廣東省廣州市2024-2025學(xué)年高一數(shù)學(xué)上學(xué)期期末試題含解析

Page16廣東省廣州市2024-2025學(xué)年高一數(shù)學(xué)上學(xué)期期末試題本試卷共4頁，22小題，滿分150分．考試時(shí)間120分鐘．留意事項(xiàng)：1．答卷前，考生要?jiǎng)?wù)必填寫答題卷上的有關(guān)項(xiàng)目．2．選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答案涂在答題卷相應(yīng)的位置上．3．非選擇題必需用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必需寫在答題卷各題目指定區(qū)域內(nèi)；如需改動(dòng)，先劃掉原來的答案，然后再寫上新的答案；不準(zhǔn)運(yùn)用鉛筆和涂改液，不按以上要求作答的答案無效．4．請考生保持答題卷的整齊．考試結(jié)束后，將答題卷交回．一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，滿分40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.已知集合,,則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】化簡集合A，再求交集.【詳解】故選：C【點(diǎn)睛】本題主要考查了集合間的交集運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.2.下列函數(shù)既是偶函數(shù),又在區(qū)間上是減函數(shù)的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】依據(jù)奇偶性的推斷解除B選項(xiàng)，依據(jù)單調(diào)性解除A，D.【詳解】令，，則為偶函數(shù)當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增，故A錯(cuò)誤；令，則，則函數(shù)為奇函數(shù)，故B錯(cuò)誤；令，，則函數(shù)為偶函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，則在區(qū)間上是減函數(shù)，故C正確；令，，則函數(shù)是偶函數(shù)令因，所以，即所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，故D錯(cuò)誤；故選：C【點(diǎn)睛】本題主要考查了利用函數(shù)奇偶性以及單調(diào)性定義推斷函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性，屬于基礎(chǔ)題.3.若a，b是實(shí)數(shù)，則是的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分又不必要條件【答案】B【解析】【分析】由對數(shù)函數(shù)單調(diào)性即可得到二者之間的邏輯關(guān)系.【詳解】由可得；但是時(shí)，不能得到.則是的必要不充分條件故選：B4.函數(shù)的最大值為（）A. B. C.1 D.2【答案】D【解析】【分析】利用誘導(dǎo)公式得出，結(jié)合正弦函數(shù)的性質(zhì)，得出最大值.【詳解】即當(dāng)時(shí)，取最大值故選：D【點(diǎn)睛】本題主要考查了誘導(dǎo)公式以及正弦型函數(shù)的最值，屬于基礎(chǔ)題.5.設(shè),,,則a,b,c的大小關(guān)系是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用的單調(diào)性比較，與比較即可得出答案.【詳解】，則因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞增，則所以故選：A【點(diǎn)睛】本題主要考查了利用冪函數(shù)以及對數(shù)函數(shù)單調(diào)性比較大小，屬于基礎(chǔ)題.6.函數(shù),的大致圖象為（）A.a B.C. D.【答案】B【解析】【分析】推斷函數(shù)奇偶性，取特別值推斷即可.【詳解】令，，則函數(shù)為奇函數(shù)，則解除D；，則解除故選：B【點(diǎn)睛】本題主要考查了函數(shù)圖象的識(shí)別，屬于基礎(chǔ)題.7.已知定義在R上的函數(shù)的圖象是連綿不斷的,且有如下對應(yīng)值表:x123453那么函數(shù)肯定存在零點(diǎn)的區(qū)間是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用零點(diǎn)存在性定理推斷即可.【詳解】則函數(shù)肯定存在零點(diǎn)的區(qū)間是故選：B【點(diǎn)睛】本題主要考查了利用零點(diǎn)存在性定理推斷零點(diǎn)所在區(qū)間，屬于基礎(chǔ)題.8.為配制一種藥液，進(jìn)行了二次稀釋，先在容積為40L的桶中盛滿純藥液，第一次將桶中藥液倒出用水補(bǔ)滿，攪拌勻稱，其次次倒出后用水補(bǔ)滿，若其次次稀釋后桶中藥液含量不超過容積的60%，則V的最小值為（）A5 B.10 C.15 D.20【答案】B【解析】【分析】依據(jù)題意列出不等式即可解得V的最小值.【詳解】由，解得則V的最小值為10.故選：B二、多項(xiàng)選題：本題共4小題，每小題5分，滿分20分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯(cuò)的得0分．9.設(shè)，且，則下列結(jié)論肯定正確的是（）A. B.C. D.【答案】AD【解析】【分析】依據(jù)不等式的性質(zhì)推斷AD，列舉例子推斷BC.【詳解】A.，同除可得，A正確；B.當(dāng)時(shí)，，B錯(cuò)誤；C.若，此時(shí)有，C錯(cuò)誤；D.，故，D正確.故選：AD.10.已知，則（）A. B.C. D.角可能是其次象限角【答案】BC【解析】【分析】依據(jù)給定條件結(jié)合誘導(dǎo)公式、同角公式逐項(xiàng)分析、計(jì)算并推斷作答.【詳解】因，則是第一象限或者第四象限角，當(dāng)是第四象限角時(shí)，，A不正確；，B正確；，C正確；因是第一象限或者第四象限角，則不行能是其次象限角.故選：BC11.以下結(jié)論正確的是（）A.函數(shù)的最小值是4B.若且，則C.若，則的最小值為3D.函數(shù)的最大值為0【答案】BD【解析】【分析】結(jié)合基本不等式的學(xué)問對選項(xiàng)進(jìn)行分析，從而確定正確答案.【詳解】A.對于函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，所以A選項(xiàng)錯(cuò)誤.B由于，所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，所以B選項(xiàng)正確.C.，但無解，所以等號(hào)不成立，所以C選項(xiàng)錯(cuò)誤.D.由于，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，所以D選項(xiàng)正確.故選：BD12.已知函數(shù)，則下列推斷正確的是（）A.為奇函數(shù)B.對隨意，且，則有C.對隨意，則有D.若函數(shù)有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是【答案】BCD【解析】【分析】舉出反例可得函數(shù)不是奇函數(shù)，A錯(cuò)誤；探討二次函數(shù)的單調(diào)性得到B正確；分狀況探討并計(jì)算可推斷C正確；構(gòu)造函數(shù)，將函數(shù)的零點(diǎn)轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)圖象的交點(diǎn)問題可推斷D正確．【詳解】A選項(xiàng)，，即，則不是奇函數(shù)，即A不正確；B選項(xiàng)，時(shí)，，對稱軸為，開口向下，故在上遞增，時(shí)，對稱軸為，開口向上，故在上遞增，且，于是得在R上單調(diào)遞增，則，B正確；C選項(xiàng)，時(shí)，，時(shí)，，時(shí)，綜上得：對隨意，則有成立，C正確；D選項(xiàng)，因?yàn)椋瑒t0不是的零點(diǎn)，時(shí)，，令，依題意函數(shù)的圖象與直線有兩個(gè)公共點(diǎn)，時(shí)，令，解得：，結(jié)合可得：，令，解得：，結(jié)合可得：，時(shí)，恒成立，綜上：時(shí)，時(shí)，，于是得，由對勾函數(shù)知，在上遞減，在上遞增，又在上遞減，在上遞增，如圖：直線與的圖象有兩個(gè)公共點(diǎn)，，直線與的圖象有兩個(gè)公共點(diǎn)，，從而得函數(shù)的圖象與直線有兩個(gè)公共點(diǎn)時(shí)或，所以實(shí)數(shù)m的取值范圍是，D正確．故選：BCD．三、填空題：本題共4小題，每小題5分，滿分20分．13.計(jì)算:________.【答案】【解析】【分析】由指數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)與對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)化簡即可得出答案.【詳解】故答案為：【點(diǎn)睛】本題主要考查了指數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)與對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.14.已知扇形圓心角為，弧長為，則扇形的面積為___________.【答案】【解析】【分析】利用圓心角和弧長求出半徑，依據(jù)扇形面積公式求解即可.【詳解】依題意，扇形的半徑，所以扇形的面積，故答案為：.15.已知，則______．【答案】【解析】【分析】由題意利用二倍角的正切公式求得的值，再利用兩角和的正切公式求得的值．【詳解】已知，，則，故答案為．【點(diǎn)睛】本題主要考查二倍角的正切公式，兩角和的正切公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．16.已知函數(shù)，若對于隨意的，不等式恒成立，則實(shí)數(shù)t的取值范圍是___________．【答案】【解析】【分析】先推斷在上是奇函數(shù)和增函數(shù)，故題意可轉(zhuǎn)化成，求即可求解【詳解】的定義域?yàn)?，且，所以為奇函?shù)，，對隨意，所以為單調(diào)遞增函數(shù)，由，得，即，所以，即恒成立，因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，所以，解得，故答案為：．四、解答題：本題共6小題，滿分70分．解答須寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17.已知集合或，集合.（1）當(dāng)時(shí)，求；（2）若是空集，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】（1）（2）或【解析】【分析】（1）先依據(jù)補(bǔ)集的定義求出集合，再將集合取交集；（2）須要分類探討集合是否為空集.【小問1詳解】集合，當(dāng)時(shí)，集合，所以.【小問2詳解】當(dāng)是空集時(shí)，分兩種狀況：狀況一：集合時(shí)，，所以；狀況二：集合時(shí)，，要使是空集，則須要滿意或，解得或，所以這種狀況下，實(shí)數(shù)的取值范圍為或.綜上，實(shí)數(shù)的取值范圍為或.18.已知為第一象限角,且.（1）求的值;（2）求的值.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）利用平方關(guān)系以及二倍角的正弦公式求解即可；（2）利用兩角和正弦公式求解即可.【詳解】（1）（2）【點(diǎn)睛】本題主要考查了二倍角的正弦公式以及兩角和的正弦公式，屬于基礎(chǔ)題.19.已知函數(shù)．其中為自然對數(shù)的底數(shù)，．（1）推斷單調(diào)性，并用定義證明；（2）求方程實(shí)數(shù)解的個(gè)數(shù)．【答案】（1）為上的單調(diào)遞減函數(shù)；證明見解析（2）唯一的實(shí)數(shù)解【解析】【分析】（1）依據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義推斷并證明即可；（2）令，易知在單調(diào)遞增，又因?yàn)椋?，所以在存在唯一零點(diǎn)，從而得出結(jié)論．【小問1詳解】的定義域?yàn)閷﹄S意的所以為上的單調(diào)遞減函數(shù).【小問2詳解】由可得，令易知在單調(diào)遞增又因?yàn)?，所以在存在唯一零點(diǎn)所以有唯一的實(shí)數(shù)解.20.已知函數(shù)的最大值為1，（1）求常數(shù)的值；（2）求函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間；（3）求使成立的x的取值集合.【答案】（1）；（2）；（3）【解析】【分析】（1）利用兩角和與差的公式化簡成為的形式，依據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)可得的值．（2）將內(nèi)層函數(shù)看作整體，放到正弦函數(shù)的減區(qū)間上，解不等式得函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間；（3）依據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)求解成立的的取值集合．【詳解】（1）由題意：函數(shù)，化簡得：，的最大值為1，，解得：．（2）由（1）可知．依據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)可得：，．即，解得：，，的單調(diào)遞減區(qū)間為；（3）由題意：，即，可得：．，．解得：．成立的的取值范圍是．【點(diǎn)睛】本題考查了三角函數(shù)的化簡和計(jì)算實(shí)力，三角函數(shù)的性質(zhì)的運(yùn)用．屬于基礎(chǔ)題．21.國家質(zhì)量監(jiān)督檢驗(yàn)檢疫局于2004年5月31日發(fā)布了新的《車輛駕駛?cè)藛T血液、呼氣酒精含量閥值與檢驗(yàn)》國家標(biāo)準(zhǔn)．新標(biāo)準(zhǔn)規(guī)定，車輛駕駛?cè)藛T血液中的酒精含量大于或等于20毫克/百毫升，小于80毫克/百毫升為飲酒駕車，血液中的酒精含量大于或等于80毫克/百毫升為醉酒駕車．經(jīng)過反復(fù)試驗(yàn)，喝一瓶啤酒后酒精在人體血液中的改變規(guī)律的“散點(diǎn)圖”如下：該函數(shù)模型如下：依據(jù)上述條件，回答以下問題：（1）試計(jì)算喝1瓶啤酒多少小時(shí)血液中的酒精含量達(dá)到最大值？最大值是多少？（2）試計(jì)算喝一瓶啤酒多少小時(shí)后才可以駕車？（時(shí)間以整小時(shí)計(jì)算）（參考數(shù)據(jù)：）【答案】（1）喝1瓶啤酒后1.5小時(shí)血液中的酒精含量達(dá)到最大值53毫克/百毫升；（2）喝1瓶啤酒后需6小時(shí)后才可以駕車.【解析】【詳解】（1）由圖可知，當(dāng)函數(shù)取得最大值時(shí)，，此時(shí)，當(dāng)，即時(shí)，函數(shù)取得最大值為.故喝1瓶啤酒后1.5小時(shí)血液中的酒精含量達(dá)到最大值53毫克/百毫升.（2）由題意知，當(dāng)車輛駕駛?cè)藛T血液中的酒精小于20毫克/百毫升時(shí)可以駕車，此時(shí).由，得：，兩邊取自然對數(shù)得：即，∴，故喝1瓶啤酒后需6小時(shí)后才可以駕車.22.已知函數(shù)．（1）試推斷函數(shù)的奇偶性，并證明；（2）若對隨意的，