北京市朝陽(yáng)區(qū)2024-2025學(xué)年高三年級(jí)上冊(cè)期中考試數(shù)學(xué)試卷（含答案）

北京市朝陽(yáng)區(qū)2024-2025學(xué)年度第一學(xué)期期中質(zhì)量檢測(cè)

高三數(shù)學(xué)試卷

2024.11

（考試時(shí)間120分鐘滿分150分）

本試卷分為選擇題40分和非選擇題110分

第一部分（選擇題共40分）

一、選擇題共10小題，每小題4分，共40分.在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題目要

求的一項(xiàng).

1.設(shè)集合/={x|0Vx<2},集合3={x[l<x<3},則2口3=（）

A.{x|l<x<2}B.{x|0<x<2}

C.{x|0<x<3}D.{x|l<x<3}

4

2.若函數(shù)/（》）=》+—（》>0）在;（;=。處取得最小值，則。=（）

X

A.lB.V2C.2D.4

3.下列函數(shù)中，既是奇函數(shù)又在區(qū)間（-oo,0）上單調(diào)遞增的是（）

Aj=2,B.J=ln|x|

2

C.y=tanxD.y=x--

X

4.如圖，在AA8C中，BD=-BC,AE=-AC,貝U()

32

—■1—■1—■—■2—-2—■

K.BD=-AB--ACB.BD=-AB--AC

3333

—■2—■1—■—■2—■1—-

C.DE=——AB+-ACD.DE=-AB--AC

3636

5.已知單位向量i,j滿足z-j=0設(shè)向量2）,則向量1與向量?夾角的余弦值是（)

275V5V5275

A.--------B.------C.----D.------

5555

6.《九章算術(shù)》是我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著，書(shū)中有如下的問(wèn)題：“今有女子善織，日自倍，五日織五尺，問(wèn)日織

幾何？”意思是：“一女子善于織布，每天織的布都是前一天的2倍，已知她5天共織布5尺，問(wèn)這女子每

第1頁(yè)共11頁(yè)

天分別織布多少？”.由此推算，在這5天中，織布超過(guò)1尺的天數(shù)共有（）

A.1天B.2天C.3天D.4天

7.已知a,￡均為第二象限角，則"sina〉sin，"是"cosa〉cos￡”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

ex,x<0,

8.已知函數(shù)/（x）=|—若直線y=x+加與函數(shù)y=/（x）的圖象有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)

2Vx+l,x>0.

m的取值范圍是（）

A.(-00,1]U(2,+oo)B.(—8,l)U[2,+8)

C.（—叫0也（2,+如D.(-oo,0)U[2,+oo)

9.在三棱錐。-/8C中，棱ON,OB,。。兩兩垂直，點(diǎn)P在底面/8C內(nèi)，已知點(diǎn)尸到ON,OB,0c所在直

線的距離分別為1,2,2,則線段。尸的長(zhǎng)為（）

3c3V39

A.B.C.3D.-

222

10.數(shù)學(xué)家康托爾創(chuàng)立了集合論，集合論的產(chǎn)生豐富了現(xiàn)代計(jì)數(shù)方法.記國(guó)為集合S的元素個(gè)數(shù)，9（S）為集

合S的子集個(gè)數(shù)，若集合/,B,C滿足：

①|(zhì)/|=99,忸|=100；

②夕（幺）+夕（3）+9（C=0（，UBUC）,

則的最大值是（）

A.99B.98C.97D.96

第二部分（非選擇題共110分）

二、填空題共5小題，每小題5分，共25分.

11.計(jì)算2-=

l-i

3

12.在△43C中，已知cos/=不則sin/=；tan（兀一4）=.

13.已知數(shù)列｛4｝的前"項(xiàng)和為J=4〃2+珈8為常數(shù)），寫(xiě)出一個(gè)有序數(shù)對(duì)（48）=,使

得數(shù)列｛%｝是遞增數(shù)列.

14.某種滅活疫苗的有效保存時(shí)間T（單位：h）與儲(chǔ)藏的溫度/（單位：。C）滿足函數(shù)關(guān)系7=",b

為常數(shù)，其中e=2.71828…）.已知該疫苗在0℃時(shí)的有效保存時(shí)間是1440h,在5℃時(shí)的有效保存時(shí)間是

360h,則該疫苗在10℃時(shí)的有效保存時(shí)間是h.

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15.對(duì)于無(wú)窮數(shù)列｛%｝,若存在常數(shù)M〉0,對(duì)任意的〃eN*,都有不等式

,2-%|+|。3-電|+…+|*+1-成立，則稱數(shù)列｛%｝具有性質(zhì)尸.給出下列四個(gè)結(jié)論：

①存在公差不為0的等差數(shù)列｛%｝具有性質(zhì)P；

②以1為首項(xiàng)，q(|q[<l)為公比的等比數(shù)列｛%｝具有性質(zhì)P；

③若由數(shù)列｛4｝的前"項(xiàng)和構(gòu)成的數(shù)列也｝具有性質(zhì)尸，則數(shù)列｛%,｝也具有性質(zhì)P；

④若數(shù)列｛4｝和也｝均具有性質(zhì)P,則數(shù)列｛anbn｝也具有性質(zhì)P-

其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是.

三、解答題共6小題，共85分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，演算步驟或證明過(guò)程.

16.(本小題13分)

在AABC中，acosC+ccosA=2a.

(I)求2的值；

a

(ID若/=5，c=百，求6及△48C的面積.

6

17.(本小題15分)

如圖，在四棱錐P/2CD中，尸￡)，平面48CD,ABHCD,ADLCD,AB=AD=2,CD=PD=3.

(I)求證：45_L平面以。；

(II)求平面PAB與平面PCD的夾角的余弦值；

(III)記平面與平面PCD的交線為/.試判斷直線N3與/的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由.

18.(本小題13分)

已知函數(shù)/(x)=ax-ln(x+l)(oeR).

(I)若。=1,求/(x)的最小值；

(II)若/(x)存在極小值，求。的取值范圍.

19.(本小題14分)

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設(shè)函數(shù)/(2in2ss°+2Wn小>。,|夕咱.

(I)若0=1,9，求的值；

(II)已知/(x)在區(qū)間-巴，巴上單調(diào)遞增，且x=4是函數(shù)y=/(x)的圖象的對(duì)稱軸，再?gòu)臈l件①、條

63J3

件②、條件③這三個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知，使函數(shù)/(x)存在，求①9的值.

TT

條件①：當(dāng)》=—-時(shí)，/(X)取到最小值；

條件③：/(X)在區(qū)間-71'71上單調(diào)遞減.

36

注：如果選擇的條件不符合要求，第(II)問(wèn)得0分；如果選擇多個(gè)符合要求的條件分別解答，按第一個(gè)解

答計(jì)分.

20.(本小題15分)

已知函數(shù)f(x)=ex+cosx.

(I)求曲線y=/(x)在點(diǎn)(0,/(0))處的切線方程；

(II)討論/(x)在區(qū)間(-兀,+8)上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)；

(HI)若/(掰)=〃，其中加〉0,求證：n-m>2.

21.(本小題15分)

若有窮正整數(shù)數(shù)列/：aA,a2,a3,%.(〃3)滿足如下兩個(gè)性質(zhì)，則稱數(shù)列/為7數(shù)列：

①的”]+=2'(i=1,2,3,???,?)；

②對(duì)任意的ie{l,2,3,…,2〃一1},都存在正整數(shù)j<i,使得《“I=%+%“1+%“2+…+%+—).

(I)判斷數(shù)列/：1,1,1,3,3,5和數(shù)列8：1,1,2,2,4,4,4,12是否為7數(shù)列，說(shuō)明理由；

(II)已知數(shù)列，：%,a2,a3,,,,,4"(〃23)是7數(shù)列.

(i)證明：對(duì)任意的ie{2,3,…，”一1},a2]=3x2'-2與a2Hl=3x2-2不能同時(shí)成立；

(ii)若〃為奇數(shù)，求。2+。4+。6+…+。2"的最大值.

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（考生務(wù)必將答案答在答題卡上，在試卷上作答無(wú)效）

北京市朝陽(yáng)區(qū)2024?2025學(xué)年度第一學(xué)期期中質(zhì)量檢測(cè)

高三數(shù)學(xué)參考答案

2024.11

一、選擇題（共10小題，每小題4分，共40分）

l.A2.C3.D4.C5.C

6.B7.C8.B9.A10.B

二、填空題（共5小題，每小題5分，共25分）

44

ll.-1+i12.y,--13.（1,0）（答案不唯一）14.9015.②③④

三、解答題（共6小題，共85分）

16.（本小題13分）

解：（I）由acosC+ccosZ=2。，得$也2（：05。+5詁。（：052=251112.

所以sin（Z+C）=2sin/.

由/+。=兀一3,得sin3=2sinZ.

又因?yàn)?e（0,7r）,所以sinZ〉0,所以堊0=2.

sin/

一4口bsin5-八

可得一二-----=2.5分

asin/

（II）因?yàn)?=四，c=V3,

6

所以/二+c?-2bccosA=b2+3-2也bcos—.

6

又由（I）可知，b=2a,所以。2=4/+3—4.xJ.

2

整理得3〃—6a+3=0,即2a+l=0.

所以a=l.所以6=2a=2.

所以△48C面積為S4/BC=-bcsinZ=—x2x^xsin—=——.13分

’2262

17.（本小題15分）

解：（I）因?yàn)槭?gt;_L平面/8C￡>,所以PZ>_L48.

又因?yàn)?8〃CO,ADLCD,所以40,4g.

又因?yàn)?0np￡>=￡>,所以48,平面為D5分

第5頁(yè)共11頁(yè)

(II)由(I)可知，PDLAD,PDLCD,ADLCD,

如圖所示，以D為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系D-xyz,

則」(2,0,0),5(2,2,0),C(0,3,0),尸(0,0,3).

則加=(0,2,0),AP=(-2,0,3).

設(shè)平面PAB的一個(gè)法向量為加=(x,y,z).

m-AB=0,12y=0,,=。，

由______得,；「所以3-

m-AP=0〔一2x+3z=0,x=-z

'I2

令z=2,則％=(3,0,2).

又因?yàn)?D_L平面尸CD,

所以萬(wàn)3=(2,0,0)是平面尸CD的一個(gè)法向量.

設(shè)平面E48與平面尸CO的夾角為仇則

m-DA63^/13

cos。二cos(m.DA12分

網(wǎng)V13x213

(III)直線48〃/.理由如下：

因?yàn)锳BIICD,CDu平面PCD,AB仁平面PCD,

所以45〃平面PCD.

又因?yàn)?8u平面為3,平面「48n平面PCD=/,所以48〃/.15分

第6頁(yè)共11頁(yè)

18.(本小題13分)

解：(I)函數(shù)/(x)的定義域?yàn)?—1,+8),

1V

當(dāng)a=1時(shí)，/'(X)=1------=-----，

x+1x+1

xe(—1,0)時(shí)，/'(x)<0,/(x)在區(qū)間(—1,0)上單調(diào)遞減，

xe(0,+oo)時(shí)，f'(x)>0,/(x)在區(qū)間(0,+oo)上單調(diào)遞增.

所以當(dāng)x=0時(shí)，/(x)取得最小值0.5分

(II)f'(x)=a------(x>-1).

x+1

(1)當(dāng)a<0時(shí)，f\x)<0,/(x)在區(qū)間(—1,+oo)上單調(diào)遞減，

所以/(%)無(wú)極值.

(2)當(dāng)a〉0時(shí)，令/'(X)=0,得x=---1.

a

當(dāng)X變化時(shí)，/'(X)與/(X)的變化情況如下表:

X--1

a

/'(X)-0+

/(X)極小值/

由上表知，當(dāng)》=工-1時(shí)，/(X)取得極小值.

a

綜上，。的取值范圍為(0,+8).13分

19.(本小題14分)

兀V3

解：(I)由G=1,(p=—,得/(x)=——sin2x+cos2x.

第7頁(yè)共11頁(yè)

(II)/(x)=sin2coxcos(p+2cos2coxsin(p,

=sin2Gxeoscp+(cos2cox+1)sincp

二sin2Gxeos0+cos2Gxsin0+sin。,

二sin(2^x+0)+sin0.

選擇條件①：

因?yàn)?(X)在區(qū)間-py上單調(diào)遞增,

71

且x=§是函數(shù)y=/(x)的圖象的對(duì)稱軸,

又當(dāng)x=—4時(shí)，/(x)取到最小值，所以二=四一(—四］=3,

623I6J2

故T=71.

所以①=1,/(x)=sin(2x+0)+sin0.

71

丁°+sin0=—1+sin。,

所以sin［—/+°J=—1,得e=2hr—2(keZ).

TTTT

又因?yàn)椤?所以0二---.

26

選擇條件③：

7171

因?yàn)?(x)在區(qū)間上單調(diào)遞增，

71

且X=］是函數(shù)歹二/(X)的圖象的對(duì)稱軸,

又/(X)在區(qū)間_巴，一烏上單調(diào)遞減，所以工二工巴］二巴,

_36J23(6)2

故T=71.

第8頁(yè)共11頁(yè)

2兀

因?yàn)棰?gt;0,所以2G=—=2.

T

所以①=1,/(x)=sin(2x+0)+sin0.

又因?yàn)?sinf--1-+(p\+sin。=-1+sincp

所以sin[—]+/)=—1,得°=2E—￡(keZ).

TTTT

又因?yàn)閨0|<—,所以9=——.14分

26

20.(本小題15分)

解：⑴由/(x)=ex+cosx,得/(0)=2且/'(x)=e、—sinx,

所以/,(0)=l.

所以曲線了=/(x)在(0,/(0))處的切線方程為:

y-f(0)=f'(0)(x-0).即x—y+2=0.4分

(II)①當(dāng)x>0時(shí)，ex>1,-1<cosx<1,所以/(x)〉0.

所以/(x)在區(qū)間(0,+oo)上無(wú)零點(diǎn).

②當(dāng)一兀<》<0時(shí)，ex>0,sinx<0,所以/'(x)=e*—sinx〉0.

所以/(x)在區(qū)間(-兀,0]上單調(diào)遞增.

又/(-兀)=尸-1<0,f(0)=2>0,

所以/(x)在區(qū)間(-兀,0]上僅有一個(gè)零點(diǎn).

綜上，/(x)在區(qū)間(-兀,+00)上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為1.9分

(III)設(shè)g(x)=f(x)-x-2(x>0),即g(x)=e*+cosx-x-2,

所以g'(x)=ex-sinx-1.

設(shè)g'(x)=/(x)，h\x)=ex-cosx.

因?yàn)閤>0時(shí)，ex>1,-1<cosx<1,所以/?'(x)〉0.

所以/z(x)在區(qū)間(0,+oo)上單調(diào)遞增，

第9頁(yè)共11頁(yè)

即g'(x)在區(qū)間(0,+oo)上單調(diào)遞增.

故g'(x)>g'(0)=o,所以g(x)在區(qū)間(0,+00)上單調(diào)遞增.

故g(x)〉g(0)=0,所以/(x)-x-2>0.

因?yàn)閯e>0,所以/(掰)一加一2〉0,

又/(加)=〃，所以“一加>2.15分

21.(本小題15分)

解：(D數(shù)列/不是r數(shù)列，理由如下：

對(duì)于數(shù)列/,

因?yàn)椤?=5，%=3<4,且對(duì)任意的正整數(shù)/<4,有

%+為+】+%+2+--+a5>a4+a5=6>a6,

所以數(shù)列/不滿足性質(zhì)②.所以數(shù)列/不是T數(shù)列.

數(shù)列8是T數(shù)列，理由如下：

對(duì)于數(shù)列B,

因?yàn)?+。2=2,%+。4=4,%+。6=8,%+。8=16,

所以數(shù)列5滿足性質(zhì)①.

又因?yàn)?%'。3=%+。2，。4=%，。5=+。4，

。6=€1$9Cl-j—676，。8=+。6+。7'

所以數(shù)列8滿足性質(zhì)②.

所以數(shù)列3是T數(shù)列.4分

(II)⑴假設(shè)存在ie{2,3,…，〃-1},使得的==3x2'-2.

，+1M,，-22-2

由性質(zhì)①，可得a2H2=2-a2M=2-3x