天津市2024-2025學(xué)年高三數(shù)學(xué)上學(xué)期第三次月考試題含解析

Page20天津市2024-2025學(xué)年高三數(shù)學(xué)上學(xué)期第三次月考試題本試卷總分150分，考試用時(shí)120分鐘.一.選擇題：本題共9小題，每小題5分，共45分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知集合，，則（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】先求出集合，，再依據(jù)并集的定義求解即可．【詳解】，，，故選：．2.若、、為非零實(shí)數(shù)，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】【分析】本題可依據(jù)充分條件以及必要條件的判定得出結(jié)果.【詳解】若，則，故“”是“”的充分條件，令，，，滿(mǎn)意，但不滿(mǎn)意，故“”不是“”的必要條件，綜上所述，“”是“”的充分不必要條件，故選：A.3.已知，，，則（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】依據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)、指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合正弦函數(shù)值的正負(fù)性進(jìn)行推斷即可.【詳解】因?yàn)?，，，所以，故選：B4.函數(shù)的圖象大致為（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】依據(jù)函數(shù)的定義域、奇偶性以及的值來(lái)確定正確選項(xiàng).【詳解】由題意，函數(shù)的定義域?yàn)?，且，所以函?shù)為奇函數(shù)，其圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，所以解除C、D項(xiàng)，，所以解除B項(xiàng)．故選：A5.已知、分別為雙曲線(xiàn)的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)在上，，則雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)方程為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由，可得，，，依據(jù)雙曲線(xiàn)的定義求得，進(jìn)而得到，即可求得雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)方程.【詳解】由題意，、分別為雙曲線(xiàn)的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)在上，且滿(mǎn)意，可得，，，由雙曲線(xiàn)的定義可知，即，又由，所以雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)方程為.故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查了雙曲線(xiàn)的幾何性質(zhì)——離心率的求解，其中求雙曲線(xiàn)的離心率(或范圍)，常見(jiàn)有兩種方法：①求出，代入公式；②只須要依據(jù)一個(gè)條件得到關(guān)于的齊次式，轉(zhuǎn)化為的齊次式，然后轉(zhuǎn)化為關(guān)于的方程，即可得的值(范圍)．6.設(shè)是等比數(shù)列的前項(xiàng)和，若，，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】設(shè)等比數(shù)列的公比為，求得的值，再利用等比數(shù)列的求和公式可求得結(jié)果.【詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為，若，則，沖突.所以，，故，則，所以，，，因此，.故選：B.7.直線(xiàn)被橢圓截得最長(zhǎng)的弦為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】聯(lián)立直線(xiàn)方程和橢圓方程，解方程可得兩根，運(yùn)用弦長(zhǎng)公式，結(jié)合配方法，以及二次函數(shù)的最值求法，可得答案【詳解】解：聯(lián)立直線(xiàn)和橢圓，可得，解得或，則弦長(zhǎng)，令，則，當(dāng)，即，取得最大值，故選：B8.設(shè)函數(shù)，若時(shí)，的最小值為，則（）A.函數(shù)的周期為B.將函數(shù)的圖像向左平移個(gè)單位，得到的函數(shù)為奇函數(shù)C.當(dāng)，的值域?yàn)镈.函數(shù)在區(qū)間上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)共有6個(gè)【答案】D【解析】【分析】由條件求出的最小正周期，由此推斷A，依據(jù)正弦函數(shù)的圖象及性質(zhì)推斷B，C，D.【詳解】由題意，得，所以，則，所以選項(xiàng)A不正確；對(duì)于選項(xiàng)B：將函數(shù)的圖像向左平移個(gè)單位，得到的函數(shù)是為偶函數(shù)，所以選項(xiàng)B錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)C：當(dāng)時(shí)，則，所以的值域?yàn)椋x項(xiàng)C不正確；對(duì)于選項(xiàng)D：令，所以當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)在區(qū)間上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)共有6個(gè)，D正確，故選：D.9.設(shè)函數(shù)，.若函數(shù)在區(qū)間上有且僅有一個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】先將的零點(diǎn)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為兩函數(shù)的交點(diǎn)問(wèn)題，分段函數(shù)中的不好處理，要變形為在各自區(qū)間上的交點(diǎn)問(wèn)題，經(jīng)過(guò)畫(huà)圖分析，比較斜率等最終求得結(jié)果.【詳解】令，則，當(dāng)時(shí)，，即，即函數(shù)與的交點(diǎn)問(wèn)題，其中恒過(guò).當(dāng)時(shí)，，即，即函數(shù)與的交點(diǎn)問(wèn)題.

分別畫(huà)出函數(shù)在各自區(qū)間上的圖象:

當(dāng)與相切時(shí)，有且僅有一個(gè)零點(diǎn)，此時(shí)，化簡(jiǎn)得:，由得:(舍去)

當(dāng)直線(xiàn)的斜率，大于等于直線(xiàn)的斜率時(shí)，有且僅有一個(gè)零點(diǎn)，把代入中，解得:，則，綜上，的取值范圍是.

故選：C.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分.試題中包含兩個(gè)空的，答對(duì)1個(gè)的給3分，全部答對(duì)的給5分.10.已知復(fù)數(shù)滿(mǎn)意，則______.【答案】【解析】【分析】先由求出復(fù)數(shù)，再代入求解即可.【詳解】由，得，所以，故答案為：.11.已知圓與直線(xiàn)相切，則_________【答案】3【解析】【詳解】試題分析：因?yàn)閳A的標(biāo)準(zhǔn)方程為：，所以圓必坐標(biāo)為，半徑為，由題意得：解得：，所以答案應(yīng)填：3.考點(diǎn)：1、圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；2、直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系.12.已知，則________.【答案】【解析】【分析】利用二倍角公式和誘導(dǎo)公式，化簡(jiǎn)求得所求表達(dá)式的值.詳解】故答案為：【點(diǎn)睛】本小題主要考查二倍角公式、誘導(dǎo)公式，屬于中檔題.13.直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)：（，）的一條漸近線(xiàn)平行，過(guò)拋物線(xiàn)：的焦點(diǎn)，交于，兩點(diǎn)，若，則的離心率為_(kāi)_____.【答案】【解析】【分析】首先依據(jù)拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)弦長(zhǎng)求出直線(xiàn)的斜率，從而得出雙曲線(xiàn)漸近線(xiàn)的斜率，再利用即可求出雙曲線(xiàn)的離心率.【詳解】∵拋物線(xiàn)的方程為：，∴的焦點(diǎn)為，∵直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)的一條漸近線(xiàn)平行，∴直線(xiàn)的斜率存在，設(shè)直線(xiàn)斜率為，則直線(xiàn)的方程為：，由，消去，化簡(jiǎn)得（），設(shè)，，，到拋物線(xiàn)準(zhǔn)線(xiàn)的距離分別為，，則，，，，由拋物線(xiàn)的定義，，解得，又∵雙曲線(xiàn)：（，）漸近線(xiàn)方程為，∵直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)的一條漸近線(xiàn)平行，∴，∴雙曲線(xiàn)的離心率為.故答案為：.14.已知，，且，則的最小值為_(kāi)_____.【答案】【解析】【分析】將化為，利用換底公式和對(duì)數(shù)運(yùn)算的性質(zhì)，結(jié)合基本不等式“”的妙用求解即可.【詳解】由換底公式和對(duì)數(shù)運(yùn)算的性質(zhì)，原式，∵，∴，∴原式，∵，，∴，，∴，，∴由基本不等式，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，∴原式.∴當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，的最小值為.故答案為：.15.在中，，在所在平面內(nèi)的一點(diǎn)滿(mǎn)意，當(dāng)時(shí)，的值為_(kāi)_____取得最小值時(shí)，的值為_(kāi)_____.【答案】①.5②.【解析】【分析】建立平面直角坐標(biāo)系，利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算即可求得當(dāng)時(shí)，的值；將轉(zhuǎn)化為的解析式，利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可求得對(duì)應(yīng)的值【詳解】以C為原點(diǎn)，分別以CA、CB所在直線(xiàn)為x、y軸建立平面直角坐標(biāo)系,則，令，，，則，，由，可得，解之得,當(dāng)時(shí)，則，，,則，則,，則當(dāng)取得最小值時(shí)，故答案為：5；三、解答題：本大題共5小題，共75分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟.16.如圖，在平面四邊形中，對(duì)角線(xiàn)平分，的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知（1）求B；（2）若，的面積為2，求【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用正弦定理將邊化角，再依據(jù)兩角和的正弦公式及誘導(dǎo)公式即可得到，從而求出；（2）由三角形面積公式求出，再利用余弦定理求出，即可求出，依題意，最終利用余弦定理得到方程，解得即可；【小問(wèn)1詳解】解：因?yàn)椋烧叶ɡ淼?，所以，所以，因?yàn)?，所以所以所以【小?wèn)2詳解】解：因?yàn)榈拿娣e，所以，即，所以，由余弦定理得，所以，因?yàn)槠椒?，所以，所以，所以，所以，所?7.如圖，在五面體中，四邊形為正方形，平面，，，，，.（1）求證：平面；（2）求直線(xiàn)與平面所成角的正弦值；（3）求平面與平面夾角的正弦值.【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）（3）【解析】【分析】（1）利用線(xiàn)面平行判定定理去證明平面；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法去求直線(xiàn)與平面所成角的正弦值；（3）利用向量法去求平面與平面夾角的正弦值.【小問(wèn)1詳解】在△中，過(guò)點(diǎn)N作交CF于H，連接AH，又，則，又，則則四邊形為平行四邊形，則又平面，平面，則平面；【小問(wèn)2詳解】四邊形為正方形，平面，則兩兩垂直以F為原點(diǎn)，分別以所在直線(xiàn)為x、y、z軸建立空間直角坐標(biāo)系則，，，，，則，，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，則，令，則，，則設(shè)直線(xiàn)與平面所成角為則故直線(xiàn)與平面所成角的正弦值為；【小問(wèn)3詳解】由（2）可得，設(shè)平面一個(gè)法向量為，則，則，令，則，，則又平面的一個(gè)法向量為則設(shè)平面與平面夾角為，則，則平面與平面夾角的正弦值18.已知橢圓的左、右焦點(diǎn)為，P為橢圓上一點(diǎn)，且，．（1）求橢圓的離心率；（2）已知直線(xiàn)交橢圓于兩點(diǎn)，且線(xiàn)段的中點(diǎn)為，若橢圓上存在點(diǎn)，滿(mǎn)意，試求橢圓的方程．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由，以及，建立關(guān)于的方程，即可得到結(jié)果；（2）設(shè)，由（1）可知，可設(shè)橢圓方程，依據(jù)，可得，設(shè)將其與橢圓方程聯(lián)立，由韋達(dá)定理和點(diǎn)滿(mǎn)意橢圓方程，可求出，進(jìn)而求出結(jié)果.【小問(wèn)1詳解】解：因?yàn)?，所以，即，則，解得．【小問(wèn)2詳解】解：設(shè)，由，得，所以，所以設(shè)，即由于在橢圓上，則，，①由，得，即由在橢圓上，則,即，即，②將①代入②得：，③線(xiàn)段中點(diǎn)為，設(shè)可知，所以，其中，解得，所以，方程為又，④將④代入③得：，經(jīng)檢驗(yàn)滿(mǎn)意，所以橢圓的方程為.19.已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，.數(shù)列的前項(xiàng)和為，滿(mǎn)意.（1）求數(shù)列、的通項(xiàng)公式；（2）若，求數(shù)列的前項(xiàng)和；（3）設(shè)，求證：.【答案】（1），（2）（3）證明見(jiàn)解析【解析】【分析】（1）依據(jù)等差數(shù)列的求和公式與通項(xiàng)公式列式求出首項(xiàng)和公差，可得數(shù)列的通項(xiàng)公式；依據(jù)可求出數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）依據(jù)進(jìn)行裂項(xiàng)求和可求出；（3）依據(jù)基本不等式進(jìn)行放縮得，再依據(jù)錯(cuò)位相減法求和可證不等式成立.【小問(wèn)1詳解】因?yàn)閿?shù)列是等差數(shù)列，設(shè)公差為，由，得，即，解得，所以，由得，得，當(dāng)時(shí)，，所以，所以，即，又，所以，所以數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，所以.綜上所述：數(shù)列、的通項(xiàng)公式分別是：，.【小問(wèn)2詳解】由（1）知，，所以，所以.【小問(wèn)3詳解】由（1）知，，所以，所以，所以，設(shè)，則，所以，所以，所以，所以.20.已知函數(shù)，，曲線(xiàn)在處的切線(xiàn)的斜率為.（1）求實(shí)數(shù)的值；（2）對(duì)隨意的，恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（3）設(shè)方程在區(qū)間內(nèi)的根從小到大依次為、、、、，求證：．【答案】（1）；（2）；（3）證明見(jiàn)解析.【解析】【分析】（1）由已知可得出，即可求得實(shí)數(shù)的值；（2）由題意可知對(duì)隨意的恒成立，驗(yàn)證對(duì)隨意的恒成立；在時(shí)，由參變量分別法可得出，利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)在區(qū)間上的最大值，可得出的取值范圍，綜合即可得解；（3）令，利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性，利用零點(diǎn)存在定理可知，求得，證明出，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性，即可證得結(jié)論成立.【小問(wèn)1詳解】解：因?yàn)椋瑒t，由已知可得，解得.【小問(wèn)2詳解】解：由（1）可知，對(duì)隨意的，恒成立，即對(duì)隨意的恒成立，當(dāng)時(shí)，則有對(duì)隨意的恒成立；當(dāng)時(shí)，，則，令，其中，且不恒為零，故函數(shù)在上單調(diào)遞增，則，