四川省宜賓市2024-2025學(xué)年高一數(shù)學(xué)上學(xué)期第三學(xué)月考試試題含解析

Page172024-2025學(xué)年高一數(shù)學(xué)上學(xué)期第三學(xué)月考試本試卷共4頁，22小題，滿分150分.考試用時120分鐘.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知集合，，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】解出集合中的一元二次不等式，取交集即可.【詳解】由得，，而，所以.故選：A2.滿意的角的集合為（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】利用正弦函數(shù)的圖像性質(zhì)即可求解.【詳解】.故選：D.3.函數(shù)的圖象大致是A. B. C. D.【答案】D【解析】【詳解】因為，所以函數(shù)的奇函數(shù)，解除答案A、C，又當(dāng)時，，，函數(shù)單調(diào)遞減，故解除答案B，應(yīng)選答案D．4設(shè)，則（）A. B. C.3 D.2【答案】D【解析】分析】利用誘導(dǎo)公式化簡，代入可得選項.【詳解】∵，∴，故選：D.5.設(shè)，則“”是“”的（）A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件【答案】B【解析】【分析】分別求出兩個不等式的的取值范圍，依據(jù)的取值范圍推斷充分必要性.【詳解】等價于，解得：；等價于，解得：，可以推出，而不能推出，所以是的必要不充分條件，所以“”是“”的必要不充分條件故選：B6.已知偶函數(shù)在上是增函數(shù)，若，，，則，，的大小關(guān)系為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由于為偶函數(shù)，所以，然后利用對數(shù)函數(shù)和指數(shù)函數(shù)性質(zhì)比較大小，再利用在上是增函數(shù)，可比較，，的大小【詳解】解；由題意為偶函數(shù)，且在上單調(diào)遞增，所以，又，，所以，故，故選：C7.1614年蘇格蘭數(shù)學(xué)家納皮爾在探討天文學(xué)的過程中為了簡化計算而獨創(chuàng)了對數(shù)方法；1637年法國數(shù)學(xué)家笛卡爾起先運用指數(shù)運算；1770年瑞士數(shù)學(xué)家歐拉發(fā)覺了指數(shù)與對數(shù)的互逆關(guān)系，指出：對數(shù)源于指數(shù)，對數(shù)的獨創(chuàng)先于指數(shù)．若，，則的值約為（）A.2.301 B.2.322 C.2.507 D.2.699【答案】B【解析】【分析】依據(jù)指對數(shù)互化公式得，再結(jié)合換底公式計算即可得答案.【詳解】解：由指對數(shù)互化公式得故選：B8.已知函數(shù)，若，則實數(shù)a的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先證明，可得，構(gòu)造函數(shù)可得是奇函數(shù)，依據(jù)復(fù)合函數(shù)的性質(zhì)可推斷在上單調(diào)遞增，所解不等式等價于，可得，即可求解.【詳解】即，所以，設(shè)，則，可得是奇函數(shù).因為和都是增函數(shù)，所以為增函數(shù)，因為單調(diào)遞增，所以在上單調(diào)遞增，所以函數(shù)，在上單調(diào)遞增，所以在上單調(diào)遞增，由可得，即，所以，整理得：，解得：，故選：C【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題解題的關(guān)鍵點是計算出，構(gòu)造函數(shù)是上的奇函數(shù)且是增函數(shù)，原不等式等價于，依據(jù)奇偶性和單調(diào)性脫掉即可求解.二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.9.已知，且為銳角，則下列選項中正確的是（）A. B.C. D.【答案】ABD【解析】【分析】依據(jù)，并結(jié)合為銳角求解即可.【詳解】解：因為，所以，即所以，因為為銳角，所以，所以，所以，所以故選：ABD10.若，，則（）A. B. C. D.【答案】BCD【解析】【分析】依據(jù)不等式的性質(zhì)，并結(jié)合指數(shù)函數(shù)與冪函數(shù)的單調(diào)性依次分析各選項即可得答案.【詳解】對于A選項，當(dāng)時，，故A選項錯誤；對于B選項，因為，所以，故B選項正確；對于C選項，由于函數(shù)是增函數(shù)，所以當(dāng)，，故C選項正確；對于D選項，由于函數(shù)單調(diào)遞減，所以，，故D選項正確；故選：BCD11.已知函數(shù)，則（）A.的周期為 B.的定義域為C. D.在上單調(diào)遞增【答案】ACD【解析】【分析】依據(jù)正切函數(shù)的周期性、定義域、單調(diào)性和特別角的正切值依次推斷選項即可.【詳解】函數(shù)的最小正周期為，故A正確；由，得，所以函數(shù)的定義域為，故B錯誤；，，所以，故C正確；時，，所以在上單調(diào)遞增，故D正確.故選：ACD12.已知函數(shù)的定義域為R，對隨意的實數(shù)想，x，y滿意，且，下列結(jié)論正確的是（）A. B.C.為R上的減函數(shù) D.為奇函數(shù)【答案】ABD【解析】【分析】利用賦值法確定ABC選項的正確性，依據(jù)奇偶性的定義推斷D選項的正確性.【詳解】依題意，且，令，得，故A選項正確.令，則，即，令，得，即，故B選項正確.由于，故C選項錯誤.令，得，即，即，所以為奇函數(shù)，故D選項正確.故選：ABD三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.已知函數(shù)，若，則實數(shù)的值為_________．【答案】【解析】【分析】先求，再代入求，求實數(shù)的值.【詳解】，，即，又，且，所以.故答案為：14.若，則___________.【答案】【解析】【分析】依據(jù)指數(shù)冪與對數(shù)的運算公式，精確運算，即可求解.【詳解】由，可得.故答案為：15.已知實數(shù)滿意，，則的取值范圍是_______．【答案】【解析】【詳解】試題分析：依題意，，代入得；整理得在實數(shù)范圍內(nèi)有解，即，解得.考點：1.構(gòu)造一元二次方程；2.一元二次方程根的分布.16.已知函數(shù)，g（x）＝x2-2x，若，，使得f（x1）＝g（x2），則實數(shù)a的取值范圍是________．【答案】[0，1]【解析】【分析】當(dāng)時，，當(dāng)時，，由，，使得f（x1）＝g（x2），等價于，解不等式即可得解.【詳解】當(dāng)時，，當(dāng)時，，由，，使得f（x1）＝g（x2），則，可得：，解得，故答案為：.【點睛】本題考查了求函數(shù)值域，考查了恒成立和存在性問題以及轉(zhuǎn)化思想，有肯定的計算量，屬于中檔題.四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.在下列三個條件中任選一個，補(bǔ)充在下面的問題中，并作答．①的最小正周期為，且是偶函數(shù)；②圖象上相鄰兩個最高點之間的距離為，且；③直線與直線是圖象上相鄰的兩條對稱軸，且．問題：已知函數(shù)，若______．（1）求，的值；（2）將函數(shù)的圖象向右平移個單位長度后，再將得到的函數(shù)圖象上全部點的橫坐標(biāo)伸長為原來的4倍，縱坐標(biāo)不變，得到函數(shù)的圖象，求在上的單調(diào)遞減區(qū)間．【答案】（1），（2）【解析】【分析】（1）選①由周期確定由偶函數(shù)結(jié)合兩角和的正弦得推出；選②由相鄰兩個最高點之間的距離為，得由得推出；選③由相鄰對稱軸得，由得（2）由圖像平移伸縮得利用整體法求單調(diào)區(qū)間再賦值求交集即可【小問1詳解】選條件①：（1）∵的最小正周期為，∴，∴．又是偶函數(shù)，∴對恒成立，∴對恒成立，∴，∴．又，∴．選條件②：∵函數(shù)圖象上相鄰兩個最高點之間的距離為，∴，∴．又，∴，即，∴，又，∴．選條件③：∵直線與直線是圖象上相鄰的兩條對稱軸，∴，即，∴．又．∴，∴，又，∴．【小問2詳解】由（1）無論選擇①②③均有，，，將的圖象向右平移個單位長度后，得到的圖象，將的圖象上全部點的橫坐標(biāo)伸長為原來的4倍，縱坐標(biāo)不變，得到的圖象．由，得，∵，∴，∴在上的單調(diào)遞減區(qū)間是．18.已知函數(shù)，且關(guān)于的不等式的解集為．（1）求實數(shù)，的值；（2）當(dāng)時，恒成立，求實數(shù)的取值范圍．【答案】（1），；（2）.【解析】【分析】（1）依據(jù)韋達(dá)定理求解即可；（2）轉(zhuǎn)化為在上恒成立，利用均值不等式求的最小值即可.【詳解】（1）由題意得，1是方程的根，由韋達(dá)定理得，所以，又，解得．所以，．（2）由題意得，在上恒成立，令，只需即可，由均值不等式得，當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立．所以，所以實數(shù)的取值范圍是．19.如圖，長方形中，，點分別在線段（含端點）上，為中點，，設(shè).（1）求角的取值范圍；（2）求出周長關(guān)于角的函數(shù)解析式，并求周長的取值范圍.【答案】（1）（2），，周長的取值范圍為【解析】【分析】（1）結(jié)合圖像可得當(dāng)點位于點時，角取最大值，點位于點時，取最大值，角取最小值，在直角三角形中求解即可.（2）在中，求出，在中，求得，在中，依據(jù)勾股定理得，從而可得，通分可得，令，借助三角函數(shù)的性質(zhì)即可求解.【詳解】（1）由題意知，當(dāng)點位于點時，角取最大值，此時，因為，所以當(dāng)點位于點時，取最大值，角取最小值，此時，所以故所求的取值集合為（2）在中，，，所以在中，，，所以在中，有勾股定理得因為，所以，所以所以，令，則所以因為，，所以所以所以周長的取值范圍為【點睛】本題考查了三角函數(shù)的在平面幾何中的應(yīng)用，主要考查了協(xié)助角公式以及換元法求三角函數(shù)的值域，屬于中檔題.20.已知一次函數(shù),且,設(shè)．（1）求函數(shù);（2）設(shè)函數(shù),求函數(shù)在上的最大值的表達(dá)式;【答案】（1）（2）【解析】【分析】(1)依據(jù)題意設(shè)出函數(shù)解析式,依據(jù)代入用待定系數(shù)法即可確定解析式,進(jìn)而求出解析式;(2)由(1)得解析式,代入中,畫出圖像,依據(jù)關(guān)鍵節(jié)點對進(jìn)行分類探討,分別求出的表達(dá)式即可.【小問1詳解】解:由題知,不妨設(shè)；【小問2詳解】由題知,，其圖像如圖所示,當(dāng)時依據(jù)圖像得：（i）當(dāng)時,；（ii）當(dāng)時,；（iii）當(dāng)時,.綜上有:.21.2009年某市某地段商業(yè)用地價格為每畝60萬元，由于土地價格持續(xù)上漲，到2024年已經(jīng)上漲到每畝120萬元．現(xiàn)給出兩種地價增長方式，其中是按直線上升的地價，是按對數(shù)增長的地價，t是2009年以來經(jīng)過的年數(shù)，2009年對應(yīng)的t值為0．（1）求，的解析式；（2）2024年起先，國家出臺“穩(wěn)定土地價格”的相關(guān)調(diào)控政策，為此，該市要求2025年的地價相對于2024年上漲幅度限制在10%以內(nèi)，請分析比較以上兩種增長方式，確定出最合適的一種模型．（參考數(shù)據(jù)：）【答案】（1），；，（2）分析比較見解析；應(yīng)當(dāng)選擇模型【解析】【分析】（1）由，求得；由，求得；（2）分別由，，，算出直線和對數(shù)增長的增長率與10%比較即可.【小問1詳解】解：由題知：，，所以，解得：，所以，；又，，所以，解得：，所以，；【小問2詳解】若依據(jù)模型，到2025年時，，，直線上升的增長率為，不符合要求；若依據(jù)模型，到2025年時，，，對數(shù)增長的增長率為，符合要求；綜上分析，應(yīng)當(dāng)選擇模型．22.已知函數(shù)，其中（1）若是定義在上的奇函數(shù).①求的值；②推斷內(nèi)的單調(diào)性，并用定義證明；（2）當(dāng)時，證明：.【答案】（1）①；②單調(diào)遞增，證明見解析；（2）證明見解析.【解析】【分析】（1）①利用奇函數(shù)的性質(zhì)得到，然后解方程求；②利用單調(diào)性的定義證明即可；（2）將證明不等式成立轉(zhuǎn)化為證明成立，結(jié)合一次函數(shù)的單調(diào)性得到，然后分，和三種狀況探討的大小，得到，即可證明成立.【小問1詳解】①因為為R上的奇函數(shù)