2025年中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)：二次函數(shù)綜合 壓軸題匯編（含答案）

2025年中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí):二次函數(shù)綜合壓軸題?？紵狳c(diǎn)試題匯編

1.如圖，已知拋物線y=—/+kc+c與一直線相交于A(—1,0),。(2,3)兩點(diǎn)，與夕軸交于點(diǎn)N.其頂點(diǎn)

為D

(1)求拋物線及直線AC的函數(shù)表達(dá)式;

(2)設(shè)點(diǎn)朋r(3,小)，求使MN+MD的值最小時(shí)m的值;

(3)若點(diǎn)P是拋物線上位于直線AC上方的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作尸Q，c軸交AC于點(diǎn)Q,求PQ的最大

值.

【答案】⑴解：由拋物線y=—/+法+。過點(diǎn)A(-l,0),。(2,3)得=，

1―4十十C=J

解得FU，

[c=3

拋物線為g=—/+26+3;

設(shè)直線為9=for+n過點(diǎn)4(—1,0),0(2,3),得｛盛;屋，

解得

直線AC為g=6+1;

(2)解：:y=—_+2力+3=—(力一I)?+4,

???。(1,4),

令g=0,貝"0=—/+26+3,

解得x=—1或x=3,即拋物線與力軸的另一個(gè)交點(diǎn)為(3,0),

作直線力=3,作點(diǎn)。關(guān)于直線力=3的對(duì)稱點(diǎn)D,

得D坐標(biāo)為(5,4),如圖，

此時(shí)N、河、。三點(diǎn)共線時(shí)，7W+MD最小，即7W+M。最小,

設(shè)直線ND，的關(guān)系式為：0=a/+b,

把點(diǎn)N(0,3)和D(5,4)代入得=

得Q=4,b=3,

5

直線7W的函數(shù)關(guān)系式為：?/=±2+3,

5

當(dāng)田=3時(shí)，

5

.18

5

???。。_10軸交4。于點(diǎn)。，

設(shè)。(力，6+1),則P(x,—62+2/+3),

:.PQ—(—62+21+3)—(二+1)

=—/+/+2

V-l<0,

PQ有最大值，最大值為今.

2.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)B的坐標(biāo)為（-1,0）,且。4=0。=508,拋物線0=&/+近+

c（a￥0）圖象經(jīng)過4B,C三點(diǎn).

（1）求A,C兩點(diǎn)的坐標(biāo)；

（2）求拋物線的解析式；

（3）若點(diǎn)P是直線AC下方的拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，作DD，AC于點(diǎn)。，當(dāng)PD的值最大時(shí),求此時(shí)點(diǎn)

P的坐標(biāo)及的最大值.

【答案】（1）解：?.?點(diǎn)B的坐標(biāo)為（-1,0）,

:.OB=1,

?/OA=OC=5OB9

:.OA=OC=5,

???點(diǎn)4(5,0),。(0,—5);

⑵解:設(shè)拋物線的表達(dá)式為：0=以力+1)(/—5),

把點(diǎn)。(0,—5)代入得：—5a=-5,

解得：a=1,

故拋物線的表達(dá)式為：y=(6+1)(力-5)=X2—4：X—5;

⑶解：???直線CA過點(diǎn)C(0,-5),

可設(shè)其函數(shù)表達(dá)式為：y=—5,

將點(diǎn)人(5,0)代入得：5fc-5=0

解得：k=1,

故直線CA的表達(dá)式為：g=%一5,

過點(diǎn)P作"軸的平行線交。4于點(diǎn)

,:PH"軸,

：./PHD=/OCA=45°,

:,PD=PH,

?：PD_LACf

:.PD=與PH,

設(shè)點(diǎn)P(力，力2—4劣—5),則點(diǎn)—5),

3夸(-4,+5)=—壬+:用

,2'

.?.PO有最大值，當(dāng)■時(shí),其最大值為遜0,

2o

此時(shí)點(diǎn)p(l■，—苧).

3.如圖拋物線y=ax2+bx+c經(jīng)過點(diǎn)3(-1,0),點(diǎn)3(0,3)，且08=OC.

⑴求拋物線的解析式及其對(duì)稱軸；

(2)點(diǎn)D、E是直線①=1上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且RE=1,點(diǎn)。在點(diǎn)E的上方，求四邊形ACDE的周長(zhǎng)的最小

值.

（3）點(diǎn)P為拋物線上一點(diǎn)，連接CP,直線CP把四邊形CBPA的面積分為3:5兩部分，求點(diǎn)P的坐標(biāo).

【答案】⑴解：???03=0。,點(diǎn)。（0,3）,

.?.點(diǎn)B（3,0）,

則拋物線的表達(dá)式為：y—a（x+1）（①-3）=a（x2—2c—3）=ax2—2ax—3a,

將點(diǎn)。（0,3）代入得，

故—3a=3,解得:a=-1,

故拋物線的表達(dá)式為：y——X2+2rc+3,

y——x2+2rc+3=—（2―1]+4,

函數(shù)的對(duì)稱軸為：c=1;

⑵四邊形ACDE的周長(zhǎng)=人。+?！?。。+AE,其中AC=5r=行壽=何、?！?1是常

數(shù)，

故CD+AB最小時(shí)，周長(zhǎng)最小，

取點(diǎn)。關(guān)于直線c=1對(duì)稱點(diǎn)。（2,3），則CD=CD,

如圖所示，取點(diǎn)4（一1,1）,則4。=AE,點(diǎn)。與。關(guān)于c=1對(duì)稱，則。（2,3）,

圖1

A,C,,=V32+22=V13,

.?.CD+AE=4_D+。。，則當(dāng)4、。、U三點(diǎn)共線時(shí)，CD+AE=4。+。。最小，周長(zhǎng)也最小,

四邊形ACDE的周長(zhǎng)的最小值=AC+DE+CD+AE

=VW+1+A'D+DC

=V10+1+A'C

V10+1+V13;

（3）如圖，設(shè)直線CP交c軸于點(diǎn)E,

圖2

直線C尸把四邊形CBPA的面積分為3:5兩部分，

又：SAPCB：S"CA=-^EBX(yc-yp)：^AEX{yc-yp)=BE:AE,

貝UBE:AB=3:5或5:3,

則AE=]■或,，

即：點(diǎn)E的坐標(biāo)為信0）或患,0）,

設(shè)直線CP的表達(dá)式：？/=k。+3,

將點(diǎn)E的坐標(biāo)代入直線CF的表達(dá)式：y=kx+3,

解得:k=—6或—2,

故直線CP的表達(dá)式為：g=—2力+3或y——Qx+3,

聯(lián)立（"=—/+21+3/+2/+3

\y=-2x-\-3'6力+3，

解得：/=4或力=8（力=0舍去）,

故點(diǎn)P的坐標(biāo)為（4,-5）或（8,-45）.

4.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線夕=i+bx+c與刀軸交于點(diǎn)4―1,0），例3,0）,與"軸交于點(diǎn)C,作

直線BC,點(diǎn)P是拋物線在第四象限上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)P不與點(diǎn)重合），連結(jié)尸B,PC,以PB,PC為邊

作￡7CRBD,點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m.

（1）求拋物線對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式；

（2）當(dāng)DCPBD有兩個(gè)頂點(diǎn)在多軸上時(shí)，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為；

⑶當(dāng)DCPBD是菱形時(shí)，求小的值.

（4）當(dāng)口為何值時(shí)，DCPBD的面積有最大值？

【答案】⑴解：：拋物線夕=案+&/+。與a;軸交于點(diǎn)A（—l,0）,B（3,0）,

/.拋物線的解析式為y=（2+1）（2一3）,

即夕="-2a;—3,

（2）解：：拋物線的解析式為v=a?—2a:—3,令①=0,則y=—3,

C（0,—3）,

OCPBD有兩個(gè)頂點(diǎn)在立軸上時(shí)，

.?.點(diǎn)。在a;軸上，

四邊形CPBD是平行四邊形，

：.CP//BD,

.?.點(diǎn)P和點(diǎn)。為拋物線上的對(duì)稱點(diǎn)，

1/拋物線y—x2—2x—3的對(duì)稱軸為x――—1,C（0,—3）,

ZX1

/.P⑵一3）,

故答案為：（2,—3）;

（3）解:設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（m,y）,

???B（3,0）,C（0,—3）,

.?.BP2=（3-m）2+y2,

CP2=m2+（m+3）2,

???uzCP皿是菱形，

：.BP=CP,

:?BP2=CP2,

(3—771)2+靖=僅2+句+3)2,

9—2m+m2+/=m2+d+6g+9,

m+?/=0,

*.*y—m2—2m—3,

m+in—2m—3=0,

rri—m—3=0,

_一(一l)±J(_l)2_4xlx(_3)_]±VU

m~2X1——2—'

P13_1+V13_1-V13

即mi~----------,m2------------,

?.?點(diǎn)P是拋物線在第四象限上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)(點(diǎn)P不與點(diǎn)重合),

0<m<3,

._1+V13.

-'m~2'

(4)解:如圖所示，過點(diǎn)P作PE//y軸交直線BC于點(diǎn)、E,

設(shè)直線BC的解析式為夕=^^+6/片0),將_8(3,0),。(0,—3)代人得,

(3k+b=0

U=-3'

(k=l

解得,(b=-3，

?,?直線的解析式為g=c—3,

設(shè)F(m,m2—2m—3),則E(m,m—3),

PE——TTb+3m,

**?S^PBC=5X3(—??22+3m),

SUCPBD~?S"BC

=2xx3(—m2+3m)

=-3m2+9m

=-3(館V+苧，

當(dāng)加=5時(shí)，平行四邊形CPBD的面積有最大值.

5.二次函數(shù)"=ad+E+4(a￥0)的圖象經(jīng)過點(diǎn)4(—4,0)1(1,0),與9軸交于點(diǎn)。，點(diǎn)尸為第二象限內(nèi)拋

物線上一點(diǎn)，連接BP、AC,交于點(diǎn)Q,過點(diǎn)P作。0，c軸于點(diǎn)D

⑴求二次函數(shù)的表達(dá)式；

（2）在對(duì)稱軸上是否存在一個(gè)點(diǎn)河，使MB+MC的和最小,存在的話,請(qǐng)求出點(diǎn)河的坐標(biāo).不存在的話

請(qǐng)說明理由.

⑶連接BC,當(dāng)ADPB=2ABCO時(shí),求直線BP的表達(dá)式.

【答案】⑴解:把A（—4,0）,B（l,0）代入^/=姐2+歷;+4（＜1。0）得:

J16a—46+4=0

1a+6+4=0'

解得仁,

二次函數(shù)的表達(dá)式為y=—x2—3a:+4;

（2）在對(duì)稱軸上存在一個(gè)點(diǎn)河，使MB+的和最小，理由如下：

連接AC交對(duì)稱軸于河，則皿B+的和最小，如圖：

?：MA=MB,

：.MB+MC^MA+MC,

而。，河，A共線，

.?.此時(shí)上田+河。最小，

在y=—/—3cc+4中，令c=0得沙=4,

設(shè)直線AC的表達(dá)式為U=nr+s,由力（-4,0）,。（0⑷可得｛二［+'二

解得仁；

直線AC解析式為？/=劣+4,

由y=—X2—3X+4=一（，+~|"）~+—知拋物線對(duì)稱軸為直線x=—

在夕=2+4中，令c=一■得V=今，

（3）設(shè)BP交y軸于K,如圖：

r

PDJ_/軸，

???/DPB=/OKB,

???ZDFB=2ZBCO,

???AOKB=2/LBCO,

???ACBK=ABCO,

：.BK=CK,

設(shè)OK=m,則CK=BK=4—m,

VOB2+OK2=BK2,

:.l2+m2=(4—m)2,

解得m-

o

??.K(0,卷)，

設(shè)直線BP的表達(dá)式為夕=p;r+q,由B(l,0),K(0,9)得到

(p+q=0

b=f

解得I。一Z7

I"8

直線BP的表達(dá)式為y=—號(hào)劣+

oo

6.如圖,拋物線y=——x交x軸正半軸于點(diǎn)A,M■是拋物線對(duì)稱軸上的一點(diǎn),過點(diǎn)M'作x軸的平行線

交拋物線于點(diǎn)B,C（B在。左邊），交夕軸于點(diǎn)。，連結(jié)OM,已知OM=5.

⑴求OD的長(zhǎng).

（2）P是第四象限內(nèi)拋物線上的一點(diǎn)，連結(jié)四，AC,OC,PO.設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為小,四邊形OCAP的

面積為S.,

①求S關(guān)于小的函數(shù)表達(dá)式.②當(dāng)。時(shí)，求S的值.

【答案】解：⑴拋物線對(duì)稱軸為x=—3-=3,

:.DM—3,OA—6;

________________________________日

i\?nnI

'：OM=5,

OD=y/OM2-DM'2=V52-32=4.

(2)過點(diǎn)P作PN_LOA于N,

①由夕=0得，0=I/--1-x

解得：x=0(舍去),x=6

：.OA=6,

S四邊形OCZF=S^OAC+S^OAP

=y-OA?on+y?OA?F7V

=yX6x4+yx6[-(^m2-1-m)]

=12+3(--+

1427

=--7-m2++12

42

所以，S關(guān)于館的表達(dá)式為：5=—,病+3館+12

②MC=CD—DM=5=OM,

???/MOC=AMCO.

???BC//x軸,

??.AAOC=AMCO=4Moe.

???2Poe=4DOC,

???APOC-ZAOC=/.DOC-/MOC,

???/POE=/DOM,

3

tanZFOA=tanZZ?OM=—

4

.%=3

??g4

??.yP=—*rp,代入拋物線解析式得

__3_rip-1-ry*2__3_rip

4P-4P2p

解得xP=0(舍去)或力p=3,

,339

v產(chǎn)4P44

S四邊形OCAF=S^OAC+Sy)AP

=^-OA-OD+^-OA-PN=18.75

_________/

7.如圖，已知拋物線y=-x2+bx+c經(jīng)過8(—3,0),。(0,3)兩點(diǎn)，與rc軸的另一個(gè)交點(diǎn)為4

⑴求拋物線的解析式；

(2)在拋物線對(duì)稱軸上找一點(diǎn)E,使得AE+CE的值最小,求點(diǎn)E的坐標(biāo)；

(3)設(shè)點(diǎn)P為力軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),寫出所有使ABPC為等腰三角形的點(diǎn)P的坐標(biāo)，并把求其中一個(gè)點(diǎn)尸

的坐標(biāo)的過程寫出來.

—9—3b+c=0

【答案】(1)解:將點(diǎn)B(—3,0),C(0,3)代入拋物線解析式得

c=3

6=-2

解得

c=3

拋物線的解析式為y-—x2-2x+3;

(2)解：：拋物線解析式為y——X2—2x+3=—(2+1)?+4,

/.拋物線的對(duì)稱軸為直線x=—1,

:點(diǎn)A、8關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱，

:.BE=AE,

：.AE+CE^BE+CE,

：.當(dāng)B、C、E三點(diǎn)共線時(shí)，BE+CE最小，即此時(shí)AE+CE最小,

/.BC與對(duì)稱軸的交點(diǎn)即為點(diǎn)E,如下圖，

—3m+n=0

?i=3

m=l

解得

n=3

二直線BC的解析式為V=c+3;

當(dāng)x=-1時(shí)，夕=±+3=2,

E(-l,2);

⑶解：???B(—3,0),C(0,3),

OB=OC=3,

.?.BC=V32+32=3A/2,

當(dāng)B為頂點(diǎn)時(shí)，則PB=BC=3V5,

.?.點(diǎn)P的坐標(biāo)為(3V2-3.0)或(一32—3,0);

當(dāng)。為頂點(diǎn)時(shí)，則PC=BC,

.?.點(diǎn)P與點(diǎn)B關(guān)于”軸對(duì)稱,

.?.點(diǎn)P的坐標(biāo)為(3,0);

當(dāng)BC為底邊時(shí),則PC=PB,

設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(m,0),

(―3—m)2=m2+32,

解得m=0

.?.點(diǎn)P的坐標(biāo)為(0,0);

綜上，點(diǎn)P的坐標(biāo)為(0,0)或(3,0)或(372-3,0)或(一32一3,0).

8.如圖,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,將拋物線y=j-x2平移，使平移后的拋物線仍經(jīng)過原點(diǎn)O,新拋物線的

頂點(diǎn)為M(點(diǎn)M在第四象限),對(duì)稱軸與拋物線呼#交于點(diǎn)N,且MN=4.

⑴求平移后拋物線的表達(dá)式；

(2)如果點(diǎn)N平移后的對(duì)應(yīng)點(diǎn)是點(diǎn)尸，判斷以點(diǎn)O、M、N、尸為頂點(diǎn)的四邊形的形狀,并說明理由；

(3)拋物線y=上的點(diǎn)A平移后的對(duì)應(yīng)點(diǎn)是點(diǎn)B,BCA.MN,垂足為點(diǎn)C,如果△48。是等腰三角

形，求點(diǎn)A的坐標(biāo).

【答案】(1)解：由題意得，平移后的拋物線表達(dá)式為：夕=。/+故，

則點(diǎn)"■的坐標(biāo)為：(一6,一//)，

當(dāng)土=-b時(shí)，"=.。2=，即點(diǎn)N1-b,yfe2),

則施=如+產(chǎn)=4,

解得：b—2(舍去)或b=—2,

則平移后的拋物線表達(dá)式為：y—-^-x2—2x;

(2)解:四邊形OMPN是正方形,

根據(jù)題意可得0(0,0),根(2,—2),N(2,2),P(4,0),

記MN與OP交于點(diǎn)G,則G(2,0),

OG=GP=2,MG=NP=2,MN=OP=4,NO=NP=2V2,

：.四邊形OMFN是平行四邊形，,

?：MN=OP=4,

：.四邊形OMFN是矩形，

?：NO=NP=2V2,

：.四邊形OMFN是正方形；m：

(3)解:設(shè)J4(Q,；Q2),_B(a+2,；Q2—2),C(2,~^~Q2—2),

可得AB=22,AC=7(?-2)2+22,BC=V?,

①AB=AC,2ypi=y/(G—2)2+22,即a.2—4a=0,

解得的=4,期=0(舍去0),

4(4,8);

②AB=BC,22=",

解得出=2V2,s=—2%/2,

4(22,4)或人(一22,4);

③AC=BC,V(a-2)2+22=，

解得a=2,

/.4(2,2);

綜上，點(diǎn)人的坐標(biāo)是(4,8)、(272,4)>(-272,4)>(2,2).

9.綜合與探究

如圖，拋物線y=—2與宏軸交于/,8兩點(diǎn)，與,軸交于點(diǎn)C.過點(diǎn)A的直線與拋物線在第

一象限交于點(diǎn)D(5,3).

⑴求A,B,C三點(diǎn)的坐標(biāo)，并直接寫出直線AO的函數(shù)表達(dá)式.

(2)點(diǎn)P是線段43上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),過點(diǎn)P作力軸的垂線,交拋物線于點(diǎn)E,交直線AD于點(diǎn)F.試探究

是否存在一點(diǎn)尸,使線段EF最大.若存在，請(qǐng)求出所的最大值；若不存在，請(qǐng)說明理由.

(3)若點(diǎn)河在拋物線上，點(diǎn)N是直線上一點(diǎn)，是否存在以點(diǎn)。，M，N為頂點(diǎn)的四邊形是以為

邊的平行四邊形？若存在，請(qǐng)直接寫出所有符合條件的點(diǎn)河的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說明理由.

【答案】⑴解:令』=0,則ya：2—yx—2=0,

解得rr=4或c——1,

.?.A(—l,0),B(4,0),

令c=0,則9=一2,

AC(0,-2),

設(shè)直線AD的函數(shù)表達(dá)式為y—kx+b,

將月(—1,0),。(5,3)的坐標(biāo)代入得，｛京;二;，

1

k--

2

b-1

-

2

(2)解：存在，理由如下：

設(shè)P(a,O),則石——2),F(Q,]Q+；),

?/P線段4B上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),

石在力軸下方,

EF—/a+■-怎/一會(huì)-2)=-^-a2+2a+-|-=-y(a-2)2+-|-

當(dāng)a=2時(shí)，EF有最大值，最大值為y；

⑶解:存在，點(diǎn)加的坐標(biāo)為(0,—2),(2+714,4+或2_，n,4_

設(shè)防小得"一"!^一2),2V(n,yn+y),

???B(4,0),0(5,3),

①當(dāng)平行四邊形對(duì)角線為BN和DM■時(shí)，

4+-_5+m

2―2

0+?+*_3+如標(biāo)一沏1，

{2二2

解得：[k0或{f；(當(dāng)6=4時(shí)，M(4,0)與口點(diǎn)重合，不符合題意，舍去)

.?.點(diǎn)”的坐標(biāo)為(0,-2);

②當(dāng)平行四邊形對(duì)角線為B2W和ON時(shí)，

4+?n_5+-

-2———2~

O+^-m2--1m-2_3+/+/，

{2=2

解得.8=2+Vnfm=2-V14

瞥侍?卜=1+小或b=1—TH'

.,.點(diǎn)M'的坐標(biāo)為(2+，IZ,4+3^^)或^2—A/14,4-,

綜上所述，點(diǎn)河的坐標(biāo)為(0,-2),(2+714,4+^^)或(2-41,4-

10.如圖，已知直線g=■力+3與n軸交于點(diǎn)。，與g軸交于點(diǎn)。，經(jīng)過點(diǎn)。的拋物線"=—]/+b/+c與

(1)求該拋物線的函數(shù)解析式;

國(guó)

⑵連接DE,求tan/CDE的值；

(3)設(shè)P為拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，Q為直線CD上一動(dòng)點(diǎn),是否存在點(diǎn)P與點(diǎn)Q,使得以D、E、P、Q為頂點(diǎn)

的四邊形是平行四邊形？如果存在，請(qǐng)求出點(diǎn)Q的坐標(biāo);如果不存在,請(qǐng)說明理由.

【答案】⑴解:對(duì)于g=*r+3,由N=0,得g=3,

AC(0,3),

???拋物線過點(diǎn)4(一6,0)、C(O,3),

-?(-6)2-6b+c=0,解得:b=—l

c=3c=3

該拋物線為g=-手力2—力+3;

(2)解：由9=一：/一2+3=_：伽+2)2+4得頂點(diǎn)E(-2,4),

過點(diǎn)E分別作2軸于F,作EG，9軸于G,連接EC,

則EF=4,DF=2,EG=2,CG=1,

.DF_\「CG

"EF—2—EG'

?：2DFE=NCGE=9G,

:./\DFE?4CGE

,DEF=2CEG,端苛=/

???/CEG+/CEF=90°,ZDEF+ZCEF=90°,

???/DEC=90°,

???tanZCDE==餐;

(3)設(shè)Q{m,-|-m+3)

①若為平行四邊形的一邊，且點(diǎn)P在點(diǎn)Q的上方,

解得館2=—4(舍去)

，Q(-7,號(hào))；

②若DE為平行四邊形的一邊，且點(diǎn)P在點(diǎn)Q的下方,

。(一4,0),E(—2,4),Q(m,-1-m+3),

P^m—2,-ym—1),

同理得Q（+更，區(qū)產(chǎn)）或Q（-3—想15—31

28

③若DE為平行四邊形的對(duì)角線

,***.*。(-4,0),E(—2,4),Q(m,-1-m+3^,

.?._?(一m—6,—代入拋物線得：一-|-m+1=-^-(―m—6)2—(―m—6)+3,

解得mi=—1,7n2=-4(舍去)

。(-1號(hào)),

綜上所述，點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(-7,-；)Q(壬遒，土產(chǎn))或Q(土產(chǎn)，上產(chǎn))或(-i9).

11.如圖，已知拋物錢經(jīng)過點(diǎn)4—1,0）,3（3,0）,0（0,3）三點(diǎn).

⑴求拋物線的解析式；

（2）點(diǎn)河是線段上的點(diǎn)（不與。重合），過M作MN〃y軸交拋物線于點(diǎn)N.若點(diǎn)V的橫坐標(biāo)為

m,請(qǐng)用含小的代數(shù)式表示MN的長(zhǎng)；

（3）在（2）的條件下，連接NR、NC,當(dāng)小為何值時(shí),ABNC的面積最大，最大面積是多少？

【答案】⑴解：根據(jù)題意，拋物錢與工軸交于點(diǎn)4一1,0）,B（3,0）

設(shè)拋物線解析式為y—a（x+l）（x—3）

將C（O,3）代入可得：—3a=3,解得a——1

即9=一（2+l）（c—3）——X2+2x+3;

（2）設(shè)直線BC的解析式為夕=版+b

將B（3,0）、C（0,3）代人可得：

；==°,解得k=-l

6=3

即y=-x+3,

則M(m,—m+3),7V(m,—m2+2m+3),

MN——w?+2m+3—(—m+3)=—m2+3m;

⑶由題意可得:SARNC—+^^MNC=XMNXOB=m2+3m)=^-m2+3mz

9_

"I="一相=4"時(shí)，SARNO面積最大，

-2xf2

2

?1?最大面積為S^BNC=-yX(y)+-|-x1-=^.

12.如圖，已知拋物線沙=—/+尻+。與土軸交于4，8兩點(diǎn)，與4軸交于。點(diǎn)，頂點(diǎn)為。，其中4（1,0）,

C（0,3）.直線夕=7TKE+TI經(jīng)過B,C兩點(diǎn).

⑴求直線和拋物線的解析式;

（2）在拋物線對(duì)稱軸上找一點(diǎn)M,使M4+最小,直接寫出點(diǎn)M的坐標(biāo);

⑶連接BDCD,求ABCD的面積.

【答案】解：(1)將點(diǎn)A(l,0),。(0,3)代入夕=—a?+bx+c,

得i—l+b+c=Q,

于1c=3,

解這個(gè)方程組，得f二：2，

[c=3.

拋物線的解析式為0=—/—2/+3.

當(dāng)。=0時(shí)，0=—X2—2X+3=—(T+3)(T—1),

解得g=-3,力2=1,

???點(diǎn)B的坐標(biāo)為（一3,0）,

直線g=mx+九經(jīng)過B,C兩點(diǎn)，

.f—3m+n=0

**[n=3'

解得

[n=3

???直線石。解析式為g=6+3;

（2）??,點(diǎn)4和點(diǎn)B關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱,_______________________________B

???當(dāng)點(diǎn)河是直線和對(duì)稱軸的交點(diǎn)時(shí)，AM+MC取得最小值,

?.?拋物線9=一/-22：+3=-0+1)2+4,

.?.點(diǎn)D的坐標(biāo)為(—1,4)，對(duì)稱軸為直線c=1,

符■c=1代入直線y=c+3,得：y——1+3=2,

.?.點(diǎn)”的坐標(biāo)為(-1,2);

⑶?.?點(diǎn)。(-1,4),點(diǎn)山(一1,2),

:.DM=4—2=2,

,點(diǎn)B(—3,0),

/.BO=3,

S4BCD=0MB+SWO=/DWBO=/X2X3=3.

13.拋物線夕=a/+近一4(a￥0)與①軸交于點(diǎn)4(—2,0)和8(4,0),與沙軸交于點(diǎn)C,連接BC.點(diǎn)P是

線段下方拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)(不與點(diǎn)重合)，過點(diǎn)P作夕軸的平行線交BC于交力軸于

N,設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為九

⑴求該拋物線的解析式;

(2)用關(guān)于t的代數(shù)式表示線段JW,求的最大值及此時(shí)點(diǎn)河的坐標(biāo);

⑶過點(diǎn)。作CH±PN于點(diǎn)H,Sm=^S^CHM,

①求點(diǎn)P的坐標(biāo)；

②連接CP,在n軸上是否存在點(diǎn)Q,使得△CPQ為直角三角形，若存在，求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在,

請(qǐng)說明理由.

【答案】(1)解:把4(—2,0)、6(4,0)代入g=a/+6/-4得

.14a—2b—4=0即12a—b=2

??(16。+46-4=0，(4a+b=l'

??.尸

［b=-l

拋物線的解析式為：g=-^-x2—re—4;

(2)解：令%=0得g=-4,

???C(0,-4)

設(shè)直線的解析式為g=fcr+b,

,ffe=-4

ffc=l

六\fe=-4,

??.直線BC的解析式為：沙=/一4

???P的橫坐標(biāo)為心P7W7/"軸，

*,?■?,)/一1―4),,

???PM=1一4一(1廿一力_4)=一］力2+2力=一］。-2)2+2,

T＜。，

???當(dāng)方=2時(shí)，PM有最大值2,此時(shí)M(2,—2);

(3)解:①???石(4,0)、。(0,—4),

??.OB=OC=4,

???ZBOC=90°,

??.ZOBC=ZOCB=45°,

???PN〃y抽

??.ANMB=AOCB=45°,AMNB=ACOB=90°,

???4NBM=ANMB,

??.BN=MN,

2

S^BMN--^-BN9

叉/CMH=/NMB=45°,/CHM=90°,,

???△CHM是等腰直角三角形

S^cHM~

?*S^BMN~9s!

_______0

???yB7V2=9XyCH2

:?BN=3CH,

?:BN+CH=OB=4,

：.CH=1

：w)；

②設(shè)Q(O,m),則CQ2—(4+m)2,CP2—1+(-4+?)--j-,PQ2=1+(nz+~1~)，

(I)當(dāng)Z-CQP—90°時(shí)，/—(4+??2)2+1+(小+告)，

解得：m=-4(舍去)或m=—■,

?*-Q(。，一8；

(11)當(dāng)Z.CPQ—90°時(shí)，-j-+1+—(4+?n)2,

解得：m=-^~,

Q(。，-冷)

>'A

X

?z

0'

（III）當(dāng)/PCQ=90°時(shí),+（4+m）2=1++

解得：加=—4（舍去）

綜上所述,存在點(diǎn)Q（0,—"￥）‘iQ（0,-y）使得△CP。為直角三角形.

14.如圖,拋物線y=ax2+bx+c（a>0）交力軸于4、8兩點(diǎn)（點(diǎn)人在點(diǎn)8左側(cè)），交"軸于點(diǎn)C.

備用圖圖

圖12:

___________________________________由

(1)若4—1,0),以3,0),。(0,—3),

①求拋物線的解析式；

②若點(diǎn)F為力軸上一點(diǎn)，點(diǎn)Q為拋物線上一點(diǎn)，△CP。是以CQ為斜邊的等腰直角三角形,求出點(diǎn)P的

坐標(biāo)；

⑵若直線y=bx+t(t>c)與拋物線交于點(diǎn)M、N(點(diǎn)"在對(duì)稱軸左側(cè)),直線AM交y軸于點(diǎn)石，直線

AN交g軸于點(diǎn)。.試說明點(diǎn)。是線段。石的中點(diǎn).

【答案】解:(1)①把Z(T，O)，夙3,0),C(0,-3)分別代入g=+0+c,得

(a—b+c=0

<9a+3b+c=0,

[c=-3

(a=l

解得<b=-2,

[c=-3

拋物線的解析式為g=2/-3.

②設(shè)P(力，0),過。作QH_L/軸于則ZPHQ=90°,

?：△CPQ是以CQ為斜邊的等腰直角三角形，

:.PC=PQ,/CPQ=90°,

??.AOPC+AHPQ=90°,AHQP+AHPQ=90°,

??.ZOPC=AHQP,

在△POC和中

(AOPC=AHQP

IACOP=ZPHQ9

[CP=QP

：.4Poe型△QHP(44S),

:.QH—OP—m,PH=OC—3.

當(dāng)點(diǎn)H在點(diǎn)P的右側(cè)時(shí)，OH=M+3,

把Q(m+3,—m)代入g=a?—2/—3,得

—m—(771+3)2—2(772+3)—3,

解得？7i=0或一5,

此時(shí)，P(O,O)或P(—5,0),

當(dāng)點(diǎn)H在點(diǎn)、P的左側(cè)時(shí)，H(m-3,0),

Q(m—3,m)，代入g=i—2%—3,得

m=(771—3)2—2(m—3)—3,

整理，得館2-9館+12=0,

解得團(tuán)=9±產(chǎn),

此時(shí)P(9+產(chǎn),o)或「-產(chǎn)

綜上，點(diǎn)P的坐標(biāo)為P(O,0)或P(-5,0)或網(wǎng)9+產(chǎn),o)或(9—產(chǎn)

(2)設(shè)直線AM為g=fcz;+,直線AN為y=kxx+mi,

眸二(y=bx+t

工［y=ax2+bx-i-c'

得ax2+c—1=0,

xM+xN=0.

眸二(y=kx+m

*\y—a3?-\-bx-Vc'

得a/+(匕―k)力+°—7n=0,

c—m

a

同理，得xx=-——

ANa

XAXM+xAxN=xA(xM+6N)=0,

c—m.c—mi

--------+----------=0,

aa

:?c=_c.

D(0,mJ,E(0fm),C(0,c),

/.CD=77Tl—c,CE=c—m,

：.CE=CD,

.,?點(diǎn)。為線段。石的中點(diǎn).

15.如圖，二次函數(shù)g=—/+c的圖象交力軸于點(diǎn)人、點(diǎn)8,其中點(diǎn)B的坐標(biāo)為（2,0）,點(diǎn)。的坐標(biāo)為（0,2）,過

點(diǎn)A、。的直線交二次函數(shù)的圖象于點(diǎn)。.

_____________團(tuán)

(1)求二次函數(shù)和直線/。的函數(shù)表達(dá)式；

(2)連接DB,則ADAB的面積為；

(3)在"軸上確定點(diǎn)Q,使得ZAQB=135°,點(diǎn)Q的坐標(biāo)為；

(4)點(diǎn)朋?是拋物線上一點(diǎn)，點(diǎn)N為平面上一點(diǎn),是否存在這樣的點(diǎn)N,使得以點(diǎn)4、點(diǎn)。、點(diǎn)M、點(diǎn)N為頂

點(diǎn)的四邊形是以AD為邊的矩形？若存在,請(qǐng)你直接寫出點(diǎn)N的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說明理由.

【答案】解：(1)V二次函數(shù)y=—a?+c的圖象過點(diǎn)B(2,0),

0=—2?+c,解得c=4

二次函數(shù)解析式為y——X2+4

???4點(diǎn)坐標(biāo)為(一2,0)

設(shè)直線的解析式為y—kx-\-b

??卷”,解得］k—1

b=2

???直線4。的解析式為夕=力+2

⑵??,直線4。："=7+2與二次函數(shù)交于點(diǎn)4。

憶力解得X=1

???聯(lián)立

9=3

???。點(diǎn)坐標(biāo)為：(1,3)

AB=4

?e?S^AB~/力石x\yD\—~~x3x4=6

(3)???C(0,2),A點(diǎn)坐標(biāo)為(-2,0)

??.ZCAB=45°

當(dāng)Q在正半軸時(shí)，

Z-AQB=135°,QA=QB

/.AQAO=22.5°=yZCAO

.?.AQ平分/C4O

過Q作PQ,力。于P

設(shè)OQ=c,則OQ=PQ=c,CQ=V^PQ=V^r

OC—OQ+CQ=V2x+x—2

解得c=2、攵—2

Q點(diǎn)坐標(biāo)為（0,272-2）

當(dāng)Q在與軸負(fù)半軸時(shí)，根據(jù)對(duì)稱性可得Q點(diǎn)坐標(biāo)為（0,2-272）

r.Q點(diǎn)坐標(biāo)為（0,2-2/）或（0,2?一2）

（4）當(dāng)人。是矩形邊長(zhǎng)時(shí)

過A作AM±AD交拋物線于“

???直線4。的解析式為。=力+2

???設(shè)直線4W的解析式為y—-x-\-bx

代入A點(diǎn)（一2,0）得瓦——2

?,?直線的解析式為y=一力-2

夕=一廳+;,解得c=3

聯(lián)立

y=-x—2為=一5

.?.初點(diǎn)坐標(biāo)為（3,-5）

?.?此時(shí)MN平行且等于人。

由A（-2,0）平移到￡＞（1,3）與由河⑶一5）平移至IN的平移方式一致

.?.N點(diǎn)坐標(biāo)為（6,-2）

同理：：過。作AD交拋物線于此時(shí)“（0,4）,N（—3,1）

綜上所述,存在，N點(diǎn)坐標(biāo)為（6,—2）或（一3,1）

16.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線g=—/+be+c與n軸交于A,8兩點(diǎn)，與g軸交于點(diǎn)。，頂點(diǎn)為。；

_____________因

⑵1)，拋物線的對(duì)稱軸交直線BC于點(diǎn)E.

(1)求拋物線y——X+bx+c的表達(dá)式；

⑵把上述拋物線沿它的對(duì)稱軸向下平移,平移的距離為h(h>0)，在平移過程中，該拋物線與直線BC

始終有交點(diǎn)，求九的最大值；

(3)河是⑴中拋物線上一點(diǎn)，N是直線8C上一點(diǎn).是否存在以點(diǎn)。，E,M,N為頂點(diǎn)的四邊形是平行

四邊形？若存在，求出點(diǎn)N的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說明理由.

【答案】⑴解：由0(2,1)可知,

-----——=2

2x(-1)"二4

，解得:

4x(—l)c一萬=[c=-3

.4x(-1)一

y=—/+4%一3.

(2)分別令g=—/+4/一3中，力=0,g=0得，B(3,0),C(0,—3);

設(shè)BC的表達(dá)式為：y=kx+n(kWO),

將B(3,0),C(O,—3)代入g=fcr+九得,

0=3k+nfk=l

解得:

—3=0十九[n=—3

BC的表達(dá)式為：y=岔一3;

拋物線平移后的表達(dá)式為：y=—x2+4N—3—九,

根據(jù)題意得,y=-即/_3,+九=0,

???該拋物線與直線BC始終有交點(diǎn)，

(—3)2—4x1xh,>0,

.?.九的最大值為4.

(3)存在，理由如下:

將①=2代入y=2一3中得E(2,—1),

①當(dāng)DE為平行四邊形的一條邊時(shí)，

1/四邊形DEAW是平行四邊形，

：.DE//MN,DE=MN,

?：DE//y^>,

：.MN//y軸)，

_____________廖

設(shè)—m2+4m—3),N(m,m—3),

當(dāng)—m?+4TT2—3—(m—3)=2時(shí)，解得：nzi=1,m2=2(舍去),

???N(1,—2),

2

當(dāng)TTZ—3—(—m+4m—3)=2時(shí),解得：mi=3+^^-,m2=——

M丐叵,干)或N(丁,—馮巧

②當(dāng)DE為平行四邊形的對(duì)角線時(shí)，設(shè)河(p,—/+4p—3),N(q,q—3),

???D、E的中點(diǎn)坐標(biāo)為：(2,0),

的中點(diǎn)坐標(biāo)為：(2,0),

J空=2

■■[―p2+4p3+q3，

解得：尸“舍去)，

助=3切=2

此時(shí)點(diǎn)N的坐標(biāo)為(3,0);

綜上分析可知，點(diǎn)N的坐標(biāo)為:(1,-2)或(巴叵，馮二義)或(理盧，一馮士&)或⑶0).

2025年中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí):二次函數(shù)綜合壓軸題?？紵狳c(diǎn)試題匯編

1.如圖，已知拋物線y=—/+kc+c與一直線相交于A（—1,0）,。（2,3）兩點(diǎn)，與夕軸交于點(diǎn)N.其頂點(diǎn)

為D

（1）求拋物線及直線AC的函數(shù)表達(dá)式；

（2）設(shè)點(diǎn)M（3,m）,求使MN+MD的值最小時(shí)m的值；

（3）若點(diǎn)P是拋物線上位于直線AC上方的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),過點(diǎn)P作尸Q，c軸交AC于點(diǎn)Q,求PQ的最大

值.

2.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)B的坐標(biāo)為（―1,0）,且04=0。=508,拋物線"=&刀2+近+

c（a￥0）圖象經(jīng)過A,B,C三點(diǎn).

（1）求A,C兩點(diǎn)的坐標(biāo)；

（2）求拋物線的解析式；

（3）若點(diǎn)P是直線47下方的拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，作PD，47于點(diǎn)。，當(dāng)PD的值最大時(shí),求此時(shí)點(diǎn)

P的坐標(biāo)及PD的最大值.

3.如圖拋物線y=a^+bx+c經(jīng)過點(diǎn)A(-l,0),點(diǎn)C(0,3