2025年中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)：二次函數(shù)的新定義問題

二次期數(shù)的新定義題型

2

1.定義：如果代數(shù)式A=Q逆2+biX+5（&W0,Qi，瓦,Ci是常數(shù)）與B=a2x-\-b2x+c2（a20,。2,匕2,。2是

常數(shù)），滿足出=。2，仇+匕2=0，5=S，貝1J稱這兩個代數(shù)式人與8互為“同構(gòu)式”，下列四個結(jié)論:①代數(shù)

式2d+力—3的“同構(gòu)式”為2力2—x—3；②若代數(shù)式2nz比2+儂+5與6nx2+36+5互為“同構(gòu)式”，則

山十九=6；③若A、B互為“同構(gòu)式”，且方程/+B=0有兩個不相等的實(shí)數(shù)根，則QiC］＞0；④若A、B

互為“同構(gòu)式"，"4=/2—2%+8,函數(shù)g=|A—2B|的圖象與直線y=m宿4個交點(diǎn)，則0＜?。?.其

中，正確的結(jié)論有（）個.

A.4B.3C.2D.1

2

【解答】解:①代數(shù)式2/+力—3的“同構(gòu)式”為2力之—%—3,故①正確；②若代數(shù)式2nu：2+nx+5與6nrr4-3劣

+5互為“同構(gòu)式”，則12館：6;，解得恒=一以九=一3,...m+九=一12,故②不正確；③若4B互為“同構(gòu)

式”，則4+8=2QR2+2q,,??4+B=0有兩個不相等的實(shí)數(shù)根，.??一4?2ax?2cA0，，-16QR＞0,

???Qi5V0,故③不正確；④互為“同構(gòu)式"，人="一2勿+8,則石="+2/+8,??.函數(shù)|4-28=|

222

—x—6a;—8|,Vy=—x—Gx—8=—（T+3）+1,頂點(diǎn)為（—3,1），,函數(shù)y=\A-2B\的圖象與直線g=

772有4個交點(diǎn)，則0VmV1.故④不正確.故選：。.

2.新定義：［Q,b］為一次函數(shù)g=QN+b（QW0,Q,b為實(shí)數(shù)）的“關(guān)聯(lián)數(shù)”.若“關(guān)聯(lián)數(shù)”為［3,館—2］的一

次函數(shù)是正比例函數(shù)，則點(diǎn)（1—館,1+館）在第象限.

【解答】解：??,“關(guān)聯(lián)數(shù)”為［3,m-2］的一次函數(shù)是正比例函數(shù)，.?.g=3/+小一2是正比例函數(shù)，

m—2=0,解得：m=2,則1—m=—1,1+m=3,故點(diǎn)（1—Tn,1+m）在第二象限.故答案為：二.

3.新定義：［a,b,c］為二次函數(shù)q=a62+b力+c（aW0,a,b,c為實(shí)數(shù)）的“圖象數(shù)"，如：^=4—2/+3的

“圖象數(shù)”為［1,-2,3］,若“圖象數(shù)”是［m,2m+4,2m+4］的二次函數(shù)的圖象與力軸只有一個交點(diǎn)，

則m的值為（）

A.-2B.4-C.-2或2D.2

4

【解答】解：二次函數(shù)的解析式為g=mx2+（2m+4）c+2m+4,根據(jù)題意得△=（2m+4）2—4m（2m+4）=

0,

解得mi=—2,m2=2,故選：C.

4.如果二次函數(shù)的二次項系數(shù)為1,則此二次函數(shù)可表示為：4="+收+q,我們稱［p,q］為此函數(shù)的“特

征數(shù)”，如二次函數(shù)2/="+2必+3的特征數(shù)為［2,3］.

（1）若一個函數(shù)的特征數(shù)為［-2,1］,該函數(shù)圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)為.

（2）探究以下問題：

①若一個函數(shù)的特征數(shù)為［4,-1］,將此函數(shù)的圖象先向右平移1個單位，再向上平移1個單位，求得到

的圖象對應(yīng)函數(shù)的特征數(shù).

②若一個函數(shù)的特征數(shù)為［2,3］,將此函數(shù)的圖象經(jīng)過的怎樣平移，才能使得到的圖象對應(yīng)函數(shù)的特征

數(shù)為［3,4］?

【解答】解：（1）由題意可得出：y=/一2,+1=（①一1），此函數(shù)圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)為：（1,0）.故答案為：（1,

0).(2)①由題意可得出：g=〃+4/-1=(%+2)2-5,?,?將此函數(shù)的圖象先向右平移1個單位，再向上平

移1個單位后得到：g=(2+2—I)?-5+1=(力+I/-4=〃+2/—3,二圖象對應(yīng)的函數(shù)的特征數(shù)為：［2,

-3］;(2)V一個函數(shù)的特征數(shù)為［2,3］,/.函數(shù)解析式為：="+2/+3=(/+1>+2.,/一個函數(shù)的特征

數(shù)為［3,4］,函數(shù)解析式為：g=〃+3力+4=(6+卷?+子..,?原函數(shù)的圖象向左平移-j-個單位，再向

下平移十個單位得到.

5.定義［a,b,c］為函數(shù),=(2d+版+。的特征數(shù)，下面給出特征數(shù)為［m-1,nz+1,-2m］的函數(shù)的一

些結(jié)論，其中不正確的是()

A.當(dāng)m=2時，函數(shù)圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(—!■,—?)

B.當(dāng)m>1時，函數(shù)圖象截①軸所得的線段長大于3

C.當(dāng)771<0時，函數(shù)在力〈:時，9隨C的增大而增大

D.不論7n取何值，函數(shù)圖象經(jīng)過兩個定點(diǎn)

【解答】解：因?yàn)楹瘮?shù)。=ax2-\-bx-\-c的特征數(shù)為—1,m+1,—2m］;4、當(dāng)？72=2時，9=/2+3力一4二

(力+1)—，頂點(diǎn)坐標(biāo)是(一，—?■卜此結(jié)論正確；_8、當(dāng)？?2>1時，令g=0,有(m—l)x2+(1+rri)x—

2m=0,解得，/i=1,力2=2n1］,\x—Xi\=7n>3,所以當(dāng)館>1時，函數(shù)圖象截x軸所得的線段長

m—123m—1

度大于3,此結(jié)論正確；。、當(dāng)mV0時，夕=(m-1)62+(1+m)x—2m是一?個開口向下的拋物線，其對稱軸

是：x-...7+1，在對稱軸的左邊g隨力的增大而增大，因?yàn)楫?dāng)nzVO時，7”=—烏一_L

2(館一1)2(m-l)2(m-l)2

----^―->―1，即對稱軸在x=-E右邊，可能大于4■，所以在力>《時，g隨力的增大而減小，此結(jié)論錯

m—12222

誤；D、因?yàn)間=(m—1)/+(1+m)x—2m=0即("+力一2)m—d+/=0,當(dāng)/？+%—2=0時，6=1或

一2,???拋物線經(jīng)過定點(diǎn)(1,0)或(一2,—6),此結(jié)論正確，故選：C.

6.定義［a,b,c］為函數(shù)g=be+c的特征數(shù)，下面給出特征數(shù)為［2m,1-m,-1-m］的函數(shù)的一

些結(jié)論，其中不正確的是()

A.當(dāng)m=—3時，函數(shù)圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)是(?

B.當(dāng)TH>0時，函數(shù)圖象截①軸所得的線段長度大于V

C.當(dāng)MW0時，函數(shù)圖象經(jīng)過同一個點(diǎn)

D.當(dāng)mVO時，函數(shù)在力>4時，g隨力的增大而減小

4

【解答】解：因?yàn)楹瘮?shù)g=ax2-\-bx-\-c的特征數(shù)為［2m,1—m,—1—m］;人、當(dāng)m=-3時，y=—6x2+46+2

=-6,—J)+標(biāo)，頂點(diǎn)坐標(biāo)是，卷)；此結(jié)論正確；反當(dāng)小>0時,令沙=0,有2m62+(1—m)x+(―1—

m)=0,解得：的=1,x2——■—［一,\x2—x^=■，所以當(dāng)m>0時，函數(shù)圖象截x軸所得的線

22m22m2

段長度大于,此結(jié)論正確；C、當(dāng)力=1時，g=2mx2+(1—m)x+(―1—m)=2m+(1—m)+(—1—m)=，

0即對任意?n,函數(shù)圖象都經(jīng)過點(diǎn)(1,0),函數(shù)圖象經(jīng)過力軸上一?個定點(diǎn)此結(jié)論正確._D、當(dāng)nzVO時，g=

2mx2+(1—m)x+(―1—m)是一^個開口向下的拋物線，其對稱軸是：直線x————,在對稱軸的右邊y隨

4m

_________0

力的增大而減小.因?yàn)楫?dāng)mV0時，坐——=3----，即對稱軸在力=右邊，因此函數(shù)在力二右

邊先遞增到對稱軸位置，再遞減，此結(jié)論錯誤;根據(jù)上面的分析，①②③都是正確的，④是錯誤的.故選：ZZ

7.對于一個函數(shù)，自變量/取Q時，函數(shù)值g也等于Q,則稱Q是這個函數(shù)的不動點(diǎn).已知二次函數(shù)g=d

+3x+m.

(1)若2是此函數(shù)的不動點(diǎn)，則m的值為.

(2)若此函數(shù)有兩個相異的不動點(diǎn)Q、b,且QV1Vb,則館的取值范圍為.

【解答】解：(1)若2是此函數(shù)的不動點(diǎn)，則拋物線經(jīng)過(2,2),將(2,2)代入g=/+3力+小得2=4+6+m,

解得7n=—8,故答案為：一8.(2)V(a,a),(b,b)在直線g=力上，令/2+3劣+771=/，整理得爐+2x+m=0,

函數(shù)有2個不動點(diǎn)，.，?△=2之一4m>0,解得mVl,設(shè)g="+26+nz,*.*a<1<b,——3+m

<0,

解得771V—3,故答案為：772V—3.

8.定義:兩個二次項系數(shù)之和為1,對稱軸相同，且圖象與g軸交點(diǎn)也相同的二次函數(shù)互為友好同軸二次函

數(shù).例如：y=2x2+4：x—5的友好同軸二次函數(shù)為9=一為2—26一5.

(1)函數(shù)g=[爐—2/+3的友好同軸二次函數(shù)為.

(2)當(dāng)—1&/<4時，函數(shù)g=(1—a)為2—2(1—Q)N+3(QW0且aW1)的友好同軸二次函數(shù)有最大值為

5,求a的值.

(3)已知點(diǎn)(m,q)分別在二次函數(shù)%=。爐+4Q6+C(Q>方且aW1)及其友好同軸二次函數(shù)統(tǒng)

的圖象上，比較的大小，并說明理由.

【解答】解：⑴???沙=占/—2力+3中a=：,對稱軸為直線力=----=4,c=3,，g=4■力之—2力+3的友

442X14

好同軸二次函數(shù)中a=~|■，對稱軸為直線力=4,c=4,I.g=1■/—6/+3,故答案為：y=-^x2—6x-\-3;

22

(2)Vg=(1—a)x—2(1—a)x+3的對稱軸為直線x=l9函數(shù)g=(1—a)x—2(1—a)x+3的友好同軸二

次函數(shù)為y—ax2—2ax+3=a(x—l)2—a+3,/.其頂點(diǎn)坐標(biāo)為(1,—a+3),當(dāng)aV0,函數(shù)最大值為一a+3

=5,解得a=-2;當(dāng)a>0時，拋物線開口向上，:1—(―1)V4—1,???力=4時，g=16a—8a+3=8a+3為

最大值，

8a+3=5,解得a=[;綜上所述：a的值為一2或，；⑶由%=ax2+4：ax+c(a>且QW1)可得其友

好同軸二次函數(shù)加二(1—a)x2+4(1—a)x+c,:拋物線陰，改與g軸交于點(diǎn)(0,c)且對稱軸為直線x=—2,

/.拋物線ylf紡的另一交點(diǎn)坐標(biāo)為(一4,c),當(dāng)VaV1時，拋物線仍開口向上,拋物線紡開口向上，

當(dāng)m<—4或??1>0時，p>q,7?i=—4或nz=0時，p=q,—4VznVO時，pVq;當(dāng)Q>1時，1—aVO,拋

物線切開口向上，拋物線紡開口向下，?,?館<—4或771>0時，p>q,nz=-4或nz=O時，p=q,—4V?72Vo

時，pVq;綜上所述，當(dāng)￡VQV1時，771<—4或m>0時，p>q,?72=—4或？n=0時，p=q,—4<m<0

時，pVq;當(dāng)a>l時，mV—4或nz>0時，p>q,m=—4或?n=0時，p=q,—4<m<0時，pVq.

9.【閱讀理解】已知關(guān)于劣、y的二次函數(shù)g=〃—2QC+a2+2a=(x—a)2+2Q,它的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(Q,2Q),故

不論a取何值時，對應(yīng)的二次函數(shù)的頂點(diǎn)都在直線g=2/上，我們稱頂點(diǎn)位于同一條直線上且形狀相同

的拋物線為同源二次函數(shù),該條直線為根函數(shù).

【問題解決】（1）若二次函數(shù)g=〃+2/—3和g=—d―46—3是同源二次函數(shù)，求它們的根函數(shù)；

（2）已知關(guān)于2、y的二次函數(shù)C:y—x1—4mx+4：m?—4m+1,完成下列問題：

①求滿足二次函數(shù)。的所有二次函數(shù)的根函數(shù)；

②若二次函數(shù)。與直線力=—3交于點(diǎn)P,求點(diǎn)P到力軸的最小距離，請求出此時加為何值？并求出點(diǎn)

P到力軸的最小距離.

【解答】解：（1）<y=d+2力-3=（6+I）?—4,?\該拋物線的頂點(diǎn)為（―1,—4）;*.*y——x1—4：x—3=—（6+2）

2+1,

?,?該拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（一2,1）.設(shè)經(jīng)過點(diǎn)（一1,—4）和點(diǎn)（一2,1）的直線的解析式為y-kx-\-b,：.

f—+4

\-2k+b=l'

k—_5

解得:.y=—5x—9.工它們的根函數(shù)為直線g=-56-9.(2)①:g="—&儂；+4?蘇—4m,十

b——9

1=(冗一2m)2—4m+1,該拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(2m,—4m+1),設(shè)頂點(diǎn)(2M,—4m+1)在直線y=ax

,k,A—4m+1=2ma+1.解得：a=—2,/.頂點(diǎn)(2m,—4m+1)在直線y=—2x+1上，滿足二次函數(shù)C

的所有二次函數(shù)的根函數(shù)為y=—26+1.②Y二次函數(shù)C與直線)=—3交于點(diǎn)P,工g=(―3)2—4mx(

—3)+4m2—4m+1=4m2+8m+10.F(—3,4m2+8m+10).4m2+8m+10=4(m+l)2+6,

???點(diǎn)P的縱坐標(biāo)當(dāng)m=—l時，最小值為6..??點(diǎn)P到力軸的最小距離為6,此時m=—l.

10.若兩個二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)、開口方向都相同，則稱這兩個二次函數(shù)為“同簇二次函數(shù)”.

（1）請寫出兩個為“同簇二次函數(shù)”的函數(shù).

⑵已知關(guān)于x的二次函數(shù)%=2〃—4：mx+2m2+1和例=+取+~|■，其中%的圖象經(jīng)過點(diǎn)F（l,

1），統(tǒng)與納為“同簇二次函數(shù)”，

①求小的值及函數(shù)m的表達(dá)式.

②如圖點(diǎn)A和點(diǎn)。是函數(shù)%上的點(diǎn)，點(diǎn)B和點(diǎn)。是函數(shù)例上的點(diǎn)，且都在對稱軸右側(cè)，若CD〃/

軸，AB,求第的值（只需直接答案）.

A.JD

【解答】解：（l）???g="和g=2"的頂點(diǎn)均為（0,0）,且開口向上，"和為“同簇二次函數(shù)”.

（2）①把F（l,l）代入%=2x2—4mx+2m2+1,得：1=2—4m+2m2+1,解得：館=1,?\%=2x2—4rc+3=

2

2（%—1）+1.y2與%為“同簇二次函數(shù)”，，頂點(diǎn)一樣為（1,1）,即統(tǒng)二a（力一1尸+1,

a+1—.a=,/.函數(shù)功的表達(dá)式為y?=（力-1）2+1—~~x2—1x+.②設(shè)點(diǎn)B的坐標(biāo)為

(ri,；(n—iy+l)(7i>1),*.*AB〃力軸，.??點(diǎn)A的坐標(biāo)為,AB//CD//x

4

軸，BC，AB,

???點(diǎn)。的坐標(biāo)為(n，2(n-I)?+1),點(diǎn)。的坐標(biāo)為(2V2(n-1)+1,2(n-l)2+l).AB=n-

口—1)+1]=(n—1)(1--,CD—2A/2(n—1)+1—n=(n—1)(2V2—1),/.=

(7i-l)(2A/^-1)_2A/^—1_2y/2

11.已知一系列具備負(fù)整數(shù)系數(shù)形式規(guī)律的''負(fù)倍數(shù)二次函數(shù)"：幼=—〃_22，％=—2爐一4工，窩=一3"一

6x,???

(1)探索發(fā)現(xiàn)，所有“負(fù)倍數(shù)二次函數(shù)”都有同一條對稱軸直線必=.

(2)求二次函數(shù)物的解析式及其頂點(diǎn)坐標(biāo).

⑶點(diǎn)(-1,10)是否是“負(fù)倍數(shù)二次函數(shù)”中某一拋物線的頂點(diǎn)，若是，請求出它所在的拋物線解析式，并

求出—2W*41對應(yīng)的沙的取值范圍;若不是,請說明理由.

122

【解答】解：(1)V拋物線對稱軸為直線x=—~^-,拋物線yx——X—2力，y2=—2x—4xfy3=—3x—6力的對

2a

2222

稱軸為直線/=—1,故答案為：一1.(2)Vyi=—x—2x=—x—2Xx,y2=—2x—4/=—2x—2x2/,

1

m=-3/—6力=—3/2—2x3力，yn——nx—2nx.把力=-1代入川=—71工2—2nc得備=n，二二次函數(shù)

2

yn的解析式為yn=—nx—2"6，頂點(diǎn)坐標(biāo)為(―l,n).(3)是，理由如下：把力=—1代入勿=—九"—2n岔得yn

二71,

當(dāng)？2=10時，72=10,滿足題意，，點(diǎn)(一1,10)是“負(fù)倍數(shù)二次函數(shù)"%o=—10力2—20力的頂點(diǎn).當(dāng)X^—1時，

"隨力的增大而增大；當(dāng)力>一1時，g隨力的增大而減??；當(dāng)力=-2時，g=—10x(—2)2—20x(—2)=0;

當(dāng)x=-l時，g=-10X(—1)2—20x(-1)=10;當(dāng)力=1時，g=-10xI2-20x1=-30;???當(dāng)-2《力41對

應(yīng)的。的取值范圍為一30<g<10.

12.在平面直角坐標(biāo)系中，對于函數(shù)%=Q/2+五+c,其中Q、b、c為常數(shù)，QWc,定義：函數(shù)%=ex2+bx+

Q2

Q是勿=匕/+c的衍生函數(shù)，點(diǎn)M(a,c)是函數(shù)%=/2+匕/+0的衍生點(diǎn)，設(shè)函數(shù)yr=ax+bx+

c與其衍生函數(shù)的圖象交于4、B兩點(diǎn)(點(diǎn)力在點(diǎn)B的左側(cè)).

(1)若函數(shù)幼=ax2-\-bx-\-c的圖象過點(diǎn)C(—1,3)、。(1,—5),其衍生點(diǎn)M(l,c)，求函數(shù)%=ax1-\-bx-\-c

的解析式；

2

(2)①若函數(shù)yx=ax+bx+c的衍生函數(shù)為納=2力—1,求A、8兩點(diǎn)的坐標(biāo)；

②函數(shù)%=?！?比+。的圖象如圖所示,請在圖中標(biāo)出點(diǎn)4、6兩點(diǎn)的位置；

(3)是否存在常數(shù)b,使得無論a為何值，函數(shù)％=a/+就+c的衍生點(diǎn)河始終在直線AB上,若存在,

請求出b的值;若不存在,請說明理由.

【解答】解：(1)二，函數(shù)%=ax2-\-bx-\-c的衍生點(diǎn)M(l,c),a=1,函數(shù)%=ax2+僅r+c的圖象過點(diǎn)C(—1,

3)、0(1,—5)°,**.\\,二胡="一4力一2.(2)①函數(shù)yi=ax2-\-bx+c的衍生函數(shù)

[J>十。十C—o(c—/

為紡=2比一1,

:.yi=—x2+2x,：.—x2+2x=2x—l,：.x=—1或％=1,71(—1,—3)、,②由圖象結(jié)合(1)得yi=x2—

4劣一2,

紡=—2"—4%+1,?,?比之一4比一2=—262—4rc+1,：.x=—1或力=1,A(—1,3)、B(l,—5)，見圖所示：

2222

(3)二?點(diǎn)M(a,c),%=ax+b力+c,y2—ex-\-bx-\-a,ax-\-bx+c—ex+bx+a,

x=—1或力=1,.,??!(—l,a—b+c)、_B(l,a+b+c),設(shè)直線AB的表達(dá)式為g=k/+nz,則/.

{-k-\-m—a—b+c

\k-\-m=a+b-\-c'

(ok=b

/.<,：.y—bx+a+c,代入M(Q,C)得，c=ab+a+c,/.a(b+1)=0,Va是任意實(shí)數(shù)，b+1=0,

/.b=-1.

13.九年級數(shù)學(xué)興趣小組在課外學(xué)習(xí)時遇到這樣一個問題：

定義：如果二次函數(shù)9=。1/2+仇力+。1（。1￥0,Q1，仇，5是常數(shù)）與?=。2d+626+。2（。2W0,。2,優(yōu)，。2

是常數(shù)）滿足電+。2=0，仇=戾“1+。2=0,則這兩個函數(shù)互為“旋轉(zhuǎn)函數(shù)"求函數(shù)g=2/2—3/+1的

“旋轉(zhuǎn)函數(shù)”.

小組同學(xué)是這樣思考的，由函數(shù)g=2%2—3c+1可知，a1=2,bi=—3,5=1,根據(jù)Qi+電=0,仇=①，

Ci+C2=0,求出電"2,6就能確定這個函數(shù)的“旋轉(zhuǎn)函數(shù)”.

請參照小組同學(xué)的方法解決下面問題：

⑴函數(shù)g=/—4/+3的“旋轉(zhuǎn)函數(shù)”是；

⑵若函數(shù)g=5力2+（m—l）x+n與n=—5x2—nx—3互為“旋轉(zhuǎn)函數(shù)”，求（m+九嚴(yán)2的值；

（3）已知函數(shù)g=2（力一1）（2+3）的圖象與力軸交于A,B兩點(diǎn)，與g軸交于點(diǎn)。，點(diǎn)A,B,。關(guān)于原點(diǎn)的

對稱點(diǎn)分別是4,四，G，試求證:經(jīng)過點(diǎn)4，馬，G的二次函數(shù)與g=2（c—1）（力+3）互為“旋轉(zhuǎn)函

數(shù)”.

【解答】（1）解：由函數(shù)沙=42-4/+3知，Qi=1,仇=—4,C1=3,丁Q1+電=0,仇=匕2,。1+。2=0,

22

a2=—1,b2=—4,c2=—3,/.y=—x—4/一3,故答案為：y=—x—4力一3;（2）解：根據(jù)題意得：

mn1

[~o-n，解得I"r12,（m+九）2022=（3—2產(chǎn)22=1；（3）證明：化簡9=2（。-1）3+3）得?/=2/+4x

[九—3—U[71=J

一6,則A,B,C三點(diǎn)的坐標(biāo)分別為41，。），石（一3,0）,C（0,一6）,工44C三點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對稱的點(diǎn)坐標(biāo)分別

為41（-1,0）,61（3,0）,6（0,6）,???經(jīng)過4、3、。1三點(diǎn)的函數(shù)解析式為0=-2d+4力+6,???沙=一2/+46+

6與原函數(shù)g=2（力一1）（力+3）是旋轉(zhuǎn)函數(shù).

14.如果一個點(diǎn)的橫縱坐標(biāo)均為常數(shù)，那么我們把這樣的點(diǎn)稱為確定的點(diǎn)，簡稱定點(diǎn).比如點(diǎn)（1,2）就是一

個定點(diǎn).在一次函數(shù)y=kx—k+2（fc是常數(shù)）的圖象中，由于g=kr—k+2=k（x-1）+2,當(dāng)力一1=

。即/=1時，無論k為何值，g一定等于2,我們就說直線g=far—k+2一定經(jīng)過定點(diǎn)（1,2）.

（1）已知拋物線y=ax2-l（a是常數(shù)）,無論a取何值,該拋物線都經(jīng)過定點(diǎn)4直接寫出點(diǎn)A的坐標(biāo).

（2）已知拋物線g=加砂+（2—2m）/+館—2（館是常數(shù)）.

①無論m取何值,該拋物線都經(jīng)過定點(diǎn)D.直接寫出點(diǎn)。的坐標(biāo).

②若在的范圍內(nèi)，至少存在一個二的值，使g>0,求小的取值范圍.

【解答】解：（1）拋物線y=ax2—1,當(dāng)力=0時，g=—1，此時，無論a為何值n一?定等于一1,二拋物線y=ax2

—1一,定經(jīng)過定點(diǎn)（0,—1）,/.A（0,—1）.（2）①;g=mx2+（2—2m）x+m—2=m{x—l）2+2（力一1）,???當(dāng)力

—1=0時，g=0,此時力=1,?\當(dāng)力=1時，無論771為何值，g一定等于0,???拋物線經(jīng)過定點(diǎn)（1,0）,

.,.￡）（1,0）.②由①可知，該拋物線與力軸的一個交點(diǎn)為（1,0）,,:y=mx2+（2—2m）a?+m—2=

（772—1\21

mlx---------------------,

\m7m

該拋物線的對稱軸為直線力=―—―，即直線力=1——;當(dāng)m>0時，如圖1,設(shè)拋物線交g軸于點(diǎn)_8,

mm

當(dāng)力=0時，g=nz—2,,B（0,m—2），:拋物線的開口向上，且1——L〈l,?,?點(diǎn)。在拋物線的對稱軸的右

m

側(cè)，由圖象可知，只需滿足點(diǎn)石在/軸的上方，則在的范圍內(nèi)，至少存在一個力的值，使g>0,

.?.小一2>0,.?.??>2;當(dāng)小V0時，如圖2,此時拋物線開口向下，且1一」->1,.?.點(diǎn)。在拋物線的對稱軸

m

的左側(cè)，,拋物線與力軸的另一個交點(diǎn)在點(diǎn)D的右側(cè)，由圖象可知，在的范圍內(nèi)，不存在使g>0的

x值,綜上所述，M的取值范圍是7n>2.

y

15.在數(shù)學(xué)活動課上，小明興起小組對二次函數(shù)的圖象進(jìn)行了深入的探究，如果將二次函數(shù)，y=a〃+E+

c（a￥0）圖象上的點(diǎn)A（c,y）的橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)變?yōu)锳點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)之和，就會得到的一個新的點(diǎn)

2

Ax（x,X+y）.他們把這個點(diǎn)人：定義為點(diǎn)A的“簡樸”點(diǎn).他們發(fā)現(xiàn):二次函數(shù)"=ax+bx+c（a￥0）所

有簡樸點(diǎn)構(gòu)成的圖象也是一條拋物線，于是把這條拋物線定義為y=ax2+bx+c（a豐0）的“簡樸曲線”.

例如，二次函數(shù)夕="+3；+1的“簡樸曲線"就是4=〃+/+1+a;=x2+2a;+1,請按照定義完成：

⑴點(diǎn)P（1⑵的“簡樸”點(diǎn)是；

（2）如果拋物線y=a/—7c+3（aW0）經(jīng)過點(diǎn)M（l,-3）,求該拋物線的“簡樸曲線”；

（3）已知拋物線y=x^+bx+c圖象上的點(diǎn)B（x,y）的“簡樸點(diǎn)”是馬（一1,1）,若該拋物線的“簡樸曲線”的

頂點(diǎn)坐標(biāo)為（771,72），當(dāng)0WCW3時，求71的取值范圍.

【解答】解:（1）由題意得點(diǎn)尸（1,2）的“簡樸”點(diǎn)是（1,1+2）,即（1,3）,故答案為：（1,3）.

（2）將（1,—3）代入y=a/—7c+3得—3=a—7+3,解得a=1,：.y=x2—7x+3,拋物線y=x2—7x+

(x=-l

的"簡樸曲線"為。+（）；點(diǎn)B（x,y）的''簡樸點(diǎn)”是（）

39=—7c+3+c=/—63.3B—1,1,[x+y^l

（7=-1

解得＜_，,點(diǎn)B坐標(biāo)為（一1,2）,工1—b+c=2,即b=c-1,?\g="十億—1）力+c,該拋物線的“簡

1沙=2

樸曲線”為g=〃+cc+°=（力+）+c—?,?該拋物線的“簡樸曲線”的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（?n,n）,工m=

—,n=c—?=―:（。-2）2+1,?\c=2時，九=1為最大值，把c=0代入7i=c一4-得幾=0,把c=3代

入n=c———得n=3,工當(dāng)0＜c43時，0＜九＜1.

2

16.已知拋物線Lx:y=ax+b力一3與c軸交于點(diǎn)A（—3,0）,B（l,0）.

（1）求拋物線的表達(dá)式；

（2）若兩個拋物線的交點(diǎn)在力軸上,且頂點(diǎn)關(guān)于力軸對稱,則稱這兩個拋物線為“對稱拋物線”,求拋物線

，對稱拋物線心的解析式；

（3）在⑵的條件下，點(diǎn)河是名軸上方的拋物線L2上一動點(diǎn)，過點(diǎn)M作MN.Lx軸于點(diǎn)M設(shè)河的橫坐

標(biāo)為館，記W=MN-2ON,求W的最大值.

【解答】解：（1）將點(diǎn)4（—3,0）,_B（L0）代入g=a/般—3,（9。3b一。，解得,：.y=x2-\-2x—3;

[a+匕-3—U\b—2?

（2）令g=0,則/+2力-3=0,解得力=-3或1=1,?,?拋物線與力軸的交點(diǎn)為（一3,0）或（1,0）,???g="+2力;

—3=（6+I）?—4,?,?頂點(diǎn)為（一1,—4）,頂點(diǎn)關(guān)于力軸的對稱點(diǎn)為（一1,4）,設(shè)拋物線L2的解析式為y—n{x\

+1）2+4,V拋物線經(jīng)過點(diǎn)（一3,0）或（1,0）,n=—1,y=—x2—2/+3;（3）。.?點(diǎn)M'是力軸上方的拋物線L；

?2

上一■動點(diǎn)，；.一3<1,：M'的橫坐標(biāo)為m,,M(m,—m2—2m+3),N(m,O),MN=—m2—2m+3,ON

=\m\,當(dāng)一3V，40時，W—MN—2ON——m?—2m+3+2m——m?+3,/.當(dāng)？n=0時，W有最大值3;

當(dāng)04，<l時，W—MN—2ON——m2—2m+3—2m——m2—4m+3=—(m+2)2+7,當(dāng)=0時，W

有最大值3;

綜上所述：W的最大值為3.

17.設(shè)二次函數(shù)陰，統(tǒng)的圖象的頂點(diǎn)分別為（a,b）、（c,d）,當(dāng)a=—2c,b=—2d,且開口方向相同時，則稱％是

統(tǒng)的“反倍頂二次函數(shù)”.

（1）請寫出二次函數(shù)?/="+力+1的一個“反倍頂二次函數(shù)”；

（2）已知關(guān)于x的二次函數(shù)%=d+儂c和二次函數(shù)仍=-2nx+1,若函數(shù)%恰是%+y2的“反倍頂

二次函數(shù)"，求"的值.

【解答】解：⑴+/+1,二9=二次函數(shù)/=4+工+1的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（一，年），

二次函數(shù)?/=d+/+1的一個“反倍頂二次函數(shù)”的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（1,—日），反倍頂二次函數(shù)的解析式為

9=（①一1）2一卷="一2工——；（2）%+九工=（工+5）一霍，頂點(diǎn)坐標(biāo)為（一］,―乎），yi+y2=X2+

22

nx+x—2nx+1=2x—na:+l=2（c—個）+1—受，頂點(diǎn)坐標(biāo)為（弓，1—受），由于函數(shù)加恰是%+y2的

'4，o'4

“反倍頂二次函數(shù)”，則一半=一2x（1—M）,解得：n=±2.

4'8/

18.若兩個二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)、開口方向都相同，則稱這兩個二次函數(shù)為“同簇二次函數(shù)，

（1）請寫出兩個為“同簇二次函數(shù)”的函數(shù)；

222

（2）已知關(guān)于x的二次函數(shù)%=2x—4mx+2m+1和y2=ax+bx+5,其中仍的圖象經(jīng)過點(diǎn)A（l,l）,

若依+改與%為“同簇二次函數(shù)”，求函數(shù)統(tǒng)的表達(dá)式，并求出當(dāng)04力<3時，統(tǒng)的最大值.

【解答】解：（1）設(shè)頂點(diǎn)為仇,k）的二次函數(shù)的關(guān)系式為y—a（x—/z）2+k,當(dāng)a=2,h=3,k=4時，二次函數(shù)的

關(guān)系式為g=2Q—3y+4.?.,2>0,?,?該二次函數(shù)圖象的開口向上.當(dāng)。=3,九=3,k=4時，二次函數(shù)的

關(guān)系式為g=3Q—3y+4.??,3>0,?,?該二次函數(shù)圖象的開口向上.;兩個函數(shù)g=2（力一3了+4與y=3

（力一3）2+4頂點(diǎn)相同，開口都向上，，兩個函數(shù)g=2（力一3y+4與沙=3（/一3丫+4是“同簇二次函數(shù)”..?.

符合要求的兩個“同簇二次函數(shù)”可以為：沙=2（力-3）2+4與沙=3（力-3）2+4（答案不唯一）?（2）???切的圖

象經(jīng)過點(diǎn)4（1,1）,上2x—4xm,義1+2館2+1=1.整理得：m?—2m,+1=0.解得：館］=7n?=1.，%=

2x2—4力+3=2（力—1）2+1.

/.7/1+7/2—2/—4力+3+ax2+b力+5=（a+2）d+（6—4）/+8:為+仍與仍為“同簇二次函數(shù)“，六%+統(tǒng)

b—4=-2(a+2)

=（Q+2）（力—1）2+1=（Q+2）步2—2（a+2）n+（Q+2）+1.其中a+2>0,即（>-2.

8=(a+2)+1

(a=5

解得:，函數(shù)統(tǒng)的表達(dá)式為：例二5〃-10力+5.，緲=5〃-10力+5=5(力一1)，函數(shù)例的

[b=-W

圖象的對稱軸為力=1.??,5>0,?,.函數(shù)統(tǒng)的圖象開口向上.①當(dāng)04/&1時，??,函數(shù)統(tǒng)的圖象開口向上，

???g2隨力的增大而減小，???當(dāng)力=0時，02取最大值，最大值為5x(0—l)2=5,②當(dāng)l&力43時，???函數(shù)改

的圖象開口向上，???92隨力的增大而增大，當(dāng)力=3時，統(tǒng)取最大值，最大值為5(3—1)2=20.綜上所述：當(dāng)

04/43時，仍的最大值為20.

19.在平面直角坐標(biāo)系中，如果點(diǎn)P的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)相等，則稱點(diǎn)P為平衡點(diǎn).例如：點(diǎn)(1,1),(―2,

-V2),都是平衡點(diǎn).

(1)判斷函數(shù)沙=22+1的圖象上是否存在平衡點(diǎn),若存在，求出其平衡點(diǎn)的坐標(biāo)；

①求Q,C的值；

②若加時，函數(shù)g=ax2+66+c+1(QW0)的最小值為—1,最大值為3,求實(shí)數(shù)m的取值范

圍.

【解答】解：(1)存在和諧點(diǎn)，理由如下，設(shè)函數(shù)g=2rr+1的和諧點(diǎn)為｛x,x),/.2/+1=/,解得⑦=—1,

和諧點(diǎn)為(—1,—1);(2)①，?,點(diǎn))是二次函數(shù)y—ax2+6x+c(aW0)的和諧點(diǎn)，.二~~—+15+

c，

c~~^~a—，:二次函數(shù)g=Q/+6/+C(QW0)的圖象上有且只有一個和諧點(diǎn)，.=ax2+6力+c=/有

且只有一個根，，△=25—4QC=0,，a=—1,c——?;②由①可知y——x1+6N—6=—(x—3)2+3,工拋

物線的對稱軸為直線力=3,當(dāng)力=1時，g=—1，當(dāng)力=3時，g=3,當(dāng)力=5時，g=—1，=函數(shù)的最大值為3,

最小值為-1;當(dāng)3&nz45時，函數(shù)的最大值為3,最小值為一1.

20.定義:在平面直角坐標(biāo)系忒加中，當(dāng)點(diǎn)N在圖形M的內(nèi)部，或在圖形河上，且點(diǎn)N的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)相

等時，則稱點(diǎn)N為圖形河的“夢之點(diǎn)”.

⑴如圖①，矩形4BCD的頂點(diǎn)坐標(biāo)分別是4—L2),B(—1,—1)，。⑶一1),0⑶2),在點(diǎn)監(jiān)⑵

2),峪(3,3)中,是矩形488"夢之點(diǎn)”的是；

(2)點(diǎn)G⑵2)是反比例函數(shù)陰=巨圖象上的一個“夢之點(diǎn)”，則該函數(shù)圖象上的另一個“夢之點(diǎn)”H的坐

X

標(biāo)是，直線GH的解析式是統(tǒng)=,%>統(tǒng)時，力的取值范圍是；

(3)如圖②，已知點(diǎn)入，口是拋物線y=-1x2+2+3上的“夢之點(diǎn)”，點(diǎn)。是拋物線的頂點(diǎn).連接AC,

判斷A4BC的形狀，并說明理由.

______________即

圖①圖②

【解答】解：⑴?.?矩形ABCD的頂點(diǎn)坐標(biāo)分別是4—1,2),8(—1,-1),0(3,一1),。(3,2),.?.矩形ABCD的

“夢之點(diǎn)”Q,沙)滿足一14公W3,一144《2,.?.點(diǎn)⑵2)是矩形48co的"夢之點(diǎn)”，點(diǎn)峪(3,3)

不是矩形ABCD的“夢之點(diǎn)”，故答案為：M,此；⑵???點(diǎn)G(2,2)是反比例函數(shù)仍=總圖象上的一個“夢之

X

點(diǎn)”，.?.把G(2,2)代入%=k得％=4,.?.%=屋，?.?“夢之點(diǎn)”的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)相等，“夢之點(diǎn)”都在"=

XX

C的圖象上，聯(lián)立("1=3,解得卜片或產(chǎn):U，.?.〃(一2,—2),.?.直線GH的解析式為紡=2,.?.陰>統(tǒng)時，

\y—xly—2[y—2

加的取值范圍是,<-2或0<rc<2,故答案為：H(-2,—2),①，rc<-2或0<a;<2;(3)AABC是直角三角

形，理由：?.?點(diǎn)45是拋物線沙=—[/+/+得上的“夢之點(diǎn)”，...[-Ti+c+l■，解得「或

22\y—x〔g—J

1_；,?二4(3,3),B(—3,—3),*.*y—―^-x2+c+曰=——l)2+5,頂點(diǎn)C(l,5),AC2=(3—I)2+

(g—o2NN

(3—5產(chǎn)=8,AB-=(-3-3)2+(-3-3)2=72,BC2=(-3-I)2+(-3-5)2=80，,BC2=AC2+AB2,：.

AABC是直角三角形.

21.數(shù)和形是數(shù)學(xué)研究客觀物體的兩個方面，數(shù)(代數(shù))側(cè)重研究物體數(shù)量方面，具有精確性,形(幾何)側(cè)重

研究物體形的方面,具有直觀性.數(shù)和形相互聯(lián)系，可用數(shù)來反映空間形式,也可用形來說明數(shù)量關(guān)系.

數(shù)形結(jié)合就是把兩者結(jié)合起來考慮問題,充分利用代數(shù)、幾何各自的優(yōu)勢，數(shù)形互化，共同解決問題.

同學(xué)們，請你結(jié)合所學(xué)的數(shù)學(xué)解決下列問題.

在平面直角坐標(biāo)系中，若點(diǎn)的橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)都為整數(shù)，則稱這樣的點(diǎn)為整點(diǎn).設(shè)函數(shù)y=(4a+2)〃+

(9-Qa)x-4a+4(實(shí)數(shù)a為常數(shù))的圖象為圖象T.

(1)求證：無論a取什么實(shí)數(shù)，圖象T與2軸總有公共點(diǎn)；

(2)是否存在整數(shù)a,使圖象T與刀軸的公共點(diǎn)中有整點(diǎn)？若存在,求所有整數(shù)a的值；若不存在,請說明

理由.

【解答】(1)證明：當(dāng)a=—■時，函數(shù)表達(dá)式為沙=12x+6,令9=0