九年級數(shù)學(xué)下冊同步學(xué)與練（浙教版）-第03講 解直角三角形（7類題型）（原卷版）

第03講解直角三角形（7類題型）課程標(biāo)準(zhǔn)學(xué)習(xí)目標(biāo)1.解直角三角形的應(yīng)用；1.掌握解直角三角形；2.掌握解直角三角形的應(yīng)用——仰俯角問題；3、掌握解直角三角形的應(yīng)用——方位角問題；4、掌握解直角三角形的應(yīng)用——坡度、坡角問題；5、掌握解直角三角形的綜合應(yīng)用；知識點(diǎn)1：解直角三角形（1）解直角三角形的定義在直角三角形中，由已知元素求未知元素的過程就是解直角三角形．（2）解直角三角形要用到的關(guān)系①銳角、直角之間的關(guān)系：∠A+∠B＝90°；②三邊之間的關(guān)系：a2+b2＝c2；③邊角之間的關(guān)系：sinA=∠A的對邊斜邊=ac，cosA（a，b，c分別是∠A、∠B、∠C的對邊）【即學(xué)即練1】1．（2023上·山東濟(jì)寧·九年級濟(jì)寧學(xué)院附屬中學(xué)?？茧A段練習(xí)）在中，，則的值為（

）A． B． C． D．知識點(diǎn)2：解直角三角形的應(yīng)用——仰角、俯角問題（1）概念：仰角是向上看的視線與水平線的夾角；俯角是向下看的視線與水平線的夾角．（2）解決此類問題要了解角之間的關(guān)系，找到與已知和未知相關(guān)聯(lián)的直角三角形，當(dāng)圖形中沒有直角三角形時，要通過作高或垂線構(gòu)造直角三角形，另當(dāng)問題以一個實(shí)際問題的形式給出時，要善于讀懂題意，把實(shí)際問題劃歸為直角三角形中邊角關(guān)系問題加以解決．在視線與水平線所成的角中，視線在水平線上方的角叫仰角；視線在水平線下方的角叫俯角；【即學(xué)即練2】2（2023上·湖南邵陽·九年級統(tǒng)考階段練習(xí)）如圖，在地面上的點(diǎn)A處測得樹頂B的仰角為α度，若米，則樹高為（）A．米 B．米 C．米 D．米知識點(diǎn)3：解直角三角形的應(yīng)用——方位角問題（1）在辨別方向角問題中：一般是以第一個方向?yàn)槭歼呄蛄硪粋€方向旋轉(zhuǎn)相應(yīng)度數(shù)．（2）在解決有關(guān)方向角的問題中，一般要根據(jù)題意理清圖形中各角的關(guān)系，有時所給的方向角并不一定在直角三角形中，需要用到兩直線平行內(nèi)錯角相等或一個角的余角等知識轉(zhuǎn)化為所需要的角．【即學(xué)即練3】3．（2023上·山東泰安·九年級?？茧A段練習(xí)）如圖，某貨船以24海里/時的速度從A處向正東方向的D處航行，在點(diǎn)A處測得某島C在北偏東60°的方向．該貨船航行30分鐘后到達(dá)B處，此時測得該島在北偏東30°的方向上．則貨船在航行中離小島C的最短距離是（）

A．12海里 B．6海里 C．12海里 D．24海里知識點(diǎn)4：解直角三角形的應(yīng)用—:坡度、坡角問題（1）坡度是坡面的鉛直高度h和水平寬度l的比，又叫做坡比，它是一個比值，反映了斜坡的陡峭程度，一般用i表示，常寫成i＝1：m的形式．（2）把坡面與水平面的夾角α叫做坡角，坡度i與坡角α之間的關(guān)系為：i＝h/l＝tanα．（3）在解決坡度的有關(guān)問題中，一般通過作高構(gòu)成直角三角形，坡角即是一銳角，坡度實(shí)際就是一銳角的正切值，水平寬度或鉛直高度都是直角邊，實(shí)質(zhì)也是解直角三角形問題．應(yīng)用領(lǐng)域：①測量領(lǐng)域；②航空領(lǐng)域③航海領(lǐng)域：④工程領(lǐng)域等．【即學(xué)即練4】4．（2023上·山西臨汾·九年級校聯(lián)考階段練習(xí)）汾河水庫位于山西省太原市西北婁煩縣境內(nèi)下靜游村至下石家莊之間．如圖，水庫某段橫截面迎水坡的坡度（坡度），若坡高，則坡面的長度約為（參考數(shù)據(jù)：）A． B． C． D．知識點(diǎn)5:解直角三角形的綜合應(yīng)用（1）通過解直角三角形能解決實(shí)際問題中的很多有關(guān)測量問．如：測不易直接測量的物體的高度、測河寬等，關(guān)鍵在于構(gòu)造出直角三角形，通過測量角的度數(shù)和測量邊的長度，計算出所要求的物體的高度或長度．（2）解直角三角形的一般過程是：①將實(shí)際問題抽象為數(shù)學(xué)問題（畫出平面圖形，構(gòu)造出直角三角形轉(zhuǎn)化為解直角三角形問題）．②根據(jù)題目已知特點(diǎn)選用適當(dāng)銳角三角函數(shù)或邊角關(guān)系去解直角三角形，得到數(shù)學(xué)問題的答案，再轉(zhuǎn)化得到實(shí)際問題的答案．【即學(xué)即練5】5．（2023上·山西臨汾·九年級校聯(lián)考階段練習(xí)）為慶祝國慶，某校要在如圖所示的五角星中（圖中所有線段的長度均相等，且），從頂點(diǎn)A開始，沿邊每隔40厘米裝一盞閃光燈，如果F，J兩點(diǎn)間的距離為米，那么需要安裝閃光燈的盞數(shù)是（參考數(shù)據(jù)：）A．30 B．40 C．50 D．60題型01解直角三角形的相關(guān)計算1．（22·23下·深圳·模擬預(yù)測）如圖，在邊長為6的等邊中，點(diǎn)E在邊上自A向C運(yùn)動，點(diǎn)F在邊上自C向B運(yùn)動，且運(yùn)動速度相同，連接交于點(diǎn)P，連接，在運(yùn)動過程中，點(diǎn)P的運(yùn)動路徑長為（

）A． B． C． D．2．（21·22下·蕪湖·自主招生）如圖所示，已知，且與的距離為2，與的距離為1，正三角形的三個頂點(diǎn)分別在，，上，則．

3．（2022秋·廣東深圳·八年級深圳市南山區(qū)荔香學(xué)校校考期中）我們定義：等腰三角形中底邊與腰的比叫做頂角正對（），如圖①，在中，，頂角A的正對記作，這時．容易知道一個角的大小與這個角的正對值也是相互唯一確定的．根據(jù)上述角的正對定義，解下列問題：

(1)________．(2)對于，的正對值的取值范圍是________．(3)如圖②，已知，其中為銳角，試求的值．題型02解非直角三角形1．（2020·哈爾濱·模擬預(yù)測）如圖，在處測得點(diǎn)在北偏東方向上，在處測得點(diǎn)在北偏東方向上，若千米，則點(diǎn)兩點(diǎn)的距離為（）千米．A．4 B． C．2 D．62．（2019上·成都·期末）如圖，在等腰中，于點(diǎn)，則的值（

）

A． B． C． D．3．（23·24上·哈爾濱·階段練習(xí)）在中，若，，，則．題型03構(gòu)造直角三角形求不規(guī)則圖形的邊長或面積1．（22·23下·益陽·期末）如圖，在四邊形中，，，，，則四邊形的面積為（

）

A．48 B．50 C．52 D．542．（22·23下·專題練習(xí)）如圖，在中，，，，則的長為，的面積為．3．（22·23上·西安·階段練習(xí)）如圖，在四邊形中，連接、，，，，則的值為．題型04仰角俯角問題1．（22·23下·日照·階段練習(xí)）如圖，是垂直于水平面的建筑物，沿建筑物底端沿水平方向向左走米到達(dá)點(diǎn)，沿坡度（坡度坡面鉛直高度與水平寬度的比）斜坡走到點(diǎn)，再繼續(xù)沿水平方向向左走米到達(dá)點(diǎn)、、、、在同一平面內(nèi)，在處測得建筑物頂端A的仰角為，已知建筑物底端與水平面的距離為米，則建筑物的高度約是參考數(shù)據(jù)：，，（

）

A．米 B．米 C．米 D．米2．（22·23·一模）安裝了軟件“”的智能手機(jī)可以測量物高．其數(shù)學(xué)原理是：該軟件通過測量手機(jī)離地面的高度，物體底端的俯角和頂端的仰角即可得出物體高度．如圖，小明測得大樹底端點(diǎn)俯角，頂端點(diǎn)的仰角，點(diǎn)離地面的高度米，則大樹的為（

）

A．米 B．米C．米 D．米3．（2023·湖北襄陽·統(tǒng)考中考真題）在襄陽市諸葛亮廣場上矗立著一尊諸葛亮銅像．某校數(shù)學(xué)興趣小組利用熱氣球開展綜合實(shí)踐活動，測量諸葛亮銅像的高度．如圖，在點(diǎn)處，探測器顯示，熱氣球到銅像底座底部所在水平面的距離為，從熱氣球看銅像頂部的俯角為，看銅像底部的俯角為．已知底座的高度為，求銅像的高度．（結(jié)果保留整數(shù)．參考數(shù)據(jù)：，，，）

題型05方位角問題1．（23·24上·石家莊·階段練習(xí)）如圖，島位于島的正西方，兩島間的距離為海里，由島分別測得船位于南偏東和南偏西方向上，則船到島的距離為（）

A．40海里 B．海里 C．海里 D．海里2．（22·23下·清遠(yuǎn)·三模）如圖，一艘海輪位于燈塔P的南偏東方向，距離燈塔的處，它沿正北方向航行一段時間后，到達(dá)位于燈塔的北偏東方向上的B處，這時，B處與燈塔P的距離為．

3．（2022秋·安徽合肥·九年級合肥市第四十八中學(xué)?？计谀┤鐖D，某漁船向正東方向以10海里/時的速度航行，在A處測得島C在北偏東方向上，1小時后漁船航行到B處，測得島C在北偏東方向上，已知該島周圍9海里內(nèi)有暗礁．

(1)B處離島C有多遠(yuǎn)？(2)如果漁船繼續(xù)向東航行，有無觸礁危險？(3)如果漁船在B處改為向東偏南方向航行，有無觸礁危險（參考數(shù)據(jù)：、、）題型06坡度坡比問題1．（22·23下·廣州·一模）如圖是一個山坡，已知從處沿山坡前進(jìn)160米到達(dá)處，垂直高度同時升高80米，那么山坡的坡度為（）

A． B． C． D．2．（22·23下·太原·一模）我校數(shù)學(xué)興趣小組的同學(xué)要測量建筑物的高度，如圖，建筑物前有一段坡度為的斜坡，用測角儀測得建筑物屋頂?shù)难鼋菫?，接著小明又向下走了米，剛好到達(dá)坡底處，這時測到建筑物屋頂?shù)难鼋菫?，在同一平面?nèi)，若測角儀的高度米，則建筑物的高度約為（）米．（精確到0.1米，參考數(shù)據(jù)：，，）

A．38.5米 B．39.0米 C．40.0米 D．41.5米3．（21·22下·江門·模擬預(yù)測）如圖，在距某居民樓樓底B點(diǎn)左側(cè)水平距離60m的C點(diǎn)處有一個山坡，山坡的坡度（或坡比），山坡坡底C點(diǎn)到坡頂D點(diǎn)的距離m，在坡頂D點(diǎn)處測得居民樓樓頂A點(diǎn)的仰角為28°，居民樓與山坡的剖面在同一平面內(nèi)，則居民樓的高度約為（參考數(shù)據(jù)：）

題型07解直角三角形的其他應(yīng)用1．（2022春·云南紅河·八年級統(tǒng)考期末）我國明代有一位杰出的數(shù)學(xué)家程大位在所著的《直指算法統(tǒng)宗》里有一道“蕩秋千”的問題：“平地秋千未起，踏板一尺立地，送行二步與人齊，五尺人高曾記；仕女佳人爭蹴，終朝笑語歡嬉，良工高士素好奇，算出索長有幾？”詞寫得很優(yōu)美，其大意是：當(dāng)秋千靜止在地面上時，秋千的踏板離地的距離為一尺，將秋千的踏板往前推兩步(每一步為五尺)，秋千的踏板與人一樣高，這個人的身高為五尺，當(dāng)然這時秋千的繩索是呈直線狀態(tài)，問這個秋千的繩索有多長？（

）

A．14尺 B．尺 C．15尺 D．無法計算2．（2022秋·山東東營·九年級東營市勝利第一初級中學(xué)校考期中）為完成“綜合與實(shí)踐”作業(yè)任務(wù)，小明和小華利用周末一起去郊外放風(fēng)箏，小明負(fù)責(zé)放風(fēng)箏，小華負(fù)責(zé)測量相關(guān)數(shù)據(jù)，如圖，當(dāng)小明把風(fēng)箏放飛到空中到點(diǎn)P處時，小華分別在地面測得，，米，則風(fēng)箏的高度的長為（

）米（點(diǎn)C在點(diǎn)P的正下方，A、B、C在地面的同一條直線上）（結(jié)果保留根號）

A． B． C． D．3．（2022春·黑龍江綏化·九年級綏化市第八中學(xué)校校聯(lián)考階段練習(xí)）松花江斜拉橋是哈爾濱繞城高速公路西段（瓦盆窯——秦家）項(xiàng)目的重要組成部分，是我省修建的第一座公路斜拉橋，也是哈爾濱市乃至黑龍江省的標(biāo)志性工程．主橋采用雙塔雙索面鋼—混凝土結(jié)合梁斜拉橋，塔墩固結(jié)一體、塔與主梁縱向活動支承，屬塔墩固結(jié)、塔梁支承式半懸浮體系．大橋索塔為門式塔，橋面以上設(shè)一道上橫梁．全長．圖2是從圖1引申出的平面圖．假設(shè)你站在橋上測得拉索與水平橋面的夾角是，拉索與水平橋面的夾角是，兩拉索頂端的距離為2米，兩拉索底端距離為128米，請求出索塔高的長．（結(jié)果精確到0.1米，）

A夯實(shí)基礎(chǔ)1．（2022上·黑龍江大慶·九年級統(tǒng)考期末）如圖，是旗桿的一根拉線，測得米，，則的長為（

）A．米 B．米C．米 D．米2．（2023·陜西西安·西安市慶安初級中學(xué)校聯(lián)考模擬預(yù)測）如圖是河堤的橫斷面示意圖，已知，堤高，則坡面的長度是（

）

A． B． C． D．3．（2022上·湖南株洲·九年級?？计谥校┠车痰臋M斷面如圖，堤高是5米，斜坡的坡度是，那么斜坡的長為米．

4．（2023上·黑龍江哈爾濱·九年級?？茧A段練習(xí)）如圖，漁船向東航行，8點(diǎn)到達(dá)O處，看到燈塔A在其北偏東方向，距離12海里，10點(diǎn)到達(dá)B處，看到該燈塔在其正北方向，則漁船每小時航行海里．

5．（2023·安徽合肥·統(tǒng)考三模）數(shù)學(xué)興趣小組為了實(shí)地測量兩岸互相平行的一段河的寬度，在河的南岸點(diǎn)處測得河的北岸點(diǎn)在其北偏東方向，然后向西走80米到達(dá)點(diǎn)，測得點(diǎn)在點(diǎn)的北偏東方向，求河寬．（結(jié)果精確到，參考數(shù)據(jù)，，，，，）

6．（2023下·天津·九年級專題練習(xí)）某校數(shù)學(xué)興趣小組學(xué)完“三角函數(shù)的應(yīng)用”后，在校園內(nèi)利用三角尺測量教學(xué)樓的高度，如圖，小明同學(xué)站在點(diǎn)處，將含45°角三角尺的一條直角邊水平放置，此時三角尺的斜邊剛好落在視線上．沿教學(xué)樓向前走7.7米到達(dá)點(diǎn)處，將含30°角三角尺的短直角邊水平放置，此時三角尺的斜邊也剛好落在視線上．已知小明眼睛到地面的距離為1.6米，求教學(xué)樓的高度．（點(diǎn)，，在同一水平線上．結(jié)果精確到0.1，參考數(shù)據(jù)：，）B能力提升1．（2023上·山東濟(jì)南·九年級統(tǒng)考期中）閱讀材料：余弦定理是這樣描述的：在中，、、所對的邊分別為a、b、c，則三角形中任意一邊的平方等于另外兩邊的平方和減去這兩邊及這兩邊的夾角的余弦值的乘積的2倍．用公式可描述為：；；．已知在中，＝2，＝4，＝，則的長為（

）A． B． C． D．2．（2023上·河北邢臺·九年級?？计谥校樨瀼芈鋵?shí)“綠水青山就是金山銀山”的發(fā)展理念，某市大力開展植樹造林活動．如圖，在坡度的山坡上植樹，要求相鄰兩樹間的水平距離為，則斜坡上相鄰兩樹間的坡面距離為（

）A． B．2m C．4m D．3．（2023上·河北唐山·九年級統(tǒng)考期中）如圖，一山坡的坡度為，小辰從山腳出發(fā)，沿山坡向上走了200米到達(dá)點(diǎn)，則坡角為，小辰上升了米．

4．（2022·湖北武漢·統(tǒng)考模擬預(yù)測）如圖，小紅同學(xué)用儀器測量一棵大樹的高度，在C處知，在E處測得，，儀器高度，這棵樹的高度為．

5．（2023上·江蘇泰州·九年級?？计谥校┤鐖D，是的中線，

求：(1)的長；(2)的正弦值．6．（2023上·山東濟(jì)南·九年級統(tǒng)考期中）黃河是中華文明最主要的發(fā)源地，中國人稱其為“母親河”，1855年8月，黃河改道山東大清河入渤海，自此與泉城濟(jì)南結(jié)下了不解之緣．黃河在濟(jì)南流經(jīng)7個區(qū)縣，綿延300余里，哺育了濟(jì)南兒女，潤澤了泉城大地，為落實(shí)黃河文化的傳承弘揚(yáng)，某校組織學(xué)生到黃河某段流域進(jìn)行研學(xué)旅行．某興趣小組在只有米尺和測角儀的情況下，想要求出黃河某處的寬度（不能到達(dá)對岸）如圖，已知該段河對岸岸邊有一點(diǎn)A，興趣小組以A為參照點(diǎn)在河這邊沿河邊任取兩點(diǎn)B、C，測得，量得的長為300m．求河的寬度．（結(jié)果精確到1m，參考數(shù)據(jù)）

C綜合素養(yǎng)1．（2023上·山東濟(jì)南·九年級統(tǒng)考期中）如圖，是邊長為6的等邊三角形，點(diǎn)D，E在邊上，若，，則的長度是（

）

A． B． C． D．2．（2023上·浙江杭州·九年級杭州外國語學(xué)校?？茧A段練習(xí)）如圖，矩形中，，對折矩形使得與重合，得到折痕，把紙片展平，再一次折疊紙片，使點(diǎn)的對應(yīng)點(diǎn)落在上，折痕是，連接，若，則點(diǎn)的長是（

）

A． B． C． D．3．（2023·廣東深圳·校考模擬預(yù)測）為做好疫