不等式（4題型分類）-2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)

專題03不等式4題型分類

彩題如工總

題型4：不等式的求解題型1:不等式的性質(zhì)

專題03不等式4題型分類

題型3：基本不等式題型2：比較大小

彩先祗寶庫

1.不等式的性質(zhì)

（1）對稱性：a>b0b<a.

（2）傳遞性：a>b,b>c=^a>c.

（3）可加性：a>b^a+c>b+c.

（4）可乘性：a>b,oO^aobc；a>b,c<0^ac<bc.

（5）同向可加性：a>b,c>d^a+c>b+d.

（6）同向同正可乘性：a>b>0,c>d>00ac>bd.

nn

（7）同正可乘方性：a>b>0^a>b（n^N9n^2）.

2.兩個實數(shù)比較大小的方法

a-b>0^a>b,

a—b=O0a=b,(a,b￡R).

{a-b<0^a<b.

3.基本不等式

（i）基本不等式：

（2）基本不等式成立的條件：a>0,b>0.

（3）等號成立的條件：當(dāng)且僅當(dāng)a=b時，等號成立.

（4）其中審叫做正數(shù)a,b的算術(shù)平均數(shù)，而叫做正數(shù)a,b的幾何平均數(shù).

4.幾個重要的不等式

（1）a2+b2^2ab（a,b?R）.

,、ba-1

（2）-+^2（a,b同號）.

（3）（a,b?R）.

（4）手4陰（a，』）.

5.三個“二次”的關(guān)系

判別式//>0J=0J<0

小電/l

二次函數(shù)的圖象V

有兩個相等的實數(shù)

有兩個不相等的實

方程的根沒有實數(shù)根

根X1=X2=一七

數(shù)本艮九1,X2(X1<X2)

不等式的解集{x\x<X\,或無>%2}R

6.分式不等式與絕對值不等式

(1)^>0(<0)0f(x)g(x)>0(<0).

(2)怒》O(WO)e/(x)g(x)》O(WO)且g(x)WO.

(3)|x|>a(a>0)的解集為(一8,—a)u(a,+8),|x|<a(a>0)的解集為(一a,a).

彩他題海籍

(―)

不等式的性質(zhì)

1.常用結(jié)論

11

(1)若ab>0,且a>b<4不狂

，、#bb+m

(2)右a>b>0,m>0^~<-r~.

bb+m

（3）若b>a>0,m>O=>a>a+m.

2.判斷不等式的常用方法.

（1）利用不等式的性質(zhì)逐個驗證.

（2）利用特殊值法排除錯誤選項.

（3）作差法.

（4）構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性.

題型1:不等式的性質(zhì)

1-1.（2024高三上?廣東?期末）已知—bW3,3<a+b<l,則5a+b的取值范圍為（）

A.[15,31]B.[14,35]C.[12,30]D.[11,27]

1-2.(2024?全國)若a>b,則

A.\n(a-b)>0B.3a<3b

C.a3-b3>0D.|tz|>|Z?|

1-3.(2024?山東)若a>b>0,且ab=l,則下列不等式成立的是

1b0I/7、1

A.a+-<—<log(tz+Z?)B.<log2(Q+u)<Q+]

b2a2

11/1、b1/7、1b

C.^+―<log2(tz+b)<—D.log2(a+b)<a+—<—

彩他題海籍

（二）

比較大小

1.不等式大小比較的常用方法

（1）作差：作差后通過分解因式、配方等手段判斷差的符號得出結(jié)果.

（2）作商（常用于分?jǐn)?shù)指數(shù)募的代數(shù)式）.

（3）分析法.

（4）平方法.

（5）分子（或分母）有理化.

（6）利用函數(shù)的單調(diào)性.

（7）尋找中間量或放縮法.

（8）圖象法.其中比較法（作差、作商）是最基本的方法.

題型2:比較大小

2-1.（2024?全國）已知9"'=10,。=10"'-11力=8"'—9,貝I］（）

A.a>Q>bB.a>b>0C.b>a>0D.b>Q>a

ha

2-2.（2024IWJ二,全國,課后作業(yè)）（1）已知〃>b>0,cVdVO,求證：----<----

a-cb-d

（2）設(shè)x,yeR,比較（--:/丫與砂（元一>）2的大小.

2-3.（2024高一上?江蘇南京?階段練習(xí)）（1）試比較（x+l）（x+5）與"+3）2的大小；

（2）已知a>6,—<7-,求證：ab>0.

ab

彩做題秘籍（=）

基本不等式

1.基本不等式

（1）基本不等式：-\/ab<^y^（a>0,b>0）.

（2）等號成立的條件：當(dāng)且僅當(dāng)a=b時，等號成立.

2.幾個重要的不等式

（1）a2+b2^lab（a,b@R）.

（2）^+^2（a,b同號）.

（3）ab&（。'b?R）.

/.sa2+b2ra+b^

（4）一一刊2J（0,b?R）.

3.基本不等式求最值

（1）前提：“一正”“二定”“三相等”.

（2）要根據(jù)式子的特征靈活變形，配湊出積、和為常數(shù)的形式，然后再利用基本不等式.

（3）條件最值的求解通常有三種方法：一是配湊法；二是將條件靈活變形，利用常數(shù)“1”代

換的方法；三是消元法.

題型3:基本不等式

3-1.（2024高一下?廣西柳州?期末）若x>-2,則/（無）=無+」的最小值為.

32（2024高三?河北?學(xué)業(yè)考試）若x,jeR+,且無+2y=3,則孫的最大值為.

3-3.（2024高三上?湖南婁底?期末）己知a,6為正實數(shù)，且2a+6=l,則多+9的最小值為.

3-4.（2024?天津南開,一模）已知實數(shù)，>0”>0,。+〃=1,則2。+2"的最小值為.

41

35（2024高三上?江蘇常州?開學(xué)考試）已知正實數(shù)〃/滿足--+—-=1,則。+26的最小值為_________.

a+bb+l

3-6.（2024?上海浦東新?二模）函數(shù)y=logz尤+―宗在區(qū)間（g,+8）上的最小值為

log4（2x）2

3-7.（2024?上海長寧?二模）某小學(xué)開展勞動教育，欲在圍墻邊用柵欄圍城一個2平方米的矩形植物種植園,

矩形的一條邊為圍墻，如圖.則至少需要米柵欄.

彩健題祕籍

（四）

不等式的求解

1.含參一元二次不等式的解法

（1）根據(jù)二次項系數(shù)為正、負(fù)及零進(jìn)行分類.

（2）根據(jù)判別式/與0的關(guān)系判斷根的個數(shù).

（3）有兩個根時，有時還需根據(jù)兩根的大小進(jìn)行討論.

2.一元二次不等式恒成立問題

（1）弄清楚自變量、參數(shù).一般情況下，求誰的范圍，誰就是參數(shù).

（2）一元二次不等式在R上恒成立，可用判別式/；一元二次不等式在給定區(qū)間上恒成立,

不能用判別式4，一般分離參數(shù)求最值或分類討論.

題型4:不等式的求解

4-1.（2024?全國）已知集合4=&|工2-3工-4<0},8=1,1,3,5},則448=（）

A.M,l}B.{1,5}

C.{3,5}D.{1,3}

4-2.（2024高一下?廣東陽江?期末）不等式依2_（a+2）x+2N0（a<0）的解集為（）

「21「，r

A.—.1B.1.—

aJa_

C.|-oo,—u［l,+co）D.（-oo,l］u—,+oo|

I〃」）

4-3.（2024（Wj二?全國?專題練習(xí)）解下列關(guān)于工的不等式方之+（a+2）x+l>。（々w0）.

44（2024高三?全國?專題練習(xí)）若不等式2彳-1>%（/-1）對任意加目-1,1］恒成立，實數(shù)x的取值范圍

是—.

4-5.（2024高二下?吉林?期末）若玄41,2］使關(guān)于x的不等式無2一依+120成立,則實數(shù)。的取值范圍是

4-6.（2024?廣西?模擬預(yù)測）若不等式加>無2一元_］對尤式―⑼恒成立，則。的取值范圍是.

4-7.（2024高三上?北京?期中）若關(guān)于x的不等式辦2-2x+a40在區(qū)間［0,4］上有解，則實數(shù)。的取值范圍

是.

煉習(xí)與桎升

一、單選題

1.（2024高一上?吉林延邊?期末）已知-1<Z?<4,貝Ua-2Z?的取值范圍是（）

A.-7<6?-2Z?<4B.-6<a-2b<9

C.6<a-2b<9D.-2<a-2b<8

2.（2024?遼寧?二模）數(shù)學(xué)命題的證明方式有很多種.利用圖形證明就是一種方式.現(xiàn)有如圖所示圖形，在

等腰直角三角形AABC中，點O為斜邊A3的中點，點。為斜邊A8上異于頂點的一個動點，設(shè)位）=1,BD=b,

用該圖形能證明的不等式為（）.

AODB

A.(?>0,Z?>0)B.--<4ab(a>0,b>0]

a+b

Ca+b<a(a>0,6>0)D.a1+b2>2-Jab(a>0,b>0)

3.（2024?黑龍江哈爾濱?三模）已知羽y都是正數(shù)，且則下列選項不恒成立的是（）

xy?

A.受〉而B.-+->2

yx

C…D?孫+t>2

4.（2024高二上?寧夏?期中）下列運用基本不等式求最值，使用正確的個數(shù)是（）

\ab

①已知也。，求二的最小值；解答過程：x—=2；

ba

龍25------]

②求函數(shù)3=j24的最小值;解答過程：可化得>=0r+4+[不彳22；

22x

③設(shè)X>1,求kx+口的最小值;解答過程：y=x+—>2.

X-1x-1

當(dāng)且僅當(dāng)》=三2即x=2時等號成立,把x=2代入2、戶得最小值為4.

x-1Vx-1

A.0個B.1個C.2個D.3個

5.（2024高三下?重慶渝中?階段練習(xí)）已知正實數(shù)a,b滿足必+2。-2=0,則4a+6的最小值是（）

A.2B.4A/2-2C.46-2D.6

6.（2024高三下?浙江?期中）設(shè)a>0,b>0,若a^+b1-6ab=1,則耳?一4的最大值為（）

A.3+73B.2A/3C.1+V3D.2+如

7.（2024高三上?河北承德?階段練習(xí)汨知集合A="|HV"，集合3={小2-（"+2）尤+2。<0},若"xeA"

是“xeB"的充分不必要條件，則實數(shù)。的取值范圍（）

A.B.U,-1]C.1白]口.1.J

8.（2024?全國?模擬預(yù)測）若關(guān)于尤的不等式％2-（優(yōu)+2）尤+2〃?<0的解集中恰有4個整數(shù)，則實數(shù)%的取值

范圍為（）

A.（6,7]B.[-3,-2)

C.[-3,-2）U（6,7]D.[-3,7]

9.（2024高一下?浙江湖州?開學(xué)考試）已知關(guān)于無的不等式加+桁+。<0的解集為或x>4},則下

列說法正確的是（）

A.a>0B.不等式62+5+6>。的解集為｛x|2-近<尤<2+6｝

C.a+b+c<0D.不等式ax+Z?>0的解集為｛力x>3｝

10.（2024高一上?上海浦東新?期中）已知實數(shù)。<，，關(guān)于x的不等式幺-（a+b）x+必+1<0的解集為（占,々）,

則實數(shù)a、b、玉、巧從小到大的排列是（）

A.a<xx<x2<bB.xx<a<b<x2

C.a<xx<b<x2D.xx<a<x2<b

安徽省合肥一六八中學(xué)2023-2024學(xué)年高一上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題）關(guān)于x的不等式依?十萬元+,<（）的解集為

（-3,1）,貝I不等式6V+ax+c<0的解集為（）

A.。，2）：B.（-10UD.

12.（2024?北京海淀?模擬預(yù)測）已知關(guān)于尤的不等式/+以+>>0（。>0）的解集是｛x|xwd｝,,則下列四個結(jié)

論中錯誤的是（）

A.a1=4b

21,

B.a2+->4

b

c.若關(guān)于x的不等式辦—6<o的解集為（西，龍2）,貝！]五馬>。

D.若關(guān)于x的不等式/+依+6<0的解集為（孫三）,且上一百=4,貝心=4

13.（2024高三上?江蘇南通?期中）已知關(guān)于x的不等式依2+2法+4<0的解集為，機\],其中根<0,則

元+V勺最小值為（）

A.-2B.1C.2D.8

14.（2024?山東）已知二次函數(shù)y=依2+"+。的圖像如圖所示，則不等式口f+bx+c>0的解集是()

~/-2O1V^

A.（—2,1）B.（―oo,—2）u（l,+8）C.[—2,1]D.（—o

15.（2024?全國）已知集合二,犬-無一2>（）｝,則”=

A.{x|-l<x<2}B.{x|-l<x<2}

C.{%|工<-1}°{%|吊2}D.1x|x<-l}u|x|x>2）

14

16.（2024?四川成都?三模）設(shè)S〃為正項等差數(shù)列{為}的前〃項和.若S2023=2023,則一+——的最小值為

。442020

（）

5Q

A.—B.5C.9D.—

22

17.（2024?北京房山?二模）下列函數(shù)中，是偶函數(shù)且有最小值的是（）

A./（x）=x2-2xB./（x）=|ln^|

C.f（x）=xsinxD.f（x）=2X+2~x

121

18.（2024?海南?？?模擬預(yù)測）若正實數(shù)x,丁滿足％+3y=l.則一+一的最小值為（）

%y

A.12B.25C.27D.36

19.（2024?湖北荊門?模擬預(yù)測）已知實數(shù)a,b滿足Iga+Igb=lg（a+2b）,則2a+b的最小值是（）

A.5B.9C.13D.18

20.（2024?湖南長沙?一模）已知2加=3"=6,貝Um，〃不可熊滿足的關(guān)系是（）

A.m+n>4B.mn>4

C.m2+n2<8D.（m-1）2+（n-l）2>2

21.（2024?浙江杭州?二模）已知。>1,b>l,log24a=logb4,則的最小值為（）

A.4B.8C.16D.32

22.（2024?河南安陽?三模）已知a>03>0,則下列命題錯誤的是（）

A.若ab<1,則—I—22

ab

1Q

B.若a+b=4,則一的最小值為4

ab

C.若〃2+/=4,則而的最大值為2

D.若2a+6=l,則而的最大值為受

2

23.（2024?廣東湛江二模）當(dāng)x,ye（O,y）時，+恒成立,則根的取值范圍是（）

'7x+2xy+y4

A.（25,+co）B.（26,+8）C.（?，+001D.（27,+oo）

二、多選題

24.（2024?重慶?模擬預(yù)測）已知ac>0,則下列關(guān)系式一定成立的是（）

A.c2>bc

cbc

C.a+b>cD.-+->2

bc

25.（2024?山東?二模）已知實數(shù)。也。滿足且〃+Z?+c=O,則下列說法正確的是（）

11~

A.----〉----B.a-c>2bC.a2>b2D.ab-\-bc>Q

a—cb—c

26.（2024高三上?山東泰安?期末）若a>0>/7>c,則下列結(jié)論正確的是（）

aa

A.—>—B.>c2a

cb

a—bb

C.---->-D.a-c>Z?)(Z7—c)

a—cc

27.（2024高三上?江蘇?階段練習(xí)）已知實數(shù)x,y滿足-3<x+2y<2,-l<2x-y<4,則（）

A.x的取值范圍為（-1,2）B.y的取值范圍為（-2,1）

C.x+y的取值范圍為（-3,3）D.X-V的取值范圍為（T,3）

4151

28.（2024高三下?河北衡水?階段練習(xí)）已知a>0,b>0,且滿足—+b>-+-.貝巾力+/的取值

abba

可以為（）

A.10B.11C.12D.20

29.（2024高三?重慶沙坪壩?階段練習(xí)）已知￡(：/+1)=1,則（)

21

A.孫<1B.x2j>——

2

C.x+xy<lD.x2+xy<

人滿足3>~j=，則(

30.（2024?全國?模擬預(yù)測）已知實數(shù)。,)

7a7b

33

A.lOgo.2023Q<log0.2023bB.a<b

bb+1D-"+力的最小值為1

C.->----

aa+1

（2024?江蘇?模擬預(yù)測）已知bg糖水中含有糖（b>a>0）,若再添加機g糖完全溶解在其中，則糖水

變得更甜了（即糖水中含糖濃度變大），根據(jù)這個事實，下列不等式中一定成立的有（）

aa+m、a+ma+2m

A.-<-----B.-----<------

bb+mb+mb+2m

21

C.(6z+2m)(/?+m)<(6z+m)(/?+2m)D.-7---<---r

3〃-13“T

32.（2024?全國）若X,y滿足f+j?一孫=葭則（

A.x+y<\B.x+y>-2

C.x2+y2<2D.x2+y2>l

33.（2024?重慶?模擬預(yù)測）若實數(shù)。，b滿足/+62=仍+1,則（）

?//2括

A.a-b>-lB.a-b<------

3

71

C.ab2—D.ab<—

33

34.（2024高三下?湖北?階段練習(xí)）已知。>0,6>0,且。+：=1,貝|（）

b

A.'+6的最小值為4B.4+，的最小值為1

a

C.1的最大值為9

D.-。的最小值為0-1

b4

35.（2024?云南紅河?一模）已知%>0,y>0,且尤+y-孫+3=0,則下列說法正確的是（）

C.x2+y2^18D.0<-+-^i

A.3<xy^12B.x+y>6

'xy3

36.（2024?山西?一模）設(shè)a>0,b>0,a+b=l,則下列結(jié)論正確的是（）

A.仍的最大值為!B.的最小值為3

4

41

C.；的最小值為9D.夜+斯的最小值為6

ab

37.（2024?山東）已知a>0,b>0,且a+b=l,則（）

A.a2+b2>-B.T-b>-

22

C.log2tz+log2Z?>-2D.y[a+y[b<A/2

38.（2024?全國?模擬預(yù)測）已知實數(shù)”，b滿足，-2620,則下列說法正確的有（）

221

A.爐2（2匕1B.2"+—>2

C.若b>0,則Ina-lnb21n2D.a>>7Z?3

39.（2024高一上?浙江溫州?期中）已知〃>0,&>0,且。+匕=4則下列結(jié)論一定正確的有（）

A.（6Z+2Z?）2>SabB.~j=+2\[ab

14

C.仍有最大值4D.—+不有最小值9

ab

40.（2024高一上?江蘇蘇州?階段練習(xí)）下列說法正確的是（）

A.若羽ywR且x+y>4,則九，V至少有一個大于2

B.VxeR,星=x

C.若lv〃v3,2<b<4,則-2<2a-bv4

D.G+3+12+3的最小值為2

41.（2024?云南曲靖?模擬預(yù)測）若實數(shù)乂V滿足2、+2加=1，則（）

A.%v0且yv—1B.%+>的最大值為一3

C.gJ+盯的最小值為7D.卜口+&［卜<2

三、填空題

42.（2024高一?全國?單元測試）若0<a<6,a+b=1,則將。也;,2期a2+b2從小到大排列為.

43.（2024高二?全國?單元測試）如果4泌，給出下列不等式：

（1）—T-;（2）a3>b3；（3）；（i）2ac2>2bc2；（5）—>1；a2b2X>ab~\-a~\~b.

ciuvvb

其中一定成立的不等式的序號是.

a—2r

44.（2024高三上?上海普陀?期中）已知三個實數(shù)a、b、c,當(dāng)c>0時，0<2a+3c且歷=/，則的取

O

值范圍是.

45.（2024,浙江）已知實數(shù)a、b、c滿足a+b+c=0,c^+b2+c2=l,貝U。的最大值為.

46.（2024?山西?一模）我們都知道一杯糖水中再加入一些糖，糖水會更甜.這句話用數(shù)學(xué)符號可表示為：

2bV竺h+%iri,其中。>6,且a,b,meR+.據(jù)此可以判斷兩個分?jǐn)?shù)的大小關(guān)系，比如85黑436罷623言9_______

aa+m998763421

854366236華、

---------（填

998763418

47.（2024?內(nèi)蒙古呼和浩特?一模）若?？瞬伙柡吞撬泻胸翱颂牵瑒t糖的質(zhì)量分?jǐn)?shù)為b士，這個質(zhì)量分?jǐn)?shù)決

a

定了糖水的甜度.如果在此糖水中再添加加克糖，生活經(jīng)驗告訴我們糖水會變甜，從而可抽象出不等式

"竺>'（a>b>0,〃z>0）數(shù)學(xué)中常稱其為糖水不等式.依據(jù)糖水不等式可得出bgs2log1510

a+ma

（用〃〈〃或?！ㄌ羁眨?；并寫出上述結(jié)論所對應(yīng)的一個糖水不等式.

48.（2024高三上?天津南開?階段練習(xí)）若a,b>0,且"=a+b+3,則ab的最小值是.

4

49.（2024?重慶?模擬預(yù)測）已知%>0,則2%+^一；的最小值為

2x+l

50.（2024高三?全國?專題練習(xí)）若x>l,則x2+2x+2的最小值為

x-1

51.（2024高三下?上海浦東新?階段練習(xí)）若關(guān)于x的不等式/+歷；+。203〉1）的解集為R,則

b-1

的最小值為.

52.（2024高三上?重慶沙坪壩?階段練習(xí)）若龍,yeK,（x-y）2=（xy）3,則'的最小值為________.

xy

53.（2024高二下?浙江?期中）己知x>0,y>0,滿足Y+2沖-2=0,則2x+y的最小值是.

4ci-\-h

54.（2024?天津?一模）若a>0,b>0,c>0,a+b+c=2,貝1J---+----的最小值為_____.

a+bc

55.（2024高三上?浙江寧波?期中）己知a>0,b>0,a+26=l,則丁■二+—^7取到最小值為_____.

3Q+4Z?a+3b

56.（2024?安徽蚌埠?二模）若直線X=1（。>0,6>0）過點（2,3）,則2a+6的最小值為.

4一2bl

57.（20241W1二下,河北,階段練習(xí)）已知a>0,〃>0,Q+2〃=3,則-----1~六■的最小值為________.

a2b

58.（2024高一上?山東煙臺?階段練習(xí)）已知y>2,且3x+y=7,則三二+一二的最小值為___.

33x-ly-2

59.（2024高三下.浙江?開學(xué)考試）已知正實數(shù)a,b,c,a+b=3,則ac與+—+'3的最小值為___________.

babc+1

60.（2024?天津濱海新?模擬預(yù)測）己知尤>0,>>0,則22?,+萼f的最大值是_________.

x+4yx+y

61.（2024?上海金山?二模）若實數(shù)x滿足不等式f―3%+2<0,則X的取值范圍是.

1Or

62.（2024高三?全國?課后作業(yè)）不等式一+e工子的解集為.

63.（2024高一下?湖北省直轄縣級單位?期末）函數(shù)/（%）=J2—+兀—3+（3+2%-f）的定義域為.

64.（2024高三?全國,課后作業(yè)）不等式-2/+3%-52。的解集為.

65.（2024高一上?上海松江?階段練習(xí)）不等式上=>0的解集為______.

x+2

Y2-Q

66.（2024?江西）不等式的--^>0的解集是____

x—2