信陽,一*模）已知函數(shù)y=/（%）對％E（0,兀）均滿足f'（%）sin%-/（%）cos%=[-1,其

中/'（%）是/（%）的導(dǎo)數(shù)，則下列不等式恒成立的是（）

A.V2/Q</QB.

C/?</?D.白肌/管）

【題型4指對同構(gòu)問題】

【例4】（2024?陜西安康?模擬預(yù)測）若存在x€（0,+8）,使得不等式a?—+%2e。/+iMx成立，則實(shí)數(shù)a

的取值范圍為（）

【變式4-1]（2024?廣東深圳?模擬預(yù)測）已知函數(shù)/（%）=ae^+ln總-2,若/（無）〉。恒成立，則正實(shí)數(shù)

a的取值范圍是（）

A.0<a<eB.a>e2C.a>eD.a>2e

【變式4-2]（2024?江西贛州?二模）已知函數(shù)/（x）=px+1,。（久）=（1+：）Inx.若kfQ）2g（尤），則后的

取值范圍為（）

A.(0,e]B.[e,+co)c?…

【變式4-3]（2024?甘肅蘭州?二模）若關(guān)于％的不等式e%+%+21n^2+]mn恒成立，則實(shí)數(shù)加的最

X

大值為（）

1

」c2D2

-e-e

2B.42

【題型5利用同構(gòu)比較大小】

【例5】（2024?湖南益陽?三模）若a=21nl.l,b=0.21,c=tan0.21,則（）

A.b<c<aB.a<c<bC.c<a<bD.a<b<c

【變式5?1】（2024?陜西安康?模擬預(yù)測）若0V%iV%2VL則（）

%1%2X1

A.e%2+In%1>e+lnx2B.e+\nx1<e+lnx2

e%1X2X1X2

C.x2>xreD.x2e<xre

【變式5-2］（2024?黑龍江哈爾濱?模擬預(yù)測）設(shè)a=lnl.01,b=sinO.Ol,c=擊，則a,b,c大小關(guān)系（）

A.c<b<aB.c<a<bC.a<b<cD.a<c<b

【變式5-3］（2024?安徽?三模）已知實(shí)數(shù)叼,如與滿足井=￡—1=KU=5，則（）

x

A.Xr<X2<%3B.<%3<2

x

C.X2<x3<X1D.%2V<3

【題型6利用同構(gòu)解決不等式恒成立問題】

【例6】（2024?內(nèi)蒙古?三模）已知函數(shù)/（%）=/一+21n%.

（1）討論/（%）的單調(diào)性；

（2）若a>0/（%）<e。久恒成立，求a的取值范圍.

【變式6-1］（2024?廣西貴港?模擬預(yù)測）已知函數(shù)/（久）=ae〃一Ex+：a+i.

（1）當(dāng)a=1時(shí)，請判斷了（久）的極值點(diǎn)的個(gè)數(shù)并說明理由；

（2）若/（%）>2a2-a恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

【變式6?2】(2024?天津武清?模擬預(yù)測)已知/(%)=談一產(chǎn)(%>0,。>0且。01).

(1)當(dāng)a=2時(shí)，求/(%)在％=。處的切線方程；

(2)當(dāng)a=e時(shí)，求證：/(%)在(e,+8)上單調(diào)遞增；

(3)設(shè)a>e,已知V%E+8),有不等式/(久)20恒成立，求實(shí)數(shù)Q的取值范圍.

【變式6-3](2024?河北?模擬預(yù)測)已知函數(shù)=—

⑴討論/(%)的單調(diào)性；

(2)證明：當(dāng)a>0時(shí)，/(%)<(丁-1-

【題型7利用同構(gòu)證明不等式】

【例7】(2024?湖北荊州?三模)已知函數(shù)/0)=疣，—a(lnx+口，其中e是自然對數(shù)的底數(shù).

(1)當(dāng)a=1時(shí)，求曲線y=f(x)在點(diǎn)(1)(1))處的切線的斜截式方程；

(2)當(dāng)a=e時(shí)，求出函數(shù)/(%)的所有零點(diǎn)；

(3)證明：x2ex>(%+2)lnx+2sinx.

【變式7-1](2024?廣東廣州?模擬預(yù)測)已知函數(shù)=(a>0).

⑴求/(%)在區(qū)間上的最大值與最小值；

(2)當(dāng)a21時(shí)，求證：f(x)>Inx+%+1.

【變式7-2](2024?山東?二模)已知函數(shù)f(%)=nrr—In久,上￡(1,+8).

(1)討論/(%)的單調(diào)性；

(2)若>x2—%恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.

【變式7-3](2024?四川眉山?三模)已知函數(shù)/(%)=-。好一2%.

(1)若過點(diǎn)。0)可作曲線y=/(%)兩條切線，求。的取值范圍；

(2)若/(%)有兩個(gè)不同極值點(diǎn)久1，%2.

①求Q的取值范圍；

②當(dāng)久1>4到時(shí)，證明：%i%2>16e3.

【題型8與零點(diǎn)有關(guān)的同構(gòu)問題】

【例8】(2024?四川自貢?三模)已知函數(shù)/(%)=1+[+aln%(a>0)

(1)求函數(shù)/(%)的單調(diào)區(qū)間；

(2)函數(shù)/(%)有唯一零點(diǎn)第1，函數(shù)g(%)=第一sin%-§在R上的零點(diǎn)為%2.證明：xr<x2-

【變式8-1](2024?廣東茂名?一模)設(shè)函數(shù)/(%)=e*+asin%,%G[0,+oo).

(1)當(dāng)。二一1時(shí)，/(久)2b%+1在[0,+8)上恒成立，求實(shí)數(shù)b的取值范圍；

（2）若a>0,/（久）在[0,+8）上存在零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

【變式8-2]（2024?四川遂寧?模擬預(yù)測）已知函數(shù)/Xx）=x—：+alnx,其中aeR.

（1）當(dāng)x6[1,+8）時(shí)，/（%）>0,求a的取值范圍.

（2）若。<一2,證明：/（X）有三個(gè)零點(diǎn)勺，X2,久3（%1（久2<久3），且％1，X2,%3成等比數(shù)列?

【變式8-3]（2024?黑龍江哈爾濱?模擬預(yù)測）已知函數(shù)/（久）=x2lnx-zn有兩個(gè)不同的零點(diǎn)均，小，且t=*+

用.

（1）求實(shí)數(shù)爪的取值范圍；

（2）求證：t<1；

（3）比較t與:及2機(jī)+：的大小，并證明.

?過關(guān)測試

一、單選題

1.（2024?陜西安康?模擬預(yù)測）已知。=ln[b=gc=貝ij（）

567

A.a>b>cB.a>c>bC.c>b>aD.c>a>b

2.（2024?寧夏銀川?模擬預(yù)測）已知aeN*,函數(shù)/（x）=e3x—%。>0恒成立，貝的最大值為（）

A.2B.3C.6D.7

3.（2024?四川南充?模擬預(yù)測）設(shè)a>0,b>0,且a+b=1,則下列結(jié)論正確的個(gè)數(shù)為（）

①log2a+log2b>—2②2a+2h>2V2③a+\nb<0

A.0B.1C.2D.3

4.(2024?四川宜賓?模擬預(yù)測)定義在(0,+8)上的單調(diào)函數(shù)/(%),對任意的第G(0,+8)有/[/(%)-In%]=1

恒成立，若方程/(%)?/6)=血有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍為()

A.(-co,1)B.(0,1)C.(0,1]D.(-00,1]

5.(2024?四川南充?模擬預(yù)測)設(shè)。>0乃〉0,且。+/)=1,則下列結(jié)論正確的個(gè)數(shù)為()

①log2a+log2b之—2②2a+2h>2V2③a+In/?<0④sinasinb<|

A.1B.2C.3D.4

1，

6.(2024?河南關(guān)B州?三模)設(shè)％犯E(0,+8),且e%i+lnx2=1,貝()()

A.若％i=冷，則％1E(H)B.若％62=1，則第1存在且不唯一

C.勺+冷>1D./+lnx2>0

7.(2024?四川?三模)已知關(guān)于％的方程e?%-axex+9e2%2=0有4個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，分別記為久力上，第3，%4,

貝!1(吧—e)(歿—e)(土一e)(之一e)的取值范圍為()

巧%2%3%4

A.(0,16e4)B.(0,12e4)C.(0,4e4)D.(0,8e4)

8.(2024?湖北?模擬預(yù)測)已知函數(shù)/'(x)=Inx,g(x)為/(%)的反函數(shù)，若f(x)、g(x)的圖像與直線y=-久

交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為修，x2,則下列說法正確的為()

A.x2>ln%iB.x1+x2<0

C.G5)D.-%2e(1,5+ln2)

二、多選題

9.(2024?湖北武漢?模擬預(yù)測)對于函數(shù)/0)=走，下列說法正確的是()

A.函數(shù)/(>)的單調(diào)遞減區(qū)間為(0,1)U(l,e)

B-/⑺<f(2)

C.若方程|〃|久|)|=k有6個(gè)不等實(shí)數(shù)根，則k>e

D.對任意正實(shí)數(shù)刀1，乂2，且X1力％2，若/'(乂1)=/(%2)，則〉e2

10.(2024?河南鄭州?模擬預(yù)測)已知函數(shù)/(x)=xcosx-sin久，下列結(jié)論中正確的是()

A.函數(shù)/(%)在％=軻，取得極小值一1

B.對于Vx￡[0,n],f(x)<0恒成立

C.若0<久1<久2<n，則生<—

X2sin%2

D.若對于Vxe(o,§,不等式a〈亭<6恒成立，貝I|a的最大值為*b的最小值為1

11.(2024?江蘇?模擬