2025新高考數(shù)學(xué)計(jì)算題型專(zhuān)練：數(shù)列求和（解析版）

2025新高考數(shù)學(xué)計(jì)算題型精練數(shù)列求和的運(yùn)算

1.等比數(shù)列｛%｝的公比為2,且。2，%+2嗎成等差數(shù)列.

⑴求數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式；

(2)若bn=log2(???a?+1)+a?,求數(shù)列｛b?｝的前n項(xiàng)和Tn.

【答案】⑴盤(pán)=2"/eN*⑵7；=/+2〃+2"i-2;

【詳解】(1)已知等比數(shù)列｛%｝的公比為2,且成等差數(shù)歹！1，

/.2(%+2)=%+〃4，

2(44+2)=24+8%，解得％=2,

/.%=2X2〃T=2〃,〃￡N*;

Wn+1n2M+1nn

(2)bn=log2(2?2)+2=log22+2=2n+l+2,

/、2(1-2")

「.7；=2(1+2+…+〃)+〃+(2+2?+…+2〃卜21+2+?一+〃+〃+----匚

1—2

=M2+2?+2,,+I-2;

2.正項(xiàng)數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)和為S”，已知2g=d+l.

⑴求證：數(shù)列代｝為等差數(shù)列，并求出％??；

(2)若b?=上也-,求數(shù)列也｝的前2023項(xiàng)和T2023.

an

【答案】(1)S“=〃；a,，=J?-J〃-l；(2)7^023=-J2023.

【詳解】(1)由2°囚=d+1可得，2S；=S；+1,

又因?yàn)镾”為正項(xiàng)數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)和，所以d=%=1,

因?yàn)?=S“一J-,所以2(S“一Sa)S“=(S"-J+1,

所以S；-S3=1(?>2),數(shù)列｛段｝為等差數(shù)列，

LI-I___

所以S：=n,Sn=4n,a〃=vJ1——〉？)，所以4=G-」n-\.

(2)4=d=(7)"(〃+V^i),

an

品23=-1+后+1-6-岳4+樞---3023-4022=-4023.

3.已知數(shù)列｛%｝為:1,1,2,1,1,2,3,1,1,2,1,1,2,3,4.…即先取q=1,接

著復(fù)制該項(xiàng)粘貼在后面作為電，并添加后繼數(shù)2作為。3；再?gòu)?fù)制所有項(xiàng)1，1，2并粘貼在

后面作為g，生，必，并添加后繼數(shù)3作為。7,…依次繼續(xù)下去.記”表示數(shù)列｛明｝中〃首

次出現(xiàn)時(shí)對(duì)應(yīng)的項(xiàng)數(shù).

⑴求數(shù)列也｝的通項(xiàng)公式；

(2)求％+。2+“3--------。63-

【答案】(1也=2"-1⑵120

【詳解】(1)由題意知:bn+l=2bn+1,即％]+1=2(4+1),且4+1=2,

所以數(shù)列出+1｝是以4+1=2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，

所以￡+1=2",則b“=2"-l.

(2)由(1)可知，綠=2'-1=63,所以6在前63項(xiàng)中出現(xiàn)1次，

5在前63項(xiàng)中出現(xiàn)2次，4在前63項(xiàng)中出現(xiàn)2x2=4次，3在前63項(xiàng)中出現(xiàn)4x2=8次，2在

前63項(xiàng)中出現(xiàn)8x2=16次，1在前63項(xiàng)中出現(xiàn)16x2=32次，

所以q+2+。3_|-------F03=lx32+2x16+3x8+4x4+5x2+6x1=120.

4.已知等差數(shù)列｛。"｝的前”項(xiàng)和為牝=5,邑=15,

(1)求數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式；

⑵若“=」一，求數(shù)列｛?｝的前2023項(xiàng)和.

anan+\

【答案、】⑴4=〃⑵2髭023

%+4d=5

【詳解】(1)設(shè)公差為d,由。5=5,要=15,得，5x4解得％="=1,

5aH-------a7=15

[y2

所以％

1_1__1

(2)由(1)可得2=-------

。必+1+nn+1

所以-^―+——+…+-------

%“2G2%”2023”2024

2023

2024

故數(shù)列上｝的前2023項(xiàng)和為翡.

5.已知｛與｝是首項(xiàng)為2,公差為3的等差數(shù)列，數(shù)歹￡“｝滿足4=4/用=3"-2”+1.

⑴證明｛b?-n｝是等比數(shù)列，并求｛5｝,｛4｝的通項(xiàng)公式；

⑵若數(shù)列｛%｝與也,｝中有公共項(xiàng)，即存在尼加eN*,使得％=超成立.按照從小到大的順序

將這些公共項(xiàng)排列，得到一個(gè)新的數(shù)列，記作｛cj,求q+Cz+i+g.

【答案】⑴證明見(jiàn)解析，％=3〃-l(〃eN*),，=3"+〃(〃eN*)

。)9(27"-+〃(3"+1)("N*)

262

【詳解】⑴由題意可得：a“=2+(〃7)x3=3-l(〃€N*),

而4=4,bn+l=3"-2〃+1,變形可得：%]一(〃+1)=3或-3〃=3—哈可-1=3,

故是首項(xiàng)為3,公比為3的等比數(shù)列.

從而"-"=3",即6'=3"+〃(〃eN)

⑵由題意可得：3k-l=3>m+m,左,%eN*,令加=3〃-1(〃eN*),

則3"1=33"-1+3〃-1=3(32"-2+?)-1,此時(shí)滿足條件,

即加=2,5,8,…,3〃-1時(shí)為公共項(xiàng)，

所以G+。2+…+g=打+&+…+&〃_1

=32+35+---+33,,-1+(2+5+---+3?1)=

262

6.設(shè)數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)和為S“，已知S"+l=2a“(〃eN*).

⑴求｛%｝的通項(xiàng)公式;

[a,n=2k-\，、

(2)設(shè)2="c,且后eN*,求數(shù)列抄“的前〃項(xiàng)和為小

[n,n=2k

【答案】⑴?！?2〃T

2〃-1〃(〃+2)

,n=2k

34

⑵(4eN*

,n=2k-l

34

【詳解】(1)當(dāng)〃=1時(shí)，4=1,

S"+l=2%

當(dāng)“22時(shí),nan=2%,

S“_I+l=2%

所以｛%｝是首項(xiàng)為1,公比為2的等比數(shù)列，則。"=2"-1

2"-1,n=2k-]

(2)由題設(shè)知：bn=n,n=2k，壯N,

當(dāng)〃為偶數(shù)時(shí),

7；=囪+&+…+限1)+(a+,+???+〃)=(2°+22+…+2”2)+(2+4+—+〃)=^11+”(丁)；

當(dāng)〃為奇數(shù)時(shí),

2n+1-12-1

_n

Tn=(b]+,H-----卜2)+(b2+a-l-----1b“_J=(2°+2?+…+2〃[)+(2+4+…—1)=------1---——

’2〃-1n(n+2)…

---------1——--------,n=2k

an〃是有數(shù)

7.已知數(shù)列｛%｝滿足：%=2,且對(duì)任意的“eN*,。用=2"''

2"+%“+2,”是偶數(shù).

(1)求。2，%的值，并證明數(shù)列上一+g；是等比數(shù)列；

(2)設(shè)或=%“一1(〃eN*),求數(shù)列也｝的前〃項(xiàng)和T”.

【答案】(1)電=1，。3=10，證明見(jiàn)解析(2)北=，4"-1)一：〃

_3

【詳解】(1)。2='^=1，6Z3=24Z2+2=10.

由題意得出〃+1+|'=22〃+12〃+|=22n+1^1^^+1=4672^+：=4(。2〃-1，

又見(jiàn)+g=gwO,所以數(shù)列［出“T+三是等比數(shù)列.

o2

(2)由⑴知"

運(yùn)用分組求和，可得(==4。+41+42+...+47)二"=色.上升二”

"3、7331-43

8.已知正項(xiàng)數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)和為北，%=2且對(duì)任意2,。工嗎，。工-成等差數(shù)列，又

411

正項(xiàng)等比數(shù)列上｝的前"項(xiàng)和為E,,邑=:邑=￡.

⑴求數(shù)列｛%｝和也｝的通項(xiàng)公式；

(2)若數(shù)列匕｝滿足g=T也，是否存在正整數(shù)〃，使G+C2+…+c”>9.若存在，求出〃的最

大值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

【答案】(1)%=2(6-而1),H'(2)不存在，理由見(jiàn)解析

【詳解】(1)設(shè)也｝的公比為/顯然4",

4

4131-93

由S2=H，S3=T，可得v

13

1一，9

解得q=g或4=-；（舍去），又4=1,所以"=

又對(duì)任意“22,。工,％,。工7成等差數(shù)列，%=2,

所以工T=4.

因?yàn)??！?Z「MT（"N2）,

所以⑵-射）（北+%）=4,所以葉一a=4（〃>2）,

故｛〃｝是以"=4為首項(xiàng)，公差"=4的等差數(shù)列，

所以臂=4+（〃-l）x4=4",又%>0,

所以4>0,所以（=2面.

當(dāng)〃22時(shí)，??==2（而-加T）,

〃=1時(shí)，4=2滿足上式，

故氏=2（?_J”l）.

n-1

⑵C"=l>a=4〃xI

設(shè)K“=c1+c2+---+c?,

&=4x(4+8x(J+12xg)"+4嗚①,

|^=4x1+8xL+12xL+...+4(,-l)x1+4〃xg②,

①一②，得3=4+4義]1+4義]]+4x+-4x])

所以K"=9-91]=9-(3+24.

<S,

故不存在正整數(shù)〃，使C1+C2+…+C">9.

9.已知各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列｛%｝,其前“項(xiàng)和為5“，滿足25“=%+2-6,

⑴求數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式；

（2）記4為數(shù)列｛S,｝在區(qū)間m^m+2）中最大的項(xiàng)，求數(shù)列也J的前"項(xiàng)和小

【答案】⑴a,=3x2i；（2）北=3x2畸-12-3”.

【詳解】（1）設(shè)｛七｝的公比為9,則4>0,又2S“=a”+2-6,

當(dāng)〃=1時(shí)，2sl=a3-6,當(dāng)〃=2時(shí)，2s2=a4-6,

兩式相減可得，=a4-a3,所以2=/-q,

所以^=2或鄉(xiāng)=T（舍去），

所以2sl=a3-6=4%-6,即％=3,

所以等比數(shù)列R｝的通項(xiàng)公式為4=3x.

（2）由%=3x2"、2Sn=a?+2-6,可得'—6）=；（3x2"”-6）=3x2"-3,

所以，=a”+i-3<%+1,又%>0,

所以S“Wa“，當(dāng)且僅當(dāng)”=1時(shí)等號(hào)成立，

所以勺《鼠<S.+1<am+2<S加+2,

所以%=S.=3x2.—3，

所以7；=3（22+23+24+…+2"，-3〃=3x^=^--3n=3x2"+2-12-3?.

即7；=3x2解一12—3".

10.已知等差數(shù)列｛七｝的公差d>0,且滿足%=1,%,%,%成等比數(shù)列.

⑴求數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式；

2%,〃為奇數(shù)

（2）若數(shù)列抄“｝滿足"=〃為偶數(shù)求數(shù)列抄"｝的前2〃項(xiàng)的和T2?.

“+2'

【答案】（1）?！?"（2）“，=―15

4?+4-12

【詳解】（1）因?yàn)?,出，%成等比數(shù)列，所以媛=4。4,

即(l+d)2=1*(1+34),

解得"=0或d=l.

因?yàn)閐>0,所以d=l,

所以%=l+lx(w-l)=?.

2",〃為奇數(shù),

（2）由（。得"』〃為偶數(shù),

n\n+2j

2〃,〃為奇數(shù),

所以年=<4I1

，〃為偶數(shù)

n+2

所以T2n=4+，2+4+…+=(4+人3+…+，2〃一1)+(62+\+…+，2〃)

1

=(21+23+---+22n-1)+—

2

1-22

2〃+1]5

3--4^+4-12

所以數(shù)列也｝的前2"項(xiàng)的和&=?一而匕一:

11.設(shè)S“是數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)和，已知的=0，?！?1+（-1）"邑=2".

⑴求生,a2；

(2)令2=?！?|+2?！?，求&+a+4+…+

【答案】⑴％=1,出=3⑵22川-2

【詳解】(1)由。用+(-l)"S"=2"得出一%=2,即出=%+2,

2

a-}+S2-2=4,即%+出+%=4,又的=0，所以％=L&=3，

2k

(2)當(dāng)〃=2左時(shí)，a2k+}+S2k=2,

2M

當(dāng)〃=2左一1時(shí)，a2k-S2k_x=2,

兩式相加可得出用+%+如Ft=22丘+221,得%+23=22k+22k-l,

由于也,=%+1+2%,所以

b2+b4+b6-----卜瓦"=(%+2出)+(%+2a4)+(%+2a6)H----F(a2zi+1+2a2n)

=(22+21)+(24+23)+(26+25)+---+(22K+22,!-1)

=(22+24+26+---+22,,)+(21+23+25+---+22nt)

_4(1-4)2(1-4")_22向2

1-41-4

12.已知｛?！埃沁f增的等差數(shù)列，也｝是等比數(shù)列，且%=1,b2=a2,b3=a5,4=%4.

⑴求數(shù)列｛6｝與也｝的通項(xiàng)公式；

(2)T"eN*,數(shù)列｛g｝滿足*+…求｛%｝的前〃項(xiàng)和S".

“2”3。聞,

【答案】⑴%=21,b?=3^(2)Sn=3"

【詳解】(1)解：由題意，設(shè)等差數(shù)列｛%｝的公差為d(d>0),

則Z?2=電=1+d,b3=a5=1+4d,“=。區(qū)=1+13d,

因?yàn)閿?shù)列抄”｝為等比數(shù)列，則叫=她4，即(l+4d)2=(l+d)(l+13d),

因?yàn)閐>0,解得d=2,.,.%=%+(〃—1)d=1+2(n-1)=2n—1.

又因?yàn)?=出=3,4=%=9,所以，等比數(shù)列也｝的公比為夕=g=3,

n2i

因此，bn=b2q-=y~\

(2)解：由?+￡■+…+｝=勺匕①

仇4加3

可得今=1=1,所以，4=3,

當(dāng)時(shí)，*+￡+…+爺=?，②

打“43

①-②得所以，C,=：%=2-3"T(〃22),

4+1。。3

,、[3,〃=1

C]=3不滿足c“=2-3"一值W2),所以，c?=｛1

[2?3，〃之2

當(dāng)篦=1時(shí)，H=q=3,

1216

當(dāng)〃上2時(shí)，sn=3+2X(3+3+---+3"-)=3+^I-^^=3"，

凡=3也滿足S“=3"(n>2),

綜上所述，對(duì)任意的〃eN*,1=3".

13.已知數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)和為'，且5”=2?！?2〃一5.

⑴求數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式；

(2)記a=log2(^-2),求數(shù)歹U」一|的前〃項(xiàng)和7；.

I4也+iJ

【答案】(1)*=2"T+2(2)T

n+\

【詳解】(1)當(dāng)〃=1時(shí)，E=%=24+2-5,解得%=3,

當(dāng)〃22時(shí)，S〃T=2Q〃T+2優(yōu)—1)—5.

可得S"-%=2。"+2/7-5_[2%+2（〃一1）一5],

整理得：。"=2%一-2,

從而。"-2=2（味_2）（葭*2）,

又4-2=1,所以數(shù)列｛%-2｝是首項(xiàng)為1,公比為2的等比數(shù)列;

所以a,_2=（a「2）2"T=2"T

所以%=2"一+2,經(jīng)檢驗(yàn)，％=3滿足%=2"一+2,

綜上，數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式為?！?2".+2；

（2）由（1）得%-2=21，所以巴+「2=2",所以或=log2（a“+「2）=〃，

1111

心也〃（幾+1）n〃+1

1111

所以北=---+----+----+-

6也b2b3b3b4媯+i

111111

+++」

122334nn+1

=1」=」

〃+177+1

2

14.已知S”為數(shù)列｛%｝的前"項(xiàng)和，%=1,S.nan-Sn=n-??,/?eN*.

⑴求數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式;

2%

（2）若〃=產(chǎn)訶二°,求數(shù)列也｝的前"項(xiàng)和小

【答案】⑵7；=g1

1-

22n+1-1

【詳解】（1）因?yàn)椤?-S0="2,

所以（〃一1）6T-Ar=（〃一I）2-（?-!）（?>2）,

兩式相減得九%~（n~V）an_x-an=2n-2,

化簡(jiǎn)得%-%=2（"22）,

所以數(shù)列｛%｝是以1為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列,

所以=1+（八一1）X2=2〃一1.

22〃-I111

（2）b=

n（22"-1-l）（22n+1-1）-3U2"'1-122,!+1-1

所以（=4+4+%+b,

______L+-________L

3(2-l23-123-125-12"T-123I+1-1,

=］卜一^7^)

所以7“mi

,、〃

15.已知函數(shù)｛%｝的首項(xiàng)生=：3,且滿足。用=廣3、.

J十1

⑴求證，-1為等比數(shù)列，并求知.

173100

⑵對(duì)于實(shí)數(shù)％,3表示不超過(guò)》的最大整數(shù)，求'+7+\+…+廣的值?

3〃

【答案】⑴證明見(jiàn)解析，a⑵5051

'〃3〃+2

【詳解】（］）因?yàn)闉?3￡,。用3%

2%+1

所以。〃。0,

所以'=2"“+121

=----1--------,

3區(qū)33a

%、

所以」---1=?

--1.

%+i3

1,2

又因?yàn)槎?/p>

所以數(shù)列心1-1是首項(xiàng)羽，公比為加等比數(shù)列,

12尸2

所以上—l=4x

an333〃

L121「3"

所以一=港+1,所以?！?/p>

a”D3〃+2

121

(2)因?yàn)橐?港+1,

an3

123100242001。。…

所以「丁丁…+￡=kk…+訶+1+2+3+-+100

12+100x(100+1)

=2x—j-H—-------

31322

、八T123100

設(shè),+*+3+…+訶'

b21T123100

所以-7=—7+-^+^+…+F~,

33233343101

3

3203

所以T=

1，2--31003203=5。51.5一”

所以1+I+至+…+”=505。+二中

因?yàn)椤恪次?lt;1，

八2031

所以。而<5'

203

所以5051<5051.5---------<5051.5,

2x3100

…123100

所以一+—+—+…+f=5051.

%a2a3a

16.已知各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列｛%｝滿足%=14=2%T+3（正整數(shù)〃》2）

⑴求證：數(shù)列｛%+3｝是等比數(shù)列；

（2）求數(shù)列｛七｝的前n項(xiàng)和Sn.

【答案】⑴證明見(jiàn)解析⑵S“=2"+2-3〃-4

【詳解】（1）證明：已知遞推公式?！?2%_+3,兩邊同時(shí)加上3,

得：a?+3=2（a?_1+3）（M>2）,

因?yàn)?>0,4〃+3>0,

所以+?=2（"22）,

又%+3=4。0,

所以數(shù)歹必%+3｝是以％+3=4為首項(xiàng)、以2為公比的等比數(shù)列.

（2）由（1）a“+3=4x2"T=2"i,貝1J%=2用一3（〃eN*）,

所以*=%+&+…+%=22_3+23_3+--+2向_3

=（22+23+---+2"+1）-3?

==----3n=2-2一3〃一4-

1-2

17.已知在數(shù)列｛氏｝中，4=(,且］，］是公差為1的等差數(shù)列.

⑴求數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式;

(2)設(shè)6,=~+%，數(shù)列抄“｝的前"項(xiàng)和為求使得的最大整數(shù)加的值;

an5

1—a(、

(3)設(shè)4=不一，求數(shù)列g(shù)的前〃項(xiàng)和0“

【答案】(1)。，=々(2)8(3)。,=2-*

【詳解】(1)由%=；可知:=2,又］，［是公差為1的等差數(shù)列，

所以一二2+(〃-1)義1=幾+1,故〃=」一.

%n+1

(2)〃=，+%膽+-L=i+J---1

%w4-2n+1n+1〃+2

11111111

(二4+4+…+”=〃+++…+=n+

2334n+1n+22〃+2

ii42

則圖=加+--------<—,整理得10(冽+2>-99(冽+2)—10W0,

2m+25

解得14加《8,故滿足條件的最大整數(shù)冽的值為8.

\-an

(3)由題得g=刀產(chǎn)

2'an2〃

貝I」?！?lx；+2xJ+3x*…+〃x：，

—1(八J=l1x-1-+c2xl—+???+/(?-l1)、x——1+nx——1-,

2n22232n2"i

兩式相減得;2“=(；+]+：+…+3]-“x/=l—/一"X/,

2n_2+〃

所以2=2-^——2-----

2"2"

18.已知數(shù)列｛%｝各項(xiàng)都不為0,前〃項(xiàng)和為5“，且3a“-2=S"，數(shù)列也｝滿足4=-1,

2+1="+〃?

⑴求數(shù)列｛%｝和｛b,,｝的通項(xiàng)公式；

(2)令%=*，求數(shù)列｛c“｝的前〃項(xiàng)和為1

【答案】(1)%=［［也=("+1),-2)；⑵北=8+3(〃—4)x［1］

【詳解】（1）由3%—2=S〃，可得3al—2=SiW22）,兩式相減得3c1n-3an_x=Sn-Sn_1=%,

整理得4因?yàn)閿?shù)列｛%｝各項(xiàng)都不為0,所以數(shù)列｛%｝是以］為公比的等比數(shù)列.令

n=\,貝口q一2=岳=%,解得％=1,故4?

由題知bn+i-bn=n,

所以a=（2—〃—J+（%-%一2）+…M4-4）X4一4+々

/、/、n1-n-2（及+1）（〃一2）

二（〃-1）+（〃-2）-1---1-2+1-1=-------=----------

（2）由（1）得勺=口21=（〃—2）-,所以

71+112,

兩式相減得_

所以7；=8+3（，—4）

19.已知等比數(shù)列｛%｝的公比為2,數(shù)列也｝滿足4=2,4=3,a?b?+1-a?=2"bn.

⑴求｛4｝和｛4｝的通項(xiàng)公式;

（2）記S,為數(shù)列［卜］的前〃項(xiàng)和，證明：1<S?<3.

【答案】⑴4=2"；々,=〃+1⑵證明見(jiàn)解析

【詳解】（1）當(dāng)〃=1時(shí)，Q也一體=24，

又4=2,打=3,解得％=2.

所以｛。/是以2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，故4=2X2〃T=2〃.

則2〃%「2〃=2〃"，即"x=a+l.

所以｛2｝是以2為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列，故％=2+(〃-l)xl=〃+l.

(2)由(1)可得Q“=2〃，bn=w+l,所以==告^.

an,

EIC234H+1Z7X

貝S'='+齊+g+…+F①，

〃小

子1c23=4/+1②’

1

①-②可得工s“=i+&+；+…+二n+12?〃+1_3n-F3

—r=l+~-

2〃122232"2"電I-12n41-22w4i

2

叱<3.

所以S”=3-

T

因?yàn)槿尽窼,,=3-黑-3+g=g獸>0,所以｛Sj是遞增數(shù)列.

則S"NS|=3-y=1,故14S“<3.

20.在數(shù)列｛%｝中，％=T,an=2a?_I+37?-6(M>2,neN*).

⑴求證：數(shù)列｛。"+3”｝為等比數(shù)列，并求數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式;

(2)設(shè)4=,求數(shù)列｛?｝的前〃項(xiàng)和卻

n+1

【答案】⑴證明見(jiàn)解析;an=2-3n-(2)2"-2-?(?+1)

【詳解】(1)=2/_]+3"-6("N2,〃eNf),

a?+3n2。“_1+3”一6+3〃2(%+3〃-3)

-?n?>2Hi,--------7；-----=---------------;---------=-----------------—

a〃_i+3(〃—1)%_]+3〃—3an+Ji—3

數(shù)列R+3"｝是首項(xiàng)為4+3=2,公比為2的等比數(shù)列，

.，.+3〃=2〃，an=2"—3n；

nn

(2)bn=an+n=an=2—3n+n=2—2n

n

數(shù)列｛〃｝的前項(xiàng)和Tn=bx+b2+...+a=(2]-2)+Q2-4)+03一6)+...+(2〃-2〃)

2(1-2")2+2〃

2

=2'+2+...+2"-(2+4+6+...+2T7)=2'--=2加一2-〃(〃+1)?

21.記5“為數(shù)列｛%｝的前九項(xiàng)和，已知%=1,｛2%,｝是公差為2的等差數(shù)列.

⑴求｛%｝的通項(xiàng)公式；

(2)證明：S?<4.

【答案】(1)%=?(2)證明見(jiàn)解析

【詳解】(1)因?yàn)閝=1，所以2%=2,

因?yàn)椋?"%｝是公差為2的等差數(shù)列，所以=2+2(〃-1)=2",

2nn

所以an

2n2〃T?

/、c123nc

(2)5?=-+-+-+-+—,①

所以'“=12n-\n

--------1-----------F???H----------------1--------，②

21222〃T2n

11n〃+2

H—z-+…-I---------------------S=2

①一②嗚S"=l+gg7-17

7

1--

2

〃+2

所以S〃=4—<4.

2"T

22.已知數(shù)列｛4｝滿足%=2Q〃T-2〃+4(w>2,〃￡N*),々=4.

⑴求證:數(shù)列｛%-2〃｝為等比數(shù)列,并求｛4｝的通項(xiàng)公式;

⑵求數(shù)列｛(-1)"。"｝的前n項(xiàng)和S,,.

【答案】⑴證明見(jiàn)解析,an=T+2n

2”+1

------\-n-為偶數(shù)

3I"

(2)S?=<

2向

-------n-為奇數(shù)

3

【詳解】(1)..?4=2%_1-2幾+4,

/.an-2n=2%-4〃+4=2[*-2(〃-1)],

a-2n

所以rl=2,又%-2=2,

an-\-2(?-1)

2〃｝是首項(xiàng)為2,公比為2的等比數(shù)列,

:.a,-2/7=2",

?！?2"+2〃.

(2)：(-!)"%=(-2)"+2(-

；，

S?=(-2)1+(-2)2+---+(-2)+2[-l+2-3+4----+(-iyn

當(dāng)〃為偶數(shù)時(shí),

20+i_2“n2"+12

S"=+2[(-1+2)+(-3+4)+…+(-〃+2+n-1)-力]=+2x—=------1-n----

1一(-2)-3-233

當(dāng)〃為奇數(shù)時(shí),

(-2*1-(-2)"]__2"+1

22"1

S,=------L---------=1+2[(-1+2)+(-3+4)H------F(一〃+2+=-------------\-n-\-2n

1一(一2)33

5

—n——.

3

一〃—「為偶數(shù)

33

綜上

——...為奇數(shù)

33

23.已知數(shù)列｛%｝是公差為的等差數(shù)列，且滿足q=1,。用=M〃+2.

⑴求｛〃〃｝的通項(xiàng)公式；

4〃

(2)設(shè)。=(-1X---------，求數(shù)列低｝的前10項(xiàng)和幾.

anan+\

、

【答案】(1)%=2〃-1⑵喘20

【詳解】(])因?yàn)椋?｝是公差為d(d#0)的等差數(shù)列，ax=\,an+i=xan+2,

所以當(dāng)〃=1時(shí)，&=xai+2=x+2,

當(dāng)〃=2日寸，％=尤0，+2=x(x+2)+2=x~+2x+2,

因?yàn)?-%=&-%，BPx2+x=x+l,

解得x=±l,所以(7=2或"=0(舍去),

所以。*=1+2("-1)=2〃-1：

(2)由(1)得，

H4n4n(11、

b=(-l)-—=(-1)"---------當(dāng)----?=(-1)"?二一+—.

a?an+l+2n+lJ

24.已知數(shù)列｛%｝的前"項(xiàng)和為S"，且S"=2%-4.

⑴求｛。,｝的通項(xiàng)公式；

(2)求數(shù)列上電｝的前“項(xiàng)和1.

【答案】⑴％=2*(2)7；=(〃一I"那一2n(n+1)+8

【詳解】(1)因?yàn)镾.=2%-4,所以當(dāng)“22時(shí),%=2%—4,

兩式相減，得S"-S,i=2%-4-(2a"T-4),整理得%=2%-

即〃22時(shí)，又當(dāng)”=1時(shí)，，=%=2%-4,解得q=4,

所以數(shù)列｛%｝是以4為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，

所以%=4x27=2角.

(2)由(1)知S〃=2x2同一4=2-2一4,所以碼=-4〃,

令6.=n-2*2,c“=-4n,易矢口，ct+c2-I---\-cn=-4x~-=-2n(n+1),

設(shè)數(shù)列也,｝的前”項(xiàng)和為K“，貝UK,,=1x23+2x24+3x25+…+/2+2①，

2K,=1X24+2X25+3X26+---+M-2"+3@,

由①-②,得-K“=1x23+24+25+26+…+2"+2-小2"+3,

3n+3,,+3

即-儲(chǔ)=2+)-n.2"3=2-n-2-8,

"1-2

所以K=23+2(1-2-=(?-1)-2,,+3+8,

"1-2

所以北=K“-2〃(〃+l)=("-l).2"+3-2〃(〃+l)+8.

25.已知等比數(shù)列｛。“｝的各項(xiàng)均為正數(shù)，且。2+%+%=39,%=2%+3%.

⑴求｛g｝的通項(xiàng)公式;

(2)數(shù)列也“｝滿足bn=n-an,求也｝的前"項(xiàng)和給

【答案】(l)a“=3"T；(2)方=(2〃一:3"+1.

【詳解】(1)設(shè)數(shù)列｛%｝的公比為式4>0),

則卜"o.解得卜[

axq=2axq+3axq[0―

所以q,=料，即｛?！埃耐?xiàng)公式為an=3"T；

(2)由題可知，=〃-3"T,

則7；=lx30+2x3i+3x32+…+(W-1)X3"-2+"X3"T,

3T“=1X3'+2X32+3X33+???+^-1卜3"，八3",

兩式相減得：-27；=1+3]+32+33+…+3"T-〃X3"

1-3"(1-2M)3H-1

一〃x3"

1-32

⑵I)3"+l

4

26.已知數(shù)列｛%｝中，%=1,%=芋，?eN,.

⑴求數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式;

(2)設(shè)2=log2d+3〃，數(shù)列的前〃項(xiàng)和S“，求證：\<1.

n(n—l)

【答案】(l)q=2k(2)證明見(jiàn)解析

un乙

【詳解】(1)解：因?yàn)椤?=1,矢=%("eN*),

所以也=2"(〃eN*),

an

r-rrica."Ta〃(〃T)

_n2n11+2++(n-1)2

所以〃_QAA]=2〃T.2〃-2…2-1=2-=2

?-1“〃一2"1

當(dāng)〃=1時(shí)，ax=\滿足條件，

M(H—1)

所以u(píng)°=2-；

n乙

(2)因?yàn)閍=log2屋+3〃=〃(〃+2),

LLI111A1、

所以至=而②=/1一/)，

所以s-+!」+...+!--―)=l(i+l--J--------)=1(---5...........—)

2324""+222/7+1?+222?+1n+2

所以s.〈:3.

27.數(shù)列｛%｝滿足4=3,%+1-/=2a”,2'"=<+1.

⑴求證：也｝是等比數(shù)列;

n,、

⑵若?！?7+1,求｛q,｝的前“項(xiàng)和為人

〃+2

【答案】⑴證明見(jiàn)解析⑵4="+2-歲.

Z,

【詳解】(1),.-2"=an+l,.-.bn=log2(a?+l),Z>1=log2(3+l)=2,

a2

n+i=a；+2a?,an+l+1=a；+2a?+1=(an+1),

10

§2(??+1+1)=2log2(a?+1),

...弧=l°g2(a“+i+1)=2

'bnlog2(a?+l)

所以數(shù)列｛￡｝是以2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列.

(2)由(1)可得，4=2",所以gq+1,

設(shè)"“=￡，設(shè)其前"項(xiàng)和為S”，

則S.=：+城+'+…+聶+今,①

n-ln

+…H-----1----，②

2-〃2〃+i

減②得

J

1-

1111n22n+2

-rH——H—r-H-----H-------

2122^2'T*'

〃+2

所以8=2—

2〃

n+2

所以Z,=S“+〃=〃+2-

2n

28.已知正數(shù)數(shù)列｛%｝,%=1,且滿足_1-nat1=O(77>2).

⑴求數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式;

〃一1

(2)設(shè)a=/，求數(shù)列低｝的前〃項(xiàng)和S".

【答案】(1)?！?加(2電=1一[

n\

【詳解】(1)V0^-(77-l)a?a?_]-=0(w>2),

.?.(%-nan_1)(a?+%)=0(〃22),

又?！?gt;0,a=na_,即芻-=〃(〃>2).

nnxa?-i

又a“=<7jX—x—x---x—=1X2X3X…x〃=〃g2),

"1。2"〃-1

且—1—1!,??a”—拉!

n-l11/

A

(2)bn———,=0,bn7——r------(7，>2),

n\n\(77-1)!加'

「?S〃=4+打+“+“+.?.+

1111111111

=0A—I———?----—?——----------——]——

1!2!2!3!3!4!(?-1)!加n\

又，=4=1-1=0,

29.已知數(shù)列｛%｝、也｝,滿足q=100,an+l=,bn=lgan.

⑴求數(shù)列抄“｝的通項(xiàng)公式；

(2)若cn=log?"+log2Z，?+1+?■?+log2fc2?求數(shù)列的前"項(xiàng)和S”.

c2〃

【答案】(1也=2"(2電=而而

【詳解】(1)解：因?yàn)槭?1=d，=100>1,則出=。；>1,a3=<7；>1,L,

以此類(lèi)推可知，對(duì)任意的“eN*,an>\,所以lg%=lg*

即lga“+i=21ga”,b.『2b",

又因?yàn)?=