第三章 一元函數(shù)的導數(shù)及其應用 章節(jié)總結（解析版）-2025年高考數(shù)學一輪復習（新高考專用）

第16講：第三章一元函數(shù)的導數(shù)及其應用章節(jié)總結

目錄

第一部分：典型例題講解...................................1

題型一：求切線問題....................................1

題型二：公切線問題....................................4

題型三：已知切線條數(shù)求參數(shù)............................8

題型四：利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性(小題).............11

題型五：借助單調性構造函數(shù)解不等式...................15

題型六：利用導數(shù)研究函數(shù)單調性(含參討論)...........18

題型七：利用導數(shù)研究函數(shù)的極值.......................24

題型八：利用導數(shù)研究函數(shù)的最值.......................30

題型九：利用導數(shù)解決恒成立問題.......................35

題型十：利用導數(shù)解決有解問題.........................39

題型十一：利用導數(shù)解決函數(shù)零點(方程根)問題........42

第二部分：新定義題......................................54

第一部分：典型例題講解

題型一：求切線問題

1.(2024?陜西西安?二模)己知直線>=履+》與曲線/(x)=/+2+lnx相切于點尸(1,4),則

a+b+k=()

A.3B.4C.5D.6

【答案】D

【分析】把切點尸的坐標代入/(%)=4+2+lnx求出。，再求函數(shù)導數(shù)求出左，再把尸(1,4)

代入y=6+匕求b.

【詳解】.點尸(L4)在曲線/(%)=。必+2+山工上，

「.々+2=4,解得a=2,

由題意得，f\^)—laxH—=4xd—,

XX

???在點尸(1,4)處的切線斜率k=5,

把尸(1,4)代入>=丘+人，得b=-1,

「.Q+Z?+左—2—1+5=6

故選：D.

2.（23-24高二下,陜西西安?階段練習）曲線〃x）=e*+ln（2x+l）在點（0,〃0））處的切線的

方程為.

【答案】y=3x+i

【分析】求出/（X）,可求得尸（。）的值，利用導數(shù)的幾何意義可求得曲線

/（%）=3+ln（2x+l）在點（0,/（0））處的切線的方程

【詳解】由尸（%）=/+京，則/'（0）=3,且/（0）=1,

所以曲線/（x）=e，+ln（2x+l）在點（0,〃0））處的切線的方程為y=3尤+1,

故答案為：y=3x+l

14

3.（2024高二?全國?專題練習）已知直線/為曲線/。）=（丁+］過點尸（2,4）的切線.則直

線/的方程為

【答案】尤->+2=0或4x-y-4=0

【分析】

設切點為由導數(shù)的幾何意義求得切線方程，代入尸點坐標求出％,再回代得切

線方程.

14

【詳解】；=二f\x）=X2.

設直線I與曲線/（X）相切于點M（XO,%）,則直線/的斜率為k=/U）=x：，

過點的切線方程為丁一/（%）=/（%）。一無0）,

14

即廣［丸+§）=片（x-々），又點尸（2,4）在切線上，

4-（1^+1）=^（2-x0）,整理得x；-3x：+4=0,

「.（/+l）（x0—2）~=0,

解得飛=-1或%=2；

.-?所求的切線方程為無7+2=0或4x-y-4=0.

故答案為：x-y+2=0或4x-y-4=0.

4.（23-24高二下?四川南充?階段練習）已知函數(shù)/'（x）=L

X

（I）曲線y=/（X）在點尸處的切線與直線y=4x-n互相垂直，求點p的坐標.

⑵過點Q（T,3）作曲線y=/（元）的切線，求此切線的方程.

【答案】⑴同或m

（2）%+y—2=0或9%+y+6=0

【分析】（1）借助導數(shù)的幾何意義與直線垂直斜率間的關系計算即可得；

（2）設出切點，借助導數(shù)的幾何意義計算即可得.

11,

【詳解】（1）尸（無）=一？，由題意可得-了x4=-l,故%=±2,

當馬=2時，”辱）=；,當/=-2時，/（辱）=_；,

故點尸的坐標為（2,￡|或，2,-1；

（2）設切點坐標為（七,%）,則有y^（x-尤。），

^3--=-—（-l-x0）,整理得3無；-2無。-1=0,

X0%）

即-l）（3x+l）=0,故1=1或%（）=_],

當/o=l時，有,一1=一（九一1）,即x+y—2=0,

當x（）=-g時，有、+3=-9卜+：],即9x+y+6=0,

故此切線的方程為無+>-2=0或9x+y+6=0.

5.（23-24高二下?江西南昌?階段練習）已知函數(shù)〃同=丁+。，點4（0,0）在曲線y=/（x）

上.

⑴求曲線y=/（x）在點（1,1）處的切線方程；

⑵求曲線y=f（x）過點（1,0）的切線方程.

【答案】⑴3%-卜2=0

2727

（2）y=O^y=—x-r-

44

【分析】

（1）由已知條件求出。的值，求出r（i）的值，利用導數(shù)的幾何意義可得出所求切線的方程；

（2）設切點坐標為利用導數(shù)的幾何意義寫出切線方程，將點（1,0）的坐標代入切線

方程，求出r的值，即可得出所求切線的方程.

【詳解】（1）解：因為函數(shù)〃x）=V+a,點A（0,0）在曲線y=〃x）,貝lj〃0）=q=0,所

以，f（x）=x3,

所以，r(x)=3f,則/⑴=3,

因此，曲線y=/(x)在點(1,1)處的切線方程為y—l=3(x—l),即3x-y-2=0.

(2)解：設切點坐標為?,/),則/()=35，

所以，曲線y=〃x)在點())處的切線方程為>-/=3/(》一),即y=3〃x-2兒

將點(1,0)的坐標代入切線方程可得3r-2/=0,解得t=0或f=g,

當7=0時，所求切線方程為y=o；

當仁3:時，所求切線方程為y=2—7x-27

244

7777

綜上所述，曲線y=/(x)過點(1,0)的切線方程為k0或'=?》-?.

題型二：公切線問題

1.(23-24高二下?湖北武漢?階段練習)若直線/既和曲線G相切，又和曲線C?相切，則稱

/為曲線G和C?的公切線.曲線G：y=V和曲線C?：y=4e-的公切線方程為()

A.4x-y-4=0B.x-2y-4=0

C.x-y+l=0D.2x-y-2=0

【答案】A

【分析】根據導數(shù)的幾何意義可知公切線的斜率為2%和4e*~,則2占=41~,分類討論當

曲線G與C2的切點相同與不相同的情況，求出對應的切點，結合直線的點斜式方程即可求

解.

【詳解】由,=/,得y'=2無，由y=4e?得y=4e?,

設曲線Ge?的公切線與曲線G的切點為(看，才)，則切線的斜率為2%，

與曲線C?的切點為(三,4產與，則切線的斜率為4e，T,

所以2玉=411.

當曲線G與C?的切點相同時，再=%,x；=4eV,

解得%=%=2,所以切點為(2,4),此時公切線的方程為4x-y-4=0；

當曲線G與曲線C?的切點不同時，x產三，2百=，得為=2%-2,

所以4x2-4=4e*2,即超一1=102,解得％2=2,止匕時玉=2與玉片%矛盾,

故不存在兩切點不同的情況，

綜上可得：切點的坐標為(2,4),公切線的方程為4尤-y-4=0.

故選：A.

2.(多選)(23-24高二上?山西運城?期末)若直線＞=r+加是曲線丁=2/+3尤+4與〉=-j"

曲線的公切線，則()

A.m=-lB.m=2

C.n=3D.n=—3

【答案】BD

【分析】

借助導數(shù)的幾何意義計算即可得.

【詳解】令/(X)=2/+3X+4,則/'(X)=4X+3,

令/'(x)=4x+3=—1,有x=—1,則〃—1)=2-3+4=3,

即有y_3=_(x+l),即y=—x+2,故〃z=2,

令g(x)=Yi,則g，(x)=_e』，

令g'(x)=_e**"=—1,有無=-〃，則g(Tj)=_e。=-1,

即有y+l=-(x+〃)，BPy--x-n-1,

故有—〃—1=2,即〃=—3.

故選：BD.

3.(23-24高二下?重慶?開學考試)已知函數(shù)/(x)=lnx,g(x)=x"(尤＞0,。片0),若存

在直線/,使得/是曲線y=fW與曲線y=g(x)的公切線,則實數(shù)a的取值范圍是.

【答案】(0.口(1,+8)

【分析】分別設出直線/與兩曲線的切點坐標(%,/&)),(n，g(尤?))，利用導數(shù)的幾何意義

求出切線方程，根據題意得到(af(lnx-x")+lna+l=。，記

/z(x)=(a-l)(lnx-xa)+lna+l,m(x)=lnx-xa,分類討論a與1的大小關系，利用導數(shù)與函

數(shù)的單調性結合零點存在性定理分析求解.

【詳解】設直線/為曲線〃x)=lnx在點(占"(%))處的切線，/'(%)=，,

x\

所以/:＞一：1nxi=」-(無一尤J,即/:y=」-x+lnX]-l；

xxXx

設直線/為曲線g(x)=x"(x＞0,aw0)在點(%，g(%))處的切線，g\x)=axa~l,

所以/：y_甘=Q芯t—芯)，即/：y=ax^~lx+(1-；

—=

由題意知｛石6a2，因為％〉0,%2〉。，可知4>0,

In%一1=(1-d)x^

1

由一=ax2可得In%=—In〃——1)In/,

玉

將其代入ln%i-1=(1一4)石可得：(a-D(lnx-x")+lna+l=O,

^/z(x)=(a-l)(lnx-xfl)+lna+l,則/z(x)在(0,+<?)上有零點,

令機(%)=欣一/，則加(%)=>",a>0,x〉0,

令7"'(x)>0,解得。<x<-F；令〃/(x)<0,解得x>一F；

aaaa

加(%)在區(qū)間o,二r上單調遞增,在區(qū)間；,+8上單調遞減,

、aa><aa>

/\/\

當a>l時，/?(x)在區(qū)間0,—j-上單調遞增，在區(qū)間一上單調遞減,

IaaJ\aaJ

當龍f+8時，Mx)f-oo,故0(x)在(0,+8)上恒有零點，從而々>1恒成立；

當a=l時，/z(x)=l,無零點，不成立；

當Ovavl時，"(x)在區(qū)間0,—j-上單調遞減，在區(qū)間一(~,+8上單調遞增,

【aaJ3a)

且當尤f+00時，+8,

/、

貝I」,一—=(〃-1)(_In-----|+Intz+1=—(l+lna)WO,解得0<〃4_；

\aaa)ae

a

\a7

綜上所述：實數(shù)。的取值范圍是(0,：u(l,+s).

故答案為：［o，：口(1,+8).

【點睛】方法點睛：求曲線的切線問題主要分兩大類：

一類是切點已知，那么只需將切點橫坐標代入到原函數(shù)與導函數(shù)中求出切點和斜率即可;

另一類是切點未知，那么先要設出切點坐標(內,%),利用導數(shù)表示切線的斜率以及切線方

程，根據所過的點求切點，得出切線方程.

4.（23-24高二上?重慶?期末）若函數(shù)/（x）=rlnx與函數(shù)g（x）=f的圖象存在公切線，則

實數(shù)，的取值范圍為.

【答案】（f,2e]

【分析】

求出函數(shù)的導數(shù)，設出曲線與公切線的坐標，利用導數(shù)的幾何意義求得兩切點坐標之間的關

系式，進而求出f的表達式，構造函數(shù)，利用導數(shù)求其最值，即可求得答案.

【詳解】由題意得"x）=〃n無,（x>0）,.?.廣=g'（x）=2x,

設公切線與曲線切于點（々Jin%）,與曲線g（x）=f切于點（程琢）,

則L=2x,=〃n%,貝卜=2彳1%,2X1X2-xf=Hnx；,

再xi-x2

當％=o時，t=0,函數(shù)/（x）=rlnx與g（x）=v的圖象存在公切線y=o,符合題意；

當/WO時，2%i—％2=2%1nx1,即％=2%1（1—1口玉），

故才=2七％2-4x；（1—In再），

令〃（為）=4x；（l-lnxJ,Xi>0,則〃CXjXSXia-lnM+M；（-'hdXiQ-21nxJ,

x\

1,1

當0<%<”時，"（尤1）>0，/?（%）在（0,e5）上單調遞增，

當尤]>1時，〃（不）<。，〃（再）在（/,+00）上單調遞減，

故無（％）a=4e（l-：lne）=2e，故：W2e，

綜合得實數(shù)f的取值范圍為（2,2e],

故答案為：（fZe]

【點睛】關鍵點睛：解答時要設出曲線與公切線的切點，利用導數(shù)的幾何意義，求得切點坐

標之間關系，關鍵在于由此結合該關系求得參數(shù)f的表達式，進而構造函數(shù)，利用導數(shù)解決

問題.

5.（2024高二下?全國?專題練習）已知曲線G：y="x）=lnx,曲線C2：y=g（x）=l-；,

求證：G與C?相切，并求其公切線的方程.

【答案】證明見解析，公切線方程為x-y-i=。

【分析】聯(lián)立兩曲線方程可得lnx+工-1=0,令〃（x）=lnx+^-1,其中x>0,利用導數(shù)證

XX

明出//（“同=0,且在公共點處切線斜率相等，可證得結論成立，再利用點斜式可得出公切

線的方程.

y=Inx

【詳解】解：聯(lián)立1,可得InxH---1=0,

y=l——x

x

令%(%)=1口工+工一1,其中%>0,//(%)=>1—4=^1,

xxxx

由"(x)<0可得0v九vl,由〃(％)>0可得1>1,

所以，函數(shù)。(力的減區(qū)間為(。,1),增區(qū)間為(1,+"),

即函數(shù)M%)=lnx+工-1有且僅有一個零點1,

x

即方程lnx+’-l=0僅有唯一根x=l,

x

y=lnxr=1

故方程組11僅有一組解八，

y=i——1y=o

IX

由已知可得廣(月=1‘g'")=|，貝ur⑴=1,g'(i)=i，

所以/'(l)=g'(l)，所以C|與C?相切于點(1,0),

所以其公切線方程為y=x-i,即X7—1=。(如圖).

題型三：已知切線條數(shù)求參數(shù)

1.(23-24高二下?浙江?階段練習)若過點(。力)可以作曲線y=lnx的兩條切線，則()

A.e*>0>aB.Ino>0>&C.eb>a>0D.lna>b>0

【答案】C

【分析】假設切點坐標，根據導數(shù)幾何意義可求得切線方程，代入(。力)，將問題轉化為>=6

與g⑺=亍+1型-1有兩個不同交點，利用導數(shù)可求得g⑺單調性和最值，由此可得結果.

【詳解】設切點坐標為&1型)。>0),

1111

y'=1，，切線斜率％=；,，在點?』n。處的切線方程為：y=?(xT)+lnr=：尤+lnf-l；

,切線過點(。/)，.,2='1+lnf-l,

過點(a,6)可以作曲線>=lnx的兩條切線，

.,.令g?)=，+lnf-l,貝i|y=6與g⑺有兩個不同交點，

=乎>。)，

當aWO時，g'?)>0,；.g⑺在(0,+向上單調遞增，不合題意；

當a>0時，若7e(O,a),則g'?)<0；若貝l]g'(/)>0；

g(0在(O,a)上單調遞減，在(。,日)上單調遞增，

1nto=g(a)=l+lna_l=lna,:.b>]na,即e">a,

又a>0,:.eb>a>0.

故選：C.

2.(23-24高二上?廣東深圳?期末)過點(1,〃)可以做三條直線與曲線)=疑，相切，則實數(shù)〃

的取值范圍是()

A.曰)B.修)C.T，TD.曰]

【答案】A

【分析】

設切點坐標，寫出切線方程，過點(1M),代入化簡得。=(-片+%+l)e'。，將問題轉化為該

方程有三個不等實根，結合導函數(shù)討論單調性數(shù)形結合求解.

【詳解】設切點為M(x(),%),y=xe",=y'=(x+l)e",

M處的切線斜率左=a)+l)e&,則過點P的切線方程為y=(x0+l)e&(x-/)+厚”，

代入點(1,。)的坐標，化簡得。=(-無；+%+1)e演，

???過點(1,?)可以作三條直線與曲線C：y=xe'相切，

???方程o=(f；+x°+l)e%有三個不等實根.

令/(x)=(-好+x+1)e，,求導得到尸(x)=(-X2-x+2)1,

可知/(無)在(-少,-2)上單調遞減，在(-2,1)上單調遞增，在(1,+e)上單調遞減，

如圖所示，

.2/1

--------~~~x

X^）=ex（-x2+x+l）J

故/（-2）＜a＜0,gp-4＜?＜°.

故選：A.

【點睛】

關鍵點點睛：本題考查導數(shù)的幾何意義，求切線方程，關鍵點在于將問題轉化為方程的根的

問題，根據方程的根的個數(shù)，求解參數(shù)的取值范圍，考查導函數(shù)的綜合應用，涉及等價轉化，

數(shù)形結合思想，屬于中檔題.

3.（23-24高二下?遼寧?期末）已知過點A（O,b）作的曲線y=￥的切線有且僅有兩條，則匕

的取值范圍為（）

A.B.C.（O,e）D.0,—

、’Ie2J

【答案】D

【分析】先根據導數(shù)求出切線斜率，再構造函數(shù)把有兩條切線轉化為函數(shù)有兩個交點解決問

題即可.

1nx蜘-6

【詳解】設切點為伍,為）,由題意得=所以「1-1叫_%-6_x。

XK-2——

%%0%0

,21nxe-1

整理得6=——，此方程有兩個不等的實根.

尤o

令函數(shù)〃尤）=1,則（（"=咨竺.

XX

（3\

當0〈尤＜￡時，戶"）＞0,所以〃尤）在0,一上單調遞增；

\7

當尤〉el時，尸（“＜。，所以〃尤）在1,+/上單調遞減，且/（x）＞0.

/（x）極大值=/卜）=4,方程有兩個不等的實根，故be0,4

e\e27

故選：D.

4.（2023,陜西寶雞?二模）若過點（0,2）可作曲線、=^+3/+依+。一2的三條切線，貝U。的

取值范圍是（）

A.（-3,-1）B.（-2,2）C.（4,5）D.（4,6）

【答案】C

【分析】設切點為尸（無。，片+3片+叫,+。-2）,利用導數(shù)的幾何意義，求得切線方程，根據

切線過點（0,2）,得到2片+3無：+4-a=0,^g（x）=2x3+3x2+4-a,求得g'ahGx2+6x,

得出函數(shù)g（x）單調性和極值，列出方程組，即可求解.

【詳解】設切點為尸（為芯+3*+映+4-2）,

由函數(shù)》=丁+3x?+辦+。一2,可得y'=3爐+6x+a,貝！]y'[、=否=+6x（）+a

所以在點尸處的切線方程為y-（x：+3xg+axo+a_2）=（3%o+6x0+a）（x-%0）,

因為切線過點（0,2）,所以2-（尤；+3尤;+ax0+a-2^=（3xg+6/+a）（0-x（,）,

整理得2只+3x；+4-a=0,

設g（尤）=2x3+3x2+4—a,所以g'（x）=6x2+6x,

令g'（x）>0,解得x<-l或無>0,令g'（x）<0,解得-l<x<0,

所以g（“在上單調遞增，在（TO）上單調遞減，在（0,+8）上單調遞增，

要使得過點（0,2）可作曲線y=d+3d+?+。-2的三條切線，

則滿足口0）：4“<0，解得4<°<5,即°的取值范圍是（45）.

故選：C.

題型四：利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性（小題）

1.（23-24高二下?河北張家口?階段練習）若函數(shù)在（1,3）上單調遞減，則

實數(shù)。的取值范圍是（）

A.2,?B.[岑#00]C.[2,+co）D.T'+0°]

【答案】D

【分析】首先求函數(shù)的導數(shù)，根據題意轉化為尸（x）=l+J-；V0,xe（l,3）恒成立，利用

參變分離，轉化為求函數(shù)的最值問題，即可求解.

【詳解】若函數(shù)〃尤)=彳—一如，貝"口)=1+十一三，

由題意可知，-(x)=l+5-￡vO,xe(l,3)恒成立，

即。2尤+1，xe(l,3)恒成立，

設y=x+1,y=l-J-=^zl>0,尤e(l,3)恒成立，

XxX

所以y=x+1在區(qū)間(1,3)單調遞增，即2<><與，

所以a*.

故選：D

2.(23-24高三下?河南?階段練習)已知函數(shù)〃尤)=癡在區(qū)間(1,2)上單調遞增，則。

的最小值為()

A.eB.1C.e-2D.J

【答案】D

【分析】

等價轉化為尸(x)=ae*-x20在區(qū)間(1,2)上恒成立，再利用分離參數(shù)法并結合導數(shù)即可求

出答案.

【詳解】

因為尸(x)=-x20在區(qū)間(1,2)上恒成立，所以a2彳在區(qū)間(1,2)上恒成立.

令g(x)=p,xe(l,2),則，(x)=F<°在(L2)上恒成立，

所以g(x)=g在區(qū)間(L2)上單調遞減，所以8⑺登⑴二廠，故此尸.

故選：D.

3.(23-24高二上?福建福州?期末)已知函數(shù)〃x)=aex-Inx在區(qū)間(1,3)上單調遞減，則實

數(shù)〃的最大值為()

1111

A.—B.—C.—TD.-7

e3e3e3e3

【答案】C

【分析】

依題意，r(x)=ae，-工40在區(qū)間(1,3)上恒成立，分離參數(shù)可得實數(shù)。的最大值.

【詳解】由題意r(x)="e，-

因為函數(shù)/(x)=ae'-lnx在區(qū)間(1,3)上單調遞減，

所以尸(x)=“e，'-工W0在區(qū)間(1,3)上恒成立，即aV工,

xxe

又xe(l,3),所以g'(x)<0,所以g(x)=?在xe(l,3)為減函數(shù)，

所以g(x)>g(3)=白,

所以即實數(shù)。的最大值是

故選：C

4.(23-24高三上?福建泉州?階段練習)若函數(shù)〃(同=1皿-；"2-2尤在口,4]上存在單調遞

增區(qū)間，則實數(shù)a的取值范圍為()

A.[-l,+oo)B.(-1,+co)

【答案】D

【分析】根據條件得出存在了電4],使“⑺二^1■-盆-2>0成立，即存在xe[l,4],使

X

1717

成立，構造函數(shù)G(x)=《-』，xe[l,4],求出G(x)的最值即可解決問題.

x~XXX

【詳解】因為函數(shù)〃(x)=lnx-；"2-2x在口,4]上存在單調遞增區(qū)間，

112

所以存在％使"(x)=初-2>。成立，即存在XE[1,4],使。<二成立，

XXX

令G(x)=—---,[1,4],變形得G(x)=(---1)2—1,因為XE[1,4],所以—￡—,1,

XXXX_4_

1177

=9

所以當一=:，即％=4時，G(x)max~~所以〃<一/，

x41616

故選：D.

5.(2023高三?全國?專題練習)若函數(shù)〃％)=砒3_3/+x+1恰有三個單調區(qū)間，則實數(shù)〃

的取值范圍為()

A.[3,-Ko)B.(-co,3)C.(-oo,0)u(0,3)D.(-8,0)

【答案】C

【分析】根據導函數(shù)有兩個不等根計算即可.

【詳解】由題意得函數(shù)/(X)的定義域為R,/,(X)=3OX12-6X+1,

要使函數(shù)/(x)=-3無2+*+1恰有三個單調區(qū)間，

/、(4W0

則/x)=o有兩個不相等的實數(shù)根，二A八，解得。<3且awo,

［△=36-12〃>0

故實數(shù)a的取值范圍為(f,O)u(O,3),

故選：C.

6.(22-23高二下?湖北?階段練習)若函數(shù)/(x)=2f_hx在其定義域的一個子區(qū)間

(201,2%+1)內不是單調函數(shù)，則實數(shù)左的取值范圍是()

一13、「31「1小(13、

L24jL4JL2)(24J

【答案】A

【分析】先求出函數(shù)的定義域(0,+s)，則有2%-120,對函數(shù)求導后，令(5)=。求出極值

點，使極值點在(2左-1,2%+1)內，從而可求出實數(shù)上的取值范圍.

【詳解】因為函數(shù)/⑺的定義域為(0,+A),

所以2%—120,即左2；,

小)=以」=g=(2》+1)(21)

XX

11

令/'(x)=0,得x=］或x=-］(舍去),

因為了⑺在定義域的一個子區(qū)間(201,2k+1)內不是單調函數(shù),

113

所以2左一1<—<2左+1,得一上〈人<二，

244

13

綜上，；4人<:，

24

故選：A

7.(21-22高三上?河南?階段練習)已知函數(shù)〃x)=d+(x-1)，在區(qū)間［1,3］上不是單調函

數(shù)，則實數(shù)。的取值范圍是()

Cee2}(ee2l(e3e?)fee3^

I416)I416」(3616j416)

【答案】A

【分析】把“同=4+(.一1片在區(qū)間［1,3］上不是單調函數(shù)，轉化為尸(x)=4加+xe，在區(qū)

間。,3)上有零點，用分離參數(shù)法得到一4a=鼻，規(guī)定函數(shù)g(x)=4,求出值域即可得到實

XX-

數(shù)。的取值范圍.

【詳解】因為/(尤)=64+(a一1)，在區(qū)間［1,3］上不是單調函數(shù)，

所以尸(x)=4辦3+e=0在區(qū)間(1,3)上有解，即-4°=烏在區(qū)間(1,3)上有解.

X

令g(無)=0，則g，(x)=9f￡.

XX

當xe(l,2)時，g")<0；當xe(2,3)時，g")>0.

23

故g(x)在(1,2)上單調遞減，在(2,3)上單調遞增.又因為g6=e,g(2)=(a3)=.<e,

且當Q=---時，/'(無)=一~~X+比"=兀---—0,

16-454)

所以“/X)、在區(qū)間「1,3I上單調遞增，所以J片<-4a<e,解得，4<a<_J片.

4e16

故選：A

題型五：借助單調性構造函數(shù)解不等式

1.(23-24高二下?河北保定?階段練習)若函數(shù)/(x)的定義域為R,且/'(力>1,則不等式

/(X)—/(2)>x—2的解集為

A.(1,+co)B.(-co,l)C.(2,+co)D.(-00,2)

【答案】C

【分析】首先構造函數(shù)g(x)=〃x)r,再判斷函數(shù)的單調性，解不等式.

【詳解】構造函數(shù)g(x)=/(x)-x,則g'(x)=/'(x)-1>0,所以g(x)在R上單調遞增.

由/(X)-/(2)>彳一2,得g(x)=〃x)-x>g(2)=/(2)-2,得x>2.

故選：C

2.(23-24高二下?河南?階段練習)設a=6,6=3eln2,c=2eln3,則()

A.b<a<cB.c<a<bC.c<b<aD.b<c<a

【答案】D

【分析】將b和c轉化為都以In為底的對數(shù)即可比較b和。，設/(x)=",根據導數(shù)即可

Inx

判斷。和。大小關系.

2ee

【詳解】因為b=ln23e=ln8e,c=ln3=ln9,

所以c>b,設/(元)=",

Inx

所以「。)=箸」，令r(x)=0,

Inx

則X=e,因為八x)在(0,e)小于0,/'(無)在(e,+oo)大于0,

所以/⑺在(0,e)單調遞減，在(e,+oo)單調遞增，

所以/(e)</(3),所以e<三3，

m3

所以eln3<3,2eln3<6,

所以c<。，所以6<c<a.

故選：D.

3.(23-24高二下?河北張家口?階段練習)若。=絆,6=±。=坐，則以下不等式正確的是

2e3

A.c>b>aB.a>b>cC.b>a>cD.b>c>a

【答案】D

【分析】將6=:1■變形為6=叱，構造函數(shù)〃*)=叱，xe(O,+a),利用導數(shù)研究其單調

eex

性，再結合作差法比較即可.

【詳解】因為y

令“幻=叱，定義域為(。,+8),則尸。)=匕職,

X尤

當0<x<e時，f'(x)>o,當x>e時，f'(x)<0,

所以/⑴在(0,e)上單調遞增，在(e,+s)上單調遞減，

又因為2<e<3,所以〃2)<〃e),/(e)>/(3),

所以/(e)>/(3)>/(2),^b>c>a.

故選：D.

4.(23-24高二下?重慶?階段練習)已知函數(shù)/(X)的定義域為(-/,。)，=其導

函數(shù)尸(x)滿足#'(“一2〃力>0,則不等式〃x+2025)+(x+2025)2<0的解集為()

A.(-2026,0)B.(-2026,-2025)

C.(-oo,-2026)D.(-oo,-2025)

【答案】B

【分析】

構造函數(shù)g(x)=§,判定其單調性計算即可.

［詳解1根據題意可令g(x)=與(x<0)=g'(尤)=>⑺,⑺<0,

所以g(x)=萼在(-8,0)上單調遞減,

/(x+2025)

則原不等式等價于<T,

(尤+2025)2

_/(x+2025)

由g(x+2025)<—l=g(—1)=0>尤+2025>-1

(x+2025)2

解之得xw(—2026,—2025).

故選：B

3

5.(2024.陜西模擬預測)設"。9』叫,』「則()

A.a<b<cB.b<a<cC.c<a<bD.b<c<a

【答案】D

【分析】

構造函數(shù)-雙0<x<l),利用導數(shù)得到其單調性則比較出c<。，利用指數(shù)函數(shù)和

幕函數(shù)以及正弦函數(shù)的單調性即可比較出c>b,則最終得到三者大小.

【詳解】先變形。=^/311,。=6°31,令x=0.81,

下面比較當。<x<l時，石與的大小.

①令/(尤)=e2A2-尤(0<*<1),則/'(尤)=2e2—令八方=。,

得x=l-電2<1-如立=—當xe依力時，f(x)>0J(x)單調遞增,

224k4)

所以『(0.81)<"1)=0,所以e438<Q81,即摩/9<0.9,所以

019

@c=e-=-l?>-^,所以=1,b=sin：<sin￡=q,

所以65<j曰］=￡,則05>!>系>65,所以c>6

綜上，b<c<a,

故選：D.

6.(23-24高三上?浙江杭州,期末)已知定義在R上的函數(shù)滿足sin4(x)+cos4''(xA。,

則()

【答案】B

【分析】

構造函數(shù)尸（x）=?,+求導得到其單調性，從而得到歹田<尸田,

cos%2

化簡后得到答案.

【詳解】令尸=X^~+kTl,kEZ,

cosx2

故尸（同=〃x）c°sx：（x）sinx>。恒成立，

cosX

故尸（苫）=坐在卜3+E,J+E1,左eZ上單調遞增，

cosx\22）

故選：B

題型六：利用導數(shù)研究函數(shù)單調性（含參討論）

1.（2024高二?上海?專題練習）己知函數(shù)/（x）=lnx+ox+l.

⑴當4=T時，求“X）的最大值.

（2）討論函數(shù)“X）的單調性.

【答案】（1）0

（2）答案見解析

【分析】（1）利用導數(shù)求解函數(shù)最值即可.

（2）含參討論函數(shù)單調性即可.

【詳解】（1）當。=一1時，/（x）=lnr-x+l,

11_r

由x>0,所以尸（x）=—_1=——，

XX

當0<x<l時，r（x）>0,所以函數(shù)/（尤）在（0,1）上單調遞增;

當X>1時,/'（力<0,所以函數(shù)/（力在（1,+8）上單調遞減;

故而=〃1)=山1T+1=°；

(2)定義域為(0,+W,f'(x)=i-+a,

當a?0時，/,(x)=1+a>0,/(x)在(0,+s)上遞增；

當〃<0時，令尸(x)=：+a>0,解得xe(0,一：j,

令廣⑺=：+a<0,解得

于是/(元)在(o,-上單調遞增；在上單調遞減.

2.(23-24高二下?四川南充?階段練習)已知函數(shù)〃x)=lnx+?x2+(2a+l)x.

⑴當。=-1時，求/(x)的單調區(qū)間;

⑵若“X)在［3,5］上是增函數(shù)，求。的取值范圍;

⑶討論的單調性.

【答案】(l)f(x)的單調遞增區(qū)間為單調遞減區(qū)間為

MW*］

⑶答案見解析

【分析】(1)利用導數(shù)法求函數(shù)的單調性的步驟即可求解；

(2)將所求問題轉化為不等式恒成立問題，利用一元二次不等式在區(qū)間恒成立的解決方法

即可求解；

(3)利用導數(shù)法求函數(shù)的單調性的步驟，注意分類討論即可求解.

【詳解】(1)當a=T時，/(x)=lnx-x2-A：(X>0),

「⑴,一2》一1=一2十一x+1一(2xf(x+l),

XX

（2x-l）（x+l）

令-(無)=0,則一=0,解得X=g或X=-1（舍）,

x

當X〉：時，當0<x<；時，/'(%)>0,

所以/(X)的單調遞增區(qū)間為1。，；］,單調遞減區(qū)間為

（2）因為/（x）=lnx+ax2+（2〃+l）%,

所以「=4+2依+（2〃+1）,

因為“X）在［3,5］上是增函數(shù),

所以廣（司=5+2辦+（2。+1）20在［3,5］上恒成立,

即2依2+（2a+l）x+/。在［3,5］上恒成立，

因為y=2加+（2o+l）x+l的對稱軸為口=2a+l=,

-la2a

當〃>0時，y=—1----<0,則y=2依2+（2々+1）%+1在［3,5］上單調遞增;

2a

當〃=0時，>=%+1在［3,5］上單調遞增；

當a<0時，y=2依2+（2々+1）x+1開口向下；

綜上，要使得2辦2+（2〃+1）x+120在［3,5］上恒成立，

24x3?+（2。+1）x3+1201

只需26ZX52+（26Z+1）X5+1>0,解付—10

所以〃的取值范圍為一\，+8）.

（3）因為/（%）=111%+收2+（2々+1卜（%>。）,

2ax2+（2?+l）x+l（2ox+l）（%+l）

所以/r（x）=—+2ax+（2（7+1）=

XX

當時，2ox+l>0,x+l>0,所以力2"）>0在（0,+e）上恒成立，

所以F（%）在（。，+。）上單調遞增；

當°<0時，令尸⑺=0,則（2辦+D（x+l）=o,解得x=或x=_l（舍），

x2a

當工>--■時，r（x）<o,當。<%<時，/'（X）>o,

所以/（尤）在［o,-上單調遞增，在上單調遞減;

綜上所述，當a?0時，“X）在（0,+。）上單調遞增；

當a<0時，/（x）在1°，一上單調遞增，在上單調遞減?

3.（23-24高二下?四川廣元?階段練習）己知函數(shù)/。）=一："2+（1+。）尤-In尤（aeR）.

⑴當a=0時,求函數(shù)/（x）的最小值;

⑵當。=1時，.re［l,3］,證明不等式/（尤）>-41nx；

⑶當aeR時，求函數(shù)Ax）的單調區(qū)間.

【答案】（1）1

(2)證明見詳解

⑶答案見詳解

【分析】(1)求導，利用導數(shù)判斷Ax)的單調性，結合單調性求最值；

(2)構建g(x)=/(x)+41nx,xe[l,3],利用導數(shù)判斷其單調性，結合單調性分析證明；

(3)求導，分類討論最高項系數(shù)以及兩根大小，利用導數(shù)求單調區(qū)間.

【詳解】(1)因為了⑺的定義域為(。,+力)，

1Y—1

當a=0時，則/'(x)=x-lnx,且/'