2025年中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí) 第二講 整式及因式分解（題型突破+專項訓(xùn)練）（解析版）

一?題型突破一一?專題精練＜

題型一代數(shù)式及相關(guān)問題

1X2

1.（2018?河北定興?中考模擬）若X--=3,則^―=（）

xx4+l

,11

A.11B.7C.—D.一

117

【答案】c

1141

【分析】先由X--=3兩邊同時平方變形為一+==11,進(jìn)而變形為=2=11,從而

XXX

得解.

1111

【解析】解：=，x--=3,x9+2x'—I——=9,x9H——二11,

XXXX

1

【點(diǎn)睛】此題要運(yùn)用完全平方公式進(jìn)行變形.根據(jù)a2+b2=（a+b）2-2ab把原式變?yōu)閅9+二=11,

x

再通分，最后再取倒數(shù).易錯點(diǎn)是忘記加上兩數(shù)積的2倍.

2.（2021?湖北十堰市?中考真題）已知孫=2,x-3y=3,貝!!

2x3y-12x2y2+18xy3=.

【答案】36

【分析】

先把多項式因式分解，再代入求值，即可.

【詳解】

"：xy=2,x-3y=3,

原式=2町=2x2x3?=36,

故答案是：36.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查代數(shù)式求值，掌握提取公因式法和公式法分解因式，是解題的關(guān)鍵.

3.(2020?內(nèi)蒙古包頭?初三二模)若m-工=3,貝!Jm2+±=.

mm~

【答案】II

【分析】根據(jù)完全平方公式，把已知式子變形，然后整體代入求值計算即可得出答案.

【解析】解：———m2-2H-9,m2H7=11，故答案為11.

mJmm~

【點(diǎn)睛】此題主要考查完全平方公式的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是熟知完全平方公式的變形.

4.(2019?四川新都?中考模擬)已知(2019-a)2+(a-2017)2=7,則代數(shù)式(2019

-a)(a-2017)的值是.

3

【答案】一一

2

【分析】根據(jù)完全平方公式的變式：ab=S+9一年+2利用整體代入的思想求解即

2

可.

【解析】解：,/(2019-a)2+(a-2017)2=7,

(2019-a)(a-2017)=/{[(2019-a)+(a-2017)]2-[(2019-a)2+(a-2017)

3

2]}=一,，

3

故答案為：—.

2

【點(diǎn)睛】本題考查了完全平方公式的應(yīng)用，熟練掌握公式的變式是解題關(guān)鍵.

5.(2022?四川樂山)已知/+〃2+10=6加-2〃，貝!|加一“=.

【答案】4

【分析】根據(jù)己知式子，湊完全平方公式，根據(jù)非負(fù)數(shù)之和為0,分別求得私"的值，進(jìn)而

代入代數(shù)式即可求解.

【詳解】解：m2+M2+10=6m-In,

/.m2+n2+10-6m+2〃=0,

即(加一3/+(〃+1)~=0,

m=3,n=—1f

:.m—n=3-(-1)=4,

故答案為：4.

【點(diǎn)睛】本題考查了因式分解的應(yīng)用，掌握完全平方公式是解題的關(guān)鍵.

6.（2022?湖南邵陽）已知/-3x+l=0,貝U3/-9x+5=.

【答案】2

【分析】將3/一9x+5變形為3（/-3尤+1）+2即可計算出答案.

【詳解】3X2-9X+5=3X2-9X+3+2=3（X2-3X+1）+2

VX2-3X+1=0

3x2-9x+5=0+2=2

故答案為：2.

【點(diǎn)睛】本題考查代數(shù)式的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握代數(shù)式的相關(guān)知識.

7.（2022?山東濱州）若根+〃=10,mn=5,貝的值為.

【答案】90

【分析】將加2+“2變形得到（加+-2m”，再把ZW+"=1O,用〃=5代入進(jìn)行計算求解.

【詳角軍】解：Vm+n=lQ,mn=5,

2222

：.m+n=（m+n）-2mn=10-2x5=100-10=90.故答案為：90.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了代數(shù)式求值，完全平方公式的應(yīng)用，靈活運(yùn)用完全平方公式是解答

關(guān)鍵.

8.（2020?北京中考真題）己知5/-x-l=0,求代數(shù)式（3x+2）（3x—2）+x知—2）的值.

【答案】10X2-2X-4,-2

【分析】先按照整式的混合運(yùn)算化簡代數(shù)式，注意利用平方差公式進(jìn)行簡便運(yùn)算，再把

5/7-1=0變形后，整體代入求值即可.

【解析】解：原式=9/一4+X2-2X=10X2-2X-4.

V5X2-X-1=0./.5x2-x=b10x2-2x=2.，原式=2—4=—2.

【點(diǎn)睛】本題考查的是整式化簡求值，掌握利用平方差公式進(jìn)行簡便運(yùn)算，整體代入求值是

解題的關(guān)鍵.

9.（2019?黑龍江中考真題）已知：ab=l,b=2a-l,求代數(shù)式工的值.

ab

【答案】-1.

【分析】根據(jù)ab=l,b=2a-l,可以求得b-2a的值，從而可以求得所求式子的值.

.,__12b_2Q—1

【解析】?**ab=l>b=2a-l,b-2a=-l>:?-------------------————1

abab1

【點(diǎn)睛】本題考查分式的化簡求值，解答本題的關(guān)鍵是明確分式化簡求值的方法.

10.（2021?四川涼山彝族自治州?中考真題）已知x-y=2,'-'=1,求-y—町2的值.

xy

【答案】-4

【分析】

根據(jù)已知求出xy=-2,再將所求式子變形為個（x-y）,代入計算即可.

【詳解】

解：?；x—y=2,

11_y-x_-2

xyxyxy

：.xy=-2,

x2y3-xy2=xy(x-y)=(-2)x2=-4.

【點(diǎn)睛】

本題考查了代數(shù)式求值，解題的關(guān)鍵是掌握分式的運(yùn)算法則和因式分解的應(yīng)用.

2

11.(2022?江蘇蘇州)已知3——2x—3=0,^(x-i)+x的值.

4

【答案】2x2——x+1,3

7

【分析】先將代數(shù)式化簡，根據(jù)31—2x-3=0可得％2-寸=1,整體代入即可求解.

24

【詳解】原式=工2一2%+1+%2+—%=2x2——x+1.

33

,/3x2-2尤一3=0,

x2――x=1.

3

二?原式=2卜2_§x)+i—2x1+1=3.

【點(diǎn)睛】本題考查了整式的乘法運(yùn)算，代數(shù)式化簡求值，整體代入是解題的關(guān)鍵.

12.（2023?山東?統(tǒng)考中考真題）已知實數(shù)加滿足加一i=o,則

2m-3m2-m+9=

【答案】8

【分析】由題意易得蘇-機(jī)=1,然后整體代入求值即可.

【詳解】解：m2—m-1=0,

?9?m2-m=1

2m3-3m2-m+9

=2m^m2-mj-m1-m+9

=2m-m2-m+9

=m-m2+9

=_（冽2-m）+9

=-1+9

=8；

故答案為8.

【點(diǎn)睛】本題主要考查因式分解及整體思想，熟練掌握利用整體思維及因式分解求解整式的

值.

題型二整式及其相關(guān)概念

13.（2023?甘肅武威?統(tǒng)考中考真題）計算：a（a+2）-2a=（）

A.2B.a2C.a1+laD.￡-2a

【答案】B

【分析】先計算單項式乘以多項式，再合并同類項即可.

【詳解】解：。（。+2）-2。=/+2。-2。=",

故選：B.

【點(diǎn)睛】此題考查了整式的四則混合運(yùn)算，熟練掌握單項式乘以多項式的運(yùn)算法則是解題的

關(guān)鍵.

14.（湖北荊州?中考真題）下列代數(shù)式中，整式為（）

1I~~-----x+1

A.x+1B.-C.yjx2+1D.

x+1x

【答案】A

【解析】

【分析】直接利用整式、分式、二次根式的定義分析得出答案.

【詳解】A、x+1是整式，故此選項正確；B、」一是分式，故此選項錯誤；

x+1

_____x+1

c、477T是二次根式，故此選項錯誤；D、——是分式，故此選項錯誤，故選A.

X

【點(diǎn)睛】本題考查了整式、分式、二次根式的定義，熟練掌握相關(guān)定義是解題關(guān)鍵.

15.（山東濟(jì)寧?中考真題）如果整式x'-2—5Y+2x是關(guān)于x的三次三項式，那么n等于

A.3B.4C.5D.6

【答案】C

【解析】根據(jù)多項式次數(shù)的定義得到n—2=3,解得：n=5.故選C.

16.（2022?湖南湘潭）下列整式與為同類項的是（）

A.a2bB.—2ab2C.abD.ab2c

【答案】B

【解析】【分析】根據(jù)同類項的定義：所含字母相同，并且相同字母的指數(shù)也相同，這樣的

項叫做同類項，結(jié)合選項求解.

【詳解】解：由同類項的定義可知，a的指數(shù)是1,b的指數(shù)是2.

A、a的指數(shù)是2,b的指數(shù)是1,與不是同類項,故選項不符合題意；

B、a的指數(shù)是1,b的指數(shù)是2,與是同類項，故選項符合題意；

C、a的指數(shù)是1,b的指數(shù)是1,與ab?不是同類項,故選項不符合題意；

D、a的指數(shù)是1,b的指數(shù)是2,c的指數(shù)是1,與不是同類項,故選項不符合題意.故

選：B.

【點(diǎn)睛】此題考查了同類項，判斷同類項只要兩看，即一看所含有的字母是否相同，二看相

同字母的指數(shù)是否相同.

17.（2020?廣西河池?中考模擬）下列單項式中，與3a2b為同類項的是（）

A.-a2bB.ab1C.3abD.3

【答案】A

【分析】單項式3a2b含有字母a、b,且次數(shù)分別為2、1,根據(jù)同類項的定義進(jìn)行判斷.

【解析】解：：3a2b含有字母a、b,且次數(shù)分別為2、1,...與3a2b是同類項的是-a2b.故

選：A.

【點(diǎn)睛】本題考查了同類項的定義，解題的關(guān)鍵是熟知同類項的定義.

18.（2020?四川瀘州?中考真題）若與;//是同類項，則a的值是

【答案】5

【分析】根據(jù)同類項的定義（所含字母相同，相同字母的指數(shù)相同）列出方程，求出a的值.

【解析】解：與;是同類項，...標(biāo)上生；.a=5,故答案為：5.

【點(diǎn)睛】本題考查了同類項的定義，同類項定義中的兩個“相同”：相同字母的指數(shù)相同，

是易混點(diǎn)，因此成了中考的?？键c(diǎn).

題型三規(guī)律探索題

19.(2021?廣西玉林市?中考真題)觀察下列樹枝分杈的規(guī)律圖，若第〃個圖樹枝數(shù)用毛

表示，則、一L=()

丫

第1個圖X=1第2個圖匕=3第3個圖、=7翁1個圖匕=15

A.15x24B.31x24C.33x24D.63x24

【答案】B

【分析】

根據(jù)題目中的圖形，可以寫出前幾幅圖中樹枝分杈的數(shù)量，從而可以發(fā)現(xiàn)樹枝分杈的變化規(guī)

律，進(jìn)而得到規(guī)律匕=2〃-1,代入規(guī)律求解即可.

【詳解】

解：由圖可得到：

=21-1=1

=22-1=3

毛=23—1=7

E=24—1=15

工=2〃-1

則：4=29—1,

=29-1-24+1=31X24,

故答案選：B.

【點(diǎn)睛】

本題考查圖形規(guī)律，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答.

20.(2020?山東日照?中考真題)用大小相同的圓點(diǎn)擺成如圖所示的圖案，按照這樣的規(guī)

律擺放，則第10個圖案中共有圓點(diǎn)的個數(shù)是()

n=ln=2n=3n=4

A.59B.65C.70D.71

【答案】C

【分析】由題意觀察圖形可知，第1個圖形共有圓點(diǎn)5+2個；第2個圖形共有圓點(diǎn)5+2+3

個；第3個圖形共有圓點(diǎn)5+2+3+4個；第4個圖形共有圓點(diǎn)5+2+3+4+5個；…；則第n個

圖形共有圓點(diǎn)5+2+3+4+…+n+(n+1)個；由此代入n=10求得答案即可.

【解析】解：根據(jù)圖中圓點(diǎn)排列，當(dāng)n=l時，圓點(diǎn)個數(shù)5+2；當(dāng)n=2時，圓點(diǎn)個數(shù)5+2+3；

當(dāng)n=3時，圓點(diǎn)個數(shù)5+2+3+4；當(dāng)n=4時，圓點(diǎn)個數(shù)5+2+3+4+5,…

.?.當(dāng)n=10時，圓點(diǎn)個數(shù)5+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11=4+(1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11)

=4+-xllx(ll+l)=70.故選：C.

2

【點(diǎn)睛】本題考查圖形的變化規(guī)律，注意找出數(shù)量上的變化規(guī)律，從而推出一般性的結(jié)論,

利用規(guī)律解決問題.

21.(2020?湖北中考真題)根據(jù)圖中數(shù)字的規(guī)律，若第n個圖中出現(xiàn)數(shù)字396,則"=()

A.17B.18C.19D.20

【答案】B

【分析】觀察上三角形，下左三角形，下中三角形，下右三角形各自的規(guī)律，讓其等于396,

解得〃為正整數(shù)即成立，否則舍去.

【解析】根據(jù)圖形規(guī)律可得：

上三角形的數(shù)據(jù)的規(guī)律為：2〃(1+〃)，若2雙1+〃)=396,解得〃不為正整數(shù)，舍去;

下左三角形的數(shù)據(jù)的規(guī)律為：?2-1，若〃2—1=396,解得〃不為正整數(shù)，舍去;

下中三角形的數(shù)據(jù)的規(guī)律為：2〃-1,若2〃-1=396,解得〃不為正整數(shù)，舍去;

下右三角形的數(shù)據(jù)的規(guī)律為：〃（〃+4）,若〃（〃+4）=396,解得〃=18,或〃=—22,舍

去。故選：B.

【點(diǎn)睛】本題考查了有關(guān)數(shù)字的規(guī)律，能準(zhǔn)確觀察到相關(guān)規(guī)律是解題的關(guān)鍵.

22.（2020?山東德州?中考真題）下面是用黑色棋子擺成的美麗圖案，按照這樣的規(guī)律擺

下去，第10個這樣的圖案需要黑色棋子的個數(shù)為（）

?S??t.?

?????

????

W

①

A.148B.152C.174D.202

【答案】C

【分析】觀察各圖可知，第一個圖案需要黑色棋子的個數(shù)為（l+2+3）X2（個），第二個圖案

需要的個數(shù)為［（l+2+3+4）X2+2Xl］（個），第三個圖案需要的個數(shù)為［（l+2+3+4+5）X2+2X2］

（個），第四個圖案需要的個數(shù)為［（l+2+3+4+5+6）X2+2X3］（個）…由此可以推出第n個圖

案需要的個數(shù)為｛［1+2+3+…+（〃+2）］x2+2（〃—1）｝（個），所以第10個圖案需要的個

數(shù)只需將n=10代入即可.

【解析】解：由圖知第一個圖案需要黑色棋子的個數(shù)為（l+2+3）X2（個）；

第二個圖案需要的個數(shù)為［（l+2+3+4）X2+2X1］（個）；

第三個圖案需要的個數(shù)為［（l+2+3+4+5）X2+2X2］（個）；

第四個圖案需要的個數(shù)為［（l+2+3+4+5+6）X2+2X3］（個）；…

第n個圖案需要的個數(shù)為｛［1+2+3+…+（〃+2）］x2+2（〃—1）｝（個）

...第10個圖案需要的個數(shù)為［（1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11+12）X2+2X9=174（個）故選C.

【點(diǎn)睛】本題考查了圖形的變化.解題的關(guān)鍵是觀察各個圖形找到它們之間的規(guī)律.

23.（2020?湖南婁底?中考真題）下列各正方形中的四個數(shù)之間都有相同的規(guī)律，根據(jù)此

規(guī)律，x的值為（）

【答案】c

【分析】由觀察發(fā)現(xiàn)每個正方形內(nèi)有：2x2=4,2x3=6,2x4=8,可求解6,從而得到

再利用凡友x之間的關(guān)系求解x即可.

【解析】解：由觀察分析：每個正方形內(nèi)有：2x2=4,2x3=6,2x4=8,

.?.26=18,.?.6=9,由觀察發(fā)現(xiàn)：（2=8,

又每個正方形內(nèi)有：2x4+1=9,3x6+2=20,4x8+3=35,

:A%b+a=x,.-.x=18x9+8=170.故選C.

【點(diǎn)睛】本題考查的是數(shù)字類的規(guī)律題，掌握由觀察，發(fā)現(xiàn)，總結(jié)，再利用規(guī)律是解題的關(guān)

鍵.

24.（2022?山東泰安）觀察下列圖形規(guī)律，當(dāng)圖形中的的個數(shù)和個數(shù)差為2022

【答案】不存在

【分析】首先根據(jù)n=l、2、3、4時，的個數(shù)分別是3、6、9、12,判斷出第n個圖形

中的個數(shù)是3n；然后根據(jù)n=l、2、3、4,“。”的個數(shù)分別是1、3、6、10,判斷出

第n個''O”的個數(shù)是小M；最后根據(jù)圖形中的“O”的個數(shù)和個數(shù)差為2022,

2

列出方程，解方程即可求出n的值是多少即可.

【詳解】解：??Ml時，的個數(shù)是3=3X1；

n=2時，“?”的個數(shù)是6=3X2；

n=3時，“?”的個數(shù)是9=3X3；

n=4時，的個數(shù)是12=3X4；

，第n個圖形中的個數(shù)是3n；

又時，的個數(shù)是i」x（；+D；

n=2時，“O”的個數(shù)是3=2X2+D,

2

n=3時，“O”的個數(shù)是6=3X（：+D,

2

n=4時，“O”的個數(shù)是10=4義（4+1）,

2

...第n個"O”的個數(shù)是也±0,

2

由圖形中的“O”的個數(shù)和個數(shù)差為2022

+1）…+1）…

.?.3〃—一——^=2022①，——^—3〃=2022②

22

解①得：無解

解②得：一+時5一由

故答案為：不存在

【點(diǎn)睛】本題考查了圖形類規(guī)律，解一元二次方程，找到規(guī)律是解題的關(guān)鍵.

25.（2022?四川遂寧）“勾股樹”是以正方形一邊為斜邊向外作直角三角形，再以該直角三

角形的兩直角邊分別向外作正方形，重復(fù)這一過程所畫出來的圖形，因為重復(fù)數(shù)次后的形狀

好似一棵樹而得名.假設(shè)如圖分別是第一代勾股樹、第二代勾股樹、第三代勾股樹，按照勾

股樹的作圖原理作圖，則第六代勾股樹中正方形的個數(shù)為.

第一代勾股樹第二代勾股樹

【答案】127

【分析】由已知圖形觀察規(guī)律，即可得到第六代勾股樹中正方形的個數(shù).

【詳解】解：???第一代勾股樹中正方形有1+2=3（個），

第二代勾股樹中正方形有1+2+22=7（個），

第三代勾股樹中正方形有1+2+22+23=15（個），......

第六代勾股樹中正方形有1+2+22+23+24+25+26=127（個），

故答案為：127.

【點(diǎn)睛】本題考查圖形中的規(guī)律問題，解題的關(guān)鍵是仔細(xì)觀察圖形，得到圖形變化的規(guī)律.

26.（2022?江西）將字母“C”，"H”按照如圖所示的規(guī)律擺放，依次下去，則第4個圖形

中字母“H”的個數(shù)是（）

HI]

II

H—C—HH-C

II

HH

①②③

A.9B.10C.11D.12

【答案】B

【分析】列舉每個圖形中H的個數(shù)，找到規(guī)律即可得出答案.

【詳解】解：第1個圖中H的個數(shù)為4,

第2個圖中H的個數(shù)為4+2,

第3個圖中H的個數(shù)為4+2X2,

第4個圖中H的個數(shù)為4+2X3=10,故選：B.

【點(diǎn)睛】本題考查了規(guī)律型：圖形的變化類，通過列舉每個圖形中H的個數(shù)，找到規(guī)律：

每個圖形比上一個圖形多2個H是解題的關(guān)鍵.

45

27.(2022?云南)按一定規(guī)律排列的單項式：X,3x2,5xs；7x,9x,……,第n個單

項式是()

A.(2n-l)x"B.(2n+l)x"C.(nT)x"D.(n+1)x"

【答案】A

【分析】系數(shù)的絕對值均為奇數(shù)，可用(2n-l)表示；字母和字母的指數(shù)可用xn表示.

【詳解】解：依題意，得第n項為(2n-l)xn,故選：A.

【點(diǎn)睛】本題考查的是單項式，根據(jù)題意找出規(guī)律是解答此題的關(guān)鍵.

28.(2022?重慶)把菱形按照如圖所示的規(guī)律拼圖案，其中第①個圖案中有1個菱形，第

②個圖案中有3個菱形，第③個圖案中有5個菱形，…，按此規(guī)律排列下去，則第⑥個圖案

中菱形的個數(shù)為()

?8k-

①②③

A.15B.13C.11D.9

【答案】C

【分析】根據(jù)第①個圖案中菱形的個數(shù)：1;第②個圖案中菱形的個數(shù)：1+2=3；第③個圖

案中菱形的個數(shù)：1+2X2=5；…第n個圖案中菱形的個數(shù)：1+算出第⑥個圖案

中菱形個數(shù)即可.

【詳解】解：???第①個圖案中菱形的個數(shù)：1;

第②個圖案中菱形的個數(shù)：1+2=3；

第③個圖案中菱形的個數(shù)：1+2X2=5；…

第n個圖案中菱形的個數(shù)：1+2(〃-1),

???則第⑥個圖案中菱形的個數(shù)為：1+2X(6-1)=11,故C正確.故選：C.

【點(diǎn)睛】本題主要考查的是圖案的變化，解題的關(guān)鍵是根據(jù)已知圖案歸納出圖案個數(shù)的變化

規(guī)律.

29.(2020?湖南中考真題)如圖，將一枚跳棋放在七邊形ABCDEFG的頂點(diǎn)A處，按順時針

方向移動這枚跳棋2020次.移動規(guī)則是：第k次移動k個頂點(diǎn)(如第一次移動1個頂點(diǎn)，

跳棋停留在B處，第二次移動2個頂點(diǎn)，跳棋停留在D處)，按這樣的規(guī)則，在這2020次移

動中，跳棋不可能停留的頂點(diǎn)是()

A.C、EB.E、FC.G、C、ED.E、C、F

【答案】D

【分析】設(shè)頂點(diǎn)A,B,C,D,E,F,G分別是第0,1,2,3,4,5,6格，因棋子移動

了k次后走過的總格數(shù)是1+2+3+…+k=gk(k+1),然后根據(jù)題目中所給的第k次依次移

2

動k個頂點(diǎn)的規(guī)則，可得到不等式最后求得解.

【解析】設(shè)頂點(diǎn)A,B,C,D,E,F,G分別是第0,1,2,3,4,5,6格，

因棋子移動了k次后走過的總格數(shù)是1+2+3+…+k=5k(k+1),應(yīng)停在第!k(k+l)-7p

22

格，

這時P是整數(shù)，且使(k+1)-7pW6,分別取k=l,2,3,4,5,6,7時，

(k+1)-7p=l,3,6,3,1,0,0,發(fā)現(xiàn)第2,4,5格沒有停棋，若7<kW2020,

設(shè)k=7+t(t=l,2,3)代入可得，—k(k+1)-7p=7m+—t(t+1),

由此可知，停棋的情形與k=t時相同，故第2,4,5格沒有停棋，即頂點(diǎn)C,E和F棋子

不可能停到.

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題考查的是探索圖形、數(shù)字變化規(guī)律，從圖形中提取信息，轉(zhuǎn)化為數(shù)字信息，探

索數(shù)字變化規(guī)律是解答的關(guān)鍵.

30.(2022?重慶)用正方形按如圖所示的規(guī)律拼圖案，其中第①個圖案中有5個正方形，

第②個圖案中有9個正方形，第③個圖案中有13個正方形，第④個圖案中有17個正方形，

此規(guī)律排列下去，則第⑨個圖案中正方形的個數(shù)為()

?ooooo????

????????????????????????…

??????oooo

①②③④

A.32B.34C.37D.41

【答案】C

【分析】第1個圖中有5個正方形，第2個圖中有9個正方形，第3個圖中有13個正方形,……,

由此可得：每增加1個圖形，就會增加4個正方形，由此找到規(guī)律，列出第n個圖形的算式,

然后再解答即可.

【詳解】解：第1個圖中有5個正方形；

第2個圖中有9個正方形，可以寫成：5+4=5+4Xl；

第3個圖中有13個正方形，可以寫成：5+4+4=5+4X2；

第4個圖中有17個正方形，可以寫成：5+4+4+4=5+4*3；...

第n個圖中有正方形，可以寫成：5+4（n-1）=4n+l；

當(dāng)n=9時，代入4n+l得：4X9+1=37.故選：C.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了圖形的變化規(guī)律以及數(shù)字規(guī)律，通過歸納與總結(jié)結(jié)合圖形得出數(shù)字

之間的規(guī)律是解決問題的關(guān)鍵.

31.（2020?湖北咸寧?中考真題）按一定規(guī)律排列的一列數(shù)：3,32,3一1，33-3,37.

3Tl，3密，…，若a,b,c表示這列數(shù)中的連續(xù)三個數(shù)，猜想a,b,c滿足的關(guān)系式是—

【答案】bc=a

【分析】根據(jù)題目中的數(shù)字，可以發(fā)現(xiàn)相鄰的數(shù)字之間的關(guān)系，從而可以得到a,b,c之間

滿足的關(guān)系式.

【解析】解：；一列數(shù)：3,32,3-，33，3-4,37.3一“，3一巴…,

可發(fā)現(xiàn)：第n個數(shù)等于前面兩個數(shù)的商，

Va,b,c表示這列數(shù)中的連續(xù)三個數(shù)，.\bc=a,故答案為：bc=a.

【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)字的變化類，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，發(fā)現(xiàn)題目中數(shù)字的變化規(guī)律,

求出a,b,c之間的關(guān)系式.

32.（山西中考真題）一組按規(guī)律排列的式子：/幺土幺.則第門個式子是

357

【答案】(n為正整數(shù))

2n-l

6Z2X1a2x2Q2X3Q2X4

【解析】尋找規(guī)律：已知式子可寫成:分母為奇

2x1—12x2—r2x3—12x4—1'

數(shù)，可寫成2n-l,分子中字母a的指數(shù)為偶數(shù)2n..?.第n個式子是上一(n為正整數(shù)).

2n-l

33.(2022?安徽)觀察以下等式：

第1個等式：(2xl+l)2=(2x2+l)2-(2x2)?>

第2個等式：(2x2+l『=(3x4+l)2—(3x4)2,

第3個等式：(2x3+l)a^(4x6+l)2-(4x6)2,

第4個等式:(2X4+1『=(5X8+1)2-(5x8『，……

按照以上規(guī)律.解決下列問題：(1)寫出第5個等式：；

⑵寫出你猜想的第n個等式(用含n的式子表示)，并證明.

[答案](1)(2X5+1)2=(6X10+1『_(6X10)2

⑵(2〃+1)2=[(〃+1>2〃+1『+，證明見解析

【分析】(1)觀察第1至第4個等式中相同位置的數(shù)的變化規(guī)律即可解答；

(2)觀察相同位置的數(shù)變化規(guī)律可以得出第n個等式為

(2〃+=[(?+1),2〃+l]2-[(n+1).2?]2,利用完全平方公式和平方差公式對等式左右兩邊變

形即可證明.

(1)1?：觀察第1至第4個等式中相同位置數(shù)的變化規(guī)律，可知第5個等式為：

(2x5+l)2=(6X10+1)2-(6X10)2,故答案為：(2x5+1/=(6x10+1)2-(6xl0)2；

(2)解：第n個等式為(2〃+以=[(H+1)-2H+1]Z-[(W+1)-2n]2,

證明如下：等式左邊:(2〃+1)2=4/+4〃+1,

等式右邊：[("+1)-In+1]2-[(?+!).2?]2

=[(〃+1).2〃+1+(〃+1)?2〃]?[(〃+1).2〃+1-(〃+1)?2n\

=[(〃+1)?4〃+1]x1=4/+4〃+1,

故等式(2〃+1)2=[(〃+1>2〃+1『一[(〃+1).2加『成立.

【點(diǎn)睛】本題考查整式規(guī)律探索，發(fā)現(xiàn)所給數(shù)據(jù)的規(guī)律并熟練運(yùn)用完全平方公式和平方差公

式是解題的關(guān)鍵.

題型四幕的運(yùn)算

34.(2022?江蘇宿遷)下列運(yùn)算正確的是()

A.2m-m=\B.m2-m3=a6C.(mn)-=m2n2D.)'=m5

【答案】C

【分析】由合并同類項可判斷A,由同底數(shù)累的乘法可判斷B,由積的乘方運(yùn)算可判斷C,

由幕的乘方運(yùn)算可判斷D,從而可得答案.

【詳解】解：2m-m=m,故A不符合題意；

m2-m3=m5>故B不符合題意；

[mn)2=m2n2,故C符合題意；

"丫=加6,故D不符合題意；故選：C

【點(diǎn)睛】本題考查的是合并同類項，同底數(shù)幕的乘法，積的乘方運(yùn)算，募的乘方運(yùn)算，掌握

以上基礎(chǔ)運(yùn)算是解本題的關(guān)鍵.

35.(2022?湖南株洲)下列運(yùn)算正確的是()

2?6

A.a2-a3=a5B.(a3)=a5C.(ab)2-ab2D.—=a3(a0)

、'a

【答案】A

【分析】根據(jù)同底數(shù)幕相乘，幕的乘方，積的乘方，分式的化簡，逐項判斷即可求解.

【詳解】解：A、a2-a3=a5,故本選項正確，符合題意；

B、(a3)2=?6-故本選項錯誤，不符合題意；

C、(aby=a沖,故本選項錯誤，不符合題意；

D、「=/(aw0),故本選項錯誤，不符合題意；故選：A

a

【點(diǎn)睛】本題主要考查了同底數(shù)幕相乘，幕的乘方，積的乘方，分式的化簡，熟練掌握相關(guān)

運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵.

36.（2022?陜西）計算：2%.（-3%2/）=（）

A.6x3y3B.-6x2y3C.-6X3J3D.18X3J^3

【答案】C

【分析】利用單項式乘單項式的法則進(jìn)行計算即可.

【詳解】解：2『（-3X）3）=2*（-3）*尤-尤2*/=-6工63.故選：c.

【點(diǎn)睛】本題考查了單項式乘單項式的運(yùn)算，正確地計算能力是解決問題的關(guān)鍵.

37.（2022?浙江嘉興）計算a2-a（）

A.aB.3aC.2a2D.a3

【答案】D

【分析】根據(jù)同底數(shù)幕的乘法法則進(jìn)行運(yùn)算即可.

【詳解】解：/敢=/,故選口

【點(diǎn)睛】本題考查的是同底數(shù)幕的乘法，掌握“同底數(shù)幕的乘法，底數(shù)不變，指數(shù)相加”是

解本題的關(guān)鍵.

38.（2020?江蘇鹽城?中考真題）下列運(yùn)算正確的是：（）

A.2a—a=2B.a3-a2—a6C.a3^-a-a2D.（2/）=6a5

【答案】C

【分析】根據(jù)整式的加減與幕的運(yùn)算法則即可判斷.

325

【解析】A.2a-a=a,故錯誤；B.a-a=a，故錯誤；

2236

C.a^a=a,正確；D.（2?）=8?,故錯誤；故選C.

【點(diǎn)睛】此題主要考查整式與塞的運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是熟知其運(yùn)算法則.

39.（2020?山東濟(jì)南?中考真題）下列運(yùn)算正確的是（）

A.（-24）2=4。6B.。2.。3=。6C.3。+。2=3。3D.（a-b）2=a2-b2

【答案】A

【分析】根據(jù)各個選項中的運(yùn)算，可以計算出正確的結(jié)果，從而可以解答本題.

【解析】解：：（-2a3）2=4a6,故選項A正確；：a2?a3=a5,故選項B錯誤；

：3a+a2不能合并，故選項C錯誤；:（a-b）2=a2-2ab+b2,故選項D錯誤；故選：A.

【點(diǎn)睛】本題考查的是積的乘方，同底數(shù)塞的乘法，合并同類項，完全平方公式，掌握以上

知識是解題的關(guān)鍵.

40.（2020?江蘇徐州?）下列計算正確的是（）

A.a~+2a~-3a4B.aba3—a2C.（tz—Z?）2=a~—b2D.（tzZ?）2=a2b~

【答案】D

【分析】由合并同類項、同底數(shù)塞除法，完全平方公式、積的乘方，分別進(jìn)行判斷，即可得

到答案.

【解析】解：A、/+2/=3/，故A錯誤；B、故B錯誤；

C、（a-b）2=a~-2ab+b2,故C錯誤；D、（ab）2=a2b~,故D正確；故選：D.

【點(diǎn)睛】本題考查了同底數(shù)幕除法，積的乘方，完全平方公式，合并同類項，解題的關(guān)鍵是

熟練掌握運(yùn)算法則進(jìn)行解題.

題型五整式的運(yùn)算

41.（2022?四川眉山）下列運(yùn)算中，正確的是（）

A.x3.X5=x15B.2x+3y=5xy

C.（JC-2）2-4D.2x2-（3x2-5y）=6x4-10x2y

【答案】D

【分析】根據(jù)同底數(shù)幕的乘法法則，合并同類項，完全平方公式，單項式乘多項式的法則分

析選項即可知道答案.

【詳解】解：A.x3.x5=x15,根據(jù)同底數(shù)幕的乘法法則可知：x3-x5=x8,故選項計算錯誤,

不符合題意；

B.2x+3y=5xy,2x和”不是同類項，不能合并，故選項計算錯誤，不符合題意；

C."-2）2=，-4,根據(jù)完全平方公式可得：（x-2y=/+4x-4,故選項計算錯誤，不符

合題意；

D.2f.（3/-5?=根據(jù)單項式乘多項式的法則可知選項計算正確，符合題意;

故選：D

【點(diǎn)睛】本題考查同底數(shù)幕的乘法法則，合并同類項，完全平方公式，單項式乘多項式的法

則，解題的關(guān)鍵是掌握同底數(shù)幕的乘法法則，合并同類項，完全平方公式，單項式乘多項式

的法則.

42.（2022?江西）下列計算正確的是（）

A.m2-m3=m6B.-(w-ri)=-m+nC.m(m+n)=m2+nD.(m+n')2=m2+n2

【答案】B

【分析】利用同底數(shù)嘉的乘法，去括號法則，單項式乘多項式，完全平方公式對各選項依次

判斷即可.

【詳解】解：A、m2-m3=m5^m6,故此選項不符合題意；

B、-(m-n)^-m+n,故此選項符合題意；

C、m(jn+n)=m2+mnv=m2+n,故止匕選項不符合題意；

D、(m+H)2=m2+2mn+n2m2+n2,故此選項不符合題意.故選：B.

【點(diǎn)睛】本題考查了整式的混合運(yùn)算，涉及到同底數(shù)幕的乘法，去括號法則，單項式乘多項

式的運(yùn)算法則，完全平方公式等知識.熟練掌握各運(yùn)算法則和(“+6)2=1+2M+〃的應(yīng)用

是解題的關(guān)鍵.

43.(2020?江蘇連云港?統(tǒng)考二模)分解因式：3a2+6ab+3b2=.

【答案】3(a+b)2

【分析】先提取公因式3,再根據(jù)完全平方公式進(jìn)行二次分解.完全平方公式：a2+2ab+b2=

(a+b)2.

【詳解】3a2+6ab+3b2=3(a2+2ab+b2)=3(a+b)2.

故答案為：3(a+b)2.

【點(diǎn)睛】本題考查了提公因式法，公式法分解因式.提取公因式后利用完全平方公式進(jìn)行二

次分解，注意分解要徹底.

44.(2020?湖北隨州)先化簡,再求值:a(a+2b)-2b(a+b),其中b=6.

【答案】"lb?，-1.

【分析】先根據(jù)整式的乘法法則化簡整式，再將字母的值代入結(jié)果計算求值即可.

222

【解析】+2b)-2b(a+b)=a+2ab-lab-2b~=a-2b

當(dāng)a=/,b=g時，原式=(右)2—2x(G)2=5_6=_L

【點(diǎn)睛】本題主要考查了整式的混合運(yùn)算一-化簡求值，解答本題的關(guān)鍵是明確整式化簡求

值的方法.

45.(2020?江蘇南通?)計算：(2m+3n)2-(2m+n)(2m-n)；

【答案】12mn+10n2；

【分析】根據(jù)完全平方公式，平方差公式進(jìn)行計算即可；

【解析】解：(1)原式=4m2+12mn+9n2-(4m2-n2)=4m2+12mn+9n2-4m2+n2

12mn+10n2；

【點(diǎn)睛】本題考查了整式的混合運(yùn)算，熟知完全平方公式，平方差公式，通分，約分，因式

分解計算是解題的關(guān)鍵.

46.(2019?浙江寧波?中考真題)先化簡，再求值：(x—2)(x+2)—x(x—1),其中X=3.

【答案】-1

【分析】根據(jù)平方差公式、單項式乘多項式的法則把原式化簡，代入計算即可.

【解析】(x-2)(x+2)-x(x-1)=x2-4-x2+x=x-4,當(dāng)x=3時，原式=x-4=-l.

【點(diǎn)睛】本題考查的是整式的化簡求值，掌握整式的混合運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵.

47.(2022,湖南衡陽)先化簡，再求值：［^a+b)^a—b)+b(2a+b),其中(=1,b=-2.

【答案】a2+2ab,—3

【分析】利用平方差公式與多項式乘法法則進(jìn)行化簡，再代值計算.

【詳解】解：原式=/-/+2a6+/=/+2°6,

將“=1,6=-2代入式中得：

原式=『+2x1x(-2)=1-4=-3.

【點(diǎn)睛】本題考查多項式乘法與平方差公式，熟練掌握相關(guān)運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵.

48.(2022?浙江麗水)先化簡，再求值：(l+x)(l-x)+x(x+2),其中x=；.

【答案】1+2%；2

【分析】先利用平方差公式，單項式與多項式乘法化簡，然后代入》=《即可求解.

2

【詳解】(l+x)(l-x)+x(x+2)

—1—x2+X?+2%

=1+2%

當(dāng)尤=!時，

2

原式=l+2x=l+2x—=2.

2

【點(diǎn)睛】本題考查了整式的化簡求值，正確地把代數(shù)式化簡是解題的關(guān)鍵.

49.先化簡，再求值：(l+x)(l-x)+x(x+2),其中x=

2

【答案】l+2x；2

【分析】先利用平方差公式，單項式與多項式乘法化簡，然后代入x即可求解.

2

【詳解】(l+x)(l-x)+x(x+2)

—1-x2+%2+2,x

=l+2x

當(dāng)尤=!時，

2

原式=l+2x=l+2x—=2.

2

【點(diǎn)睛】本題考查了整式的化簡求值，正確地把代數(shù)式化簡是解題的關(guān)鍵.

50.先化簡，再求值：(。+6)(。—6)+6(2。+6),其中。=1,b=-2.

【答案】a2+2ab>-3

【分析】利用平方差公式與多項式乘法法則進(jìn)行化簡，再代值計算.

【詳解】解：原式=〃2—/+246+/=/+2〃6,

將4=1,6=-2代入式中得：

原式=『+2x1x(-2)=1-4=-3.

【點(diǎn)睛】本題考查多項式乘法與平方差公式，熟練掌握相關(guān)運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵.

51.已知3——2x_3=0,求(x—l)2+的值.

4

【答案】2x2——x+1,3

【分析】先將代數(shù)式化簡，根據(jù)3——2x-3=0可得§x=l,整體代入即可求解.

24

【詳解】原式=12一21+1+工2+—x=2%2——x+1.

33

*.*Bi—2x—3=0，

【點(diǎn)睛】本題考查了整式的乘法運(yùn)算，代數(shù)式化簡求值，整體代入是解題的關(guān)鍵.

52.先因式分解，再計算求值：2/—8x，其中x=3.

【答案】2x(x+2)(x-2),30

【分析】

先利用提公因式法和平方差公式進(jìn)行因式分解，再代入X的值即可.

【詳解】

解：2x，-8x=2x(x?-4)=2x(x+2)(x-2),

當(dāng)x=3時，原式=2x3x5x1=30.

【點(diǎn)睛】

本題考查因式分解，掌握提公因式法和公式法是解題的關(guān)鍵.

53.先化簡，再求值：(x+iy+(2+x)(2—x),其中x=l.

【答案】2x+5,7.

【分析】

先計算完全平方公式、平方差公式，再計算整式的加減法，然后將x=l代入求值即可得.

【詳解】

解：原式=/+2x+l+4-

=2x+5,

將x=l代入得：原式=2xl+5=7.

【點(diǎn)睛】

本題考查了整式的化簡求值，熟記完全平方公式和平方差公式是解題關(guān)鍵.

54.先化簡,再求值：(tz+2)(a-2)+a(l—d),其中°=石+4.

【答案】a-4,#>

【分析】

首先利用平方差公式，單項式乘以多項式去括號，再合并同類項，然后將a的值代入化簡后

的式子，即可解答本題.

【詳解】

Q+2)Q-2)+aQ-a)

=Q?-4+Q—Q?

=a-4

當(dāng)。=石+4時，

原式=石+4-4=5

【點(diǎn)睛】

本題考查了整式的混合運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是熟練運(yùn)用整式的運(yùn)算法則，本題屬于基礎(chǔ)題型.

55.先化簡，再求值：(x+2)(x—2)—x(x—1),其中x=j

【答案】x—4,-3-

2

【分析】

先根據(jù)平方差公式和單項式乘以多項式進(jìn)行計算，再合并同類項，最后代入求出答案即可.

【詳解】

解：(x+2)(x—2)——1)

=—4—+x

=x-4,

當(dāng)x二一時，原式二—4=-3一.

222

【點(diǎn)睛】

本題考查了平方差公式，單項式乘以多項式，合并同類項，運(yùn)用平方差公式是解題的關(guān)鍵.

題型六因式分解

56.(2022?湖南懷化)因式分解：x2-x4=.

【答案】x2(l+x)(l-x)

【分析】根據(jù)提公因式法和平方差公式進(jìn)行分解即可.

【詳解】解：X2-X4=X2(l-x2)=x2(l+x)(l-x),

故答案為：x2(l+x)(l-x)

【點(diǎn)睛】本題考查了提公因式法和平方差公式，熟練掌握提公因式法和平方差公式是解題的

關(guān)鍵.

57.(2022?浙江紹興)分解因式：x2+x=.

【答案】x(x