2025屆江西省撫州市臨川二中、臨川二中實驗學(xué)校高三（最后沖刺）數(shù)學(xué)試卷含解析

2025屆江西省撫州市臨川二中、臨川二中實驗學(xué)校高三（最后沖刺）數(shù)學(xué)試卷考生請注意：1．答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內(nèi)，不得在試卷上作任何標(biāo)記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號內(nèi)，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔。考試結(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知復(fù)數(shù)，則（）A． B． C． D．2．已知，是橢圓的左、右焦點，過的直線交橢圓于兩點.若依次構(gòu)成等差數(shù)列，且，則橢圓的離心率為A． B． C． D．3．已知集合，，若AB，則實數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．4．若的展開式中的常數(shù)項為-12，則實數(shù)的值為（）A．-2 B．-3 C．2 D．35．復(fù)數(shù)為純虛數(shù)，則()A．i B．﹣2i C．2i D．﹣i6．已知函數(shù)的一條切線為，則的最小值為（）A． B． C． D．7．執(zhí)行如下的程序框圖，則輸出的是（）A． B．C． D．8．已知復(fù)數(shù)滿足，則（）A． B． C． D．9．已知函數(shù)，若方程恰有兩個不同實根，則正數(shù)m的取值范圍為（）A． B．C． D．10．如圖，在中，點為線段上靠近點的三等分點，點為線段上靠近點的三等分點，則（）A． B． C． D．11．下列說法正確的是（）A．“若，則”的否命題是“若，則”B．“若，則”的逆命題為真命題C．，使成立D．“若，則”是真命題12．已知復(fù)數(shù)z滿足（其中i為虛數(shù)單位），則復(fù)數(shù)z的虛部是（）A． B．1 C． D．i二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．的展開式中，的系數(shù)為_______（用數(shù)字作答）.14．已知f(x)為偶函數(shù)，當(dāng)x≤0時，f(x)=e-x-1-x，則曲線y=f(x)15．設(shè)函數(shù)，若在上的最大值為，則________.16．在中，角，，所對的邊分別邊，且，設(shè)角的角平分線交于點，則的值最小時，___.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知函數(shù)．（1）求函數(shù)的零點；（2）設(shè)函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象交于，兩點，求證：；（3）若，且不等式對一切正實數(shù)x恒成立，求k的取值范圍．18．（12分）在一次電視節(jié)目的答題游戲中，題型為選擇題，只有“A”和“B”兩種結(jié)果，其中某選手選擇正確的概率為p，選擇錯誤的概率為q，若選擇正確則加1分，選擇錯誤則減1分，現(xiàn)記“該選手答完n道題后總得分為”.（1）當(dāng)時，記，求的分布列及數(shù)學(xué)期望；（2）當(dāng)，時，求且的概率.19．（12分）設(shè)函數(shù)（其中），且函數(shù)在處的切線與直線平行.（1）求的值；（2）若函數(shù)，求證：恒成立.20．（12分）設(shè)前項積為的數(shù)列，（為常數(shù)），且是等差數(shù)列.（Ｉ）求的值及數(shù)列的通項公式；（Ⅱ）設(shè)是數(shù)列的前項和，且，求的最小值.21．（12分）曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），以坐標(biāo)原點為極點，軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為.（1）求曲線的極坐標(biāo)方程和曲線的直角坐標(biāo)方程；（2）過原點且傾斜角為的射線與曲線分別交于兩點（異于原點），求的取值范圍.22．（10分）超級病菌是一種耐藥性細(xì)菌，產(chǎn)生超級細(xì)菌的主要原因是用于抵抗細(xì)菌侵蝕的藥物越來越多，但是由于濫用抗生素的現(xiàn)象不斷的發(fā)生，很多致病菌也對相應(yīng)的抗生素產(chǎn)生了耐藥性，更可怕的是，抗生素藥物對它起不到什么作用，病人會因為感染而引起可怕的炎癥，高燒、痙攣、昏迷直到最后死亡.某藥物研究所為篩查某種超級細(xì)菌，需要檢驗血液是否為陽性，現(xiàn)有n（）份血液樣本，每個樣本取到的可能性均等，有以下兩種檢驗方式：（1）逐份檢驗，則需要檢驗n次；（2）混合檢驗，將其中k（且）份血液樣本分別取樣混合在一起檢驗，若檢驗結(jié)果為陰性，這k份的血液全為陰性，因而這k份血液樣本只要檢驗一次就夠了，如果檢驗結(jié)果為陽性，為了明確這k份血液究竟哪幾份為陽性，就要對這k份再逐份檢驗，此時這k份血液的檢驗次數(shù)總共為次，假設(shè)在接受檢驗的血液樣本中，每份樣本的檢驗結(jié)果是陽性還是陰性都是獨立的，且每份樣本是陽性結(jié)果的概率為p（）.（1）假設(shè)有5份血液樣本，其中只有2份樣本為陽性，若采用逐份檢驗方式，求恰好經(jīng)過2次檢驗就能把陽性樣本全部檢驗出來的概率；（2）現(xiàn)取其中k（且）份血液樣本，記采用逐份檢驗方式，樣本需要檢驗的總次數(shù)為，采用混合檢驗方式，樣本需要檢驗的總次數(shù)為.（i）試運用概率統(tǒng)計的知識，若，試求p關(guān)于k的函數(shù)關(guān)系式；（ii）若，采用混合檢驗方式可以使得樣本需要檢驗的總次數(shù)的期望值比逐份檢驗的總次數(shù)期望值更少，求k的最大值.參考數(shù)據(jù)：，，，，

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、B【解析】

利用復(fù)數(shù)除法、加法運算，化簡求得，再求得【詳解】，故.故選：B【點睛】本小題主要考查復(fù)數(shù)的除法運算、加法運算，考查復(fù)數(shù)的模，屬于基礎(chǔ)題.2、D【解析】

如圖所示，設(shè)依次構(gòu)成等差數(shù)列，其公差為.根據(jù)橢圓定義得，又，則，解得，.所以，，，.在和中，由余弦定理得，整理解得.故選D．3、D【解析】

先化簡，再根據(jù)，且AB求解.【詳解】因為，又因為，且AB，所以.故選：D【點睛】本題主要考查集合的基本運算，還考查了運算求解的能力，屬于基礎(chǔ)題.4、C【解析】

先研究的展開式的通項，再分中，取和兩種情況求解.【詳解】因為的展開式的通項為，所以的展開式中的常數(shù)項為：，解得，故選：C.【點睛】本題主要考查二項式定理的通項公式，還考查了運算求解的能力，屬于基礎(chǔ)題.5、B【解析】

復(fù)數(shù)為純虛數(shù)，則實部為0，虛部不為0，求出，即得.【詳解】∵為純虛數(shù)，∴，解得..故選：.【點睛】本題考查復(fù)數(shù)的分類，屬于基礎(chǔ)題.6、A【解析】

求導(dǎo)得到，根據(jù)切線方程得到，故，設(shè)，求導(dǎo)得到函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故，計算得到答案.【詳解】，則，取，，故，.故，故，.設(shè)，，取，解得.故函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故.故選：.【點睛】本題考查函數(shù)的切線問題，利用導(dǎo)數(shù)求最值，意在考查學(xué)生的計算能力和綜合應(yīng)用能力.7、A【解析】

列出每一步算法循環(huán)，可得出輸出結(jié)果的值.【詳解】滿足，執(zhí)行第一次循環(huán)，，；成立，執(zhí)行第二次循環(huán)，，；成立，執(zhí)行第三次循環(huán)，，；成立，執(zhí)行第四次循環(huán)，，；成立，執(zhí)行第五次循環(huán)，，；成立，執(zhí)行第六次循環(huán)，，；成立，執(zhí)行第七次循環(huán)，，；成立，執(zhí)行第八次循環(huán)，，；不成立，跳出循環(huán)體，輸出的值為，故選：A.【點睛】本題考查算法與程序框圖的計算，解題時要根據(jù)算法框圖計算出算法的每一步，考查分析問題和計算能力，屬于中等題.8、A【解析】

由復(fù)數(shù)的運算法則計算．【詳解】因為，所以故選：A．【點睛】本題考查復(fù)數(shù)的運算．屬于簡單題．9、D【解析】

當(dāng)時，函數(shù)周期為，畫出函數(shù)圖像，如圖所示，方程兩個不同實根，即函數(shù)和有圖像兩個交點，計算，，根據(jù)圖像得到答案.【詳解】當(dāng)時，，故函數(shù)周期為，畫出函數(shù)圖像，如圖所示：方程，即，即函數(shù)和有兩個交點.，，故，，，，.根據(jù)圖像知：.故選：.【點睛】本題考查了函數(shù)的零點問題，確定函數(shù)周期畫出函數(shù)圖像是解題的關(guān)鍵.10、B【解析】

，將,代入化簡即可.【詳解】.故選：B.【點睛】本題考查平面向量基本定理的應(yīng)用，涉及到向量的線性運算、數(shù)乘運算，考查學(xué)生的運算能力，是一道中檔題.11、D【解析】選項A，否命題為“若，則”，故A不正確．選項B，逆命題為“若，則”，為假命題，故B不正確．選項C，由題意知對，都有，故C不正確．選項D，命題的逆否命題“若，則”為真命題，故“若，則”是真命題，所以D正確．選D．12、A【解析】

由虛數(shù)單位i的運算性質(zhì)可得，則答案可求.【詳解】解：∵，∴，，則化為，∴z的虛部為.故選：A.【點睛】本題考查了虛數(shù)單位i的運算性質(zhì)、復(fù)數(shù)的概念，屬于基礎(chǔ)題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、60【解析】

根據(jù)二項式定理展開式通項，即可求得的系數(shù).【詳解】因為，所以，則所求項的系數(shù)為.故答案為：60【點睛】本題考查了二項展開式通項公式的應(yīng)用，指定項系數(shù)的求法，屬于基礎(chǔ)題.14、y=2x【解析】試題分析：當(dāng)x>0時，-x<0，則f(-x)=ex-1+x．又因為f(x)為偶函數(shù)，所以f(x)=f(-x)=ex-1+x，所以f'【考點】函數(shù)的奇偶性、解析式及導(dǎo)數(shù)的幾何意義【知識拓展】本題題型可歸納為“已知當(dāng)x>0時，函數(shù)y=f(x)，則當(dāng)x<0時，求函數(shù)的解析式”．有如下結(jié)論：若函數(shù)f(x)為偶函數(shù)，則當(dāng)x<0時，函數(shù)的解析式為y=-f(x)；若f(x)為奇函數(shù)，則函數(shù)的解析式為y=-f(-x)．15、【解析】

求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，由在上，可得在上單調(diào)遞增，則函數(shù)最大值為，即可求出參數(shù)的值.【詳解】解：定義域為，在上單調(diào)遞增，故在上的最大值為故答案為：【點睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與最值，屬于基礎(chǔ)題.16、【解析】

根據(jù)題意，利用余弦定理和基本不等式得出，再利用正弦定理，即可得出.【詳解】因為，則，由余弦定理得：，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，又因為，，所以.故答案為：.【點睛】本題考查余弦定理和正弦定理的應(yīng)用，以及基本不等式求最值，考查計算能力.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)x=1(2)證明見解析(3)【解析】

（1）令，根據(jù)導(dǎo)函數(shù)確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，求出極小值，進(jìn)而求解；（2）轉(zhuǎn)化思想，要證，即證，即證，構(gòu)造函數(shù)進(jìn)而求證；（3）不等式對一切正實數(shù)恒成立，，設(shè)，分類討論進(jìn)而求解．【詳解】解：（1）令，所以，當(dāng)時，，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時，，在單調(diào)遞減；所以，所以的零點為．（2）由題意，，要證，即證，即證，令，則，由（1）知，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，所以，即，所以原不等式成立．（3）不等式對一切正實數(shù)恒成立，，設(shè)，，記，△，①當(dāng)△時，即時，恒成立，故單調(diào)遞增．于是當(dāng)時，，又，故，當(dāng)時，，又，故，又當(dāng)時，，因此，當(dāng)時，，②當(dāng)△，即時，設(shè)的兩個不等實根分別為，，又，于是，故當(dāng)時，，從而在單調(diào)遞減；當(dāng)時，，此時，于是，即舍去，綜上，的取值范圍是．【點睛】（1）考查函數(shù)求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)函數(shù)確定函數(shù)的單調(diào)性，零點；（2）考查轉(zhuǎn)化思想，構(gòu)造函數(shù)求極值；（3）考查分類討論思想，函數(shù)的單調(diào)性，函數(shù)的求導(dǎo)；屬于難題.18、（1）見解析，0（2）【解析】

（1）即該選手答完3道題后總得分,可能出現(xiàn)的情況為3道題都答對,答對2道答錯1道,答對1道答錯2道,3道題都答錯,進(jìn)而求解即可；（2）當(dāng)時,即答完8題后,正確的題數(shù)為5題,錯誤的題數(shù)是3題,又,則第一題答對,第二題第三題至少有一道答對,進(jìn)而求解.【詳解】解:（1）的取值可能為,,1,3,又因為,故,,,,所以的分布列為：13所以（2）當(dāng)時,即答完8題后,正確的題數(shù)為5題,錯誤的題數(shù)是3題,又已知,第一題答對,若第二題回答正確,則其余6題可任意答對3題；若第二題回答錯誤,第三題回答正確,則后5題可任意答對題，此時的概率為（或）.【點睛】本題考查二項分布的分布列及期望,考查數(shù)據(jù)處理能力,考查分類討論思想.19、（1）（2）證明見解析【解析】

（1）求導(dǎo)得到，解得答案.（2）變形得到，令函數(shù)，求導(dǎo)得到函數(shù)單調(diào)區(qū)間得到，，得到證明.【詳解】（1），，解得.（2）得，變形得，令函數(shù)，，令解得，當(dāng)時，時.函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，，而函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，，，即，即，恒成立.【點睛】本題考查了根據(jù)切線求參數(shù)，證明不等式，意在考查學(xué)生的計算能力和轉(zhuǎn)化能力，綜合應(yīng)用能力.20、（Ⅰ），；（Ⅱ）【解析】

（Ⅰ）當(dāng)時，由，得到，兩邊同除以，得到.再根據(jù)是等差數(shù)列.求解.（Ⅱ），根據(jù)前n項和的定義得到，令，研究其增減性即可.【詳解】（Ⅰ）當(dāng)時，，所以，即，所以.因為是等差數(shù)列.，所以，，令，，，所以，即；（Ⅱ），所以，，令，所以，，即，所以數(shù)列是遞增數(shù)列，所以，即.【點睛】本題主要考查等差數(shù)列的定義，前n項和以及數(shù)列的增減性，還考查了轉(zhuǎn)化化歸的思想和運算求解的能力，屬于中檔題.21、（1），；（2）.【解析】

（1）先將曲線化為普通方程，再由直角坐標(biāo)系與極坐標(biāo)系之間的轉(zhuǎn)化關(guān)系：，可得極坐標(biāo)方程和曲線的直角坐標(biāo)方程；（2）由已知可得出射線的極坐標(biāo)方程為，聯(lián)立和的極坐標(biāo)方程可得點A和點B的極坐標(biāo)，從而得出，由的范圍可求得的取值范圍.【詳解】（1）曲線的普通方程為，即，其極坐標(biāo)方程為；曲線的極坐標(biāo)方程為，即，其直角坐標(biāo)方程為；（2）射線的極坐標(biāo)方程為，聯(lián)立，聯(lián)立，的取值范圍是【點睛】本題考查圓的參數(shù)方程與普通方程互化，圓，拋物線的極坐標(biāo)方程與普通方程的互化，以及在極坐標(biāo)下的直線與圓和拋物線的位置關(guān)系，屬于中檔題.22、（1）（2）（i）（，且）.（ii）最大值為4.【解析】

（1）設(shè)恰好經(jīng)過2次檢驗?zāi)馨殃栃詷颖救繖z驗出來為事件A,利用古典概型、排列組合求解即可；（2）（i）由已知得,的所有可