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文檔簡(jiǎn)介
專題10三角形壓軸
目錄
一、考情分析
二、知識(shí)建構(gòu)
考點(diǎn)三角形壓軸
【真題研析?規(guī)律探尋】
題型01與三角形有關(guān)的多結(jié)論問題(選/填)
題型02與三角形有關(guān)的平移問題
題型03與三角形有關(guān)的翻折問題
題型04與三角形有關(guān)的旋轉(zhuǎn)問題
題型05與三角形有關(guān)的全等/相似問題
題型06與三角形有關(guān)的最值問題
題型07與三角形有關(guān)的動(dòng)點(diǎn)問題
題型08與三角形有關(guān)的新定義問題
題型09與三角形有關(guān)的閱讀理解問題
題型10與三角形有關(guān)的存在性問題
題型11三角形與幾何圖形綜合
題型12三角形與函數(shù)綜合
【核心提煉?查漏補(bǔ)缺】
【好題必刷?強(qiáng)化落實(shí)】
考點(diǎn)要求命題預(yù)測(cè)
在中考中,涉及三角形壓軸題的相關(guān)題目單獨(dú)出題的可能性還是比較大的,多以
三角形壓軸選擇、填空題型出現(xiàn),但是三角形結(jié)合其它幾何圖形、函數(shù)出成壓軸題的幾率特別大,
所占分值也是比較多,屬于是中考必考的中等偏上難度的考點(diǎn).
考點(diǎn)三角形壓軸題
?真題研析-規(guī)律探尋
題型01與三角形有關(guān)的多結(jié)論問題(選/填)
1.(2023?內(nèi)蒙古赤峰?中考真題)如圖,把一個(gè)邊長(zhǎng)為5的菱形ABCD沿著直線DE折疊,使點(diǎn)C與延長(zhǎng)
線上的點(diǎn)0重合.DE交BC于點(diǎn)F,交延長(zhǎng)線于點(diǎn)£.DQ交BC于點(diǎn)尸,DM148于點(diǎn)XM=4,則下
列結(jié)論,①DQ=EQ,②BQ=3,@BP=^,@BD||FQ.正確的是()
A.①②③B.②④C.①③④D.①②③④
【答案】A
【分析】由折疊性質(zhì)和平行線的性質(zhì)可得NQDF=NCDF=NQEF,根據(jù)等角對(duì)等邊即可判斷①正確;根據(jù)
等腰三角形三線合一的性質(zhì)求出MQ=4M=4,再求出BQ即可判斷②正確;由△CDPBQP得益=端=
求出BP即可判斷③正確;根據(jù)靠力差即可判斷④錯(cuò)誤.
【詳解】由折疊性質(zhì)可知:NCDF=NQD£CD=OQ=5,
■:CD\\AB,
:.Z-CDF=Z.QEF.
.,.Z-QDF=Z.QEF,
:.DQ=EQ=5.
故①正確;
-DQ=CD=AD=5,DMLABf
:.MQ=AM=4.
???MB=ZB—AM=5—4=1,
:.BQ=MQ-MB=4-1=3.
故②正確;
-CDWAB,
△CDPFBQP.
CPCD5
:,~BP=BQ=3*
?:CP+BP=BC=S,
???BP=|BC=洋
故③正確;
-CDWAB,
???△CDFBEF.
_C£_CD__5__5
,?茄~~BE~BQ+QE~?+5-8,
EF_8
"DF"13'
QE_5
EFQE
??.△EFQ與△ED8不相彳以.
:,乙EQF豐(EBD.
???8。與尸Q不平行.
故④錯(cuò)誤;
故選A.
【點(diǎn)睛】本題主要考查了折疊的性質(zhì),平行線的性質(zhì),等腰三角形的性質(zhì),相似三角形的判定和性質(zhì),菱
形的性質(zhì)等知識(shí),屬于選擇壓軸題,有一定難度,熟練掌握相關(guān)性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.
2.(2023?四川宜賓?中考真題)如圖,△力8c和△20E是以點(diǎn)2為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形,把△ADE
以4為中心順時(shí)針旋轉(zhuǎn),點(diǎn)M為射線BD、CE的交點(diǎn).若4B=g,AD=1.以下結(jié)論:
①BD=CE;@BD1C£;
③當(dāng)點(diǎn)E在B4的延長(zhǎng)線上時(shí),MC=與金
④在旋轉(zhuǎn)過程中,當(dāng)線段MB最短時(shí),△MBC的面積為《
其中正確結(jié)論有()
A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)
【答案】D
【分析】證明△BAD三△SE即可判斷①,根據(jù)三角形的外角的性質(zhì)得出②,證明WCMsNECA得出詞=
個(gè),即可判斷③;以4為圓心,4D為半徑畫圓,當(dāng)CE在。力的下方與04相切時(shí),MB的值最小,可得四
邊形4EMD是正方形,在Rt△MBC中MC=7BC2—MB2=魚+1,然后根據(jù)三角形的面積公式即可判斷
④.
【詳解】解:???△ABC和△40E是以點(diǎn)4為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形,
:.BA=CA,DA=EA,^BAC=/.DAE=90°,
:.Z.BAD=Z.CAE,
??.△BAD=△CAE,
.-.AABD=^ACE,BD=CE,故①正確;
設(shè)A4BD=AACE=a,
:?乙DBC—45°—a,
??/EMB=Z.DBC+乙BCM=乙DBC+乙BCA+^ACE=45。-a+45。+a=90°,
'-BD1CE,故②正確;
當(dāng)點(diǎn)E在84的延長(zhǎng)線上時(shí),如圖所示
???乙DCM=^ECA,ADMC=^EAC=90°f
?ZDCM-z_ECA
MC_CD
'~AC~~EC
-AB=V3,AD=1.
??.CD=AC—AD=V3-1,CE=yjAE2+i4C2=2
^£_V3-1
...MC=三,故③正確;
"BMC=90°,
.?.當(dāng)CE在04的下方與04相切時(shí),MB的值最小,ZADM=Z.DAE=AAEM=90°
四邊形AEMD是矩形,
又力E=4D,
二四邊形4EMD是正方形,
.-.MD=AE=1,
'''BD—EC-y/AC2—AE2-V2,
:.MB=BD—MD=V2-1,
在RtzXMBC中,MC=y/BC2-MB2
??.PB取得最小值時(shí),MC=7AB2+舊C2—MB2=^3+3-(72-1)2=V2+1
:,SABMC=5MBxMC=式—1)(V2^+1)=5
故④正確,
故選:D.
【點(diǎn)睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì),相似三角形的性質(zhì),勾股定理,切線的性質(zhì),垂線段最短,全等三角形
的性質(zhì)與判定,正方形的性質(zhì),熟練掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵.
3.(2023?湖北?中考真題)如圖,△瓦4&2\。斯和44第都是等腰直角三角形,
NBAC=NDEB=NAEF=90。,點(diǎn)E在△ABC內(nèi),BE>AE,連接DF交力E于點(diǎn)G,DE交力B于點(diǎn)H,連接CF.給
出下面四個(gè)結(jié)論:①乙DBA=^EBC;②乙BHE=4EGF;@AB=DF;@AD=CF.其中所有正確結(jié)論的
序號(hào)是.
D
A
BC
【答案】①③④
【分析】由題意易得aB=4C/4BC=45°=NDBE,AE=EF,DE=BE,Z.DEB=/.AEF=Z.BAC=90°,
則可證aaEB三△FED(SAS),然后根據(jù)全等三角形的性質(zhì)及平行四邊形的性質(zhì)與判定可進(jìn)行求解.
【詳解】解:???△84;必理8和4他尸都是等腰直角三角形,
:.AB=AC./-ABC=45°=^DBE,AE=EF,DE=BE,ADEB=AAEF=^BAC=90°,
■■■/.DBA=Z.DBE—乙ABE,乙EBC=乙ABC—乙ABE,Z.AEB=Z.AED+乙DEB,乙FED=Z.AEF+Z.AED,
...乙DBA=£EBC,乙AEB=LFED,故①正確;
△AEBm△FED(SAS),
.-.AB=DF=AC,/-ABE=Z.FDE,/.BAE=/.DFE,故③正確;
■:/.ABE+Z.BHE=90°,^EFD+Z.EGF=90°,Z_BAE+NE4C=90°,BE>AE,
:.乙BHE手乙EGF,/.EGF=/.EAC-,故②錯(cuò)誤;
:.DF||AC,
■:DF=AC,
四邊形acFC是平行四邊形,
.■.AD=CF,故④正確;
故答案為①③④.
【點(diǎn)睛】本題主要考查全等三角形的性質(zhì)與判定、等腰直角三角形的性質(zhì)及平行四邊形的性質(zhì)與判定,熟
練掌握全等三角形的性質(zhì)與判定、等腰直角三角形的性質(zhì)及平行四邊形的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵.
4.(2022?黑龍江牡丹江?中考真題)如圖,在等腰直角三角形/8C和等腰直角三角形ADE中,
N8aC=N£ME=90。,點(diǎn)。在8C邊上,與/C相交于點(diǎn)RAH1DE,垂足是G,交BC于點(diǎn)、H.下列
結(jié)論中:①4C=CD;@/2AD2=BC-AF-,③若AD=3而,DH=5,則BD=3;@AH2=DH-AC,正確
的是.
A
【答案】②③/③②
[分析】先證明AB=AC=當(dāng)BQB=乙ACB=乙4DE=^AED=45°,AD=AE,△BAD^△CAE,再證明
ND4G=N瓦4G=45。,。6=EG,若AC=CD,可得AC平分與題干信息不符,可判斷①不符合題意;再
證明△力DFs^aCD,可得禁=裝而AC=¥B&可判斷②符合題意;如圖,連接E8,求解DE=3V^X魚
=3V10,設(shè)BD=CE=x,CH=y,再建立方程組{,十伊+52=9聞)?,可判斷③符合題意;證明
△HADHBA,可得業(yè)=DH-HB,^AH2=DH-AC,貝i|HB=4C,與題干信息不符,可判斷④不符合題
意;從而可得答案.
【詳解】解:■■■/.BAC=^DAE=90°,
"BAD=Z.CAE,
???等腰直角三角形ABC和等腰直角三角形/DE,
.'.AB=AC=爭(zhēng)QB=4ACB=乙ADE=Z.AED=450Mo=AE,
BAD=△CAE,
:.^ACE=45。/BCE=90°,BD=CEf
-AH1DE,AD=AEf
.?Z/X4G=Z.EAG=45。必=EG,
???Z,EAC+乙CAH=45。,
若ZC=CD,
???^CDA=/.CAD=|(180°-45°)=67.5。,
.-.^CAH=67.5°一45°=22.5°=/-CAE,
???/C平分乙瓦4”,與題干信息不符,故①不符合題意;
'.^ADE=AACB=45°,^DAF=^CAD,
△ADFACD,
AD_AF
,?茄―布
.-.AD2=AC-AF,而"=爭(zhēng)&
:.aAD2=BC?AF,故②符合題意;
如圖,連接EH,
A
由力H1DE,DG=EG,
:.DH=EH=5,
-,-AD=3V5=AE.Z.DAE=90°,
-'-DE=3V5xV2=3V10,
設(shè)BD=CE=x,CH=y,
x2+y2=25
...r__2
+(5+y)2=(3^/10)
解得:即囪)=3,故③符合題意;
^^LDAH=Z.B=45O/AHD=乙AHB,
???AHAD“△HBA,
.HA_DH
"HB~AH'
???AH2=DH-HB,
^AH2=DH-AC,則HB=AC,與題干信息不符,故④不符合題意;
故答案為:②③
【點(diǎn)睛】本題考查的是等腰直角三角形的性質(zhì),全等三角形的判定與性質(zhì),勾股定理的應(yīng)用,相似三角形
的判定與性質(zhì),作出適當(dāng)?shù)妮o助線,構(gòu)建直角三角形是解本題的關(guān)鍵.
題型02與三角形有關(guān)的平移問題
I.(2023?四川攀枝花?中考真題)如圖1,在aABC中,4B=BC=24C=8,△ABC沿BC方向向左平移得
到△DCE,4、C對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別是D、E.點(diǎn)尸是線段BE上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),連接力F,將線段4F繞點(diǎn)/逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)
至線段4G,使得=N凡4G,連接FG.
(1)當(dāng)點(diǎn)尸與點(diǎn)C重合時(shí),求尸G的長(zhǎng);
(2)如圖2,連接BG、DF.在點(diǎn)尸的運(yùn)動(dòng)過程中:
①8G和DF是否總是相等?若是,請(qǐng)你證明;若不是,請(qǐng)說明理由;
②當(dāng)BF的長(zhǎng)為多少時(shí),a/lBG能構(gòu)成等腰三角形?
【答案】⑴2小
(2)①DF=BG;②BF的長(zhǎng)為14或11或8或0
【分析】(1)根據(jù)平移的性質(zhì)可得四邊形4BC。、四邊形4CED是平行四邊形,再由已知推導(dǎo)出48是NC4G
的平分線,由等腰三角形的性質(zhì)可得2B1CG,過B點(diǎn)作BH14C交于H點(diǎn),求出BH=2瘠,再由sin/B4C=
爭(zhēng)=咨,所以CG=FG=2VB;
84
(2)①證明△48G三△aOF(SAS),貝!]DF=BG;
②過點(diǎn)4作力N,BC交于N,由等積法可得《X4X2V^=T><84N,求出4N=VH,分三種情況討論:當(dāng)
4G=4B時(shí),AG=4F=8;當(dāng)尸點(diǎn)與B點(diǎn)重合時(shí),AF=8,此時(shí)BF=0,當(dāng)BF=2BN時(shí),AF=8,AABN
中,BN=7,可得BF=14;當(dāng)2G=BG時(shí),DF=AF,過點(diǎn)尸作FM_L4D交于M,所以2M=FN=4,能求
出CN=1,CF=3,貝=當(dāng)B4=BG時(shí),DC=DF,當(dāng)尸點(diǎn)在BE上時(shí),CD=DF,此時(shí)C點(diǎn)與F點(diǎn)重
合,此時(shí)BF=BC=8.
【詳解】(1)解:當(dāng)P點(diǎn)與C點(diǎn)重合時(shí),AF=AC,
由平移可知,CD=AB,CD||AB,
???四邊形4BC0、四邊形4CED是平行四邊形,
???AD=BC,AD||BC,
???乙BAD=Z-FAG,
???Z-DAF=Z.BAG,
???AB=BC,
??Z-BAC=乙ACB,
vZ-DAC=Z.ACB,
Z.DAC=Z-BAC=Z-BAG,
???48是NG4G的平分線,
-AC=AG,
AB_LCG,
如圖1,過B點(diǎn)作交于”點(diǎn),
G
圖1
???AB=BC=2AC=8,
???BH=2-/15,
???sin^BAC=品運(yùn)=注
84
CG=FG=2V15;
(2)解:①DF=BG,理由如下:
如圖2,???AG=AF,Z.DAF=^BAG,AB=AD,
.,.△ABG三△ADF(SAS),
;.DF=BG;
②如圖2,過點(diǎn)4作4NLBC交于N,
圖2
由①可知gx4x2V15=|x871JV,
?1?AN=V15,
當(dāng)4G=AB時(shí),
vAB=BC=8,
AG=8,
-AG=AF,
AF=8,
當(dāng)F點(diǎn)與B點(diǎn)重合時(shí),4F=8,此時(shí)BF=O,
當(dāng)BF=2BN時(shí),AF=8,在RtZkABN中,BN=、64—15=7,
???BF=14;
當(dāng)4G=BG時(shí),AF=BG,
?:DF=BG,
???DF=AF,
過點(diǎn)F作FM1Z0交于M,
??.4M=DM=4,
vFMLAD,ANIBCf
.?.AM=FN=4,
???BN=7,
CN=1,
??.CF=3,
BF=11;
當(dāng)=時(shí),
???DF=BG,
??.AB=DFf
vAB=CD=BC=AD,
:.DC=DF,
當(dāng)F點(diǎn)在BE上時(shí),CD=DF,此時(shí)C點(diǎn)與尸點(diǎn)重合,
.?.BF=BC=8;
綜上所述:B尸的長(zhǎng)為14或11或8或0.
【點(diǎn)睛】本題考查幾何變換的綜合應(yīng)用,熟練掌握三角形平移的性質(zhì),旋轉(zhuǎn)的性質(zhì),三角形全等的判定及
性質(zhì),等腰三角形的性質(zhì),分類討論是解題的關(guān)鍵.
2.(2022?廣西貴港?中考真題)已知:點(diǎn)C,。均在直線/的上方,2C與BD都是直線/的垂線段,且8。在
AC的右側(cè),BD=2AC,力。與BC相交于點(diǎn)。.
圖1圖2圖3
(1)如圖1,若連接CD,則△BCD的形狀為,筆的值為;
(2)若將BD沿直線/平移,并以4。為一邊在直線I的上方作等邊△4DE.
①如圖2,當(dāng)力E與4c重合時(shí),連接。E,若=a求。E的長(zhǎng);
②如圖3,當(dāng)〃CB=60。時(shí),連接EC并延長(zhǎng)交直線/于點(diǎn)R連接。F.求證:OF14B.
【答案】(1)等腰三角形,!
⑵①OE=2V7;②見解析
【分析】(1)過點(diǎn)C作CH1AD于〃,可得四邊形/AffC是矩形,即可求得進(jìn)而可判斷△BCD
的形狀,AC,80都垂直于/,可得A40C-ABO。,根據(jù)三角形相似的性質(zhì)即可求解.
(2)①過點(diǎn)E作EF14D于點(diǎn)凡AC,5。均是直線/的垂線段,可得2C〃BD,根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可
得乙BAD=30°,再利用勾股定理即可求解.
②連接CD,根據(jù)力C〃BD,得NCBD=N4CB=60。,即△BCD是等邊三角形,把△ABD旋轉(zhuǎn)得
/.ECD=^ABD=90°,根據(jù)30。角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一般得到嶗=?=;,則可得△40F“△4DB,
/ioADJ
根據(jù)三角形相似的性質(zhì)即可求證結(jié)論.
【詳解】(1)解:過點(diǎn)C作CH1AD于H如圖所示:
"ACll,DBU,CHA.BD,
:.乙CAB=UBD=「CHB=9Q°,
二四邊形是矩形,
:.AC=BH,
又,;BD=2AC,
:.AC=BH=DH,MCH1BD,
△BCD的形狀為等腰三角形,
■.■AC,2。都垂直于/,
.-.AC//BD,
:2OCFBOD,
AOACAC1__cs
'.而=而=而=于即nn。。=240,
.AO_40_A0__1
'''AD~AO+DO-3^40-3f
故答案為:等腰三角形,
(2)①過點(diǎn)£作EFLAO于點(diǎn)”,如圖所示:
AB
圖2
-AC,均是直線/的垂線段,
.-.AC//BD,
???△/0E是等邊三角形,且4E與/C重合,
?44。=60。,
:.Z.ADB=AEAD=60°,
"AD=30°,
在RgAOB中,AD=2BD,AB=WBD,
又?:BD=2AC,AC=
:.AD=6,AB=3-/3,
.?.4H=DH=/D=3,AE=6
在Rt△4EH中,EH=,旃_4H2=yj62_32=3近,
又由(1)知哈=g
.-.AO=^AD=2,貝IJOH=1,
.?.在Rt^EOH中,由勾股定理得:OE=7EH2+OH2=2回
②連接CD,如圖3所示:
圖3
■■AC//BD,
:/CBD=Z.ACB=60°,
?.?由(1)知△BCD是等腰三角形,
.?.△BCD是等邊三角形,
又???△4DE是等邊三角形,
△48。繞點(diǎn)。順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60。后與△ECD重合,
:.Z.ECD=4ABD=90°,
又-"BCD=^ACB=60°,
.-.AACF=乙FCB=乙FBC=30°,
.-.FC=FB=2AF,
AF_AO_1
"~AB~~AD~3f
X^OAF=^DAB,
.??△/OF?△408,
???44/0=Z.ABD=90°,
.,.OF1AB.
【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的判定及性質(zhì)、三角形相似的判定及性質(zhì)、等邊三角形的判定及性質(zhì)、勾股定理
的應(yīng)用,熟練掌握三角形相似的判定及性質(zhì)和勾股定理的應(yīng)用,巧妙借助輔助線是解題的關(guān)鍵.
3.2023?湖北宜昌?中考真題)如圖,已知4(0,2)鳳2,0).點(diǎn)£位于第二象限且在直線丫=-2x±,Z.EOD=90°,
OD=OE,連接AB,DE,AE,DB.
⑴直接判斷aaoB的形狀:△力。8是三角形;
(2)求證:4AOEm4BOD;
(3)直線£/交x軸于點(diǎn)C(t,0),t>2.將經(jīng)過8,C兩點(diǎn)的拋物線yi=a/+6久一4向左平移2個(gè)單位,得到
拋物線及.
①若直線R4與拋物線yi有唯一交點(diǎn),求f的值;
②若拋物線丫2的頂點(diǎn)尸在直線瓦4上,求t的值;
③將拋物線及再向下平移,許I個(gè)單位,得到拋物線若點(diǎn)。在拋物線為上,求點(diǎn)。的坐標(biāo).
【答案】(1)等腰直角三角形
(2)詳見解析
⑶①t=3;②t=6;③。
【分析】(1)由4(0,2),8(2,0)得到。4=。3=2,又由乙4。8=90。,即可得到結(jié)論;
(2)由Z_EOD=90。,4408=90。得至1"40£'=48。。,又有4。=。8,OD=OE,利用SAS即可證明
△AOEmABOD;
(3)①求出直線2C的解析式和拋物線yi的解析式,聯(lián)立得/-(t+3)x+3t=0,由△=(t+3)2-4x3t=
(t—3)2=0即可得到/的值;
②拋物線yi=一%+1(t+2)x-4向左平移2個(gè)單位得到拋物線丫2=—為一與邛+嗜,則拋物線外的
頂點(diǎn)P件,”|E),將頂點(diǎn)P殍,好)代入"1c=-|%+2得到/-6t=0,解得打=0/2=6,根據(jù)t>2即可
得到f的值;
③過點(diǎn)E作EM,x軸,垂足為過點(diǎn)。作DNlx軸,垂足為N,先證明△ODN三△EOM(AAS),貝U
tot
ON=EM,DN=OM,設(shè)EM=2OM=2取由CM||EM得到。C:CM=OA:EM,^\—=而,求得爪=大■,得到。
(gM),由拋物線丫2再向下平移備個(gè)單位,得到拋物線丫3=-評(píng)+為―2)%-熹,把D(gM)代
入拋物線%+缶-2)x-消聲得到3t2-19t+6=0,解得ti=疑2=6,由t>2,得£=6,即可得到點(diǎn)
D的坐標(biāo).
【詳解】(1)證明:???/((),2)同2,0),
:.OA=OB=2,
,:Z-AOB=90°,
.?.△408是等腰直角三角形,
故答案為:等腰直角三角形
(2)如圖,
??2EOD=90。,44。8=90。,
???Z-AOB-Z-AOD=Z.DOE-Z.AOD,
AZ-AOE=乙BOD,
'.,AO=OB,OD=OE,
???△40EwZ\800(SAS);
(3)①設(shè)直線/C的解析式為y=k久+b,
???4(0,2),C(t,0),
(b=2
"tfct+b=0'
2.
???'"=一了+2Q,
將C(t,0),B(2,0)代入拋物線yi=ax2+bx-4得,
fO=at2+bt—4
l0=4a+2b-4'
解得a=—5b=F(t+2),
2
...y1=—|x+|(f+2)x—4,
直線=-|%+2與拋物線%=—評(píng)+|(t+2)x-4有唯一交點(diǎn)
???聯(lián)立解析式組成方程組解得/—(t+3)久+3t=0
:.△=(t+3)2—4x3力=(t-3)2=0
?"=3
②???拋物線yi=—+|(t+2)%—4向左平移2個(gè)單位得到、2,
???拋物線及=一-爭(zhēng)+年泠
將頂點(diǎn)P殍,嗜)代入y4c=—色+2,
2
???t—6t=0,解得〃=0,t2=6,
,:t>2,
???t=6;
.'./.EMO=(OND=90°,
vZ-DOE=90°,
??.乙EOM+乙MEO=乙EOM+乙NOD=90°,
??.4ME。=乙NOD,
?;OD=OE,
AOD/V=AEOM(AAS),
:.ON=EM,DN=OM,
,?,OE的解析式為y=—2x,
???設(shè)EM=2OM=2m,
;.DN=OM=m,
vEM1久軸,
.'.OAWEM,
???△CAO-△CEM,
AOC\CM=OA'.EM,
._t___
"t+m2m?
?,?山=占
.?.EM=ON=2OM=2m=二,DN=OM=m=三,
???哈w),
2
???拋物線,2再向下平移77手個(gè)單位,得到拋物線乃,
?,?拋物線為=一32+|(t-2)久-涓*,
???D(三,M)代入拋物線%=-|%2+|(t_2)x__A_5
???3t2—19t+6=0,
解得ti=*2=6,
由t>2,得t=6,
2t_12_12t_6_6
At^l-6^1--6^1-5J
【點(diǎn)睛】此題是二次函數(shù)和幾何綜合題,考查了二次函數(shù)的平移、二次函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問題、待定
系數(shù)法求函數(shù)解析式、解一元二次方程、全等三角形的判定和性質(zhì)及相似三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn),
綜合性較強(qiáng),熟練掌握二次函數(shù)的平移和數(shù)形結(jié)合是解題的關(guān)鍵.
題型03與三角形有關(guān)的翻折問題
I.(2022?浙江紹興?中考真題)如圖,在AJ8C中,ZJSC=4O°,乙4c8=90。,4E平分乙84c交BC于點(diǎn)、
E.尸是邊3c上的動(dòng)點(diǎn)(不與5,C重合),連結(jié)/P,將A4PC沿/P翻折得A4P。,連結(jié)。C,記
Z-BCD=a,
備用圖
(1)如圖,當(dāng)P與£重合時(shí),求a的度數(shù).
(2)當(dāng)尸與£不重合時(shí),記乙BAD=0,探究a與/的數(shù)量關(guān)系.
【答案】(1)25°
(2)①當(dāng)點(diǎn)尸在線段5E上時(shí),2a—0=50。;②當(dāng)點(diǎn)尸在線段CE上時(shí),2a+/=50。
【分析】(1)由48=40。,乙4cB=90。,得乙B/C=50。,根據(jù)NE平分N84C,P與E重合,可得乙4C。,
從而a=^ACB-^ACD;
(2)分兩種情況:①當(dāng)點(diǎn)尸在線段上時(shí),可得乙4OC="CD=90o-a,根據(jù)A4OC+乙
L.BCD,即可得2(/-夕=50。;②當(dāng)點(diǎn)尸在線段CE上時(shí),延長(zhǎng)40交3c于點(diǎn)尸,由乙4。。=乙4c0=90。-外
Z-ADC=ZAFC+a=AABC+/LBAD+a可得90°-a=40°+a+夕,即2a+P=50。.
【詳解】(1)解:,?23=40。,4c3=90°,
."/C=50°,
與E重合,/£平分必/C,
二。在48邊上,AE1CD,
.-./.ACD=65°,
;.a=UCB—UCD=25°;
(2)①如圖1,當(dāng)點(diǎn)尸在線段BE上時(shí),
圖1
■■■^ADC^^ACD=90°-a,AADC+乙BAD=£B+乙BCD,
.?.90°—a+£=40°+a,
;.2a—£=50°;
②如圖2,當(dāng)點(diǎn)P在線段CE上時(shí),
圖2
延長(zhǎng)/。交2C于點(diǎn)
???zADC=UCZ)=90°—a,ZXDC=2L4FC+a=ZJ5C+z5/Z>+a=40°+a+H,
.?.90°—a=40°+a+£,
.■-2a+^=50o.
【點(diǎn)睛】本題考查三角形綜合應(yīng)用,涉及軸對(duì)稱變換,三角形外角等于不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和的應(yīng)用,解
題的關(guān)鍵是掌握軸對(duì)稱的性質(zhì),能熟練運(yùn)用三角形外角的性質(zhì).
2.(2023?寧夏?中考真題)綜合與實(shí)踐
問題背景
數(shù)學(xué)小組發(fā)現(xiàn)國(guó)旗上五角星的五個(gè)角都是頂角為36。的等腰三角形,對(duì)此三角形產(chǎn)生了極大興趣并展開探究.
探究發(fā)現(xiàn)
如圖1,在△4BC中,Z4=36°,AB=AC.
(1)操作發(fā)現(xiàn):將△ABC折疊,使邊BC落在邊B力上,點(diǎn)C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)是點(diǎn)E,折痕交力C于點(diǎn)D,連接DE,
DB,則NBDE=°,設(shè)4c=1,BC=x,那么ZE=(用含%的式子表示);
(2)進(jìn)一步探究發(fā)現(xiàn):髓=年,這個(gè)比值被稱為黃金比.在(1)的條件下試證明:髓=年;
月安HLZ牘HLZ
拓展應(yīng)用:
當(dāng)?shù)妊切蔚牡着c腰的比等于黃金比時(shí),這個(gè)三角形叫黃金三角形.例如,圖1中的△力BC是黃金三角
形.如圖2,在菱形A8CD中,^BAD=72°,AB=1.求這個(gè)菱形較長(zhǎng)對(duì)角線的長(zhǎng).
圖2
【答案】(1)72°,l-x(2)證明見解析,拓展應(yīng)用:等
【分析】(1)利用等邊對(duì)等角求出N4BC/4CB的長(zhǎng),翻折得至I]乙4BD=NCBD=、4BC,
==利用三角形內(nèi)角和定理求出,/.BDC,AEAB-BEAB-BC,表示出4E即可;
(2)證明△BDC”△力BC,利用相似比進(jìn)行求解即可得出慧=早;
拓展應(yīng)用:連接2C,延長(zhǎng)4D至點(diǎn)E,使4E=AC,連接CE,得到△4CE為黃金三角形,進(jìn)而得到案=與1
求出力C的長(zhǎng)即可.
【詳解】解:(1)?-24=36。,AB=AC,
■.^ABC="=1(180°-36°)=72°,
?.?將△ABC折疊,使邊BC落在邊B4上,
.-.Z.ABD=乙CBD=l^ABC=36°,4BDC=/.BDE.BC=BE=x,
:/BDC=Z.BDE=180°-4CBD一4C=72°,AEAB-BEAB-BC1-X;
故答案為:72°,l-x;
(2)證明:"DC=72°=",
??.BD=BC=%,
vz.i4=Z-CBD=36°,乙。=Z.C,
???△BDCFABC,
BC_CD
''~AC~~BC,
-Z.ABD=乙CBD=^A=36°,
.,.AD=BD=BC=x,
??.CD=1—x,
X_lr
?,?T—,
1x
整理,得:x2+x-l=0,
解得:%=^i(負(fù)值已舍掉);
經(jīng)檢驗(yàn)》=等是原分式方程的解.
底BC_g1
,,腰4c廠;
拓展應(yīng)用:
如圖,連接ac,延長(zhǎng)4。至點(diǎn)E,使4E=4C,連接CE,
E
?.?在菱形ABC。中,NBA。=72。,AB=1,
:.^CAD=AACD=36°,CD=AD=1,
;/EDC=Z.DAC+^ACD=72°,^ACE=^AEC=|(180°-ADAQ=72°,
;/EDC=乙AEC,
.?.CE=CD=1,
???△/CE為黃金三角形,
.CE_V5-1
"AC~f
.?.4:=高=亨.即菱形的較長(zhǎng)的對(duì)角線的長(zhǎng)為空.
V5-122
【點(diǎn)睛】本題考查等腰三角形的判定和性質(zhì),菱形的性質(zhì),相似三角形的判定和性質(zhì).解題的關(guān)鍵是理解
并掌握黃金三角形的定義,利用相似三角形的判定和性質(zhì),得到黃金三角形的底邊與腰長(zhǎng)的比為與.
3.(2023?遼寧大連?中考真題)綜合與實(shí)踐
問題情境:數(shù)學(xué)活動(dòng)課上,王老師給同學(xué)們每人發(fā)了一張等腰三角形紙片探究折疊的性質(zhì).
已知力B=4C,N4>90。,點(diǎn)E為4c上一動(dòng)點(diǎn),將△4BE以BE為對(duì)稱軸翻折.同學(xué)們經(jīng)過思考后進(jìn)行如下探
究:
獨(dú)立思考:小明:“當(dāng)點(diǎn)。落在BC上時(shí),NEDC=2乙4CB.”
小紅:“若點(diǎn)E為2C中點(diǎn),給出AC與DC的長(zhǎng),就可求出BE的長(zhǎng).”
實(shí)踐探究:奮進(jìn)小組的同學(xué)們經(jīng)過探究后提出問題1,請(qǐng)你回答:
問題1:在等腰△ABC中,48=4&乙4>90。,43。石由4485翻折得到.
(1)如圖1,當(dāng)點(diǎn)。落在8C上時(shí),求證:NEDC=2N&CB;
(2)如圖2,若點(diǎn)E為力C中點(diǎn),AC=4,CD=3,求BE的長(zhǎng).
問題解決:小明經(jīng)過探究發(fā)現(xiàn):若將問題1中的等腰三角形換成乙4<90。的等腰三角形,可以將問題進(jìn)一
步拓展.
問題2:如圖3,在等腰中,Z/1<90°fAB=AC=BD=4,2zD=^ABD.若CD=1,則求BC的長(zhǎng).
【答案】(1)見解析;(2)土咨;問題2:8C=V1U
【分析】(1)根據(jù)等邊對(duì)等角可得乙48C=NC,根據(jù)折疊以及三角形內(nèi)角和定理,可得N8DE=N力
=180?!?“,根據(jù)鄰補(bǔ)角互補(bǔ)可得4EDC+NBDE=180。,即可得證;
(2)連接4。,交BE于點(diǎn)、F,貝怩F是△4DC的中位線,勾股定理求得根據(jù)BE=BF+EF即可求解;
問題2:連接4。,過點(diǎn)B作于點(diǎn)M,過點(diǎn)C作CG,8M于點(diǎn)G,根據(jù)已知條件可得則四邊形
CGMD是矩形,勾股定理求得2D,根據(jù)三線合一得出MQCG,根據(jù)勾股定理求得BC的長(zhǎng),即可求解.
【詳解】(1)???等腰中,/8=/&乙4>90。,48?!暧?48£1翻折得至1」
:./.ABC=ZC,4BDE=4A=180°-2ZC,
???4EDC+NBOE=180。,
.,.Z.EDC=2/.ACB;
(2)如圖所示,連接力D,交BE于點(diǎn)尸,
圖2
折疊,
.-.EA=ED,AF=FD,AE=^AC=2,ADIBE,
???E是AC的中點(diǎn),
:.EA=EC,
??封=豺=1,
在RtaaEF中,7F=7AE2_EF2=P_(1)2=亨,
在Rt△4BF中,BF=7AB2—旃=J42_=浮,
.-.BE=BF+EF=亞魚;
2
問題2:如圖所示,連接4。,過點(diǎn)8作BM,40于點(diǎn)M,過點(diǎn)C作CG1BM于點(diǎn)G,
圖3
,:AB—BD,
1
.-.AM=MD,£.ABM=乙DBM=-Z.ABD,
?;2乙BDC=乙ABD,
:.乙BDC=Z-DBM,
.'.BMWCD,
.-.CDLAD,
又CG1BM,
四邊形CGMD是矩形,
貝|JCD=GM,
在Rt△力CD中,CD=LAD=4,AD=>JAC2-CD2=V42-I2=V15,
.-.AM=MD=^-,CG=MD=叵
22
在Rtz\BDM中,BM=VBZ)2-DM2=J42-(^p)=|,
75
;.BG=BM—GM=BM—CD=《T=:,
在RtZkBCG中,BC=、BG2+g=J?+殍J=祗
【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì),折疊的性質(zhì),勾股定理,矩形的性質(zhì)與判定,熟練掌握以上知識(shí)
是解題的關(guān)鍵.
題型04與三角形有關(guān)的旋轉(zhuǎn)問題
1.(2023?遼寧丹東?中考真題)在△ABC中,^BAC=90°,乙4BC=30。,4B=6,點(diǎn)。是BC的中點(diǎn).四
邊形DEFG是菱形CD,E,F,G按逆時(shí)針順序排列),N£DG=60。,且。E=2,菱形DEFG可以繞點(diǎn)。旋
轉(zhuǎn),連接4G和CE,設(shè)直線4G和直線CE所夾的銳角為a.
DECB
(1)在菱形DEFG繞點(diǎn)。旋轉(zhuǎn)的過程中,當(dāng)點(diǎn)E在線段DC上時(shí),如圖①,請(qǐng)直接寫出4G與CE的數(shù)量關(guān)系及a
的值;
(2)當(dāng)菱形DEFG繞點(diǎn)。旋轉(zhuǎn)到如圖②所示的位置時(shí),(1)中的結(jié)論是否成立?若成立,請(qǐng)寫出證明過程;
若不成立,請(qǐng)說明理由;
(3)設(shè)直線4G與直線CE的交點(diǎn)為P,在菱形DEFG繞點(diǎn)。旋轉(zhuǎn)一周的過程中,當(dāng)EF所在的直線經(jīng)過點(diǎn)B時(shí),
請(qǐng)直接寫出△4PC的面積.
【答案】(1)4G=CE,a=60°;
(2)(1)中結(jié)論成立,證明見解析;
或
【分析】
(1)根據(jù)2G=aD—GD=2g—2,CE=CD-DE=2V3-2=AG,即可得出答案;
(2)證明△4DG三△CDE(SAS),即可求解;
(3)證明△BDE、△DGC均為等邊三角形,證明/、M、P、G共線,由(1)、(2)知,
NMPC=Z71DM=60°,則PM=1^=1,在等邊三角形4CD中,AC=2近,貝iMM=4Qsin60。=3,則
AP=AM+MP=3+1=4,進(jìn)而求解;當(dāng)B、尸重合時(shí),也符合題意,由(1)、(2)知,
APA.2
/.MPA=/.ADC=60°,根據(jù)tanZTlCE=左==石,在△4PC中,用解直角三角形的方法即可求解.
【詳解】(1)
解:AG=CE,a=60°,理由如下:
在△4BC中,N84C=90°,/.ABC=30°,AB=6,
則AC=力Btan30°=2通,BC=2AC=4四,
???點(diǎn)。是的中點(diǎn),
BD=CD=AD=2V3,
則4G=2D—GD=2V^—2,CE=CD-DE=2^-2,
:.CE=AG,
???△4DC為等邊三角形,
???^.ADC=60°=a;
(2)解:(1)的結(jié)論成立,理由:
證明:延長(zhǎng)4G交CD于點(diǎn)7,交CE于點(diǎn)N,
?-?Z.ADG+/.GDC=60°=4GDC+乙CDE,
???Z.ADG=Z-CDE,
???AD=CD,GD=ED,
???△/OGwZ\COE(SAS),
AG=CEf乙DCE=^DAN,
???4ATD=Z.CTN,
??.Z.ANC=Z.ADC=60°,
???a=60°;
(3)解:當(dāng)B、E、尸共線時(shí),如下圖,連接ZD,
A
根據(jù)圖形的對(duì)稱性,當(dāng)2、E、尸共線時(shí),且點(diǎn)。是BC的中點(diǎn),
則尸、G、C共線,分別過點(diǎn)G、£作BC的垂線,垂足分別為"M,GM交CE于點(diǎn)尸,
???NEDG=60",
則NBDE=Z.CDG=60°,
貝壯乙EBH=Z.HDE=Z.MCG=60°,
即△8DE,aOGC均為等邊三角形,
BH=HD=DM=CM=:BC=V3,
由(1)知△4DC為等邊三角形,
則4MJ.CD,則/、M,P、G共線,
由(1)、(2)知,^MPC=^ADM=60°,
則加=蒜=1,
在等邊三角形4co中,AC=2V3,
則aM=4C-sin60°=3,
AP=AM+MP=3+1=4,
SAAPC=|xCM-71P=|X4XV3=2V3;
當(dāng)B、尸重合時(shí),也符合題意,如下圖:
在RtzXABC中,AC=2^3,AE=AB-BE=6-2=4,
AE42
???tanZ-ACE=—=-~p,
AC2VF3=V3
由(1)、(2)可知,NMP4=Z71£)C=60",
???tan60°=1^=V3,
設(shè)2M=V^x,貝iJPM=x,
AMV3x3
:.CM=----------==-%,
tan-CE行2
???AC2=AM2+CM2,
即12=3/+2
4
4
解得:%=厲,
S^APC=|xAM.PC=gxV3xx(%+1%)=
綜上,△ape的面積為:竿或2VJ.
【點(diǎn)睛】本題為四邊形綜合題,涉及到三角形全等、解直角三角形、面積的計(jì)算、勾股定理的運(yùn)用,題目
難度很大,分類求解是本題解題的關(guān)鍵.
2.(2023?湖南益陽?中考真題)如圖,在Rt^ABC中,乙4cB=90。,AC>BC,點(diǎn)。在邊AC上,將線段
繞點(diǎn)。按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90。得到D4,線段D4交力B于點(diǎn)E,作4F14B于點(diǎn)尸,與線段4C交于點(diǎn)G,連接
FC,GB.
A
(1)求證:△ADE三△4DG;
(2)求證:AF-GB=AG-FC;
(3)若4C=8,tan4=當(dāng)4G平分四邊形DCBE的面積時(shí),求4。的長(zhǎng).
【答案】(1)見解析
(2)見解析
(3噌
【分析】(1)根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得£M=D4,乙4D4=4GD4=90。,再根據(jù)AF1AB,可得乙4=44,即
可;
(2)根據(jù)NBFG=乙ACB=90°,可得點(diǎn)3,C,G,尸四點(diǎn)共圓,從而得到NCBG=Z.CFG,AABC+乙CGF=180°,
從而得至IjNAGF=N4BC,進(jìn)而得至!]N4CF=N4BG,可證明△ABG”△4CF,即可;
(3)連接EG,根據(jù)4c=8,tanA=可得8c=4,4。=4。=2DE,A'F=2EF,AB=4V5,設(shè)
DE=DG=x,則4。=2D=2x可得ZE=4G=代%,A'E=x,CG=8-3x,EF=^x,A'F=^-x,FG=
,
今務(wù),BF=4V5—再由4G平分四邊形DCBE的面積,可得S/^DEG+S/^FEG=S^BFG+S^BCG,從而得
到關(guān)于x的方程,即可求解.
【詳解】(1)證明:???線段繞點(diǎn)。按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90。得到。4,
.'.DA=04,乙404=^LGDA'=90°,
:.Z-A+Z-AED=90°,
-A'FIAB,即乙4'FE=90。,
+/AEF=90。,
-:Z-AED=Z.AEF,
.??44=
在△40E和△AOG中,
???NZ=DA=DA'.Z-ADA'=^LGDA'=90°,
.'.AADE=AArDG;
(2)證明:^^.BFG=Z.ACB=90°,
.,點(diǎn)B,C,G,產(chǎn)四點(diǎn)共圓,
工乙CBG=^CFG,AABC+Z.CGF=180°,
vZi4GF+zCGF=180°,
:.Z-AGF=乙ABC,
-Z.AGF=乙CFG+AACF^ABC=^ABG+乙CBG,
:.Z-ACF=Z-ABG,
?:Z-A=Z.A,
???△ABG-AACF,
AG_BG
:,~AF~~CFf
即ZF?GB=4G?FC;
(3)解:如圖,連接EG,
vAADE=AA'DG,
:.DE=DG,AE=A'G,
':AC=8,tan?l=1,
aBCDE1…EF1
而=,
??.tan4=^=5tan”=—29
:.BC=^fA'D=AD=2DE,A'F=2EF,
:-AB=4V5,
設(shè)DE=DG=K,則40=40=2%,
.t.AE=A'G=V5x,A'E=x,CG=8—3x,
.-.EF=爭(zhēng),4/=等x,
;.FG=哈,BF=4再一等%,
??,4G平分四邊形。C8E的面積,
:*s4DEG+S&FEG=^ABFG+S&BCG,
.-.^DEXDG+^EFxFG=^BCXCG+,BFXFG,
即I?久2+gx等x竽尤=[x4(8—3x)+14西一等x)X竽X,
解得:%=喑(負(fù)值舍去),
:.AD=2x=逅.
13
【點(diǎn)睛】本題主要考查了全等三角形的判定和性質(zhì),相似三角形的判定和性質(zhì),解直角三角形,勾股定理
等知識(shí),熟練掌握全等三角形的判定和性質(zhì),相似三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.
3.(2022?山西?中考真題)綜合與實(shí)踐
問題情境:在MA48C中,4B4c=90°,48=6,AC=8.直角三角板EOF中立£。尸=90。,將三角板的直角頂
點(diǎn)。放在放A48C斜邊8c的中點(diǎn)處,并將三角板繞點(diǎn)。旋轉(zhuǎn),三角板的兩邊。尸分別與邊N8,AC
交于點(diǎn)M,N,猜想證明:
(1)如圖①,在三角板旋轉(zhuǎn)過程中,當(dāng)點(diǎn)M為邊48的中點(diǎn)時(shí),試判斷四邊形/MW的形狀,并說明理
由;
問題解決:
(2)如圖②,在三角板旋轉(zhuǎn)過程中,當(dāng)NB=NMDB時(shí),求線段CN的長(zhǎng);
(3)如圖③,在三角板旋轉(zhuǎn)過程中,當(dāng)時(shí),直接寫出線段NN的長(zhǎng).
【答案】⑴四邊形/MW為矩形;理由見解析;⑵CN=票(3)AN=^-.
【分析】(1)由三角形中位線定理得到MDII4C,ffi^A=^AMD=AMDN=90°,即可證明結(jié)論;
(2)證明aNDC是等腰三角形,過點(diǎn)"作旅?!"?于點(diǎn)G,證明△CGNsaC/8,利用相似三角形的性質(zhì)
即可求解;
(3)延長(zhǎng)ND,使DH=DN,證明△8。8三△CZW,推出5/7=CN,3BH="J,證明rMBH=90。,設(shè)
AM=AN=x,在必△切儂中,利用勾股定理列方程,解方程即可求解.
【詳解】解:(1)四邊形為矩形.
理由如下:?.?點(diǎn)河為45的中點(diǎn),點(diǎn)。為5c的中點(diǎn),
.-.MDWAC,
山Affl+"=180。,
?4=90。,
-./.AMD=90°,
“EDF=90°,
山=乙4MD=
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