2025年中考數(shù)學(xué)熱點(diǎn)題型專項(xiàng)訓(xùn)練：圓的證明與計算（解析版）

專題05圓的證明與計算

目錄

熱點(diǎn)題型歸納.........................................................................................1

題型01隱圓模型......................................................................................1

題型02圓與相似.....................................................................................11

題型03圓與全等.....................................................................................19

題型04圓的計算....................................................................................26

中考練場............................................................................................37

熱點(diǎn)題型歸納

題型01隱圓模型

【解題策略】

定點(diǎn)定長的隱圓定弦定角的隱圓對角互補(bǔ)的隱圓

點(diǎn)A為定點(diǎn)，點(diǎn)B為動點(diǎn)，且AB若線段AB的長度及其所對的N

若四邊形ABCD對角互補(bǔ)則A、B、C、

長度固定則點(diǎn)B的軌跡是以點(diǎn)AACB的大小不變，則點(diǎn)C的運(yùn)動軌

D四點(diǎn)共圓。

為圓心，AB長為半徑的圓。跡是以AB為弦的圓。

【典例分析】

例1.（2023?浙江?中考真題）如圖，在四邊形/BCD中，AD//BC,ZC=45°,以NB為腰作等腰直角三角形A4E,頂

點(diǎn)E恰好落在CD邊上，若AD=1,則CE的長是（）

A.J2B.—C.2D.1

2

【答案】A

【分析】先根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得ZABE=ZAEB=45°,/BAE=90。,再判斷出點(diǎn)4昆￡,。四點(diǎn)共

圓，在以BE為直徑的圓上，連接8。，根據(jù)圓周角定理可得/瓦乃=90。，ZADB=ZAEB=45°,然后根據(jù)相似三角形

的判定可得仍C,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可得.

【詳解】解：???△民4￡是以48為腰的等腰直角三角形，

:.BE=6AB，^ABE=ZAEB=45°,ZBAE=90°,

VAD//BC,ZC=45°,

ZADE=180°-ZC=135°,

;.NADE+NABE=18Q°,

點(diǎn)四點(diǎn)共圓，在以BE為直徑的圓上,

如圖，連接3D,

由圓周角定理得：NBDE=90°,N4DB=N4EB=45°,

NADB="=ZCBD=45°,

ZABD+ZDBE=45°=NEBC+ZDBE,ZABD=NEBC,

NADB=NCCEEB/r

在和A￡8C中,,：.AABD~AEBC,-----=-----=v2,

ZABD=ZEBCADAB

:.CE=42AD=yj2xl=yf2，

故選：A.

【點(diǎn)睛】本題考查了圓內(nèi)接四邊形、圓周角定理、相似三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)等知識點(diǎn)，正確判斷

出點(diǎn)4瓦瓦。四點(diǎn)共圓，在以3E為直徑的圓上是解題關(guān)鍵.

例2.(2023?山東泰安?中考真題)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，RtZX/OB的一條直角邊03在x軸上，點(diǎn)/的坐標(biāo)為

(-6,4)；RtACO。中，ZCOD=90°,0D=473,40=30。，連接3C,點(diǎn)M是8c中點(diǎn)，連接將RtA。。。以點(diǎn)。

為旋轉(zhuǎn)中心按順時針方向旋轉(zhuǎn)，在旋轉(zhuǎn)過程中，線段的最小值是()

A.3B.6拒-4C.2V13-2D.2

【答案】A

【分析】如圖所示，延長A4到￡,使得4E=4B,連接?！?CE,根據(jù)點(diǎn)/的坐標(biāo)為(-6,4)得到BE=8,再證明/Af是

△8CE的中位線，得到=解RMC。。得到OC=4,進(jìn)一步求出點(diǎn)C在以。為圓心，半徑為4的圓上運(yùn)動，

則當(dāng)點(diǎn)M在線段上時，CE有最小值，即此時有最小值，據(jù)此求出CE的最小值，即可得到答案.

【詳解】解：如圖所示，延長加到E,使得4E=4B,連接OE,CE,

?/Rt^AOB的一條直角邊08在x軸上，點(diǎn)/的坐標(biāo)為(-6,4),

AB=4,OB=6,

：.AE=AB=4,

BE=8,

:點(diǎn)M為3c中點(diǎn)，點(diǎn)/為BE中點(diǎn),

，是ABCE的中位線,

/.AM^-CE；

2

在RMC。。中，ZCOD=90°,OD=473,NO=30。，

OC=~OD=4,

3

?.?將RbCO。以點(diǎn)。為旋轉(zhuǎn)中心按順時針方向旋轉(zhuǎn)，

...點(diǎn)。在以。為圓心，半徑為4的圓上運(yùn)動，

當(dāng)點(diǎn)用■在線段?！晟蠒r，CE有最小值，即此時有最小值,

OE=YJBE2+OB2=10>

CE的最小值為10-4=6,AM的最小值為3,

故選A.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了一點(diǎn)到圓上一點(diǎn)的最值問題，勾股定理，三角形中位線定理，坐標(biāo)與圖形，含30度角的直角

三角形的性質(zhì)等等，正確作出輔助線是解題的關(guān)鍵.

【變式演練】

I.（23-24九年級上?湖北武漢?模擬訓(xùn)練）如圖，已知等邊“3C的邊長為10,點(diǎn)P是AB邊上的一個動點(diǎn)（與點(diǎn)4

3不重合）.直線/是經(jīng)過點(diǎn)尸的一條直線，把AABC沿直線/折疊，點(diǎn)8的對應(yīng)點(diǎn)是點(diǎn)9.當(dāng)P2=8時，在直線/變

化過程中，則△NC9面積的最大值為.

A

【答案】5百+40/40+5百

【分析】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)、含30。角的直角三角形的特征、圓與三角形綜合問題，過點(diǎn)尸作

點(diǎn)"在以點(diǎn)P為圓心，半徑長為8的圓上運(yùn)動，利用等邊三角形的性質(zhì)得乙以〃=60。，進(jìn)而可得4尸”=30。，可得

PH=43,進(jìn)而可得而=8+百，再利用三角形的面積公式即可求解，找準(zhǔn)當(dāng)"產(chǎn)的延長線交圓尸于點(diǎn)2'時面積最大

是解題的關(guān)鍵.

【詳解】解：過點(diǎn)P作7WL/C,如圖：

由題意得，點(diǎn)3,在以點(diǎn)尸為圓心，半徑長為8的圓上運(yùn)動,

當(dāng)HP的延長線交圓P于點(diǎn)B'時面積最大，

在RtAM/W中，48=10,尸5=8,

;.PA=2,

?.?△4BC是等邊三角形，

ZPAH=60°,

:.ZAPH=90°-60°=30°,

AH=\,PH=也,

37/=8+V3,

的最大值為：-X10X（8+V3）=5A/3+40,

故答案為：50+40.

2.（2022?湖北武漢?三模）在AABC中，ABAC=60°,BC=2^,點(diǎn)。為/C上一動點(diǎn)，AB=2CD,則8。的最小值

是.

【答案】VB-I

【分析】作的外接圓。。，連接。4,OB,OC,作AO'DCSAO/B,根據(jù)圓周角定理求出4。。=120。，過點(diǎn)

。作OEL3C,垂足為E,根據(jù)等腰三角形三線合一求出06=3=00=2,再根據(jù)相似三角形的性質(zhì)求得

O'C=O'D=-OB=\,設(shè)==則48。=30。+1,ZACB=90°-a,根據(jù)勾股定理求出03,根據(jù)三

2

角形邊長關(guān)系即可得出結(jié)果.

【詳解】解：如圖，作“8C的外接圓O。，連接ON,OB,OC,作△OOCSAOLB,

ZBAC=60°

ZBOC=120°,

過點(diǎn)。作垂足為E,

ABOE=60°,NOBE=30°,BE=、BC=0

2

OB=OA=OC=BE=2

cos30°V3，

T

?;AO'DCSAOAB,AB=2CD,

O'C=O'D=-OB=\,

2

^ZOBA^ZO'CD=a,

則ZABC=30°+a,ZACB=120°-ZABC=90°-a,

NO'CB=90°,

O'B=y]BC2+O'C2=J12+1=V13，

:BD>O'B-O'D,O'B-O'D=y/13-l,

的最小值為歷-1,

故答案為：V13-1.

【點(diǎn)睛】本題考查了三角形最值得求解，三角形函數(shù)求值，勾股定理，三角形邊長關(guān)系，圓周角定理，相似三角形的

性質(zhì)，等腰三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握相關(guān)定理性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵.

3.（2023?陜西咸陽?一模）如圖，在Y/BCD中，AB=AD=6,點(diǎn)尸在Y48。內(nèi)運(yùn)動，連接P4PB,PC,若

NAPB=NABC=60°,則P4+PC的最大值為.

I)

p

BC

【答案】4A/3

【分析】連接NC，作“3C的外接圓。。，證明四邊形4BCD是菱形，由/3=BC=6及/4BC=60。證得“3C是等

邊三角形，則/B=/C=6,ABAC=60°,在方尸上取=連接NE,證明VNPE是等邊三角形，則

NEAP=6Qo,4E=AP,再證明A/EB烏A/PC（SAS）,則EB=PC,得至UP4+PC=EP+EB=BP,則當(dāng)8P為。。的直

徑時，8P的值最大，即P/+PC的值最大，解直角三角形求出2P的值即可得到尸N+PC的最大值.

【詳解】解：連接/C,作“8C的外接圓OO,

在Y/BCD中，AB=AD=6,

，四邊形48co是菱形，

AB=BC=6,

?；NABC=60°,

是等邊三角形，

AB=AC=6,NB4c=60°,

在BP上取EP=4P,連接NE,

,?ZAPS=60°,

VAPE是等邊三角形，

ZEAP=6Q°,AE=AP,

???ABAC-/CAE=/LEAP-ZCAE=60°-ZCAE，

：./BAE=APAC,

在/\AEB和AAPC中,

'AB=AC

</BAE=/CAP,

AE=AP

：.“功名△/尸C(SAS),

:.EB;PC,

：.PA+PC=EP+EB=BP,

當(dāng)時為。。的直徑時，5尸的值最大，即尸4+尸。的值最大，

此時/5/尸=90。，APBA=90°-ZAPB=30°,

PB=———二一6一二4百,

sin/APBsin60°

即PA+PC的最大值為4A/3,

故答案為：4^3

【點(diǎn)睛】此題考查了菱形的判定和性質(zhì)、等邊三角形的判定和性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、解直角三角形、三角

形的外接圓、圓周角定理等知識，作的外接圓。。是解題的關(guān)鍵.

4.（2023?廣東深圳?模擬預(yù)測）如圖，在矩形4BCD中，AB=3,BC=4,￡為邊8C上一動點(diǎn)，廠為/E中點(diǎn)，G為

DE上一點(diǎn)、,BF=FG,則CG的最小值為.

【答案】V13-2/-2+V13

【分析】連接/G,根據(jù)矩形的性質(zhì)可得NABC=/8CZ）=/4DC=90。，DC=AB=3,根據(jù)中點(diǎn)的性質(zhì)和直角三角形斜

邊上的中線是斜邊的一半可得8尸=L/￡=/尸=所，推得4F=FG=EF,則44GE=4G。=90。，根據(jù)圓周角定理

2

可知：點(diǎn)G在以4D為直徑的圓上運(yùn)動，取4D的中點(diǎn)O,當(dāng)。，G,C三點(diǎn)共線時，CG的值最小，由此可解答.

【詳解】解：如圖1,連接/G,

圖1

,??四邊形/BCD是矩形，/.ZABC=ZBCD=ZADC=90°,DC=AB=3,

:尸是的中點(diǎn)，ABF=-AE=AF=EF,

2

BF=FG,：.AF=FG=EF,：.ZAGE=ZAGD=90°,

...點(diǎn)G在以4D為直徑的圓上運(yùn)動，取4D的中點(diǎn)O,連接OG,如圖2：

圖2

當(dāng)O,G,C三點(diǎn)共線時，CG的值最小，/.OD=OG=2,

oc=A/22+32=V13'CG的最小值為V13-2.

故答案為：V13-2.

【點(diǎn)睛】本題考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，圓周角定理，勾股定理等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會添加常用輔助線，構(gòu)

造動點(diǎn)G的軌跡來解決問題.

題型02圓與相似

【解題策略】

『對手畫i而似相結(jié)吾的1篇而更「廨蔻肝要冠焉觀索丁分橋畫形「把豆泵的囪形夯布成冗不墓區(qū)畫形丁麗添加］

|輔助線補(bǔ)全或構(gòu)造基本圖形

LTiWSi」

例.(2023?湖北黃石?中考真題)如圖，48為O。的直徑，￡%和OO相交于點(diǎn)尸，NC平分/ZMB,點(diǎn)C在。。上，

且CD_L￡M,AC交BF于點(diǎn)P.

⑴求證：CO是。。的切線;

(2)求證：ACPC=BC2;

AF

(3)已知Be?=3尸PDC,求丁的值.

AB

【答案】(1)見解析(2)見解析(3)：

【分析】(1)連接OC,由等腰三角形的性質(zhì)得/GUC=/OC4,再證ND/C=NOC4,則。/〃。C,然后證。CLCD,

即可得出結(jié)論；

(2)由圓周角定理得Z4C8=90。，NDAC=NPBC,再證的C=ZP8C,然后證A/CB3cP,得江=生，即可

BCPC

得出結(jié)論；

(3)過尸作PE_L4B于點(diǎn)E,證/。尸C=3FP-OC,再證A/CZ)SABPC,AC-PC=BP-DC,則BPDC=3FP?DC,

進(jìn)而得3尸=3依，然后由角平分線的性質(zhì)和三角形面積即可得出結(jié)論.

【詳解】(1)證明：如圖1,連接。C,

D

'：OA=OC,

：.ZOAC=ZOCA,

?.?/。平分/。48,

???ZDAC=ZOAC,

：.zn4c=NOC4,

DA//OC,

CDIDA,

：.OCLCD,

???CZ)是O。的切線；

(2)證明：???45為。。的直徑,

???ZACB=90°f

'：ZDAB,

：.ADAC=ABAC,

???/DAC=/PBC,

：.ABAC=ZPBC,

又,:ZACB=ABCP,

???小ACBs^BCP,

.ACBC

??瓦一拓’

ACPC=BC2;

(3)如圖2,過尸作尸于點(diǎn)￡,

圖2

由（2）可知，AC?PC=BC?,

\?BC2=3FPDC,

JACPC=3FPDC,

9：CDLDA,

：.ZADC=90°,

為。。的直徑，

JZBCP=90°,

ZADC=/BCP,

ZDAC=/CBP,

：.AACDS^BPC,

.ACDC

??茄一記‘

JACPC=BPDC,

：?BPDC=3FPDC,

：.BP=3FP,

為。。的直徑，

???ZAFB=90°,

：.PFLADf

VAC^^ZDAB,PEAB,

：.PF=PE,

*v11'

-ABPE-BPAF

22

.AF_FP_FP_1

AB~BP~3FP~3,

【點(diǎn)睛】本題是圓的綜合題目，考查了圓周角定理、切線的判定、相似三角形的判定與性質(zhì)、平行線的判定與性質(zhì)、

等腰三角形的性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)以及三角形面積等知識，本題綜合性強(qiáng)，熟練掌握圓周角定理和切線的判定，證

明三角形相似是解題的關(guān)鍵.

【變式演練】

1.(2023?湖南湘西?二模)如圖，NB是。。的直徑，點(diǎn)C,。在。。上，4D平分交BC于點(diǎn)、E,連接50.

⑴求證：ABED~AABD.

3

(2)當(dāng)tanN4BC=a，且48=10時，求線段AD的長.

(3)點(diǎn)G為線段/E上一點(diǎn)，且3G平分N48C,若GE=亞,3G=3,求CE的長.

【答案】(1)見角星析(2)2V1(3)g應(yīng)

【分析】(1)根據(jù)角平分線的定義，與圓周角定理得440=/CBD,進(jìn)而結(jié)合公共角便可證明

3

(2)由tan//5C=—,得出ZC與的數(shù)量關(guān)系，再由勾股定理求得ZC、BC,過E作斯于歹，在A5EF中

4

由勾股定理求得EC、EF、BF,進(jìn)而求得,，再證,由相似比求得結(jié)果；

(3)由/。平分/C43,BG平分NABC,得ZBGE=45。,進(jìn)而求得5。、0G的長度，由△3￡/344班求得4。，

再由S/^BDE便可求得結(jié)果.

【詳解】(1)證明：平分NC45,

/.ACAD=/BAD,

ACAD=ZCBD,

ABAD=ZCBD,

???ZD=ZD,

FBEDS八ABD；

(2)解：???48為直徑，

/.ZC=90°,

3

tan/ABC=—,

4

?4J3

,,—f

BC4

設(shè)NC=3x,貝U8C=4.x,

AC2+BC2=AB2=IO2,

(3x『+(4x)2=100,解得》=2,

:.AC=6,BC=8,

過E點(diǎn)作EF,48于點(diǎn)尸，如圖所示:

D

???4D平分/C45,

EC=EF,

AE=AE,

△力陽HL),

,\AC=AF=6f

:.BF=AB-AF=10-6=4,

^EC=EF=y,貝U5￡=8—y,

???EF2+BF2=BE2，

:.y2+42=(8-^)2,解得k3,

；.EC=EF=3,BE=8—3=5,

AE=YIAC2+CE2=A/62+32=3A/5，

QZC=ZD=90°,AAEC=ABED,

:AACES^BDE,

BDBEBD5

----=，即an=—r

ACAE63V5

BD=275;

(3)解：?.?/￡>平分/C43,3G平分//3C,

ZBGE=ZBAG+NABG=^(ZBAC+NABC)=45°,

???/￡)=90。，

/.BD2+DG2=BG2=2BD2,

:.BDDG叵BG三

22

/.DE=DG-GE=^--V2=—

22

'：/\BED^/\ABD,

BDDE[

行二而'即班=濫.，則=2TDA,

:.DA=-42,

2

AE=AD-DE=46，

,.,△ACES/\BDE,

CEAE芹=蜂

法=樂，即也逑,

22

:.CE=-4i.

3

【點(diǎn)睛】本題主要考查了圓的基本性質(zhì)，相似三角形的性質(zhì)與判定，角平分線的性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，解直角三角

形的應(yīng)用，關(guān)鍵在于運(yùn)用相似三角形解決問題.

2.（2024?陜西西安?一模）如圖，是。。的直徑，點(diǎn)。在直徑A8上（。與43不重合），CD_L且CD=NB,

連接C5,與O。交于點(diǎn)尸，在C0上取一點(diǎn)E,使E尸與。。相切.

(1)求證：EF=EC；

⑵若。是CM的中點(diǎn)，AB=4,求8尸的長.

【答案】⑴見解析；（2）8尸=不

【分析】（1）本題連接。尸，根據(jù)切線的性質(zhì)得到NE尸C+NO/吆=90。，由直角三角形性質(zhì)得到NC+NO8尸=90。，

根據(jù)等腰三角形性質(zhì)得到NO3尸推出/C=/EFC,再根據(jù)等腰三角形性質(zhì)即可證明防=EC；

（2）連接即，利用圓周角定理，證明A/8尸SACB。，推出黑=笑，再根據(jù)線段中點(diǎn)的性質(zhì)，以及勾股定理求出出）、

BDCB

BC,將3。、8c的值代入黑=級中求解，即可解題.

BDCn

【詳解】（1）解：連接。尸，

???與。。相切，

NOFE=90。,

ZEFC+ZOFB=90°,

vCD1AB,

:.ZC+ZOBF=90°,

?：OB=OF,

/.ZOBF=ZOFB,

:./C=ZEFC,

/.EF=EC；

（2）解：連接相,

A

v4B是。O的直徑,

ZAFB=90°=ZCDB，

???ZABF=ZCBD，

:AABFSACBD,

,BFAB

,?茄-ZF'

???。是CM的中點(diǎn)，AB=4,

BD=3,CD=AB=4,

CB=^BD2+CD2=5，

BF4

解得

5

【點(diǎn)睛】本題考查了切線的性質(zhì)、等腰三角形性質(zhì)和判定、相似三角形性質(zhì)和判定、圓周角定理、線段中點(diǎn)的性質(zhì)、

勾股定理，熟練掌握相關(guān)性質(zhì)定理并靈活運(yùn)用，即可解題.

題型03圓與全等

【解題策略】

對于圓與全等相結(jié)合的綜合問題，解題時要注意觀察、分析圖形，把復(fù)雜的圖形分解成幾個基本圖形，通過添加

輔助線補(bǔ)全或構(gòu)造基本圖形

【典例分析】

例.（2023?湖北襄陽?中考真題）如圖，在中，AB=AC,。是8C的中點(diǎn)，。。與相切于點(diǎn)。，與8C交于

點(diǎn)、E,F,DG是。。的直徑，弦G廠的延長線交/C于點(diǎn)且GC.

⑴求證：/C是。。的切線；

(2)若DE=2,GH=3,求五1的長/.

【答案】(1)見解析(2)W

【分析】(1)連接3,過點(diǎn)。作于點(diǎn)根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得/。為/R4C的平分線，再根據(jù)。。與

N3相切于點(diǎn)D,DG是。。的直徑得?！?。。，進(jìn)而根據(jù)切線的判定可得到結(jié)論；

(2)過點(diǎn)E作EN_L/B于點(diǎn)N,先證AODE也AOG尸得到DE=Gb=2,進(jìn)而得到萬H=l,再證ABNEACT/F得到

EN=FH=\,然而在Rt2硒中利用三角函數(shù)可求出NEDN=30。，進(jìn)而得AODE為等邊三角形，據(jù)此得NDOE=60。，

OD=OE=DE=2,則N。。尸=120。，最后得到弧長公式即可得到答案.

【詳解】(1)證明：連接6M,過點(diǎn)。作(WLNC于點(diǎn)M,

-,AB=AC,O是3c的中點(diǎn)，

二/。為/A4c的平分線，

,??。。與A8相切于點(diǎn)。，0G是。。的直徑，

為。。的半徑，

ODVAB,

又(W_L/C,

OM=OD,

即OAf為。。的半徑，

???/C是。。的切線；

(2)解：過點(diǎn)E作ENL48于點(diǎn)N,

??,點(diǎn)。為。。的圓心,

:.OD=OG,OE=OF,

在△。。￡和aOG尸中,

OD=OG

</DOE=/GOF,

OE=OF

:.AODE^OGF(SAS),

/.DE=GF,

?:DE=2,GH=3,

GF=2,

:.FH=GH-GF=3-2=1,

???AB=AC,。是BC的中點(diǎn),

:.OB=OC,/B=/C,

又OE=OF,

BE=CF,

???GHtAC,ENtAB,

ZBNE=ZCHF=90°,

在△即出和△CHF中，

ZBNE=ZCHF

<ZB=ZC,

BE=CF

.?.△8VE四△CHF(AAS),

:.EN=FH=1,

在RtADEN中，DE=2,EN=\,

sinZEDN=-=-

DE2f

ZEDN=30°,

???OD^AB,

/ODE=90°-ZEDN=90°-30°=60°,

又OD=OE,

「.△OOE為等邊三角形，

/.ADOE=60°,OD=OE=DE=2,

/.ZDOF=180?！?DOE=180?！?0°=120。，

760^x224

:.l=--------=——.

1803

【點(diǎn)睛】此題主要考查了切線的判定和性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，等邊三角形的判定和性

質(zhì)，弧長的計算公式，熟練掌握切線的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)是解答此題的關(guān)鍵.

【變式演練】

1.(2023?廣東汕頭洛一模)如圖，”3C內(nèi)接于OO.N8是直徑，過點(diǎn)A作直線兒W,且1W是。。的切線.

OE

(1)求證：/MAC=ZABC.

(2)設(shè)。是弧/C的中點(diǎn)，連接3。交/C于點(diǎn)G,過點(diǎn)。作。于點(diǎn)E,交4c于點(diǎn)尸.

①求證：FD=FG.

②若3C=3,AB=5,試求/E的長.

【答案】(1)見解析Q)①見解析；②1

【分析】(1)由直徑所對的圓周角等于90。得出NCNB+/48c=90。，由切線的性質(zhì)定理得出，48,

NM4C+/C/B=90。即可得出結(jié)論；

(2)①由等弧所對的圓周角相等得出=由直角所對的圓周角為90。得出/C3G+/CGB=90°,由垂直

的定義得出/EDG+43Z)=90。，等量代換得出NEDGnNCGBuZFGD,即可得出結(jié)論；②連接4DCO,作

DHLBC,交BC的延長線于H點(diǎn)，由角平分線的性質(zhì)得出=由全等三角形的判定得出

RABED咨R&BDH(HL)和Rt"DE咨RGCDH(HL),得出/￡=S,BE=BC+CHAB-AE=BH,代入計算即可

求出/E的值.

【詳解】(1)證明：???/3是直徑，

:.ZACB=90°,

NCAB+NABC=90°；

?：MN是O。的切線；

MALAB,

ZMAC+ZCAB=9Q°,

：.ZMAC=ZABC；

(2)解：①是弧/C的中點(diǎn)，

:.ZDBC=ZABD,

是直徑，

:.ZCBG+ZCGB=90°,

'：DE1AB,

ZFDG+ZABD=90°,

ZDBC=ZABD,

ZFDG=ZCGB=ZFGD,

FD=FG.

②連接40、CD,作DHLBC,交8C的延長線于H點(diǎn).

ADBC=AABD,DHLBC,DE1AB,

DE=DH,

在RtZ\BDE與RtABDH中，

\DH=DE

[BD=BD'

/.RL3EDmRLBDH（HL）,

:,BE=BH,

?.?。是弧ZC的中點(diǎn)，/.AD=DC,

[DE=DH

在與RtZkCOH中，…，

\AD=CD

Ki^ADE^Rt^CDH（HL）.AE=CH.

:.BE=BC+CH=AB-AE=BH,即5-4E'=3+4E',AE=\.

【點(diǎn)睛】本題考查了圓周角定理，切線的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)和判定，角平分線的性質(zhì)，熟練掌握各性質(zhì)定理是

解答此題的關(guān)鍵.

2.（2022?安徽?模擬預(yù)測）如圖，。。中兩條弦4D,8C互相垂直，垂足為H,M為NB的中點(diǎn)，連接并延長交

CD于點(diǎn)N.

(1)求證：MN-LCD；

⑵連接OW,求器的值.

【答案】(1)證明見解析(2)巖=；

【分析】(1)本題根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊一半，^\MA=MB=MH,推出/齷48=/3￡4,利用同

弧所對的圓周角相等推出/3=〃，對頂角相等得到/0期=/必以，最后進(jìn)行等量代換，即可解題.

(2)本題過點(diǎn)。作LCD于點(diǎn)E,連接/C,OB,OC,OD,OA.利用圓周角定理和等腰三角形性質(zhì)推出

ZDOE=ADAC,ABOM=AACB,利用角的等量代換得到NO8M=NOOE,證明之△DOE,最后結(jié)合全等

三角形性質(zhì)和垂徑定理，即可解題.

【詳解】(1)解：,〃?為43的中點(diǎn)，

：.MA=MB=MH,

ZMAH=ZMHA,

*/ZB=ZD,ZDHN=ZMHA,

ZDHN+ZD=ZB+ZMAH=90°,

;.MN工CD.

(2)解：過點(diǎn)。作O￡J_CD于點(diǎn)E,連接力C,OB,OC,OD,OA.

ADOE=-ZDOC,ADAC=-ZDOC,

22

/DOE=ZDAC.

同理得=.

ZACB+ZDAC=90°,

ZDOE+ZBOM=90°.

???ZBOM+NOBM=90°,

ZOBM=ZDOE.

又???ZOMB=ZOED=90°,OB=OD,

OBMmADOE(AAS),

:.OM=DE=-CD,gp—=-.

2CD2

【點(diǎn)睛】本題考查了直角三角形斜邊上的中線等于斜邊一半、等腰三角形性質(zhì)、同弧所對的圓周角相等、對頂角性質(zhì)、

全等三角形的性質(zhì)和判定、垂徑定理，解題的關(guān)鍵在于作輔助線構(gòu)造等腰三角形和全等三角形.

題型04圓的計算

【解題策略】

對于圓的計算的綜合問題，解題時要注意觀察、分析圖形，把復(fù)雜的圖形分解成幾個基本圖形，通過添加輔助線

補(bǔ)全或構(gòu)造基本圖形

【典例分析】

例.（2023?遼寧丹東?中考真題）如圖，已知NB是。。的直徑，AD是。。的弦，點(diǎn)P是。。外的一點(diǎn)，PC工AB,垂

足為點(diǎn)C,尸C與AD相交于點(diǎn)E,連接PZ）,且PD=PE,延長尸。交加的延長線于點(diǎn)?

(1)求證：PD是。。的切線；

74

⑵若。尸=4,PE=-,cosZPFC=-,求BE的長.

【答案】(1)見解析(2)次

【分析】(1)根據(jù)尸D=PE,得出NPED=NPDE,進(jìn)而得出NPOE=N8EC,易得/B=NODB,根據(jù)尸C_L/B,得

出N8+N8EC=90。，則N0D8+NPDE=90。，即可求證PD是。。的切線；

7154DF

(2)易得PD=PE=-,貝!］尸尸=互＞+。歹=一，根據(jù)cos/尸尸。=一，求出CF=PF-cos/PFC=6,OF=-------------=5,

225cosZPFC

o

則OC=B-OF=1,根據(jù)勾股定理求出OD=3,PC=j進(jìn)而求出8C=2,CE=1,最后根據(jù)勾股定理即可求解.

2

【詳解】(1)證明：：尸D=PE,

APED=ZPDE,

APED=ZBEC,

ZPDE=/BEC,

-：OB=OD,

：.ZB=ZODB,

?/PCLAB,

：.ZBCP=90°,貝IJZ8+/BEC=90°,

ZODB+NPDE=90°,即ZODP=90°,

:.PD是。O的切線;

7

(2)解：°：PD=PE,PE=~,

2

7

PD=~,

2

,:DF=4,

：.PF=PD+DF=—,

2

4

,.?cosZPFC=-,

154

CF=PF?cos/PFC=—x—=6,

25

丁尸。是。。的切線，

OD1PD,則/0。b二90。，

CLDF4「

.OF——~~r—5

??CGS/PFC4,

5

OC=CF-OF=6-5=\,

根據(jù)勾股定理可得：OD=^OF2-DF2=45^=3^PC=^PF2-CF2=|,

OB=OD=3,

97

BC=OB-OC=3-1=2,CE=PC-PE=------=1,

22

根據(jù)勾股定理可得：BE=y]CE2+BC2=Vl2+22=V5.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了切線的判定，解題直角三角形，解題的關(guān)鍵是熟練掌握經(jīng)過半徑外端且垂直于半徑的直線是

圓的切線，以及解直角三角形的方法和步驟.

【變式演練】

I.（2023?天津河?xùn)|?一模）如圖，為＜30的切線，C為切點(diǎn),。是OO上一點(diǎn)，過點(diǎn)。作。尸_L/8,垂足為尸，DF

交。。于點(diǎn)￡.

(1)如圖①，若40=34。，求NDE。的度數(shù)；

(2)如圖②，連接EO并延長交OO于點(diǎn)G,連接CG,OD,若NDOE=2NCGE,OO的半徑為5,求CG的長.

【答案］(1)68°(2)573

【分析】(1)連接OC,由切線的性質(zhì)證出OC〃D廠，由圓周角定理得出答案；

(2)連接0C,CE,證出AODE是等邊三角形，得出NDOE=60。，由含30度角的直角三角形的性質(zhì)和勾股定理可

得出答案.

【詳解】(1)解：連接OC,

/.OCVAB,

vDFLAB,

OC//DF,

???AD=34°,

/./EOC=2/D=68。，

/./DEO=/DOC=68。；

(2)解：連接OC,CE,

??./COE=2/CGE,

???/DOE=2/CGE,

/.ZCOE=ZDOE,

???/B為。。的切線，C為切點(diǎn),

OC1AB,

：.40cB=90°,

vDFLAB,

/DFB=90。,

ZOCG=ZDFB=90Q,

???OC//DF,

/COE=/OED,

ZDOE=ZOED,

/.OD=DE,

OD=OE,

△!?國是等邊三角形，

/DOE=60。，

ZCGE=30°，

OO半徑為5,

EG=10,

???EG是。。的直徑,

NGCE=90°,

CE=5,

GC=y]GE2-CE2=5A/3.

【點(diǎn)睛】本題考查了切線的性質(zhì)，圓周角定理及等邊三角形的判定與性質(zhì)，含30度角的直角三角形的性質(zhì)，勾股定理

等知識，熟練掌握切線的性質(zhì)和等邊三角形的判定與性質(zhì)是解決問題的關(guān)鍵.

2.（2024?陜西西安?模擬預(yù)測）如圖，48為。。的直徑，點(diǎn)。為。。上一點(diǎn)，過點(diǎn)8作OO切線交延長線于

點(diǎn)C,CE平分/ACB,CE,BD交于F.

（1）求證：BE=BF；

⑵若OO半徑為2,sin^=|,求。/的長度.

9

【答案】（1）證明見解析（2）稔

【分析】⑴由直徑所對的圓周角是直角得到/CD3=/4DB=90。，則乙DC/+ND"=90。，由切線的性質(zhì)得到

NCBE=90°,則ZBCE+NBEC=90。，由角平分線的定義得到NBCE=NDCF，據(jù)此可證明/BFE=NBEF，則5E=B尸；

（2）過點(diǎn)E作EH_L/C于X,由角平分線的性質(zhì)得到EH=8￡=AF,解RtZUBC得到sin/,設(shè)

BC=3x,AC=5x,由勾股定理得42+（3x）2=（5x）、解得（負(fù)值舍去），則8c=3,AC=5,根據(jù)

312I?39

SAABC=SAACE+SABCE，求出解Rt/^^得到3O=/5?sin/=w，則。尸=助―■==―彳=右.

,5521。

【詳解】（1）證明：???45為。。的直徑，

，/CDB=ZADB=90。,

：.ZDCF+ZDFC=90°,

*/BC是。。的切線，

ZCBE=90°,

???/BCE+/BEC=9U。,

,：CE平分NACB,

：./BCE=/DCF,

ZBEC=ZDFC,

又???/DFC=4BFE,

：./BFE=ZBEF,

BE=BF；

（2）解；如圖所示，過點(diǎn)石作E//JL4C于巴

?.?。七平分//。5,AABC=90°,ACVEH,

EH=BE=BF,

???。。半徑為2,

???AB=4,

在RtZk/HC中，sin^=-^=|,

設(shè)2C=3x,AC=5x,

由勾股定理得/C2=3C2+/C2,

42+（3x）2=（5x）2,

解得X=1（負(fù)值舍去），

ABC=3,AC=5f

?^^ABC=S^ACE+S^BCE，

：.-x4x3=-x3BE+-x5EH,

222

：.-x4x3=-x3BE+-x5BE,

222

3

???BE=-

29

12

在RtZUBZ）中，BD=AB-sinA=—,

1239

：.DF=BD-BF=----=一.

5210

【點(diǎn)睛】本題主要考查了切線的性質(zhì)，解直角三角形，直徑所對的圓周角是直角，勾股定理，角平分線的性質(zhì)，等角

對等邊等等，正確作出輔助線構(gòu)造直角二角形是解題的關(guān)鍵.

3.（2024?陜西西安?一模）如圖，是。。的直徑，弦CB馬AE交于點(diǎn)F,過點(diǎn)4的切線交C5的延長線于點(diǎn)。，點(diǎn)

8是。尸的中點(diǎn).

⑴求證：NAFB=NC；

⑵若。。的半徑為4,AB=5,求心.

【答案】(1)見解析(2)彳

【分析】(1)由切線性質(zhì)可知，EAVAD,即/瓦4。=90。，根據(jù)點(diǎn)8是。尸的中點(diǎn)，可知43=；。尸=5？，進(jìn)而可知

NBAE=ZAFB,由礪=礪可知NC=N3/E,即可證得結(jié)論；

(2)連接NC,貝1]/￡/。=/￡。尸+//05=90。，由(1)可知，ZEAD=90°,貝(JN4F8+ZD=90。，可得NNCZ)=N。，

/CEE=/ECF進(jìn)而可知NC=4D,EC=EF,由48=5,AB=^DF=BF,得AD=AC="0。-AF?，同時推導(dǎo)出

CE=EF=8-AF,利用勾股定理AC2+CE2=AE2代入數(shù)據(jù)解答即可.

【詳解】(1)證明：?.,/￡＞是。。的切線，

：.EALAD,即/E4D=90°,

??,點(diǎn)B是。廠的中點(diǎn)，

AB=-DF=BF,

2

NBAE=ZAFB,

BE=BE，

ZC=NBAE,

ZAFB=ZC；

(2)解：連接/C,貝U/Ea=/ECF+—CD=90°,

由（1）可知，ZEAD=90°,貝l]N/FB+ND=90。，

;ZAFB=NECF,NAFB=NCFE,ZACD+ZECF=90°-ZACD+ZAFB,

ZACD=ZD,ZCFE=ZECF,

:.AC=AD,EC=EF,

AB=5,AB=-DF=BF,

2

:.DF=10,

AD=AC=y/DF2-AF2=yJlOO-AF2，

,.,OO半徑的長為4,

AE=8,CE=EF=8-AF,

由勾股定理可知：AC2+CE1=AE1,即：(V100-^F2)2+(8-^F)2=82,

解得：AF=^2-5.

4

【點(diǎn)睛】本題考查了切線的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，圓周角定理，熟練掌握并運(yùn)用

勾股定理是解答本題的關(guān)鍵.

4.(2024?陜西西安?模擬預(yù)測)如圖，在“3C中，AB=AC,以為直徑的OO交2c于點(diǎn)。，過點(diǎn)。作。。的切

線DE,交ZC于點(diǎn)￡,/C的反向延長線交。。于點(diǎn)尸.

(1)求證：DE1AC；

(2)若4E+DE=12,。。的半徑為10,求師的長度.

【答案】(1)見解析(2)12

【分析】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，切線的性質(zhì)，圓周角定理，勾股定理，垂徑定理，一元二次方程的解法.

(1)根據(jù)切線性質(zhì)，得至ljDE"OD；結(jié)合AB=AC,得到ZB=ZC,OB=OD,得至UNB=ZODB,繼而得到ZODB=ZC,

從而判定OD〃NC,可得結(jié)論。

(2)過點(diǎn)。作OG，/尸于點(diǎn)G,根據(jù)垂徑定理，得到/尸=2NG=2尸G,判定四邊形。GED是矩形，繼而得到

OG=DE,OD=GE=AG+AE-10,結(jié)合ZE+DE=12,得至!]10-NG+OE=12即DE-AG=2,設(shè)NG=x,DE=x+2,

利用勾股定理，得到―+(x+2)2=102計算即可.

【詳解】(1),??過點(diǎn)。作O。的切線?！?交NC于點(diǎn)E,4c的反向延長線交。。于點(diǎn)尸,

DE0D；

AB=AC,

：.ZB=ZC,

???OB=OD,

：./B=/ODB,

：./ODB=ZC,

JOD〃AC,

：.DE1AC.

(2)如圖，過點(diǎn)。作OG,力尸于點(diǎn)G,

則/尸=2/G=2/G,

DEIAC,DEOD,的半徑為10,工四邊形OGED是矩形，

：.OG=DE,OD=GE=AG+AE=10,

;AE+DE=\2,：A0-AG+DE=n即?！辍狽G=2,

^AG=x,DE=x+2,VAG2+GO2=OA2?9?x2+(x+2)2=102,解得x=6,x=—8(舍去),

???AF=2AG=12.