2025年中考數(shù)學熱點題型專項訓練：三角形壓軸題綜合（原卷版）

專題10三角形壓軸題綜合

目錄

熱點題型歸納.........................................................................................1

題型01三角形與旋轉(zhuǎn)變換.............................................................................1

題型02三角形與平移變換.............................................................................4

題型03三角形與翻折變換.............................................................................4

題型04三角形類比探究問題...........................................................................7

中考練場............................................................................................10

熱點題型歸納

題型01三角形與旋轉(zhuǎn)變換

【解題策略】

三角形全等和三角形相似的判定和性質(zhì)，勾股定理，矩形的判定和性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)性質(zhì)、平行線的判定和性質(zhì)，解題的關

鍵是作出輔助線，熟練掌握三角形相似的判定方法。

【典例分析】

例.（2023?四川?中考真題）如圖1,已知線段N8,AC,線段ZC繞點A在直線N5上方旋轉(zhuǎn)，連接BC,以8C為邊

在2c上方作RtABDC,且ND3C=30°.

⑴若/BDC=90。，以為邊在AS上方作Rt/XBNE,且N/E8=90。，NEBA=30°,連接DE,用等式表示線段/C與

DE的數(shù)量關系是；

(2)如圖2,在(1)的條件下，若DE_LAB,48=4,AC=2,求BC的長;

(3)如圖3,若/BCD=90。，AB=4,AC=2,當4D的值最大時，求此時tan/CBN的值.

【變式演練】

1.（2023?貴州貴陽?二模）在AABC中，ZCAB=90°,在V/DE中，ZEAD=90°,已知Rt△他C和RtA4DF有公共

頂點/,連接2。和CE.

圖②

（1）如圖①，若4B=/C,AD=AE,當“3C繞點N旋轉(zhuǎn)a（0°<c<360。），和CE的數(shù)量關系是,位置關系

是;

（2）如圖②，若3：ZE=N3:/C=1：VL當RtZ\4BC繞點/旋轉(zhuǎn)a（0°<a<360。），（1）中2。和CE的數(shù)量關系與位

置關系是否依然成立，判斷并說明理由；

（3）在（2）的條件下，若AD=2&,AB=43,在旋轉(zhuǎn)過程中，當C,B,。三點共線時，請直接寫出CE的長度.

2.（2023?廣西桂林?一模）在數(shù)學活動課上，小麗將兩副相同的三角板中的兩個等腰直角三角形按如圖1方式放置，

使AZ）斯的頂點D與小3C的頂點C重合，4）￡尸在繞點C的旋轉(zhuǎn)過程中，邊DE、。廠始終與的邊48分別交

于M、N兩點.

圖1圖2

⑴老師提了一個問題：試證明/Af+ap=MV2.

小麗開動腦筋，作了如下思考：考慮到C/=C2且44cB=90。，可將"av繞點。順時針旋轉(zhuǎn)90。至A/CM位置，連

結兒W',若能證明BN、分別等于RSNW的另兩邊則可以解決問題.

請幫小麗繼續(xù)完成證明過程.

證明：將Mav繞點c順時針旋轉(zhuǎn)90。至A/CN'位置，連結w；

(2)如圖2,小昆另取一塊與“3C相同的三角板，放在A4BG位置，邊CE與邊/G相交于點〃，連NH、NG.

①小昆猜想：ZCNH=9Q°,請幫他給出證明；

②圖2中始終與CN相等的線段有_；

③請?zhí)剿?N、BN、之間的數(shù)量關系，并直接寫出結論：

3.(2023?吉林?一模)如圖，“8C和VADE是有公共頂點的直角三角形，NA4C=NDNE=90。，點尸為射線8。，CE

的交點.

（1）如圖1,若AABC和V4DE是等腰三角形，求證：ZABD=ZACE；

（2）如圖2,若NADE=NABC=30°,問：（1）中的結論是否成立？請說明理由.

⑶在（1）的條件下，AB=6,AD=4,若把VADE繞點/旋轉(zhuǎn)，當NE/C=90。時，請直接寫出尸3的長度.

題型02三角形與平移變換

【解題策略】

「著香了荃等三房形的河運前正貳一有徽三痛形而到適布桂扇廠率毯面函貳一三?形丙箱而兔踵的應甬廠芍庭急建「廨1

|題的關鍵是熟練掌握三角形相似的判定方法，畫出相應的圖形，注意分類討論.

ii

Ii

ts柯分布r

例.（2023?四川攀枝花?中考真題）如圖1,在AABC中，AB=BC=2AC=8,AASC沿8c方向向左平移得到△￡）色,

4、C對應點分別是。、￡.點尸是線段3E上的一個動點，連接距，將線段所繞點/逆時針旋轉(zhuǎn)至線段NG,使得

ABAD=ZFAG,連接尸G.

⑴當點廠與點。重合時，求FG的長；

⑵如圖2,連接BG、DF.在點下的運動過程中：

①BG和。尸是否總是相等？若是，請你證明；若不是，請說明理由；

②當3月的長為多少時，能構成等腰三角形？

【變式演練】

1.（2023?遼寧大連?模擬預測）如圖，中，AB=AC=亞,NBAC=90。,DE經(jīng)過點、4,且DELBC,垂足為E,

NDCE=60°.

（1）以點￡為中心，逆時針旋轉(zhuǎn)ACDE,使旋轉(zhuǎn)后的AC'DZ'的邊C'D'恰好經(jīng)過點/,求此時旋轉(zhuǎn)角的大小;

⑵在（1）的情況下，將AC力沿BC向右平移，（0</<1）.設平移后的圖形與08C重疊部分的面積為S,求S與1

的函數(shù)關系式，并直接寫出/的取值范圍.

2.（2023?四川成都?一模）如圖1,在“3C中，AC=4,以為底邊作等腰AP/B,連接尸C,作APCD,使得尸C=PD,

且ZCPD=NAPB.

⑴如圖2,若N4尸3=60。，請按題意補全圖形，并寫出畫圖步驟；

（2）將線段。沿CD的方向平移得到線段DE,連接3E,

①如圖3,若ZCPD=NAPB=90°,求BE的長；②若4尸3=36。，直接寫出3E的長.

題型03三角形與翻折變換

【解題策略】

著者亍至尊三鬲形的河蔻而桂原「鬧彳以三鬲形的至0死前E瓦一折前而在貳一三鬲形丙函而遺函面盯為胺年逾;

解題的關鍵是熟練掌握三角形相似的判定方法，畫出相應的圖形，注意分類討論.

TISW1

例.(2023?湖北武漢?中考真題)問題提出：如圖(1),E是菱形/BCD邊8c上一點，△/￡尸是等腰三角形，AE=EF,

乙IEF=ZABC=a(a290°),AF交CD于點G,探究NGCF與a的數(shù)量關系.

(1)(2)(3)

問題探究：

(1)先將問題特殊化，如圖(2),當a=90。時，直接寫出NGCF的大小;

(2)再探究一般情形，如圖(1),求NGCF與a的數(shù)量關系.

問題拓展:

口「1Dp

⑶將圖(1)特殊化，如圖(3),當。=120。時，若==求券的值.

CG2CE

【變式演練】

1.(2024?安徽阜陽?一模)(1)如圖1,在矩形/BCD中，AB=5,BC=4,點、E為邊BC上一點、,沿直線DE將矩

形折疊，使點C落在邊上的點。處.求NC'的長；

(2)如圖2,展開后，將AOC'E沿線段48向右平移，使點C'的對應點與點2重合，得到△OBE"DE與BC交于點、

F,求線段EF的長；

(3)在圖1中，將ADC'E繞點C'旋轉(zhuǎn)至/,C,￡三點共線時，請直接寫出CQ的長.

2.(2023?陜西榆林?一模)【問題背景】

(1)如圖1,在矩形48CD中，BC=6,點￡是3C上一點，連接AE,DE,若AAEB+ZCED=90°,則AE2+DE2=______

\/

BLE----LC

圖1

(2)如圖2,在正方形48co中，46=8,點E在邊上，將V/DE沿/E翻折至△4FE,連接CF,求△(?￡■尸周長

的最小值；

S

圖2

【問題解決】

(3)如圖3,某植物園在一個足夠大的空地上擬修建一塊四邊形花圃48cZ),點〃■是該花圃的一個入口，沿DM和CM

分別鋪兩條小路，且/DWC=135。，AD+BC=am,AM=60m,BM=80m.管理員計劃沿CD邊上種植一條綠化帶

(寬度不計)，為使美觀，要求綠化帶的長度盡可能的長，那么管理員是否可以種植一條滿足要求的長度最大的綠化

帶C0?若可以，求出滿足要求的綠化帶C0的最大長度(用含。的式子表示)；若不可以，請說明理由.

C

圖3

題型04三角形類比探究問題

【解題策略】

著香了圣馨三鬲形的河運麗強質(zhì)廠而彳以三鬲形的的正前I面「導布丙鬲而是踵的應甬廠芍底運甌二廨窗的買鍵星孰1

i

練掌握三角形相似的判定方法，畫出相應的圖形，注意分類討論。

____________________________________________________________________________________________________________1

【典例分析】

例.（2023?浙江湖州?中考真題）【特例感知】

（1）如圖1,在正方形Z8CD中，點尸在邊48的延長線上，連接尸D,過點。作。“,尸。，交8C的延長線于點M.求

證：ADAPQADCM.

【變式求異】

（2）如圖2,在RtA4SC中，N4BC=90。，點。在邊上，過點。作。0_L/8,交NC于點。，點尸在邊48的

延長線上，連接尸0,過點。作。M_LP。，交射線2c于點/.已知BC=8,AC=10,AD=2DB,求品的值.

【拓展應用】

（3）如圖3,在RtAABC中，/A4c=90。，點P在邊的延長線上，點。在邊NC上（不與點/,。重合），連接

PQ,以0為頂點作/尸QM=/P8C,N尸。"的邊W交射線BC于點M.若AC=mAB,CQ=nAC（加，〃是常數(shù)），

求需的值（用含如

"的代數(shù)式表示）.

圖1圖2圖3

【變式演練】

1.（2023?河南洛陽?三模）在“8C中，乙4c8=90。,/。=8C,點。是直線上的一動點（不與點4臺重合），連

接C0,在C。的右側以C0為斜邊作等腰直角三角形CDE,點H是3。的中點，連接E8.

【問題發(fā)現(xiàn)】（1）如圖（1）,當點。是的中點時，線段即與的數(shù)量關系是,位置關系是

【猜想證明】（2）如圖（2）,當點。在邊NB上且不是的中點時，（1）中的結論是否仍然成立？若成立，請僅

就圖（2）中的情況給出證明；若不成立，請說明理由.

【拓展應用】⑺若AC=BC=26,其他條件不變，連接/E，BE.當ABCE是等邊三角形時，直接寫出VADE的

面積.

2.（2023?湖北十堰?二模）【問題背景】⑴如圖1,ZACB=ZADE=90°,AC=BC,AD=DE.求證：BE=CCD;

【變式遷移】（2）如圖2,E為正方形Z3CD外一點，/￡=45。，過點。作。尸，3E,垂足為尸，連接CF.求的

CF

值；

【拓展創(chuàng)新】（3）如圖3,A是內(nèi)一點，BE=BF,AF=2,ZEAB=90°,ZFEA=ZBFA,AE=2AB,直接

寫出的長.

圖1

3.（2023?浙江寧波?模擬預測）【基礎鞏固】（1）如圖1,“8C和VADE是直角三角形，NABC=N4DE=90。,

行iCB=AED,求證：ADABs^EAC；

【嘗試應用】（2）如圖2,在與RMEOC中，直角頂點重合于點C,點。在上，NBAC=NDEC,且

sinNB4C=g,連接NE,若BD=2,求4E1的長；

【拓展提高】（3）如圖3,若/。3=90。，NE=ZABC,tanZ￡=—,BD=5CD,過/作40，4D交仍延長線

3

Ar

于°,求質(zhì)的值.

中考練場

1.（2023?浙江湖州?中考真題）【特例感知】

（1）如圖1,在正方形48co中，點尸在邊48的延長線上，連接尸D,過點。作?！?尸。，交8C的延長線于點求

證：ADAPQADCM.

【變式求異】

（2）如圖2,在RtA4SC中，N4BC=90。，點。在邊上，過點。作。0_L/8,交NC于點。，點尸在邊48的

延長線上，連接P0,過點。作。M，P。，交射線2C于點已知BC=8,AC=10,AD=2DB,求品的值.

【拓展應用】

（3）如圖3,在RtAABC中，/A4c=90。，點P在邊的延長線上，點。在邊NC上（不與點/,。重合），連接

PQ,以0為頂點作/尸QM=/P8C,NP0M的邊0/交射線BC于點若4c="MB,CQ=nAC（加，〃是常數(shù)），

求冬■的值（用含小"的代數(shù)式表示）.

QM

圖1圖2圖3

2.（2023?遼寧錦州?中考真題）【問題情境】如圖，在“3C中，AB=AC,44cs=a.點。在邊8c上將線段。8

繞點。順時針旋轉(zhuǎn)得到線段。E（旋轉(zhuǎn)角小于180。）,連接BE,CE,以CE為底邊在其上方作等腰三角形尸EC,使

乙FCE=a,連接上\

【嘗試探究】

（1）如圖1,當a=60。時，易知=

圖1

如圖2,當&=45。時，則呼'與8E的數(shù)量關系為_；

（2）如圖3,寫出相與BE的數(shù)量關系（用含a的三角函數(shù)表示）.并說明理由;

【拓展應用】

（3）如圖4,當。=30。，且點3,E,k三點共線時.若BC=4療，AD=（BC,請直接寫出距的長.

3.（2023?湖北黃岡?中考真題）【問題呈現(xiàn)】

△C4B和ACDE都是直角三角形，ZACB=ZDCE=90°,C5=mCA,CE=mCD,連接4D,BE,探究BE的位置

關系.

圖1圖2備用圖

⑴如圖1,當根=1時，直接寫出3E的位置關系:

（2）如圖2,當加工1時，（1）中的結論是否成立？若成立，給出證明；若不成立，說明理由.

【拓展應用］

（3）當加=6,45=477,/方=4時，將ACDE繞點C旋轉(zhuǎn)，使42E三點恰好在同一直線上，求BE的長.

4.（2023?四川成都?中考真題）探究式學習是新課程倡導的重要學習方式，某興趣小組擬做以下探究.

AT）1

在RtzX/HC中，NC=90°,AC=BC,。是45邊上一點，且——=—（〃為正整數(shù)），E是/C邊上的動點，過點。作

BDn

DE的垂線交直線BC于點F.

【初步感知】

(1)如圖1,當〃=1時，興趣小組探究得出結論：AE+BF=^AB,請寫出證明過程.

【深入探究】

(2)①如圖2,當"=2,且點尸在線段2C上時，試探究線段BF,N8之間的數(shù)量關系，請寫出結論并證明；

②請通過類比、歸納、猜想，探究出線段NE,BF,之間數(shù)量關系的一般結論(直接寫出結論，不必證明)

【拓展運用】

(3)如圖3,連接E尸，設E尸的中點為若AB=2g，求點E從點/運動到點C的過程中，點〃運動的路徑長(用

含〃的代數(shù)式表示).

5.(2022?廣東深圳?中考真題)(1)【探究發(fā)現(xiàn)】如圖①所示，在正方形/BCD中，E為/。邊上一點，將A/EB沿

3E翻折到△AEF處，延長E尸交邊于G點.求證：ABFG四4BCG

圖①

(2)【類比遷移】如圖②，在矩形48。中，￡為4D邊上一點，且40=8,48=6,將4/股沿3￡翻折到48￡萬處,

延長EF交BC邊于點G,延長BF交CO邊于點“，且切=CH,求AE的長.

(3)【拓展應用】如圖③,在菱形ABCD中，4B=6,E為CD邊上的三等分點，ZD=60°,將VADE沿AE翻折得到△/尸E,

直線E/交8C于點尸，求CP的長.

備用1備用2

6.(2023?內(nèi)蒙古赤峰?中考真題)數(shù)學興趣小組探究了以下幾何圖形.如圖①，把一個含有45。角的三角尺放在正方

形48CD中，使45。角的頂點始終與正方形的頂點C重合，繞點C旋轉(zhuǎn)三角尺時，45。角的兩邊CM,CN始終與正方

形的邊ZD,AB所在直線分別相交于點M,N,連接兒W,可得ACW.

【探究一】如圖②，把VCDW繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)90。得到ACB”,同時得到點H在直線48上.求證：ZCNM=ZCNH；

【探究二】在圖②中，連接BD,分別交CM,CN于點E,F.求證：MEFs^CNM；

【探究三】把三角尺旋轉(zhuǎn)到如圖③所示位置，直線8。與三角尺45。角兩邊CM,CN分別交于點￡,F.連接ZC交2。

于點。，求黑的值.

7.（2023?黑龍江齊齊哈爾?中考真題）綜合與實踐

數(shù)學模型可以用來解決一類問題，是數(shù)學應用的基本途徑.通過探究圖形的變化規(guī)律，再結合其他數(shù)學知識的內(nèi)在聯(lián)

系，最終可以獲得寶貴的數(shù)學經(jīng)驗，并將其運用到更廣闊的數(shù)學天地.

F

圖1

圖3

⑴發(fā)現(xiàn)問題：如圖1，在“3c和中，AB=AC,AE=AF,ABAC=ZEAF=30°,連接BE,CF,延長3E交

CF于點、D.則BE與CF的數(shù)量關系：,NBDC=°；

(2)類比探究：如圖2,在"3C和AN跖中，AB=AC,AE=AF,ABAC=AEAF=120°,連接BE,CF,延長BE,

尸C交于點。.請猜想BE與CF的數(shù)量關系及乙BDC的度數(shù)，并說明理由；

(3)拓展延伸：如圖3,和ANE尸均為等腰直角三角形，N