2025年中考數(shù)學(xué)大題專練：幾何中的最值問題（5大題型）（原卷版）

中考大題07幾何中的最值問題

考情分析?直擊中考

在中考數(shù)學(xué)中，幾何最值問題的考察，在小題中通常是選擇或者填空題的壓軸問題；在解答題中偶爾

也會作為壓軸題中的第2個小問題出，難度比較大，是對學(xué)生探究能力的綜合考察。在中考數(shù)學(xué)中常見的

幾何最值問題是將軍飲馬類和輔助圓類，剩余幾種雖然不經(jīng)常考察，但是考到的時候難度都比較大，所以

也需要理解并掌握不同類型的幾何最值問題的處理辦法，這樣到考到的時候才能有捷徑應(yīng)對。

琢題突破?保分必拿

將軍飲馬模型

胡不歸問題

幾何中的最值問題費(fèi)馬點(diǎn)

瓜豆原理

阿氏圓

題型一：將軍飲馬模型

龍能>大題典例

1.（2023,湖北鄂州,中考真題）某數(shù)學(xué)興趣小組運(yùn)用《幾何畫板》軟件探究y=a/（a>0）型拋物線圖

象.發(fā)現(xiàn)：如圖1所示，該類型圖象上任意一點(diǎn)尸到定點(diǎn)F（0,a）的距離PG始終等于它到定直線/：

y=—；的距離PN（該結(jié)論不需要證明）.他們稱：定點(diǎn)尸為圖象的焦點(diǎn)，定直線/為圖象的準(zhǔn)線，

y=—總叫做拋物線的準(zhǔn)線方程-準(zhǔn)線/與了軸的交點(diǎn)為〃其中原點(diǎn)。為尸”的中點(diǎn)，F(xiàn)H=2OF=^.例

如，拋物線y=2H其焦點(diǎn)坐標(biāo)為F（o,J準(zhǔn)線方程為/：y=-1,其中PF=PN,FH=2OF，

【基礎(chǔ)訓(xùn)練】

⑴請分別直接寫出拋物線y=%2的焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線/的方程：,；

【技能訓(xùn)練】

（2）如圖2,已知拋物線y=》上一點(diǎn)P（xo，yo）（xo>0）到焦點(diǎn)F的距離是它到x軸距離的3倍，求點(diǎn)P的坐

標(biāo)；

【能力提升】

⑶如圖3,已知拋物線y=52的焦點(diǎn)為尸，準(zhǔn)線方程為/.直線%:y=/—3交y軸于點(diǎn)C,拋物線上動點(diǎn)

P到x軸的距離為由，到直線m的距離為d2,請直接寫出小+d2的最小值；

【拓展延伸】

該興趣小組繼續(xù)探究還發(fā)現(xiàn)：若將拋物線、=女2缶〉0）平移至）7=磯%—八）2+依￡1〉0）.拋物線y=a

（x—h）2+k（a>0）內(nèi)有一定點(diǎn)+J,直線/過點(diǎn)—9且與X軸平行.當(dāng)動點(diǎn)尸在該拋物線上

運(yùn)動時，點(diǎn)P到直線/的距離PP1始終等于點(diǎn)P到點(diǎn)尸的距離（該結(jié)論不需要證明）.例如：拋物線y=2

（x-1）2+3上的動點(diǎn)P到點(diǎn)尸（1,金的距離等于點(diǎn)P到直線1：y=1的距離.

請閱讀上面的材料，探究下題：

⑷如圖4,點(diǎn)D（—1,|）是第二象限內(nèi)一定點(diǎn)，點(diǎn)尸是拋物線y=#—1上一動點(diǎn)，當(dāng)PO+PD取最小值時,

請求出△POD的面積.

2.（2023?四川宜賓,中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，等腰直角三角形4BC的直角頂點(diǎn)《3,0）,

頂點(diǎn)/、B（6,巾）恰好落在反比例函數(shù)y=§第一象限的圖象上.

⑴分別求反比例函數(shù)的表達(dá)式和直線所對應(yīng)的一次函數(shù)的表達(dá)式；

（2）在x軸上是否存在一點(diǎn)尸，使△ABP周長的值最小.若存在，求出最小值；若不存在，請說明理由

將軍飲馬模型

將軍飲馬問題概述：將軍每天從軍營A出發(fā)，先到河邊飲馬，然后再去河岸同側(cè)的B地軍營巡視，應(yīng)該怎樣走才能使路程最短?

原理問題模型最

A

?

線段垂直平

分線上的點(diǎn)在直線L上求一點(diǎn)P,

到線段兩端求PA-PB的最小值

距離相等......4

P

變

變

式

式

求AB

一

七

線

段

段

線

點(diǎn)

兩

和

的

差三角形兩邊在直線L上求一點(diǎn)P,

間

之

大

最

的之差小于第求PA-PB的最大值

段

線

最

值三邊

短

最

變

變

小在直線AB和BC上分別

式

式

值取一點(diǎn)M、N,求4

二

PMN周長的最小值八

（一動兩定）

線段在直線可

變

加MNL

在直線AB和BC上分別

又移動，當(dāng)移動到

式MN

取一點(diǎn)、求四邊

式MN,

什么位置時，求

九

三形PQNM周長的最小

AM+MN+NB最小

值（兩動兩定）

移

平平行四邊形值

最

類的性質(zhì)+兩

值

小點(diǎn)之間線段

最短

變

變

求在直線AB和BC上分別A,B是河兩側(cè)的定

式

式

線取一點(diǎn)M、N,求點(diǎn)，怎樣造橋，可

四

十

段PM+PN的最小值以讓總路程最短

和

垂線

的

最

短

小

變在直線和上分別

值A(chǔ)BBC

式取一點(diǎn)M、N,求

五PM+PN的最小值（―

定兩動）

龍A笠式訓(xùn)綣

1.(2023?山東濟(jì)南?一模)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，雙曲線y=5(>:>0)經(jīng)過8、C兩點(diǎn)，△4BC為直

角三角形，ACIIx軸,4B||y軸，4(8,4),47=3.

⑴求反比例函數(shù)的表達(dá)式及點(diǎn)B的坐標(biāo)；

(2)點(diǎn)朋r是y軸正半軸上的動點(diǎn)，連接MB、MC；

①求MB+MC的最小值；

②點(diǎn)N是反比例函數(shù)y=5(x>0)的圖像上的一個點(diǎn)，若△CMN是以CN為直角邊的等腰直角三角形，求所

有滿足條件的點(diǎn)N的坐標(biāo).

2.(2023?甘肅隴南?三模)(1)如圖①，在Rt^ABC中，ZC=90°,AC=3,BC=4,點(diǎn)。是邊上任意

一點(diǎn)，貝UCD的最小值為.

(2)如圖②，在矩形4BCD中，AB=3,BC=4,點(diǎn)M、點(diǎn)N分別在BD、BC上,求CM+MN的最小值；

(3)如圖③，在矩形4BCD中，AB=3,BC=4,點(diǎn)E是48邊上一點(diǎn)，且AE=2,點(diǎn)F是BC邊上的任意一

點(diǎn)，把a(bǔ)BEF沿EF翻折，點(diǎn)B的對應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)G,連接4G、CG,四邊形4GCD的面積是否存在最小值？若存在,

求出四邊形AGCD面積的最小值；若不存在，請說明理由.

題型二：費(fèi)馬點(diǎn)

鶻粵例

(2023?湖北隨州?中考真題)1643年，法國數(shù)學(xué)家費(fèi)馬曾提出一個著名的幾何問題：給定不在同一條直線上

的三個點(diǎn)aB,c,求平面上到這三個點(diǎn)的距離之和最小的點(diǎn)的位置，意大利數(shù)學(xué)家和物理學(xué)家托里拆利

給出了分析和證明，該點(diǎn)也被稱為"費(fèi)馬點(diǎn)"或"托里拆利點(diǎn)"，該問題也被稱為"將軍巡營”問題.

⑴下面是該問題的一種常見的解決方法，請補(bǔ)充以下推理過程：(其中①處從"直角"和"等邊"中選擇填空,

②處從“兩點(diǎn)之間線段最短"和"三角形兩邊之和大于第三邊"中選擇填空，③處填寫角度數(shù)，④處填寫該三

角形的某個頂點(diǎn))

當(dāng)△NBC的三個內(nèi)角均小于120。時，

如圖1,將繞，點(diǎn)C順時針旋轉(zhuǎn)60。得到連接PP,

由PC=P￡,^PCP'=60°,可知△PCP，為①三角形,故PP，=PC,又P4=P4故PA+PB+PC=P4

+PB+PP'>A'B,

由②可知,當(dāng)B,P,P',/在同一條直線上時，P4+PB+PC取最小值，如圖2,最小值為4B,此時的

尸點(diǎn)為該三角形的"費(fèi)馬點(diǎn)”，且有乙4PC=Z.BPC="PB=⑶；

已知當(dāng)△A8C有一個內(nèi)角大于或等于120。時，"費(fèi)馬點(diǎn)”為該三角形的某個頂點(diǎn).如圖3,若AB2C2120。，

則該三角形的"費(fèi)馬點(diǎn)”為包點(diǎn).

(2)如圖4,在△4BC中，三個內(nèi)角均小于120。，且AC=3,BC=4,乙4cB=30。，已知點(diǎn)P為△ABC的“費(fèi)

馬點(diǎn)”，求24+P8+PC的值；

CBCB

圖4

(3)如圖5,設(shè)村莊/,B,C的連線構(gòu)成一個三角形，且已知力C=4km,BC=2V3km,乙4cB=60。.現(xiàn)欲

建一中轉(zhuǎn)站尸沿直線向B,C三個村莊鋪設(shè)電纜，已知由中轉(zhuǎn)站尸到村莊/,B,C的鋪設(shè)成本分別為。

元/km,。元/km,四。元/km,選取合適的尸的位置，可以使總的鋪設(shè)成本最低為元.(結(jié)果

用含。的式子表示)

蘢龍》解黃揖號.

【基礎(chǔ)】費(fèi)馬點(diǎn)常見結(jié)論：

1）對于一個各角不超過120。的三角形，費(fèi)馬點(diǎn)是對各邊的張角都是120。的點(diǎn)；

2）對于有一個角超過120。的三角形，費(fèi)馬點(diǎn)就是這個內(nèi)角的頂點(diǎn).

（注意：通常涉及費(fèi)馬點(diǎn)的試題中三角形的最大頂角小于120。）

【解題思路】運(yùn)用旋轉(zhuǎn)的方法，以AABC任意一條邊向外旋轉(zhuǎn)60°構(gòu)造等邊三角形，根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短,

得出最短長度，即當(dāng)A,A',P,P'四點(diǎn)共線時取最小值.

【進(jìn)階】加權(quán)費(fèi)馬點(diǎn)模型概述：前面學(xué)的PA+PB+PC最小值的費(fèi)馬點(diǎn)問題線段前面系數(shù)都是I,如果現(xiàn)在求

mPA+nPB+xPC最小值，前面系數(shù)不是1,那么此類題目就叫做“加權(quán)費(fèi)馬點(diǎn)”.

【關(guān)鍵】系數(shù)的改變只是影響了旋轉(zhuǎn)角度的改變，依然考的是旋轉(zhuǎn).

已知：在RtZUBC中，ZACB=30°,BC=6,AC=5,AABC內(nèi)部有一點(diǎn)P,連接PA,PB,PC

問題求解圖形作法

求PA+PB+PC最DACAP繞點(diǎn)C順時針旋轉(zhuǎn)60°得ACDE

小值二BD長度即為所求，在RtZkBCD中有勾股定理可得

BD=VBC2+CD2=V61

求PA+PB+V2PC△CAP繞點(diǎn)C順時針旋轉(zhuǎn)90°得ACDE

最小值此時△PCE為等腰直角三角形，即PE力?PC

因此原式=PA+PB+◎C=ED+PB+PE,則當(dāng)B、P、E、D

BF6四點(diǎn)共線時取得最小值，BD長度即為所求，在Rt^BFD中

3也工丁/3有勾股定理可得BD=VBF2+FD2=V91

%

求PA+PB+V3PCE△CAP繞點(diǎn)C順時針旋轉(zhuǎn)120。得ACDE

最小值此時APCE為等腰三角形且NPCE=120°,即PE=V5PC,

SlttJ?^=PA+PB+V3PC=ED+PB+PE,貝！]當(dāng)B、P、E、D

B\3Q"0

/四點(diǎn)共線時取得最小值，BD長度即為所求，在Rt^BFD中

有勾股定理可得BD=VBF2+FD2=J60+30v3

求思路：原式=2(PA4PB+遺PC)

2PA+PB+V3PC

1)將PC邊繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)60°,然后過點(diǎn)P作PF_L.CE于點(diǎn)

最小值

下F,則PF=[PC;2)泗利用三角形中位線來處理；3)PA前

的系數(shù)是1,不需要轉(zhuǎn)化，所以旋轉(zhuǎn)4PCB.

過程：△BCP繞點(diǎn)C順時針旋轉(zhuǎn)60°得ACDE,然后過點(diǎn)

DP作PF1CE于點(diǎn)F,此時APCE為等邊三角形，即

PF=^pC,過點(diǎn)F作FG"DE,貝i]FG=；PB,貝愷A、P、

F、G四點(diǎn)共線時取得最小值，AG長度即為所求，在RtA

ACT中有勾股定理可得AG=VCG+AC2=用,原式=2

(PA+ipB+—PC)=2734

22

過程：4ACP繞點(diǎn)C順時針旋轉(zhuǎn)60°得ACDE.然后過點(diǎn)

P作PF1CE于點(diǎn)F,此時APCE為等邊三角形，即

PF爭C,過點(diǎn)F作FG//DE,則FG=加，則當(dāng)B、P、

F、G四點(diǎn)共線時取得最小值，BG長度即為所求，在RtA

BCG中有勾股定理可得BG=VCG+4C2=7.5,原式=4

（^PA+PB+yPC）=26

備注：若變形后的系數(shù)不是特殊值，則可借助位似的相關(guān)知識進(jìn)行求解.

蔻3處要式訓(xùn)級

1.（2023?貴州遵義?三模）（1）【問題發(fā)現(xiàn)】如圖①，在△04B中，若將△OAB繞點(diǎn)。逆時針旋轉(zhuǎn)120。

得至連接BB，；求4OBB'=_；

（2）【問題探究】如圖②，己知△ABC是邊長為4仃的等邊三角形，以BC為邊向外作等邊三角形BCD,P

為△4BC內(nèi)一點(diǎn)，將線段CP繞點(diǎn)C逆時針旋轉(zhuǎn)60。，點(diǎn)P的對應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)Q.

①求證：ADCQ三4BCP；

②求P4+PB+PC的最小值；

（3）【實(shí)際應(yīng)用】如圖③，在矩形4BCD中，48=600,AD=800,P是矩形內(nèi)一動點(diǎn)=2S^BC，Q

為△?!￡）2內(nèi)任意一點(diǎn)，是否存在點(diǎn)P和點(diǎn)0,使得4Q+DQ+PQ有最小值？若存在求其值；若不存在，請

說明理由.

2.（2022?山東德州?一模）若一個三角形的最大內(nèi)角小于120。，則在其內(nèi)部有一點(diǎn)所對三角形三邊的張角

均為120。，此時該點(diǎn)叫做這個三角形的費(fèi)馬點(diǎn).如圖1,當(dāng)△/8C三個內(nèi)角均小于120。時，費(fèi)馬點(diǎn)「在4

ABC內(nèi)部，止匕時N4PB=NBPC=NCP4=120。，PA+PB+PC的值最小.

AA

E

A

(1)如圖2,等邊三角形48c內(nèi)有一點(diǎn)P,若點(diǎn)尸到頂點(diǎn)/,B,C的距離分別為3,4,5,求乙4PB的度

數(shù).為了解決本題，小林利用"轉(zhuǎn)化"思想，將△ZAP繞頂點(diǎn)/旋轉(zhuǎn)到△ACP，處，連接PP,此時△2CP，

三△4BP,這樣就可以通過旋轉(zhuǎn)變換，將三條線段P/,尸8,PC轉(zhuǎn)化到一個三角形中，從而求出乙4PB=

(2)如圖3,在圖1的基礎(chǔ)上延長8尸，在射線8P上取點(diǎn)D,E,連接4B,AD.使2D=AP,

^DAE=^PAC,求證：BE=PA+PB+PC.

⑶如圖4,在直角三角形4BC中,AABC=90°,AACB=30°,AB=1,點(diǎn)尸為直角三角形4BC的費(fèi)馬點(diǎn),

連接/P,BP,CP,請直接寫出24+PB+PC的值.

3.(2019?山西?一模)請閱讀下列材料，并完成相應(yīng)的任務(wù)：

費(fèi)馬，17世紀(jì)德國的業(yè)余數(shù)學(xué)家，被譽(yù)為"業(yè)余數(shù)學(xué)家之王"，他獨(dú)立于笛卡爾發(fā)現(xiàn)了解析幾何的基本原理.

費(fèi)馬得到過這樣的結(jié)論：如圖①，當(dāng)三角形的三個角均小于120°時，在三角形內(nèi)有一點(diǎn)P,使得

^APB=AAPC=ABPC=120°,且該點(diǎn)到三角形三個頂點(diǎn)的距離之和最小，這個點(diǎn)被稱為費(fèi)馬點(diǎn).

圖①圖②

證明：如圖②，把△4PC繞4點(diǎn)逆時針旋轉(zhuǎn)60°得到連接PPI則NP4P=60°,

??.△APP為等邊三角形.

???AP=PP'.P'C=PC,

PA+PB+PC=PP'+PB+P'C,

點(diǎn)。可看成是線段4C繞4點(diǎn)逆時針旋轉(zhuǎn)60°而得的定點(diǎn)，BC為定長，

???當(dāng)B、P、P二。四點(diǎn)在同一直線上時，PA+P8+PC最小，

這時NBP4=180°-^APP'=180°-60°=120°,

AAPC=^AP'C=180°-^AP'P=180°-60°=120°,

乙BPC=360°-A.BPA-/.APC=360°-120°-120°=120°.

任務(wù)：(1)橫線處填寫的條件是；

(2)已知正方形4BCD內(nèi)一動點(diǎn)E到4B、C三點(diǎn)的距離之和的最小值為近+迎，求此正方形的邊長.

題型三：阿氏圓

蘢麓》大題典例

1.(2023?山東煙臺?中考真題)如圖，拋物線y=ax?+b%+5與%軸交于a,B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)

C.AB=4.拋物線的對稱軸久=3與經(jīng)過點(diǎn)4的直線y=kx—1交于點(diǎn)D,與x軸交于點(diǎn)E.

(1)求直線及拋物線的表達(dá)式；

⑵在拋物線上是否存在點(diǎn)M,使得△力DM是以4。為直角邊的直角三角形?若存在，求出所有點(diǎn)M的坐標(biāo)；

若不存在，請說明理由；

1

⑶以點(diǎn)B為圓心，畫半徑為2的圓，點(diǎn)P為OB上一個動點(diǎn)，請求出PC+y2的最小值.

2.(2021?四川宜賓?中考真題)如圖1,在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與x軸分別交于/、3兩點(diǎn)，與了軸

交于點(diǎn)C(0,6),拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為E(2,8),連結(jié)2C、BE、CE.

(1)求拋物線的表達(dá)式；

(2)判斷△BCE的形狀，并說明理由;

(3)如圖2,以C為圓心，夜為半徑作。C,在。C上是否存在點(diǎn)尸，使得尸的值最小，若存在，

請求出最小值；若不存在，請說明理由.

圖1圖2

蘢塞》解黃揖號.

對于阿氏圓而言：當(dāng)系數(shù)k<l的時候，一般情況下，考慮向內(nèi)構(gòu)造。

當(dāng)系數(shù)k>l的時候，一般情況下，考慮向外構(gòu)造。

【注意事項(xiàng)】針對求PA+kPB的最小值問題時，當(dāng)軌跡為直線時，運(yùn)用“胡不歸模型”求解；

當(dāng)軌跡為圓形時，運(yùn)用“阿氏圓模型”求解.

蘢塞》矍式訓(xùn)級

1.(2023?廣東深圳?模擬預(yù)測)【模型由來】"阿氏圓"又稱"阿波羅尼斯圓"，已知平面上兩點(diǎn)/、8,則所

有滿足(k>0且kHl)的點(diǎn)的軌跡是一個圓，這個軌跡最早由古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯發(fā)現(xiàn)，故稱阿

氏圓

【模型建立】如圖1所示，圓。的半徑為「，點(diǎn)/、8都在圓。外，P為圓。上一動點(diǎn)，已知r=連

接尸/、PB,則當(dāng)"PA+kPB”的值最小時，P點(diǎn)的位置如何確定？

AAA

圖1圖2圖3

第1步：一般將含有左的線段依兩端點(diǎn)分別與圓心。相連，即連接。5、0P；

第2步：在08上取點(diǎn)C,使得。。2=。。。8,即黑=器，構(gòu)造母子型相似△OCPs△OPB（圖2）；

第3步：連接/C,與圓。的交點(diǎn)即為點(diǎn)P（圖3）.

【問題解決】如圖，。。與y軸、x軸的正半軸分別相交于點(diǎn)M、點(diǎn)N,。。半徑為3,點(diǎn)4（0,2）,點(diǎn)B

WPA+2PB的最小值是多少？

（2）請求出（1）條件下，點(diǎn)P的坐標(biāo).

2.（2020?山西?模擬預(yù)測）閱讀以下材料，并按要求完成相應(yīng)任務(wù).阿波羅尼斯（ApolloniusofPerga）,古

希臘人（公元前262?190年），數(shù)學(xué)家，寫了八冊圓錐曲線論著，其中有七冊流傳下來，書中詳細(xì)討論了

圓錐曲線的各種性質(zhì)，阿波羅尼斯圓是他的論著中一個著名的問題.一動點(diǎn)P與兩定點(diǎn)48的距離之比等于

定比m：7i,則點(diǎn)P的軌跡是以定比41）內(nèi)分和外分線段4B的兩個分點(diǎn)的連線為直徑的圓，這個圓稱

如圖1,點(diǎn)4B為兩定點(diǎn)，點(diǎn)P為動點(diǎn)，滿足器=：,點(diǎn)M在線段4B上，點(diǎn)N在4B的延長線上且黑=緇=:

rDriMDIND

居T，則點(diǎn)P的運(yùn)動軌跡是以MN為直徑的圓.

下面是“阿氏圓"的證明過程(部分)：

過點(diǎn)B作BD〃4P交PM的延長線于點(diǎn)D.

：.^A=^ABD,乙APM=^BDM.

：.AAPM?ABDM.

.PA_MA

**~BD-~MB'

P..MA_m_P71

乂*~MB~n~港'

,PA_PA

**~BD~~PB'

：.BD=BP.

:?乙BPD=(BDP.

:?乙APD=^BPD.

如圖2,在圖1(隱去MD,BD)的基礎(chǔ)上過點(diǎn)B作BE〃PN交2P于點(diǎn)E,可知篇=臆，……

任務(wù)：

(1)判斷PN是否平分NBPC,并說明理由；

(2)請根據(jù)上面的部分證明及任務(wù)(1)中的結(jié)論，完成"阿氏圓"證明的剩余部分；

(3)應(yīng)用：如圖3,在平面直角坐標(biāo)系xOy中，4(—2,0),PA=2PB,則點(diǎn)P所在圓的圓心坐標(biāo)為

題型四：胡不歸問題

龍麓》大題典例

(2019?湖南張家界?中考真題)已知拋物線y=a/+b久+c(aR0)過點(diǎn)4(1,0),B(3,0)兩點(diǎn)，與了軸交于點(diǎn)

C,OC=3.

⑴求拋物線的解析式及頂點(diǎn)D的坐標(biāo)；

(2)過點(diǎn)/作2M_L8C,垂足為求證：四邊形4D8M為正方形；

⑶點(diǎn)尸為拋物線在直線2c下方圖形上的一動點(diǎn)，當(dāng)4PBe面積最大時，求點(diǎn)尸的坐標(biāo)；

⑷若點(diǎn)。為線段OC上的一動點(diǎn)，問：力Q+額。是否存在最小值？若存在，求出這個最小值；若不存在，

請說明理由.

蘢皿解黃揖號.

【解題關(guān)鍵】在求形如“BC+kAC”的式子的最值問題中，關(guān)鍵是構(gòu)造與kAC相等的線段，將“BC+kAC”

型問題轉(zhuǎn)化為“BC+CE”型.（若k>1,則提取系數(shù)，轉(zhuǎn)化為小于1的形式解決即可）.

蔻塞》.變式訓(xùn)級

1.（2021?四川綿陽?三模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線》=營+2與x軸交于點(diǎn)/,與y軸交于點(diǎn)

C.拋物線>=辦2+樂+。的對稱軸是X=—5且經(jīng)過/、C兩點(diǎn)，與X軸的另一交點(diǎn)為點(diǎn)8.

⑴求二次函數(shù)y=aN+6x+c的表達(dá)式；

⑵點(diǎn)尸為線段45上的動點(diǎn)，求/尸+2PC的最小值；

⑶拋物線上是否存在點(diǎn)過點(diǎn)M作垂直x軸于點(diǎn)N,使得以點(diǎn)/,M,N為頂點(diǎn)的三角形與△N3C

相似？若存在，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.

2.(23-24九年級下?江蘇南通?階段練習(xí))在平面直角坐標(biāo)系》。了中，拋物線y=a久2一2a久一3a與x軸交于

A,B兩點(diǎn),若AB=函數(shù)y=a/—2ax—3a的最小值為n,且m+n=0.

⑴求該拋物線的解析式；

⑵如果將該拋物線在x軸下方的部分沿龍軸向上翻折，得到的圖象與剩余的圖象組成新圖形G.當(dāng)函數(shù)為

=kx-l+2k的圖象與圖形G的公共點(diǎn)的個數(shù)大于2時，求k的取值范圍；

⑶在(2)的條件下，當(dāng)k取最大值時，函數(shù)月=依一l+2k的圖象與圖形G的對稱軸交于點(diǎn)P,若過P作平

行于x軸的直線交圖形G于點(diǎn)Q,過點(diǎn)Q作y軸的平行線交函數(shù)yi=依+1—2k的圖象于點(diǎn)R,D為線段RQ上

的一點(diǎn)，動點(diǎn)C從點(diǎn)R出發(fā)，沿RD-DP運(yùn)動到點(diǎn)P停止，已知點(diǎn)C在RD上運(yùn)動的速度為遙單位長度每秒，在DP

上運(yùn)動的速度為1單位長度每秒.求當(dāng)點(diǎn)C運(yùn)動的時間最短時，對應(yīng)的點(diǎn)。的坐標(biāo).

題型五：瓜豆原理

龍變》大題典例

在△ABC中，D為直線AC上一動點(diǎn)，連接BD,將8。繞點(diǎn)8逆時針旋轉(zhuǎn)90。，得到BE,連接OE與4B相交于

點(diǎn)尸.

(1)如圖1,若。為AC的中點(diǎn)，ABAC=90。，4C=4,BD=V29,連接4日求線段4E的長；

(2)如圖2,G是線段84延長線上一點(diǎn)，。在線段4C上，連接DG,EC,若N8AC<90。，EC1BG,

乙ADE=LDBC,乙DBC+乙G=KEBF,證明=24。+DC；

(3)如圖3,若△4BC為等邊三角形，AB=6五，點(diǎn)M為線段4C上一點(diǎn)，且2cM=4M,點(diǎn)尸是直線BC上的

動點(diǎn)，連接EP,MP,EM,請直接寫出當(dāng)EP+MP最小時aEPM的面積.

龍皿莫其訓(xùn)等

1.(2020九年級?全國?專題練習(xí))如圖1,在△4BC中，^ACB=90°,AC=2,BC=2痘,以點(diǎn)8為圓心,

8為半徑作圓.點(diǎn)P為08上的動點(diǎn)，連接PC,作PC1PC,使點(diǎn)P落在直線BC的上方，且滿足PC:PC=1:

V3,連接BP,AP'.

圖1圖2備用圖

(1)求乙44c的度數(shù)，并證明?△BPC；

【問題探究】

(2)如圖2,已知△ABC是邊長為4仃的等邊三角形，以BC為邊向外作等邊△BCD,P為△ABC內(nèi)一點(diǎn),

連接4P,BP,CP,將aBPC繞點(diǎn)C逆時針旋轉(zhuǎn)60。，得△DQC,求PA+PB+PC的最小值；

【實(shí)際應(yīng)用】

(3)如圖3,在長方形4BCD中，邊4B=10,AD=20,尸是BC邊上一動點(diǎn)，。為△4DP內(nèi)的任意一點(diǎn)，

是否存在一點(diǎn)尸和一點(diǎn)0,使得2Q+DQ+PQ有最小值？若存在，請求出此時PQ的長，若不存在，請說明

理由.

（2）若點(diǎn)P是第二象限內(nèi)拋物線上一動點(diǎn)，過點(diǎn)P作線段PFlx軸，交直線BC于點(diǎn)F,當(dāng)線段PF取得最大值時,

求此時點(diǎn)P的坐標(biāo).

⑶若取線段BC的中點(diǎn)E,向右沿久軸水平方向平移線段BE,得到線段BE,當(dāng)C夕+CE，取得最小值時，求此

時點(diǎn)夕的坐標(biāo)

5.（2021九年級?全國?專題