2025年新高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)壓軸題講義：函數(shù)與導(dǎo)數(shù)下的新定義（七大題型）

專題02函數(shù)與導(dǎo)數(shù)下的新定義

【題型歸納目錄】

題型一：曲率與曲率半徑問(wèn)題

題型二：曼哈頓距離與折線距離

題型三：雙曲正余弦函數(shù)問(wèn)題

題型四：凹凸函數(shù)

題型五：二元函數(shù)問(wèn)題

題型六：切線函數(shù)新定義

題型七：非典型新定義函數(shù)

【方法技巧與總結(jié)】

1、函數(shù)與導(dǎo)數(shù)新定義問(wèn)題主要分兩類：一是概念新定義型，主要是以函數(shù)新概念為背景，通?？疾榭?/p>

生對(duì)函數(shù)新概念的理解，涉及函數(shù)的三要素的理解；二是性質(zhì)新定義型，主要是以函數(shù)新性質(zhì)為背景，重

點(diǎn)考查考生靈活應(yīng)用函數(shù)性質(zhì)的能力，涉及函數(shù)的各種相關(guān)性質(zhì)的拓展延伸.

2、設(shè)？(國(guó),必),°(工2，>2)為平面上兩點(diǎn)，貝!1定義民一國(guó)|+民一%|為''折線距離”“直角距離”或“曼哈

頓距離”,記作d(P,Q)=\x2-xj+\y2-y-\-

結(jié)論1：設(shè)點(diǎn)為直線/：Zx+3v+C=0外一定點(diǎn)，。為直線/上的動(dòng)點(diǎn)，則

+為0+。|

max{|^|,|J8|)

結(jié)論2：設(shè)點(diǎn)尸為直線Zx+3v+G=0上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)。為直線ZX+BV+C2=0上的動(dòng)點(diǎn)，則

IG-Gl

”(P,O)min=

max{|^|,|5|)

【典型例題】

題型一：曲率與曲率半徑問(wèn)題

【典例1-1】(2024?高三?重慶?階段練習(xí))定義：若”(x)是〃(x)的導(dǎo)數(shù)，〃'(x)是//(x)的導(dǎo)數(shù)，則曲線y=〃(x)

K=—刈—(兀、(O

在點(diǎn)(x,/z(x))處的曲率,；已知函數(shù)/(x)=e，sm|彳+x|,g(x)=x+(2a-l)cosx,a<-,

[l+["(x)]一『<2)I2)

曲線y=g(x)在點(diǎn)(0,g(0))處的曲率為Y2；

4

⑴求實(shí)數(shù)a的值；

JT

(2)對(duì)任意尤e-~,0，叮(x)Ng'(x)恒成立，求實(shí)數(shù)他的取值范圍;

[冗jr

(3)設(shè)方程f{x)=g'(x)在區(qū)間[2〃兀+§,2〃兀+萬(wàn)"?河^內(nèi)的根為玉,馬,…,％,,…比較%+1與％,+2兀的大小,

并證明.

【解析】(1)由已知g'(x)=-(2a-1)sinx+1,g"(x)=-(2a-1)cosJC,

12aM6

所以,、2—4，解得。=0(a=1舍去)，

(1+4

所以a=0；

(2)由(1)得g(x)=x—cosx,/(x)=exsin^+x^=ercosx,

則g'(x)=l+sinx,

對(duì)任意的-pO,mf(x)-gr(x)>0,即mexcosx-sinx-l20恒成立,

qr

令■*=一一，貝I|加?0+1-1=020,不等式恒成立，

2

當(dāng)xe(-士時(shí)，cosx>0,原不等式化為機(jī)2半小，

ecosx

令Mx)=生”

(cosx)excosx-ex(cosx-sinx)(sinx+1)

ecosx

1-sinxcosx-cosx+sinx_(l-cosx)(l+sinx)

excos2xexcos2x

所以g)在區(qū)間卜別單調(diào)遞增，所以3)」(。)=1,

所以“7W7,

綜上所述，實(shí)數(shù)m的取值范圍為［1,+⑹；

(3)%+1>當(dāng)+2兀，證明如下：

由己知方程/可化為/cos%-sinx-1=0,

令夕(x)=e，cosx—sinx-l,貝U"(x)=e，(cosx-sinx)—cosx,

(兀兀、

因?yàn)楣ぁ辏?師+］,2加+—I,所以cosx<sinx,cosx>0,

所以”(x)<0,所以夕⑴在區(qū)間(2〃兀+：2〃兀+［卜￡武)上單調(diào)遞減,

271

故夕［2〃兀+工］=/〃無(wú)+§cos］2孤+工］-sin［2m2_J_e^34

>1/嗚V3.^11C

>—eJ---------1>z3+x-------------1>(J,

2222

*(2〃兀+———2<0,

IJTJT\

所以存在唯一X。e[2m+§,2ra1+5J,使得夕(%)=0,

(兀兀、(兀71|

3^,XnGI2〃兀+~,2HJI+—I,%”+i—27i￡12+§，2孤+萬(wàn)J，

XM2K

貝！19(X"M-27t)=Q~COS(X?+1-2兀)-sin(x,+i-2兀)一1

=e*"~2ecos4+1_sinxn+1-1

x2e

=e?+i_cosxn+1-e'"cosxn+i

=(e*"L2"-e*+')cos%+]<0=e(x“)

由e(無(wú))單調(diào)遞減可得x“+「2兀>x.，

所以x“+i>X?+2TI.

【典例1-2】(2024?浙江溫州?二模)如圖，對(duì)于曲線「，存在圓C滿足如下條件:

①圓c與曲線r有公共點(diǎn)A,且圓心在曲線「凹的一側(cè)；

②圓C與曲線「在點(diǎn)A處有相同的切線；

③曲線「的導(dǎo)函數(shù)在點(diǎn)A處的導(dǎo)數(shù)(即曲線r的二階導(dǎo)數(shù))等于圓c在點(diǎn)A處的二階導(dǎo)數(shù)(已知圓

戶

(x-a)2+5-6『=產(chǎn)在點(diǎn)/(%,%)處的二階導(dǎo)數(shù)等于7；_

(6-%)

則稱圓C為曲線「在A點(diǎn)處的曲率圓，其半徑，稱為曲率半徑.

(1)求拋物線>=/在原點(diǎn)的曲率圓的方程；

(2)求曲線y=:的曲率半徑的最小值；

⑶若曲線〉=e，在國(guó)9)和(積/)"產(chǎn)9)處有相同的曲率半徑，求證：Xj+x2<-ln2.

【解析】(1)

記=設(shè)拋物線y=/在原點(diǎn)的曲率圓的方程為V+(y一可=氏其中b為曲率半徑.

故2=心島J2=。即6=；,

所以拋物線＞=/在原點(diǎn)的曲率圓的方程為/+,一￡|=1；

(2)設(shè)曲線y=/(x)在(xo，%)的曲率半徑為r.則

故曲線y=:在點(diǎn)(%,%)處的曲率半徑

2_2

所以產(chǎn)則戶=2一§

3

3

\—]

2

x2+X>V2>當(dāng)且僅當(dāng)x：=F，即焉=1時(shí)取等號(hào),

(XoJX°

故r2五,曲線y=g在點(diǎn)（1,1）處的曲率半徑一血.

23

所以2

尸

%一0=r-

2_2<]、

所以戶=2下xl+—,解方程可得「=]_

kxo72

1<1Y1

則戶=4x；+3>2,當(dāng)且僅當(dāng)"=F,即焉=1時(shí)取等號(hào),

41x0Jx。

故r2無(wú)，曲線y=g在點(diǎn)（1,1）處的曲率半徑r=VL

3

（3）法一：函數(shù)y=的圖象在（x,e，）處的曲率半徑「=（六+》,

所以片一%即（「4&+%）=亍，故區(qū)&+幻=1.

因?yàn)檎迹?,所以。力，2，

____3

所以1=（'1+/2）〉’也.2dtit2=2（小2）'=2e"2,

所以再+%<-ln2.

3

法二：函數(shù)y=e，的圖象在（x,e'）處的曲率半徑~（小+1）2,

ex

4x2x

有/=1=e+3e+3+十，

e2x

0101

令:=?2"1出=?2*2,則有％+3%+3+—=Z2+3q+3+—,

hh

貝|J&_%2）卜i+q+3-|=0,故G+q+3—J=0,

\k2J32

因?yàn)橛馱%，所以％W%2，

所以有°=G+/2+3-；>即涯+3—^-,

令1=麻，貝112/+3-5<0,即0>2「+3/-1=(/+1)2(2/-1),

故/〈；，所以e"*=廂=/<；,即再+%<-ln2；

3

法三：函數(shù)尸弁的圖象在(無(wú)e)處的曲率半徑…(j+iy.

ex

故)

42/I4r\2r\2

設(shè)g(x)=e鏟+e鏟，則g，(x)=#一家鏟4尸(2eJ),

所以當(dāng)xe1-8,ln2J時(shí)g〈x)<0,當(dāng)xe^-1ln2,-HX>J時(shí)g'(x)>0,

所以g(x)在1-8,-；ln2)上單調(diào)遞減，在1-；ln2,y)上單調(diào)遞增，

故有玉<一；ln2<%2，

所以再,一ln2./￡(—ln2),

_

要證再+/<ln2,即證再<-In2-x2,

即證8(工2)=8(再)〉8(-加2—％2)將再+工2<-1口2,

下證：當(dāng)工￡1—；ln2,+e)時(shí)，有g(shù)(x)>g(—ln2—x),

設(shè)函數(shù)G(x)=g(x)-g(-ln2-x)(其中x>-；ln2),

則G(x)=g[x)+g[—In2_x)=4(2e2「l)e鏟—2飛.e一鏟〉0,

3I,

故G(x)單調(diào)遞增，G(x)>G^-1ln2^|=0,

故8(2)>8(-卜2-馬)，所以西+%<-山2.

3

法四：函數(shù)廣弁的圖象在(x,e]處的曲率半徑…6'+1)2,

ex

后(e2x+lf

有/=1_—L=+3e2x+3+e-2x'

e2x

設(shè)力(x)=e4x+3e2x+3+e~2x,

則有/(x)=4e4x+6e2x-=2e-2x[e2x+1)2(2e2x-l),

所以當(dāng)x￡g山2小寸/(x)<0,當(dāng)x￡；ln2,+“1時(shí)/(x)>0,

故〃(x)在卜e,-；ln2]上單調(diào)遞減，在1；ln2,+j上單調(diào)遞增.

—

故有再〈—ln2<x2,

所以再,一ln2./￡(—加21，

要證石+%2<一E2,即證再<-ln2-x2,

即證〃(％2)=〃(石)>〃(—1”2—％2).將西+馬<一1口2,

下證：當(dāng)x￡(—gln2,+e]時(shí)，有〃(x)>/z(—ln2—x),

設(shè)函數(shù)〃(工)=〃(%)一力(一1112-工)(其中x>-gln2),

則/r(x)="(x)+/(—ln2—x)=⑹―]“1+/-2“"4:0,

故“(X)單調(diào)遞增，故gln2]=0,

^/z(x2)>/z(-ln2-x2),所以占+/<-1112.

【變式1-1](2024?高三?浙江寧波?期末)在幾何學(xué)常常需要考慮曲線的彎曲程度，為此我們需要刻畫(huà)曲線的

彎曲程度.考察如圖所示的光滑曲線C：V=/(x)上的曲線段方，其弧長(zhǎng)為As,當(dāng)動(dòng)點(diǎn)從N沿曲線段前

運(yùn)動(dòng)到B點(diǎn)時(shí)，A點(diǎn)的切線。也隨著轉(zhuǎn)動(dòng)到B點(diǎn)的切線力,記這兩條切線之間的夾角為八。(它等于"的傾

斜角與//的傾斜角之差).顯然，當(dāng)弧長(zhǎng)固定時(shí)，夾角越大，曲線的彎曲程度就越大；當(dāng)夾角固定時(shí)，弧長(zhǎng)

越小則彎曲程度越大，因此可以定義K==為曲線段熊的平均曲率；顯然當(dāng)3越接近/,即As越小，K

△s

就越能精確刻畫(huà)曲線C在點(diǎn)/處的彎曲程度，因此定義心=：三(若極限存在)為曲線C在點(diǎn)

(1+什

/處的曲率.(其中V，分別表示了=/(x)在點(diǎn)/處的1階、二階導(dǎo)數(shù))

(1)求單位圓上圓心角為60。的圓弧的平均曲率；

(2)求橢圓;+/=1在］6,；］處的曲率；

⑶定義。(田=；-F為曲線y=/(x)的“柯西曲率”.已知在曲線〃x)=xln尤-2x上存在兩點(diǎn)尸(尤?,/(玉))

(1+刈

和0(刈/伉))，且P,Q處的“柯西曲率”相同，求#西+強(qiáng)的取值范圍.

71

【解析】⑴%=t=2=1.

1----j___3

「匕一2_16/

故兒兒廠-2,故(㈢149

12V2Ij/'l2^22-^2甘i+t3廠

(3)/(x)-lnx1,f(x)=,故/(#=/11=［lnx)「(3slns)3’其中、二五，

x(i+y)%

令。=而,.=強(qiáng),則4In%jin%則ln%=_Uj其中＞1(不妨LM)

令Mx)=xlnx,//(x)=l+lnxn。(、)在(0,「遞減,在g,+ej遞增，故1＞馬＞0；

令〃⑴=In&+幻=皿￡+1)一^^,

(I)Lt+}Jt+\

則加(。=9二，當(dāng)"1時(shí)，刃'⑴>0恒成立，故皿。在(L+⑹上單調(diào)遞增，

可得以。)>加⑴=0,即Mt>0,

t+\

故有l(wèi)(f)=-Int-———>0,

”1)2[Z+lJ

則3)在(1,+8)遞增，

又〃⑺=ln2-l,工嗎〃⑺=0,故Ing+^2)e(ln2-l,0),

故=4+，2.

【變式1-2](2024?高三?遼寧?期中)用數(shù)學(xué)的眼光看世界就能發(fā)現(xiàn)很多數(shù)學(xué)之“美”.現(xiàn)代建筑講究線條感，

曲線之美讓人稱奇.衡量曲線彎曲程度的重要指標(biāo)是曲率，曲線的曲率定義如下：若/'(X)是/(x)的導(dǎo)函

數(shù)，/"(X)是廣(尤)的導(dǎo)函數(shù)，則曲線了=/(無(wú))在點(diǎn)(xj(x))處的曲率,<一廣q

[1+U"

⑴求曲線/'(x)=lnx+x在(1,1)處的曲率&的平方

(2)求余弦曲線行(x)=cosx(xeR)曲率K?的最大值;

【解析】⑴因?yàn)椤▁)=lnx+x,則尸(x)=：+l,尸（X）T，

，，|/"(1)|11

所以+（1+矯5”

故囪）="=/

157

（2）因?yàn)椤ǎ╔）=COSX（XER）,貝!J/（X）=-sinx,V（x）=-cosx,

:乂（X）卜cosx|

所以A2一3-3

卜+W（明?。╨+smR3'

22

2cosXCOSX

則K[=7.22=7rrr,

（1+sm2xj（2-cos2xj

令%=2-COS2X，則/K；=2」,

設(shè)°（。=丁，則P'0=--------9一

顯然當(dāng)fe[1,2]時(shí)，〃⑺<0,p⑺單調(diào)遞減，

所以P?）nIax=。⑴=1，則K；最大值為1,

所以&的最大值為1.

題型二：曼哈頓距離與折線距離

【典例2-1]（2024?甘肅蘭州?一模淀義：如果在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)/,3的坐標(biāo)分別為（4匕），（%%），

那么稱或48）=忖-々|+|必-力為4,8兩點(diǎn)間的曼哈頓距離.

⑴已知點(diǎn)乂，生分別在直線x-2y=0,2x-y=0上，點(diǎn)M（0,2）與點(diǎn)V，生的曼哈頓距離分別為必監(jiān)乂）,

d（M,Nj,求d（M,NJ和d（監(jiān)生）的最小值；

（2）已知點(diǎn)N是直線x+//+24+1=0化>0）上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)M（0,2）與點(diǎn)N的曼哈頓距離d（M,N）的最小值記

為f（k）,求〃左）的最大值；

（3）已知點(diǎn)M（e*,依），點(diǎn)N（嘰〃）（左，m,“eR,e是自然對(duì)數(shù)的底），當(dāng)上41時(shí)，d（M,N）的最大值為了（如〃），

求/（%"）的最小值.

3

—x+2,x<0

2

【解析】（）（）；

ldMN=H+|y—2|=|J+X—2=<—x+2,04x</,

—x-2,x>4

2

則d（M,Nj>2,即d（M,Nj的最小值為2；

2-3x,x<0

d=|x|+|y-2|=|x|+|2x-2|=<2-x,0<x<1,

3x-2,x>1

則4（四,生經(jīng)1,即3（〃,生）的最小值為1.

（2）當(dāng)人221時(shí)，d（M,N）=\x\+\y-2\f

點(diǎn)（xj）為直線x+左2V+2左+1=0（左〉0）上一動(dòng)點(diǎn)，

則當(dāng)m時(shí)+科14+卜

,71

即/的=工+記+2

71I

當(dāng)公<1時(shí)，d(Af,2V)=|x|+-jr-^+—+>|c|+|c+2左+1+2左2^2+2k+\|,

即/（左）=|2左2+2上+1|；

21-,,

-+—+2,^>1

2”+245,

所以/優(yōu)）二kk，又當(dāng)左21時(shí),

\lk2+lk+］\,O<k<\

當(dāng)0〈左<1時(shí)，］2左2+2k+1|<5,

所以/(6的最大值為5.

(3)令％=e3貝U左e'=xlnx，0<x<e,

Q(MN)=w-研+k苫-?|=max1|x+xlnx-zn-H|,|x-xlnx-zw+w|j,

☆g(x)=x+xlnx,O〈％We,則g'(x)=2+lnx>0在區(qū)間(e'e］內(nèi)成立,

則g(x)在區(qū)間(e-2,e］內(nèi)單調(diào)遞增，則-，=g(e-2)<g(x)<g(e)=2e,

令〃(x)=x-xlnx,0<xWe,貝lj=_Inx<0在區(qū)間(l,e］內(nèi)成立，

則力（尤）在區(qū)間（Le］內(nèi)單調(diào)遞減,則O=〃（e）4Mx）Wg（l）=l,

1

所以/(冽,〃)=max-y-m-n,\2e-m-n\,\-m+n\|,|1-m+A?|

e

1

所以/（加,"）2

2c7,

當(dāng)加+〃=e——］■且一一—L時(shí)，取最小值，

2e22e22

/（加M的最小值e+，y

2e

【典例2-2］（2024?高三?廣西防城港?階段練習(xí)）若設(shè)M（a,〃）=|"-1|+麻-2|+…+辰-〃|為曼哈頓擴(kuò)張距離,

它由〃個(gè)絕對(duì)值之和組成，其中〃為正整數(shù).如：Af（2,6）=|2x-l|+|2x-2|+|2x-3|+|2x-4|+|2x-5|+|2x^6|

⑴若M（1,2）V5,求x的取值范圍；

（2）若M（3,2）2機(jī)對(duì)一切實(shí)數(shù)x恒成立，設(shè)。>0,b>0,且/+62=加+1,求2a+6的最大值.

【解析】（1）依題意，M（l,2）=|x-l|+|x-2|<5,

當(dāng)x<l時(shí)，l-x+2-xW5,解得x2-1,于是一1VX<1,

當(dāng)時(shí)，x-l+2-x=l<5,于是

當(dāng)x>2時(shí)，x-l+x-2<5,解得x<4,于是2<x<4,

所以X的取值范圍是{x|-lVxV4}.

⑵M（3,2）=段-1|+段-2|2機(jī)對(duì)一切實(shí)數(shù)尤恒成立，

1o

ffi]|3x-l|+|3x-2|>|3x-l-3x+2|=l,當(dāng)且僅當(dāng)（3尸1）（3尸2）V0,即:VxV：時(shí)取等號(hào)，

則加W1,因此片+b2V2,當(dāng)且僅當(dāng)加=1時(shí)取等號(hào)，根據(jù)柯西不等式得⑷+⑹伍+心拉小+6）2,

則（2。+9飛10,解得0<2〃+64而，當(dāng)且僅當(dāng)a=26=2普時(shí)等號(hào)成立，

所以當(dāng)機(jī)=1,a=2b?時(shí)，2a+6取得最大值Vi6.

【變式2-1]（2024?高三?北京?期中）“曼哈頓幾何”也叫“出租車幾何”，是在19世紀(jì)由赫爾曼?閔可夫斯基提出

來(lái)的.如圖是抽象的城市路網(wǎng)，其中線段|/同是歐式空間中定義的兩點(diǎn)最短距離，但在城市路網(wǎng)中，我們

只能走有路的地方，不能“穿墻”而過(guò)，所以在“曼哈頓幾何”中，這兩點(diǎn)最短距離用4（43）表示，又稱“曼哈

頓距離”，即4（40=|/。|+|。冏，因此“曼哈頓兩點(diǎn)間距離公式”：若4（%,乂），8（%,%）,則

4（48）=忖2-無(wú)]|+|72fl

⑴①點(diǎn)N（3,5）,5（2-1）,求d（45）的值.

②求圓心在原點(diǎn)，半徑為1的“曼哈頓單位圓”方程.

⑵已知點(diǎn)8（1,0）,直線2x-y+2=0,求2點(diǎn)到直線的“曼哈頓距離”最小值；

⑶設(shè)三維空間4個(gè)點(diǎn)為4=（x,,%zJ,"1,2,3,4,且4％,4?{0,1}.設(shè)其中所有兩點(diǎn)“曼哈頓距離”的

平均值即2,求2最大值，并列舉最值成立時(shí)的一組坐標(biāo).

【解析】⑴①“43）=|3-2|+|5+1|=7；

②設(shè)“曼哈頓單位圓”上點(diǎn)的坐標(biāo)為（xj）,則卜-0|+卜-0|=1,即國(guó)+回=1.

（2）設(shè)直線2x-y+2=0上任意一點(diǎn)坐標(biāo)為C（x1,2x1+2）,則d（C,B）=|^-1|+12玉+2|,

當(dāng)毛<-1時(shí)，d（C,5）=—3x1—1,此時(shí)d（C,5）>2；

當(dāng)一1?西41時(shí)，d(C,B)=X]+3,止匕時(shí)d(C,5)22；

當(dāng)項(xiàng)〉1時(shí)，d(C,B)=3x1+1,此時(shí)d(C,5)〉4,

綜上所述，d(C8)的最小值為2.

如圖，A'B'C'D'—E'F'G'H'為正方體，邊長(zhǎng)為1，則4對(duì)應(yīng)正方體的八個(gè)頂點(diǎn)，

當(dāng)四個(gè)點(diǎn)在同一個(gè)面上時(shí),

1+2+1+1+2+14

(i)例如:4,B；C',D',此時(shí)7=

63

2+3+1+1+3+2

(ii)例如：A：E',G',C'，此時(shí)7=二2；

6

當(dāng)四個(gè)點(diǎn)不在同一個(gè)平面時(shí),

2+2+2+2+2+2

(iii)例如:A：C',H：D'，此時(shí)d=二2；

6

2+2+1+1+1+25

(iiii)例如：A；B',E；D'，此時(shí)7=

63

1+1+2+2+3+15

(iiiii)例如:A：B；E',H'，此時(shí)7=

63

1+2+2+3+1+211

(iiiiii)例如:A；B：E',G'，此時(shí)7=

66

綜上所述,7的最大值為2,例如：4(o,o,o),4(i,o,i),4(U,o),4(o5i,i).

題型三：雙曲正余弦函數(shù)問(wèn)題

e+e

【典例3-1](2024?高三?江蘇蘇州?開(kāi)學(xué)考試)定義：雙曲余弦函數(shù)cosh(x)=,雙曲正弦函數(shù)

2

sinh(x)=

2

⑴求函數(shù)〉=cosh(2x)+sinh⑴的最小值;

(2)若函數(shù)/(x)=log9[cosh(2x)-?sinh(x)]在R上的最小值為-1,求正實(shí)數(shù)。的值;

sinh（x）1

（3）求證：對(duì)任意實(shí)數(shù)左，關(guān)于x的方程,總有實(shí)根.

cosh（x）2

【解析】⑴依題意有了=cosh（2x）+sinh（x）=＜號(hào)二+三仁

=*y）2+；（ey）+i,

令ye*-er,貝i]y=L2+L+i=Lj+J_1+L.

222（2）8

因?yàn)閒=e，-b才在R上單調(diào)遞增，

當(dāng)X趨近于-CO時(shí)，t趨近于-00,當(dāng)無(wú)趨近于+C0時(shí)，f趨近于+8,

所以feR,所以當(dāng)r=-工時(shí)，即二=士正時(shí)，

24

7

函數(shù)>=cosh(2x)+sinh(x)有最小值一

8

(2)函數(shù)/(x)=log9［cosh(2x)-asinh(x)］在R上的最小值為-1,

即函數(shù)V=cosh(2x)-asinh(x)有最小值［.

2x.-2xa(e*-e-x

因?yàn)閥=cosh(2x)-4sinh(%)=-------

2

5（e-e-?和「尸）+1

--+1.

8

121Q

因?yàn)樽钚≈禐椤?，所?幺+I=L,解得°=±

9893

所以正實(shí)數(shù)。的值為1

,、sinh(x)

(3)證明：令P(x)=定義域?yàn)镽,

COSll(XJ

X-x2x

則M3—e-l__2

e2x+l-1-e2j+l

xjP（_x）=1_zl=lz12=_jp（x）,所以以工）是奇函數(shù)，

因?yàn)閥=e2*是R上的增函數(shù)，

所以P（x）=l-齊U在R上單調(diào)遞增，且當(dāng)X趨近于+8時(shí)，P（x）趨近于1,

所以函數(shù)2（X）在R上的值域?yàn)椋?/p>

直線y=foc+：過(guò)定點(diǎn)(0,；),

如圖所示：無(wú)論后取任何實(shí)數(shù)，直線了=履+；與函數(shù)。卜)的圖象都有交點(diǎn),

【典例3-2】(2024?高三?福建寧德?期末)固定項(xiàng)鏈的兩端，在重力的作用下項(xiàng)鏈所形成的曲線是懸鏈線.1691

XX

年，萊布尼茨等得出“懸鏈線"方程=cM+e-；)，其中。為參數(shù).當(dāng)。=1時(shí)，就是雙曲余弦函數(shù)coshx=咨匚

2

類似地我們可以定義雙曲正弦函數(shù)sinhx=q：.它們與正、余弦函數(shù)有許多類似的性質(zhì).

(1)類比正弦函數(shù)的二倍角公式，請(qǐng)寫(xiě)出雙曲正弦函數(shù)的一個(gè)正確的結(jié)論:sinh2x=.(只寫(xiě)出即

可，不要求證明)；

(2)VXG[-1,1],不等式cosh2x+加coshxNO恒成立，求實(shí)數(shù)冽的取值范圍；

(3)若工￡[；,￡],試比較cosh(sinx)與sinh(cosx)的大小關(guān)系，并證明你的結(jié)論.

2x__2x/x_-x\/x.

【解析】(1)sinh(2x)=-----------=------------------------=2sinh(x)cosh(x).

p2xp-2x產(chǎn)ip-x

(2)依題意，Vxe[-1,1],不等式cosh2x+冽coshxNOo------------\-m------——>0,

函數(shù)〃=砂在[T」]上單調(diào)遞增，we[e-1,e],令/=e'+er=〃+L

u

顯然函數(shù)/=〃+!在[e，l]上單調(diào)遞減，在[l,e]上單調(diào)遞增，?e[2,e-'+e],

U

Xe2x+e~2x=(ex+e-x)2-2=Z2-2,于是VXE[—1,1],cosh2x+mcoshx>0-——+-^>0,

22

22

因此X/%￡[2,e-i+e],m>--t,顯然函數(shù)y=：-，在[2,e+e]上單調(diào)遞減,

當(dāng)％=2時(shí)，>max=T，從而加之-1，

所以實(shí)數(shù)次的取值范圍是加2-1.

兀371..

(3)VXG[—,—],cosh(sinx)>sinh(cosx).

7T3冗pSinxp-sinxcosx_-cosx

依題意，xG[—,—],cosh(sinx)-sinh(cosx)=------------------------------

1

=^-(esinx-ecosx+e-sinx+e-cosx),

當(dāng)XE[巴,2]時(shí)，x~—G[0,7i],sinx-cosx=V2sin(x-—)>0,BPsinx>cosx,

4444

于是es#—e^sx>0,而e-sin、+?一處》>o，因止匕cosh(sinx)—sinh(cosx)〉0,

5兀37i

當(dāng)XE(一,一]時(shí)，cosx<0,則一cosxNcosx,ecosx<e-cosx,

42

即8sx_e—sx?而sinx+因此

e0,eQ-sinx>0,Cosh(sinx)-sinh(cosx)>0,

兀37r.,

于是Vx￡[—,—],cosh(sinx)-sinh(cosx)>0,所以cosh(sinx)>sinh(cosx).

42

【變式3-1](2024?上海寶山?模擬預(yù)測(cè))在數(shù)學(xué)中，雙曲函數(shù)是與三角函數(shù)類似的函數(shù)，最基本的雙曲函數(shù)是

雙曲正弦函數(shù)與雙曲余弦函數(shù)，其中雙曲正弦：sinh(x)=q^,雙曲余弦函數(shù)：cosh(x)=q^,(e是

自然對(duì)數(shù)的底數(shù)).

⑴解方程：cosh(x)=2；

(2)寫(xiě)出雙曲正弦與兩角和的正弦公式類似的展開(kāi)式：sinh(x+y)=,并證明；

(3)無(wú)窮數(shù)列｛七｝,ax=a,a?+I=2^-l,是否存在實(shí)數(shù)。，使得。/?若存在，求出。的值，若不存

在，說(shuō)明理由.

【解析】⑴由題意得：/+eT=4,即(,)2-4/+1=0,解得：x=ln(2±V3)；

(2)sinh(x+歹)=sinh(x)cosh(歹)+cosh(x)sinh(y)

,x+y_^~x-y

左邊二sinh(x+yP)=-------------,

右邊

=sinh(x)cosh3+cosh(x)sinh(j;)=Xx工+XJ

2222

+e"_/f_+/f_/-卜_6”丁/+丁一丁丁

=----------------------1---------------------=----------，

442

.'.左邊等于右邊,即sinh(x+y)=sinh(x)cosh(y)+cosh(x)sinh(y)成立

⑶當(dāng)％=ae[-l,l]時(shí)，存在。?。，乃],使得cos6=%

由數(shù)學(xué)歸納法證明：4,=COS(27。)，證明如下：

1)當(dāng)”=1時(shí)，%=a=cos(2i。)=cos。成立，

2k

ii)假設(shè)n=k^,ak=cos(2m6),則％=2履-1=2cos(2--1=cos(2x2-'3)=cos(2%)成立.

綜上：a“=cos(2"T。).

ax=ae[-l,l],有。g|Ja2021|.

當(dāng)q=ae時(shí)，由聞＞1,函數(shù)cosh（x）=《妥的值域?yàn)榭?+向，對(duì)于任意大于1的實(shí)數(shù)同,

存在不為0的實(shí)數(shù)機(jī)，使得cosh（加）=聞,類比余弦二倍角公式,猜測(cè)cosh（2無(wú)）=2cosh2（x）-l.

證明如下：

2cosh=2x——-——-1=-----------1=——----=cosh）.

2

類比％時(shí)的數(shù)學(xué)歸納法，由同=cosh（m）,易證出=2cosh?（加）—1=cosh（2加），a3=cosh（2m）,

=cosh（2n-1m）,

.?.若.*=饃5]1（22°2。機(jī)）=：,設(shè)f=22。2。加，則cosh⑺解得：e'=2或g，即/=±由2,

In2十口??1m.-mi（11、

.?.加=±晝五，于是|%|=cosh（加）=---=-22020+22020J.

綜上：存在實(shí)數(shù)。=±522儂+22。2。使得%以=:成立.

2174

【變式3-2]（2024?高三?江蘇鹽城?期末）懸鏈線（Ca/e〃sy）指的是一種曲線，指兩端固定的一條（粗細(xì)與質(zhì)量

分布）均勻，柔軟（不能伸長(zhǎng)）的鏈條，在重力的作用下所具有的曲線形狀，適當(dāng)選擇坐標(biāo)系后，懸鏈線的方

程是一個(gè)雙曲余弦函數(shù)，其解析式為與之對(duì)應(yīng)的函數(shù)g（x）=三券稱為雙曲正弦函數(shù),

g(x)

令尸(x)=

/W-

⑴若關(guān)于尤的方程尸上（2切+凡24g（x）-5]=0在（0,ln3）上有解，求實(shí)數(shù)2的取值范圍；

⑵已知函數(shù)力（》）=--〃吠+4,若對(duì)任意的與目-2,2],總存在不同的國(guó)廣2e[l,+功，使得

g)+g)立,求實(shí)數(shù)加的取值范圍.

xx+x2

2j

【解析】(1)尸⑺=需=矢Ie-l12

-xe2x+l--e2A+l

所以方(%)在R上單調(diào)遞增,

又尸(-x)=13=-F(x),所以廠(x)是尺上的奇函數(shù)，

尸［/(2叫+川22g(x)-5］=0,即尸［/(2切=一尸［22g(x)-5］,

故網(wǎng)/(2x)］=胃5-2磨(x)］,

所以"2x)=5-2Xg(x),所以二芍二=5-2彳三匚，

/\2

e2%+e-2xex-e-x

=5----------=4-

2

在(0,ln3)上單調(diào)遞增，7{0,1|,力=4-

令，=e“-。一”

所以2在［0,|8)上單調(diào)遞減,

3

所以2ef—,+?j.

(2)任取項(xiàng),%2?°，2］,且占＜I2,

~xieX2+e-：一巧

<0,

則小TH)"2~

所以/(同=豈詈在［0,2］上單調(diào)遞增.

又“X)是偶函數(shù)，

2-2

所以xe[-2,2]時(shí)〃x)e[〃0),〃2)]=1,專一

所以XW■時(shí)，A(x)=x2-mx+4>(4-m)x,當(dāng)且僅當(dāng)x=2時(shí)取"=",

〃(西)+〃(％2)(4-m)Xj+(4-m)x2

x19x2G[1,+O)),且玉。％2時(shí),-------->-------------=4—m,

玉+%2xl+x2

當(dāng)再=1,-1時(shí)，"㈤+"㈤―一時(shí),皿巫)-+孫

一石+

x2X]+x2

且7="?+”/)在。,+⑹上連續(xù),

1+%

所以g）+“d）的取值范圍為（4,+8）,

玉+、2

因?yàn)閷?duì)任意的尤。<-2,2］,總存在不同的網(wǎng),馬€口,+8）,使得“&）+〃&）=/（無(wú)0）成立,

I

-e2+e-2-/、

所以1,--—三（4-機(jī),+8）

所以4-根<1,解得m>3,

即加的取值范圍為（3,+℃）.

題型四：凹凸函數(shù)

【典例4-1】（2024?高三?湖南長(zhǎng)沙?階段練習(xí)）設(shè)連續(xù)函數(shù)〃x）的定義域?yàn)樾牧Γ?如果對(duì)于句內(nèi)任意兩數(shù)

X，三，都有/1A4/（*）；/（%）,則稱〃x）為［?；厣系陌己瘮?shù)；若（號(hào)斗了?〃/），則

稱〃力為凸函數(shù).若〃力是區(qū)間［見(jiàn)以上的凹函數(shù),則對(duì)任意的項(xiàng)…,與?。肉，有琴生不等式

/代+%+…+與］）/（芯）+/（七）+…+/（.）恒成立（當(dāng)且僅當(dāng)再=%=..一旦時(shí)等號(hào)成立）.

\nJn

⑴證明：〃x）=一一在（0,1）上為凹函數(shù);

1—X

（2）設(shè)再,％2,…,>°，〃22,且再+%+…+z=l,求沙=1匕一+*2+…+J的最小值;

］一再］一%］一（

111n

⑶設(shè)不公…名為大于或等于1的實(shí)數(shù)，證明：Q+^+…心".二十^提示:可設(shè)彳=爐）

【解析】⑴設(shè)VX"2￡（（M），

11

則/（石）+/（%）r（再+/2）_J~^11~^2］

2」（T~）—2］再+工2

_1一占+1-％_________2_［（1一項(xiàng)）+（1_%2）］_4（1_%1）（1_.2）

2（1—匹）（1—%2）1_%］+1_x?2（1—芭）（1—%）（1—再+］—^2）

=［（1再）一（12）了‘J

2（1一再）（1_工2）（1一再+1_工2）

所以/（x）=/L在（0,1）上為凹函數(shù).

⑵令g（x）=F，由⑴知〃x）=/L在（0,1）上為凹函數(shù)，所以函數(shù)g（x）=_L=——-1在（0,1）上也為凹

1—X1—X1—X1—X

函數(shù).

由琴生不等式，得g\+%+…+x“、g(M+g5)+…+心),

\n)n

x,xni

所以沙=L+—+…—,,當(dāng)且僅當(dāng)玉時(shí)取等號(hào)，

]一再l-x2]一玉n-1n

故少的最小值為n.

n-1

(3)設(shè)，=爐,因?yàn)椤?1,所以玉20(7=1,2,3,…,〃)，

111