2025年中考數學專項復習：二次函數新定義型綜合問題（3題型）（原卷版）

搶分秘籍15二次函數新定義型綜合問題（壓軸通關）

目錄

【中考預測】預測考向，總結?？键c及應對的策略

【誤區(qū)點撥】點撥常見的易錯點

【搶分通關】精選名校模擬題，講解通關策略（含新考法、新情境等）

中考預測

二次函數新定義型綜合問題是全國中考的熱點內容，更是全國中考的必考內容。每年都有一些考生因

為知識殘缺、基礎不牢、技能不熟、答欠規(guī)范等原因導致失分。

i.從考點頻率看，二次函數新定義型綜合問題是數學的基礎，也是高頻考點、必考點。

2.從題型角度看，以解答題的最后一題或最后第二題為主，分值12分左右，著實不少!

?（搶分通關

題型一新定義型二次函數之共生或伴隨拋物線

典例精講

【例1】（新考法，拓視野）（2024?江西九江?一模）定義：若兩條拋物線的頂點關于原點對稱，二次函數的

二次項系數互為負倒數，這樣的兩條拋物線稱之為"共生拋物線”，如拋物線j=0.5%2與y=lx?是共生拋物

線，已知拋物線G：y=-g（x+2Y+l的頂點是點尸，它的共生拋物線C?的頂點是Q

⑴點尸的坐標是—，點。的坐標是，拋物線C?的函數關系式是

⑵直線y=機與拋物線C］、C2均有兩個交點，這些交點從左到右分別是/、B、C、D.

①求加的取值范圍二

②若4B=CD,求加的值;

通關指導

本題考查了二次函數的新定義，正確利用二次函數的圖像與性質是解決問題的關鍵.

【例2】(2023?江蘇泰州?二模)在平面直角坐標系中，對于函數弘=af+6x+c,其中。、b、c為常數，a^c,

定義：函數%=3?+云+。是必=a/+6x+c的衍生函數，點M(a,c)是函數%=#+6x+c的衍生點，設函

數弘=a/+6x+c與其衍生函數的圖象交于/、8兩點(點/在點3的左側).

⑴若函數%=。尤2+&X+C的圖象過點c(-l,3)、￡>(1)-5),其衍生點v(l,C),求函數弘=a/+6x+c的解

析式；

⑵①若函數必=a/+bx+c的衍生函數為%=2x-l,求/、2兩點的坐標；

②函數%=。/+法+￡?的圖象如圖所示，請在圖中標出點/、3兩點的位置；

⑶是否存在常數6,使得無論。為何值，函數乂="2+法+。的衍生點M始終在直線43上，若存在，請求

出6的值；若不存在，請說明理由.

名校模擬

1.新定義：我們把拋物線>=62+區(qū)+。(其中m力0與拋物線夕=區(qū)2+°尤+。稱為"關聯拋物線"，例如，

拋物線y=2/+3x+l的“關聯拋物線”為>=3J?+2x+l已知拋物線G：y-Aax1+ax+4a-3(a>0)的“關聯

拋物線"為C2,。與y軸交于點E.

⑴若點E的坐標為（0,-1）,求G的解析式；

⑵設G的頂點為R若△。即是以。尸為底的等腰三角形，求點E的坐標;

⑶過x軸上一點P,作x軸的垂線分別交拋物線。，Q,于點“，N.

①當MV=6時，求點尸的坐標；

②當"44x4a-2時，G的最大值與最小值的差為2°,求。的值.

2.（2023?廣東廣州?一模）定義：在平面直角坐標系中，直線V=a（x-〃）+左稱為拋物線y=左的

伴隨直線，如直線y=-卜+1）-2為拋物線y=-（x+1）2-2的伴隨直線.

⑴求拋物線＞=2/-4x+5的伴隨直線；

⑵無論。取何值，拋物線G］：了二辦？-2（a-l）x+a-2總會經過某定點，拋物線&：y=m（x-l）（x-m-3）

的伴隨直線經過該定點，求加的值；

⑶頂點在第一象限的拋物線＞=-°（》-1）2+4°與它的伴隨直線交于點人，B（點A在點8的左側），與x軸

負半軸交于點C,當NB4C=90。時，V軸上存在點尸，使得N4PS取得最大值，求此時點尸的坐標.

題型二新定義型二次函數之特殊形狀問題

典例精講；

【例1】（新考法，拓視野）（23-24九年級上?浙江杭州?期末）定義：由兩條與x軸有相同的交點，并且開口

方向相同的拋物線所圍成的封閉曲線稱為“月牙線”.

【概念理解】

（1）拋物線M=2（x-1）（尤-2）與拋物線%=/-3x+2是否圍成"月牙線"？說明理由.

【嘗試應用】

（2）拋物線％=g（x-l）2-2與拋物線%="2+法+。，＞；］組成一個如圖所示的“月牙線"，與x軸有相同

的交點M,N（點M在點N的左側），與y軸的交點分別為42.

①求a:6:c的值.

②已知點尸（為,能）和點。（％,〃）在“月牙線"上，m＞n,且〃的值始終不大于2,求線段NB長的取值范

圍.

通關指導

本題考查二次函數綜合應用，涉及新定義，二次函數的性質等知識，解題的關鍵是讀懂題意，理

解“月牙線”的概念.

【例2】二次函數＞=--2小的圖象交x軸于原點。及點A.

感知特例

（1）當機=1時，如圖1,拋物線￡:y=/-2x上的點8,O,C,A,。分別關于點A中心對稱的點為",

O',C,A',D，,如下表：

B（T，3）0(0,0)C（『l）A(一,—)0(3,3)

9(5,-3)0(4,0)C'(3,l)4(2。

①補全表格;

②在圖1中描出表中對稱后的點，再用平滑的曲線依次連接各點，得到的圖象記為

形成概念

我們發(fā)現形如（1）中的圖象〃上的點和拋物線工上的點關于點A中心對稱，則稱〃是上的"孔像拋物線例

如，當機=-2時，圖2中的拋物線/是拋物線上的“孔像拋物線

探究問題

（2）①當m=-l時，若拋物線乙與它的“孔像拋物線"少的函數值都隨著x的增大而減小，則x的取值范圍

為;

②在同一平面直角坐標系中，當相取不同值時，通過畫圖發(fā)現存在一條拋物線與二次函數y=f-2加x的所

有“孔像拋物線，都有唯一交點，這條拋物線的解析式可能是_（填"了=江+6無+c"或"y=ax2+bx"

或"y="/+c"或“夕="2"，其中°6cw0）；

③若二次函數7=x2-2mx及它的"孔像拋物線"與直線N=m有且只有三個交點，求用的值.

名校模擬

1.（2023?江西贛州?一模）定義：若直線＞=-1與開口向下的拋物線有兩個交點，則這兩個交點之間的距離

叫做這條拋物線的"反碟長”.如圖，已知拋物線右：了=-》2與直線＞=-1相交于p,Q.

⑴拋物線4的“反碟長”尸。=.

⑵拋物線隨其頂點沿直線y=；X向上平移，得到拋物線4.

①當拋物線4的頂點平移到點（6,3）,拋物線右的解析式是.拋物線"的“反碟長"是

②若拋物線4的"反碟長”是一個偶數，則其頂點的縱坐標可能是.（填寫所有正確的選項）

A.15B.16C,24D.25

③當拋物線右的頂點A和拋物線右與直線>=-1的兩個交點5,。構成一個等邊三角形時（點8在點。左

右），求點A的坐標.

題型三新定義型二次函數與其他函數的綜合問題

典例精講：

【例1】（新考法，拓視野）（2024?湖南長沙?三模）對某一個函數給出如下定義：如果函數的自變量x與函

數值V滿足：當（X-加）&-"）40時，（y-加）。）40（%，"為實數，且優(yōu)<"）,我們稱這個函數在加一"上

是“民主函數比如：函數y=-x+l在一1->2上是“民主函數理由：,由［x-（-l）］（x-2）V0,得

-l<x<2.x=l-y,:.-l<l-y<2,解得一1V〉V2,.,.［j-（-l）］（y-2）<0,...是"民主函數

⑴反比例函數y=e是2-3上的“民主函數"嗎？請判斷并說明理由：

X

⑵若一次函數>=履+占在加一"上是"民主函數"，求此函數的解析式（可用含外”的代數式表示）；

⑶若拋物線了="2+樂+。（“>0,。+6>0）在1-3上是“民主函數"，且在1VXV3上的最小值為4°,設拋物

線與直線y=3交于48點，與V軸相交于C點.若“3C的內心為G,外心為試求MG的長.

通關指導

本題是二次函數綜合題，主要考查了一次函數、反比例函數、二次函數的性質，三角形外心和內

心的性質等知識，理解新定義，得出拋物線的解析式從而得出的頂點坐標是解題的關鍵.

【例2】（2023?江蘇南通?一模）定義：若函數圖象上存在點M（加，哈，M\m+l叼）,且滿足%-々=/，

則稱，為該函數的“域差值".例如：函數>=2x+3,當％=加時，々=2冽+3；當％=加+1時，

n2=2m+5,n2-n1=2則函數y=2x+3的〃域差值〃為2

4

⑴點"（加，勺），MXm+1,%）在歹=一的圖象上，〃域差值",=-4,求冽的值；

x

⑵已知函數y=-2x\x>0）,求證該函數的“域差值"/<-2；

⑶點A（a,b）為函數y=-2/圖象上的一點，將函數y=-2x2（x>a）的圖象記為跖，將函數y=-2/（》40）的

圖象沿直線V=6翻折后的圖象記為/當%,%兩部分組成的圖象上所有的點都滿足“域差值"/VI時，求。

的取值范圍.

名校模擬

1.（2023?江蘇南通?一模）定義：若函數G1的圖象上至少存在一個點，該點關于x軸的對稱點落在函數&的

圖象上，則稱函數G1,G為關聯函數，這兩個點稱為函數G-&的一對關聯點.例如，函數y=2x與函數

y=x-3為關聯函數，點（1,2）和點（1,-2）是這兩個函數的一對關聯點.

⑴判斷函數y=x+2與函數>是否為關聯函數？若是，請直接寫出一對關聯點；若不是，請簡要說明

X

理由；

⑵若對于任意實數左，函數y=2x+b與夕=丘+左+5始終為關聯函數，求6的值；

⑶若函數y=x?-加X+1與函數y=2x-J（加，"為常數）為關聯函數，且只存在一對關聯點，求2療+〃2一6機

的取值范圍.

2.（2024?浙江湖州?一模）定義：對于y關于x的函數，函數在網4x4%（占<3）范圍內的最大值，記作

〃■[內,々]如函數V=2x,在-14尤43范圍內，該函數的最大值是6,即，M[-l,3]=6.

請根據以上信息，完成以下問題：

已知函數y=（a-l）x2-4x+a2-I（a為常數）

⑴若a=2.

①直接寫出該函數的表達式，并求/[1,4]的值；

②已知Mp,"1=3,求夕的值.

⑵若該函數的圖象經過點(0,0),且=M求4的值.

題型四新定義型二次函數與幾何圖形的綜合問題

典例精講：

【例1】(新考法，拓視野)(2023?江蘇南通?二模)定義：在平面直角坐標系中，點尸(西,必)是圖形上的

任意一點，點0(%，力)是圖形G2上的任意一點，若存在直線l:y=kx+b(k^0)滿足yx<kxx+b§Ly1>kx1+b

(或滿足必Ng+b且％4心+6)，則稱直線/：>=履+貼*0)是圖形G］與&的“界線

例如：直線>=-%+4是函數y=—4(x>0)的圖象與拋物線>=-V的一條,，界線〃.

x

已知點2),C(m+4,-2),D(m+4,2).

⑴若加=-2,在直線①y=x+3,②y=r+4,③y=-2x+7中，是函數y=9(x>0)的圖象與正方形

x

48co的"界線"的有(填序號)；

⑵若點E的坐標是(0,4),OE的半徑為2近,。￡與正方形/BCD的"界線"有且只有一條，求"界線"/的函數關

系式；

⑶若存在直線了=2尤+6是函數〉=》2+2彳+3(-24x42)的圖象與正方形ABCD的"界線"，求加的取值范圍.

通關指導

本題考查二次函數的圖象及性質，反比例函數的性質，一次函數的性質，熟練掌握二次函數的圖

象及性質，弄清"界線"的定義與圖形之間的關系，數形結合、分類討論是解題的關鍵.

【例2】（2024?江蘇常州?模擬預測）定義：在平面直角坐標系xOy中，P、。為平面內不重合的兩個點，其

中尸（%,％）,。（如衛(wèi)）.若：xl+y1=x2+y2,則稱點0為點尸的"等和點".

⑴如圖1,已知點尸（2,1）,求點P在直線y=x+l上"等和點”的坐標；

⑵如圖2,。/的半徑為1,圓心N坐標為（2,0）.若點尸（0,加）在。/上有且只有一個"等和點"，求他的值;

⑶若函數了=-/+2（尤4能）的圖像記為％,將其沿直線"翻折后的圖像記為啊.當％,%兩部分組成

的圖像上恰有點P（0,〃?）的兩個"等和點"，請直接寫出機的取值范圍.

1名校模擬J

1.（2023?江蘇揚州?一模）對于二次函數給出如下定義:在平面直角坐標系xQy中，二次函數+,

b,c為常數，且。=0）的圖象頂點為P（不與坐標原點重合），以。尸為邊構造正方形0PMN,則稱正方形

0PMN為二次函數了=ax2+bx+c的關聯正方形，稱二次函數了=ax2+6尤+c為正方形OPMN的關聯二次函

數.若關聯正方形的頂點落在二次函數圖象上，則稱此點為伴隨點.

⑴如圖，直接寫出二次函數＞=。+以-2的關聯正方形OPMN頂點N的坐標并驗證點N是否為伴隨點

—（填"是"或"否"）：

⑵當二次函數y=-X?+4x+c的關聯正方形OPMN的頂點P與N位于無軸的兩側時，請解答下列問題：

①若關聯正方形0P兒W的頂點V、N在x軸的異側時，求c的取值范圍：

②當關聯正方形OP兒W的頂點W是伴隨點時，求關聯函數y=-f+4x+c的解析式；

③關聯正方形。尸兒W被二次函數y=-/+4x+c圖象的對稱軸分成的兩部分的面積分別為H與邑，若

邑，請直接寫出。的取值范圍.

2.（2024?江西九江?一模）定義概念：在平面直角坐標系中，我們定義直線＞=ax-“為拋物線了=辦2+瓜+。

的"衍生直線如圖1,拋物線了=-尤2+岳；+。與其"衍生直線"交于/,&兩點（點8在x軸上，點N在點3

⑴求拋物線和"衍生直線”的表達式及點N的坐標；

2

⑵如圖2，拋物線y^-x+bx+c的"衍生直線”與j