2025年中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)：數(shù)與式（解析版）

專題01數(shù)與式

目錄

01理?思維導(dǎo)圖：呈現(xiàn)教材知識結(jié)構(gòu)，構(gòu)建學(xué)科知識體系。

02盤.基礎(chǔ)知識：甄選核心知識逐項分解，基礎(chǔ)不丟分。（4大模塊知識梳理）

知識模塊一：實數(shù)的有關(guān)概念及計算

知識模塊二：整式及因式分解

知識模塊三：分式

知識模塊四：二次根式

03究?考點考法：對考點考法進行細致剖析和講解，全面提升。（10大基礎(chǔ)考點+1方法技巧）

考點一：實數(shù)的分類及正負數(shù)的意義

考點二：實數(shù)的相關(guān)概念及科學(xué)記數(shù)法

考點三：平方根、算術(shù)平方根、立方根與非負數(shù)的性質(zhì)

考點四：二次根式及其運算

考點五：實數(shù)的運算及大小比較（高頻）

考點六：代數(shù)式及求值

考點七：整式的相關(guān)概念及運算（含幕的運算）

考點八：整式的化簡及求值（高頻）

考點九：因式分解（高頻）

考點十：分式

考點十一：實數(shù)計算中的規(guī)律問題的解決方法（方法技巧）

04辨?易混易錯：點撥易混易錯知識點，沖刺高分。（4大易錯點）

易錯點1：平方根、算術(shù)平方根、立方根的區(qū)別（填空題必考）

易錯點2：整式的化簡求值

易錯點3：分式的有關(guān)概念

易錯點4：分式的化簡求值

思維早襟

按定義分有理數(shù)、無理數(shù)

分類（

按大小分負實數(shù)、0正實數(shù)

相關(guān)概念正負數(shù)、數(shù)軸、相反數(shù)、絕對值、倒數(shù)（熟記）

實數(shù)

加減法運算

乘除法運算

實數(shù)的運算平方根、算術(shù)平方根、立方根與非負數(shù)的性質(zhì)（理解）

乘方運算/--------------------------------------------------

-----------《科學(xué)記數(shù)法（掌握）與近似數(shù)

實數(shù)的大小比較（掌握）

概念單項式、多項式一代數(shù)式、代數(shù)式的值

加減運算

寨的運算

整式及因式分解整式的運算（貫穿整個代數(shù)部分）

乘法運算乘法公式（熟記）

除法運算

因式分解（掌握）

分式的概念與性質(zhì)

約分最簡分式

性質(zhì)

分式通分最小公分母

分式的運算法則加減乘除運算法則（掌握）

概念最簡、同類二次根式

二次根式的相關(guān)概念與性質(zhì)

二次根式性質(zhì)雙重非負性（理解）

二次根式的運算（掌握）

知識模塊一：實數(shù)的有關(guān)概念及計算

知識點一：實數(shù)的分類

1、按實數(shù)的定義分類：2、按大小分類：

［正整數(shù)ff正整數(shù)

正有理數(shù)1

整數(shù)＜0正實數(shù)［正分數(shù)數(shù)的相關(guān)概念:

1負整數(shù)知識點二：實

有理數(shù)＜|正無理數(shù)相反數(shù)、絕對

正負數(shù)、數(shù)軸、

實數(shù)＜八知f正分數(shù)

分數(shù)〈〃八皿實數(shù)0

負分數(shù)值、倒數(shù)（熟［f負整數(shù)記）

負有理數(shù)1

［正無理數(shù)負實數(shù)［負分數(shù)

無理數(shù)＜

知概補充與

負無理數(shù)負無理數(shù)

識點念拓展

大于。的數(shù)叫做正注意：負數(shù)前面的負號不能省略.0既不是正數(shù)，

數(shù).正數(shù)前面加上符正負數(shù)的意義：表示具有相反意義的量.在一對具舉

正負數(shù)號的數(shù)叫負數(shù).常先規(guī)定其中一個為正，則另一個就用負表示.

數(shù)軸上的點與實數(shù)具有一一對應(yīng)的關(guān)系.

將兩個數(shù)表示在同一條數(shù)軸上，右邊的點表示的數(shù)啟

規(guī)定了原點、正方大.

數(shù)軸向、單位長度的直在數(shù)軸上距原點n個單位長度的點有2個.

線叫做數(shù)軸.數(shù)軸中點公式：數(shù)軸上有兩點A、5分別表示的數(shù)

兩點的中點，。所表示的數(shù)為則有：2c=x+y.

數(shù)軸兩點距離=數(shù)軸上右側(cè)的點所表示的數(shù)-左側(cè)的1

-小數(shù)）.

若6互為相反數(shù)，則a+6=0（反之亦成立）.

互為相反數(shù)的兩個數(shù)在數(shù)軸上對應(yīng)的兩個點到原點

只有符號不同的兩原點的兩側(cè).

個數(shù)稱為互為相反正數(shù)的相反數(shù)是負數(shù)；負數(shù)的相反數(shù)是正數(shù)；。的才1

相反數(shù)數(shù).身的數(shù)是0.

（。+6）的相反數(shù)是-（。+6）,（a-b）的相反數(shù)是-

多重符號化簡口訣：數(shù)負號個數(shù)，奇負偶正.

兩個正數(shù)比較，絕對值大數(shù)越大；兩個負數(shù)比較，

在數(shù)軸上表示數(shù)a正數(shù)的絕對值是它本身；0絕對值是0;負數(shù)的絕對

的點到原點的距離若⑷=〃（或⑷-Q=0）,貝U“X）,若|a|二-〃（或|Q|+Q=

叫做a的絕對值，若〃=/?或〃=-/?,則⑷=|"（反之亦成立）.

絕對值記為|a|.若⑷+四=0,貝！J〃=0且8=0（〃、匕可以是多項式）.

幾何意義補充：|x|=|x-0|數(shù)軸上表示x的點到原點白

示尤的點與表示1的點之間的距離，|x+2|數(shù)軸上表方

之間的距離.

倒數(shù)1除以一個不等于0沒有倒數(shù).

零的實數(shù)所得的若6互為倒數(shù)，則漏=1

商，叫做這個數(shù)的

互為倒數(shù)的兩個數(shù)必定同號（同為正數(shù)或同為負數(shù)）

倒數(shù).

倒數(shù)是本身的只有1和-L

n個相同的因數(shù)a

負數(shù)的奇次幕是負數(shù)，負數(shù)的偶次幕是正數(shù)

相乘記作其中

乘方a為底數(shù)，n為指正數(shù)的任何次累都是正數(shù).

數(shù)，乘方的結(jié)果叫

做需規(guī)定：〃°二1（〃加）

知識點三：實數(shù)的運算

1、科學(xué)記數(shù)法（掌握）與近似數(shù):

知識點概念補充與拓展

用科學(xué)記數(shù)法表示數(shù)時，確定a,W的值是關(guān)鍵.

當(dāng)原數(shù)絕對值大于10時，寫成0X10"的形式，其中l(wèi)W|a|V10,w

等于原數(shù)的整數(shù)位數(shù)減1.

科學(xué)記數(shù)法的表示形式為

科學(xué)記數(shù)

（2X13的形式,其中1呼z|當(dāng)原數(shù)絕對值小于1時，寫成axl（y"的形式，其中130<10,“等

法于原數(shù)左邊第一個非零的數(shù)字前的所有零的個數(shù)（包括小數(shù)點前面

<10,ri為整數(shù).

的零）.

小技巧:1萬=1031億=1萬X1萬=108.

近似數(shù)與準確數(shù)的接近程近似數(shù)小數(shù)點后的末位數(shù)是。的，不能去掉。.

度通常用精確度來表示，

一個近似數(shù)從左邊第一位非0的數(shù)字起，到末位數(shù)字止，所有的數(shù)

近似數(shù)一般由四舍五入取

近似數(shù)字都是這個數(shù)的有效數(shù)字.

得，四舍五入到哪一位，

就說這個近似數(shù)精確到哪一個近似數(shù)有幾個有效數(shù)字，就稱這個近似數(shù)保留幾個有效數(shù)字.

一位.

2、平方根、算術(shù)平方根、立方根與非負數(shù)的性質(zhì)（理解）

知識點概念補充與拓展

如果一個正數(shù)X的平方等于a,即x2=a,

算術(shù)那么這個正數(shù)X叫做〃的算術(shù)平方根.正數(shù)只有一個算術(shù)平方根，且恒為正；0的算術(shù)平方根為

平方根0；負數(shù)沒有算術(shù)平方根

記為。叫做被開方數(shù).

平方根如果一個數(shù)的平方等于。，那么這個數(shù)正數(shù)有兩個平方根，且它們互為相反數(shù).

就叫做a的平方根或二次方根,即如果

0的算術(shù)平方根為0；負數(shù)沒有算術(shù)平方根.

2

x=af那么x叫做〃的平方根.

正數(shù)只有一個正的立方根；。的立方根是0；負數(shù)只有一

如果一個數(shù)的立方等于a,即無3=0那

立方根個負的立方根.

么x叫做a的立方根或一次方根.

互為相反數(shù)的兩個數(shù)的立方根互為相反數(shù)

非負數(shù)有三種形式：

①任何一個實數(shù)。的絕對值是非負數(shù)，即|。巨0；

②任何一個實數(shù)a的平方是非負數(shù)，即a?出；

實數(shù)的在實數(shù)范圍內(nèi)，正數(shù)和零統(tǒng)稱為非負③任何非負數(shù)的算術(shù)平方根是非負數(shù)，即傷出.

非負性數(shù).非負數(shù)具有以下性質(zhì)：①非負數(shù)有最小值零；

②非負數(shù)之和仍是非負數(shù)；

③幾個非負數(shù)之和等于0,則每個非負數(shù)都等于0.

3、實數(shù)的運算法則及大小比較（掌握）

（一）常見的實數(shù)運算（常出現(xiàn)在選擇題）

運算法則

乘方

a11=a-a-a-a（_°）"=卜""為偶數(shù)

〃不a'\-an幾為奇數(shù)

零次累

=1(〃w0)

負整數(shù)指數(shù)幕a-n=^~(awO,〃為正整數(shù))，特別地：a'=-(a^0).

aa

a-b,a>b

去絕對值符號

\a-b\=0,a=b

b-a,a<b

-1的奇偶次幕

1,"為偶數(shù)

-1,〃為奇數(shù)

三角函數(shù)30°45°60°

j_V2V3

sina

22~2~

V3

cosaV2

2~2

V3

tana

-3-1V3

（-）實數(shù)的四則運算法則（穿插在各個題型中）

（1）實數(shù)加法法則：

①同號兩數(shù)相加，取相同的符號，并把絕對值相加;

②絕對值不相等的異號兩數(shù)相加，取絕對值較大的加數(shù)的符號，并用較大的絕對值減去較小的絕對值.互為

相反數(shù)的兩個數(shù)相加得0；

③一個數(shù)同0相加，仍得這個數(shù).

(2)實數(shù)減法法則：減去一個數(shù)，等于加這個數(shù)的相反數(shù).

(3)實數(shù)乘法法則：

①兩數(shù)相乘，同號得正，異號得負，并把絕對值相乘.任何數(shù)與0相乘，都得0；

②幾個不是0的數(shù)相乘，積的符號由負因數(shù)的個數(shù)決定.當(dāng)負因數(shù)的個數(shù)為奇數(shù)時，積是負數(shù)，當(dāng)負因數(shù)

的個數(shù)為偶數(shù)時，積是正數(shù)；

③幾個數(shù)相乘，如果其中有因數(shù)為0,那么積等于0.

(4)實數(shù)除法法則：

①除以一個不等于0的數(shù)，等于乘以這個數(shù)的倒數(shù).0不能作除數(shù)；

②兩數(shù)相除，同號得正，異號得負，并把絕對值相除.0除以任何一個不等于0的數(shù)，都得0.

(5)乘方的運算法則：正數(shù)的任何次暴都是正數(shù)；負數(shù)的奇次嘉是負數(shù)，負數(shù)的偶次塞是正數(shù)；0的任何正整

數(shù)次幕都是0.

4、實數(shù)比較大小的6種基礎(chǔ)方法：

數(shù)軸比較法：將兩個數(shù)表示在同一條數(shù)軸上，右邊的點表示的數(shù)總比左邊的點表示的數(shù)大.

類別比較法：正數(shù)大于零；負數(shù)小于零；正數(shù)大于一切負數(shù)；兩個負數(shù)比較大小，絕對值大的反而小.

作差比較法：若。，b是任意兩個實數(shù)，則①②a-b=Q3a=b；③a-b<GOa<b.

平方比較法：①對任意正實數(shù)a,b,若AbgcOb；

②對任意負實數(shù)a,b,若點>吩淄a<b.

倒數(shù)比較法：若一>:，ab>0,則

ab

b

作商比較法：①任意實數(shù)a,b,-=]^a=b；

a

②任意正實數(shù)a,b,—>l<=>a>Z?；—<l<=>a<Z?；

bb

③任意負實數(shù)a,b,—>10a<b；—

bb

知識模塊二：整式及因式分解

知識點一：代數(shù)式、代數(shù)式的值

1、代數(shù)式的概念

用基本運算符號（加、減、乘、除、乘方、開方等）把數(shù)與字母連接而成的式子叫做代數(shù)式.單獨的一個數(shù)或者

一個字母也是代數(shù)式.

2、代數(shù)式的值

用具體數(shù)代替代數(shù)式中的字母,按運算順序計算出的結(jié)果叫做代數(shù)式的值.求代數(shù)式的值分兩步:第一步,代數(shù);

第二步，計算.要充分利用“整體”思想求代數(shù)式的值.

知識點二：整式的有關(guān)概念（常出現(xiàn)在選擇題、填空題）

1、整式：單項式與多項式統(tǒng)稱為整式.

2、單項式：含有數(shù)或字母的積的代數(shù)式叫做單項式.單獨的一個數(shù)或一個字母也是單項式.單項式中的數(shù)

字因式叫做這個單項式的系數(shù)；一個單項式中，所有字母的指數(shù)的和叫做這個單項式的次數(shù).

3、多項式：幾個單項式的和叫做多項式.在多項式中，每個單項式叫做多項式的項，不含字母的項叫做常

數(shù)項.多項式里，次數(shù)最高項的次數(shù)，叫做這個多項式的次數(shù).多項式中單項式的個數(shù)，就是這個多項式

的項數(shù).

4、同類項：所含字母相同，并且相同字母的指數(shù)也相同的項叫做同類項.幾個常數(shù)項也是同類項.

5、合并同類項：把多項式中的同類項合并成一項，叫做合并同類項.合并同類項后，所得項的系數(shù)是合并

前各同類項的系數(shù)的和，且字母連同它的指數(shù)不變.

知識點三：整式的運算（貫穿整個代數(shù)部分）

1、整式的加減運算：

①概念：整數(shù)的加減本質(zhì)是合并同類項，如果有括號要先去括號，再合并同類項.

②去括號法則：如果括號外的因數(shù)是正數(shù)，去括號后原括號內(nèi)各項的符號與原來的符號相同；如果括號外

的因數(shù)是負數(shù)，去括號后原括號內(nèi)各項的符號與原來的符號相反.

③添括號法則：添括號時，如果括號前面是正號，括到括號里的各項都不變符號；如果括號前面是負號，

括到括號里的各項都改變符號.

2、幕的運算（多出選擇題）：

正整數(shù)幕的運算性質(zhì):曖?優(yōu)=曖+"；（相y=a"J（ab）m=am,bm.曖+屋=屋一"（"0,加＞〃）.其

中相、”都是正整數(shù).

3、整式的乘除運算

整式的乘除運算步驟說明補充說明及注意事項

①將單項式系數(shù)相乘作為積的系數(shù)；

②相同字母的因式，利用同底數(shù)幕的乘法，1）實質(zhì):乘法的交換律和同底數(shù)累的乘法法

單項式乘單

作為積的一個因式；則的綜合應(yīng)用.

項式

③單獨出現(xiàn)的字母，連同它的指數(shù)，作為積2）單項式乘單項式所得結(jié)果仍是單項式.

的一個因式.

1）單項式乘多項式實質(zhì)上是轉(zhuǎn)化為單項式

單項式乘多①先用單項式和多項式的每一項分別相乘；乘以單項式.

項式②再把所得的積相加.2）單項式乘多項式的結(jié)果是多項式，積的

項數(shù)與原多項式的項數(shù)相同.

運用法則時應(yīng)注意以下兩點：

①相乘時，按一定的順序進行，必須做到不

①先用一個多項式的每一項與另一個多項重不漏；

多項式乘多

式的每一項相乘，②多項式與多項式相乘，多項式的每一項都

項式

②再把所得的積相加.應(yīng)該帶上它前面的正負號.且結(jié)果仍是多項

式，在合并同類項之前，積的項數(shù)應(yīng)等于原

多項式的項數(shù)之積.

①將單項式系數(shù)相除作為商的系數(shù)；

單項式除單②相同字母的因式，利用同底數(shù)幕的除法，

項式作為商的一個因式；

③只在被除式里含有的字母連同指數(shù)不變.

①先把這個多項式的每一項除以這個單項

多項式除單

式；

項式

②再把所得的商相加

整式的混合運算的運算順序：先乘方，再乘除，后加減，有括號時先算括號里面的.

知識點四：乘法公式（熟記）

1、平方差公式：（a+b）（a-b）=a2-b2（注意公式逆應(yīng)用）.

2、完全平方公式：（。土bp=/±2"+〃（注意公式逆應(yīng)用）.

知識點五：因式分解（掌握）

1、定義：把一個多項式化成幾個整式的積的形式，叫做把這個多項式因式分解.

2、方法：（1）提公因式法：ma+mb+mc=m（a+b+c）；

（2）公式法：a2+2ab+b2=（a±Z?）2；a1—b~=（^a+b\a—b）■

（3）十字相乘法：x2+（a+b）x+ab=（%+?）（%+/?）.

3、分解因式的基本步驟：

（1）先看各項有沒有公因式，若有，則先提公因式；

（2）再看余下的式子能否用公式法繼續(xù)分解，直至不能再分解為止.

簡記為一“提”、二“套”、三“檢查.

知識模塊三：分式

知識點一：分式的概念與性質(zhì)

1、分式的概念

A

形如石的式子叫做分式，其中A和3均為整式，B中含有字母，注意3的值不能為零.

2、分式的基本性質(zhì)

分式的分子與分母都乘（或除以）同一個不等于零的整式，分式的值不變.

AAxMAA-M

—=——.（其中M是不等于零的整式）

~B~BxMBB+M

知識點二：分式的運算法則（掌握）

/-X,a,ba±ba,cad±bcacac

①力口減法：一±—=-----一±—=-------；②乘法:

CCCbdbdb7bd

adad④乘方：M=—（"為正整數(shù)）.

③除法：---—?———

babcbe\b）bn

知識模塊四：二次根式

知識點一：二次根式的相關(guān)概念與性質(zhì)

1、二次根式的概念：形如血(介0)的式子叫做二次根式.

2、最簡二次根式和同類二次根式的概念

最簡二次根式是指滿足下列條件的二次根式：(1)被開方數(shù)不含分母；(2)被開方數(shù)中不含能開得盡方的因數(shù)

或因式.

幾個二次根式化成最簡二次根式以后，如果被開方數(shù)相同，這幾個二次根式就叫做同類二次根式.

3、二次根式的主要性質(zhì)

(1)\/a>0(a>0)；(2)(&)=a(a20)；

fa(a>0)

⑶，/=|a-

[-a(a<0)

(4)積的算術(shù)平方根的性質(zhì)：y[ab=y/a->0,/?>0)；

(5)商的算術(shù)平方根的性質(zhì)：，|=苧(。2o,b>oy

知識點二：二次根式的運算(掌握)

1、二次根式的加減：二次根式相加減，先把各個二次根式化成最簡二次根式，再把同類二次根式分別合并.

2、二次根式的乘除：二次根式相乘除，把被開方數(shù)相乘除，根指數(shù)不變.

?費考點者法

考點一：實數(shù)的分類及正負數(shù)的意義

【典例1】(2024?涼山州)下列各數(shù)中：5,-;，-3,0,-25.8,+2,負數(shù)有()

A.1個B.2個C.3個D.4個

【分析】根據(jù)正數(shù)和負數(shù)的定義判斷即可，注意：。既不是負數(shù)也不是正數(shù).

【解答】解：5>0,是正數(shù)；

-1<0,是負數(shù)；

-3<0,是負數(shù)；

0既不是正數(shù)，也不是負數(shù)；

-25.8<0,是負數(shù)；

+2>0,是正數(shù)；

，負數(shù)有-g一3，-25.8,共3個.

故選：C.

【點評】本題考查了對正數(shù)和負數(shù)定義的理解，難度不大，注意。既不是正數(shù)也不是負數(shù).

【典例2】（2024秋?吳中區(qū)校級月考）2024年5月3日，嫦娥六號探測器開啟世界首次月球背面采樣返回

之旅，月球表面的白天平均溫度是零上126°C，記作+126℃,夜間平均溫度是零下150℃,應(yīng)記作（）

A.+150°CB.-150°CC.+276°CD.-276°C

【分析】在一對具有相反意義的量中，先規(guī)定其中一個為正，則另一個就用負表示.

【解答】解：“正”和“負”相對，所以，2024年5月3日，嫦娥六號探測器開啟世界首次月球背面采樣返回

之旅，月球表面的白天平均溫度是零上126℃,記作+126℃,夜間平均溫度是零下150℃，應(yīng)記作-150℃.

故選：B.

【點評】此題主要考查了正負數(shù)的意義，解題關(guān)鍵是理解“正”和“負”的相對性，明確什么是一對具有相反意

義的量.

考點二：實數(shù)的相關(guān)概念及科學(xué)記數(shù)法

【典例1】（2024?雅安）2024的相反數(shù)是（）

A.2024B.-2024C.」一

20242024

【分析】根據(jù)只有符號不同的兩個數(shù)互為相反數(shù)進行解答即可得.

【解答】解：2024的相反數(shù)是-2024,

故選：B.

【點評】本題考查了相反數(shù)的定義，熟練掌握相反數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵.

【典例2】（2024?成都）-5的絕對值是（）

A.5B.—5C.—D.—

55

【分析】根據(jù)絕對值的性質(zhì)求解.

【解答】解：根據(jù)負數(shù)的絕對值等于它的相反數(shù)，得1-51=5.

故選：A.

【點評】此題主要考查的是絕對值的性質(zhì)：一個正數(shù)的絕對值是它本身；一個負數(shù)的絕對值是它的相反數(shù)；

0的絕對值是0.

【典例3】（2024?包頭）若"7,"互為倒數(shù)，且滿足〃Z+〃"2=3,則〃的值為（）

A.—B.—C.2D.4

42

【分析】根據(jù)倒數(shù)的定義可得加然后求出機的值，即可得出〃的值.

【解答】解：機與〃互為倒數(shù)，

:.mn=\,

m+mn=3,

..tn=2,

1

:.n=—.

2

故選：B.

【點評】本題考查了倒數(shù)，熟練掌握倒數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵.

【典例4]（2023?鼓樓區(qū)校級三模）明朝地理學(xué)家徐霞客從小立志，朝碧海而暮蒼梧，一生志在四方，踏

遍錦繡山河，編撰了60余萬字的地理名著《徐霞客游記》，其中60萬用科學(xué)記數(shù)法可表示為.

【分析】把一個大于10的數(shù)記成axlO”的形式，其中。是整數(shù)數(shù)位只有一位的數(shù)，，是正整數(shù)，這種記數(shù)

法叫做科學(xué)記數(shù)法，由此即可得到答案.

【解答】解：60萬=600000=6*105.

故答案為：6xl05.

【點評】本題考查科學(xué)記數(shù)法一表示較大的數(shù)，關(guān)鍵是掌握用科學(xué)記數(shù)法表示數(shù)的方法.

【典例5】（2024?蘇州）用數(shù)軸上的點表示下列各數(shù)，其中與原點距離最近的是（）

A.-3B.1C.2D.3

【分析】根據(jù)1-31=3,|1|=1,|2|=2,|3|=3,而3<2<1,可知1與原點距離最近.

【解答】解：1-31=3,|1|=1,|2|=2,|3|=3,

而3<2<1,

.?.1與原點距離最近，

故選：B.

【點評】本題考查的是數(shù)軸，熟練掌握數(shù)軸上點的分布特點是解題的關(guān)鍵.

【典例6]（2024?科右前旗模擬）點。在數(shù)軸上的位置如圖所示，試比較。、工、Ml大小關(guān)系正確的是（

a

）

a

]_______?；?_______I_______i?

-2-1012

A.a<—<\a\B.—<a<\a\C.a<\a\<—D.\a\<a<—

aaaa

【分析】根據(jù)圖示，可得：-1<。<。，據(jù)此判定出。、‘、|4|大小關(guān)系即可.

a

【解答】解：-,-1<?<0,

A—<-1,0<|（2|<1,

a

1,,

一<a<|a|.

a

故選：B.

【點評】本題考查了數(shù)軸，有理數(shù)大小比較，理清。的取值范圍是解答本題的關(guān)鍵.

【典例7】（2024秋?成華區(qū)校級月考）如圖，將一個半徑為1個單位長度的圓片上的點A放在原點，并把

圓片沿數(shù)軸滾動1周，點A到達點A的位置，則點A，表示的數(shù)是；若起點A開始時是與-1重合

的，則滾動2周后點A，表示的數(shù)是—.

【分析】先求出圓的周長，再根據(jù)數(shù)軸的特點進行解答即可.

【解答】解：.?圓的半徑為1個單位長度，

此圓的周長=2萬,

，當(dāng)圓片向左滾動一周時，點A，表示的數(shù)是-2萬；當(dāng)圓片向右滾動一周時，點4表示的數(shù)是2萬，

若起點A開始時是與-1重合的，圓片向左滾動2周時，則A表示的數(shù)是-1-4萬；圓片向右滾動2周時，A

表示的數(shù)是-1+4乃,

故答案為：-2萬或2萬；-1-41或一1+4萬.

【點評】本題考查的是實數(shù)與數(shù)軸的特點，熟知實數(shù)與數(shù)軸上的點是一一對應(yīng)關(guān)系是解答此題的關(guān)鍵.

【典例8】（2024?河北）如圖，有甲、乙兩條數(shù)軸.甲數(shù)軸上的三點A,B,C所對應(yīng)的數(shù)依次為T,2,

32,乙數(shù)軸上的三點。，E,尸所對應(yīng)的數(shù)依次為0,x,12.

（1）計算A,B,C三點所對應(yīng)的數(shù)的和，并求黑的值;

/iCz

（2）當(dāng)點A與點。上下對齊時，點3,C恰好分別與點E,尸上下對齊，求x的值.

eAB

甲「一2C

-4232

DEF

乙飛一FY-------?

12

【分析】（1）計算Y+2+32即可，根據(jù)數(shù)軸上兩點之間的距離公式先求出4?、AC的長，再計算比值即

可；

（2）先求出DE、止的長，根據(jù)題意列出普=經(jīng)，然后計算即可.

ACDF

【解答】解：（1）點A,B,。所對應(yīng)的數(shù)依次為T,2,32,

.-.A,B,。三點所對應(yīng)的數(shù)的和為T+2+32=30,

AB=2-（-4）=6,AC=32—（T）=36,

.AB_6_1

,AC-36-6；

（2）由數(shù)軸得，DE=x—O=x,。戶=12—0=12,

人口h*名曰ABDE

由意思俏'益=而'

l_x

?"一二,

612

..x=2.

【點評】本題考查了數(shù)軸，熟練掌握數(shù)軸上兩點之間的距離公式是解題的關(guān)鍵.

考點三：平方根、算術(shù)平方根、立方根與非負數(shù)的性質(zhì)

【典例1］（2024?資陽）若（a-l）2+g-2|=0,則曲=

【分析】根據(jù)非負數(shù)的性質(zhì)列出方程求出未知數(shù)的值，再代入所求代數(shù)式計算即可.

【解答】解：???（”1）2+111=0,

二.a—1=0,—2=0,

=l,b=2,

..cib=2,

故答案為：2.

【點評】本題考查了非負數(shù)的性質(zhì).初中階段有三種類型的非負數(shù)：（1）絕對值；（2）偶次方；（3）二

次根式（算術(shù)平方根）.當(dāng)它們相加和為。時，必須滿足其中的每一項都等于0.

【典例2】平方根”節(jié)是數(shù)學(xué)愛好者的節(jié)日，一個世紀只會出現(xiàn)9次，這一天的月份和日期的數(shù)字相同，

且恰好是當(dāng)年年份最后兩位數(shù)字的算術(shù)平方根，例如2016年的4月4日，請你再寫出一個本世紀的“平方

根”節(jié)，一年一月—日（題中示例除外）.

【分析】讀懂題意按照題目的方式找一組年月日符合題意的即可.

【解答】解：例如1981年9月9日，

故答案為：1981,9,9.

【點評】本題考查了新定義，做題關(guān)鍵是認真讀懂題意.

【典例3】（2024?成都）若切，〃為實數(shù)，且（m+4）?+J^二？=0,則（機+〃）2的值為.

【分析】利用非負數(shù)的性質(zhì)列出方程，求出方程的解得到加與〃的值，代入原式計算即可得到結(jié)果.

【解答】解：m,〃為實數(shù)，且（加+4『+&-5=0,

二.“2+4=0,?-5=0,

解得〃z=T,n—5,

.?.（〃?+“）2=（T+5）2=F=1.

故答案為：L

【點評】本題考查了非負數(shù)的性質(zhì)：幾個非負數(shù)的和為。時，這幾個非負數(shù)都為0.

【典例4】（2024春?西城區(qū)校級期中）【閱讀材料】

善于思考的小明通過觀察下列各式的計算過程，找到了求較大數(shù)的立方根的一種方法：F=i，23=8,33=27,

43=64,53=125,63=216,73=343,83=512,93=729.

（1）小明是這樣求出493039的立方根的.他先估計493039的立方根的個位上的數(shù)字，由上面各式他猜想

出這個立方根的個位上的數(shù)字為,又由7（）3<493039<8（）3；猜想出493039的立方根的十位上的數(shù)字

為,從而得到493039的立方根；

【解決問題】

（2）請你根據(jù)（1）中小明的探究方法，完成如下填空：

①V-238328=，②%.571787=.

【分析】（1）根據(jù)戶=1，23=8,33=27,43=64,53=125,63=216,7，=343,83=512,9:729的

個位數(shù)字所呈現(xiàn)的規(guī)律，得到493039立方根的個位數(shù)字是9,再根據(jù)703<493039<803,得到493039立方

根的十位數(shù)字是7,進而得出答案；

（2）①由238328的個位數(shù)字是8可知238328的立方根的個位數(shù)字是2,再由6。3=216000，703=343000>

而216000<238328<343000得至!J238328的立方根的十位數(shù)字是6即可；

②仿照①的方法求出衍南=83'再由=需二音求出答案即可.'

【解答】解：（1）由上面各式可得這個立方根的個位上的數(shù)字為9,又由703<493039<8。3；猜想出493039

的立方根的十位上的數(shù)字為7,從而得到493039的立方根是79,

故答案為：9,7；

(2)①由于238328的個位數(shù)字是8,由F=i，23=8.33=27.43=64.53=125,63=216.73=343,

83=512,93=729可知,

238328的立方根的個位數(shù)字是2,

-6O3=216000,703=343000，而216000<238328<343000,

.-.238328的立方根的十位數(shù)字是6,

???4-238328=-62，

故答案為：-62；

②由于571787的個位數(shù)字是7,由F=1，2?=8,33=27，43=64,53=125，63=216,73=343，83=512,

93=729可知,

238328的立方根的個位數(shù)字是3,

803=512000.903=729000.而512000<571787<729000,

.?,571787的立方根的十位數(shù)字是8,

尋’571787=83,

571787*571787

W571787=3,

1000000一*1000000

故答案為：0.83.

【點評】本題考查立方根，理解立方根的定義，掌握一個數(shù)立方根的個位數(shù)字所呈現(xiàn)的規(guī)律是正確解答的

關(guān)鍵》

考點四：二次根式及其運算

【典例1】（2024?北京）若而百在實數(shù)范圍內(nèi)有意義，則實數(shù)x的取值范圍是

【分析】根據(jù)二次根式有意義的條件，即可求解.

【解答】解：根據(jù)題意得X-9..0,

解得：x.9.

故答案為：x.9.

【點評】本題主要考查了二次根式有意義的條件，熟練掌握二次根式的被開方數(shù)為非負數(shù)是解題的關(guān)鍵.

【典例2】（2024?淮安）計算：&毛=.

【分析】本題需先對二次根式進行化簡，再根據(jù)二次根式的乘法法則進行計算即可求出結(jié)果.

【解答】解：舟,

=2拒」也，

2

=2.

故答案為：2.

【點評】本題主要考查了二次根式的乘除法，在解題時要能根據(jù)二次根式的乘法法則，求出正確答案是本

題的關(guān)鍵.

【典例3】（2023春?巨野縣期末）下面是小華同學(xué)解答題目的過程，請認真閱讀并完成相應(yīng)任務(wù).

計算：（血+1）?—^4—.

解:原式=2+20+1-*第一步

=3+272-272，.第二步

=3第三步

任務(wù)一：以上步驟中，從第一步開始出現(xiàn)錯誤，這一步錯誤的原因是—.

任務(wù)二：請寫出正確的計算過程.

任務(wù)三：除糾正上述錯誤外，請你根據(jù)平時的學(xué)習(xí)經(jīng)驗，就二次根式運算時還需注意

的事項給其他同學(xué)提一條建議.

【分析】直接利用完全平方公式將原式化簡，再利用二次根式的混合運算法則計算得出答案.

【解答】解：任務(wù)一：一，沒有將帶分數(shù)化為假分數(shù)再化簡，

故答案為：一，沒有將帶分數(shù)化為假分數(shù)再化簡，

任務(wù)二：原式=2+2啦+1

=3+2A/2--

2

任務(wù)三：二次根號內(nèi)是帶分數(shù)，需要先化為假分數(shù)，再化簡.

【點評】此題主要考查了二次根式的混合運算，正確掌握相關(guān)運算法則是解題關(guān)鍵.

【典例4】(2024?廣州模擬)我國南宋著名數(shù)學(xué)家秦九韶也提出了利用三角形三邊長。，b,c求三角形面

積的“秦九韶公式"，即S.已知在AABC中，a=&，b=娓,c=?，貝同邊

Y42

上的高為()

3264

【分析】根據(jù)題意把〃=6，b=瓜,0=近代入求得AABC的面積，再利用面積公式即可求解.

【解答】解：由題意得，々2=5,y=6,c*2*s=7,

22a+bC

^[ab-(2~

!J(30-4)

=—^/26,

2

故選：A.

【點評】本題考查了二次根式的知識，掌握二次根式計算方法是解題關(guān)鍵.

【典例5］如果一個三角形的三邊的長分別為。，b,c,設(shè)p=；(a+6+c),則有下列面積公式:

s=dp(p-a)(p-b)(p-c)(海倫公式)；

$=必。出(秦九韶公式).

如果一個三角形的三邊的長依次為5,6,7,利用兩個公式分別求這個三角形的面積.

【分析】把。、6、。的值分別代入海倫公式和秦九韶公式，計算即可.

【解答】解：p=^±|±Z=9.

S=,9x(9_5)x(9_6)x(9-7)

=x4x3x2

=6A/6;

S心2"+廠)2]

=/x6一年產(chǎn)

47^

1436x24

2

=—x6x2n

2

=6^/^-

【點評】本題考查了二次根式的運算，掌握二次根式的運算法則和二次根式的性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵.

考點五：實數(shù)的運算及大小比較

【典例1】（2024?吉林）若（-3）x口的運算結(jié)果為正數(shù)，貝I］口內(nèi)的數(shù)字可以為（）

A.2B.1C.0D.-1

【分析】將選項代入，得出運算結(jié)果即可.

【解答】解：（-3）x2=-6,故A選項錯誤；

（-3）x1=-3,故3選項錯誤；

（-3）xO=O,故C選項錯誤；

（-3）x（-1）=3,故。選項正確；

故選：D.

【點評】本題考查了有理數(shù)的乘法，掌握有理數(shù)的乘法法則是解題的關(guān)鍵.

【典例2】（2024?重慶）估計如