專題1.1 菱形的性質(zhì)與判定【十大題型】-2024-2025學年九年級數(shù)學上冊舉一反三系列（北師大版）

PAGE1專題1.1菱形的性質(zhì)與判定【十大題型】【北師大版】TOC\o"1-3"\h\u【題型1由菱形的性質(zhì)求角度】 1【題型2由菱形的性質(zhì)求線段長度】 4【題型3由菱形的性質(zhì)求面積】 8【題型4菱形在平面直角坐標系中的運用】 12【題型5菱形中的證明】 19【題型6添加條件使四邊形是菱形】 22【題型7證明四邊形是菱形】 26【題型8由菱形的性質(zhì)與判定求角度】 31【題型9由菱形的性質(zhì)與判定求線段長度】 35【題型10由菱形的性質(zhì)與判定求面積】 40知識點1：菱形的性質(zhì)定義：有一組鄰邊相等的平行四邊形叫做菱形．性質(zhì)：①菱形具有平行四邊形的一切性質(zhì)；②菱形的四條邊都相等；③菱形的兩條對角線互相垂直，并且每一條對角線平分一組對角；④菱形是軸對稱圖形，它有2條對稱軸，分別是兩條對角線所在直線．【題型1由菱形的性質(zhì)求角度】【例1】（23-24·廣西·三模）如圖，菱形ABCD中，AC交BD于O，CE⊥AB于E，連接OE，若∠DAB=110°，則∠OEC的度數(shù)為°．【答案】35【分析】本題考查了菱形的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，掌握菱形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．由菱形的性質(zhì)可得∠CAB=∠ACB=1【詳解】解：∵四邊形ABCD是菱形，∠DAB=110°，AB=BC，∴∠ABC=70°，∴∠CAB=∠ACB=12180°?70°∵CE⊥AB，∴OE=OA=OC，∠AEC=90°，∴∠OEA=∠OAE=55°，∴∠OEC=90°?55°=35°，故答案為：25．【變式1-1】（23-24九年級下·吉林長春·期末）如圖，在菱形ABCD中，∠ABC=140°，則∠DAC等于（

）A．30° B．25° C．20° D．15°【答案】C【分析】本題考查菱形性質(zhì)，平行線性質(zhì)，角平分線性質(zhì)等．根據(jù)題意可知DA∥BC，繼而得到∠DAB=40°，再利用角平分線性質(zhì)可得∠DAC的度數(shù)．【詳解】解：∵四邊形ABCD是菱形，∴DA∥BC，∠DAC=∠BAC，∵∠ABC=140°，∴∠DAB=180°?140°=40°，∴∠DAC=20°，故選：C．【變式1-2】（23-24九年級上·四川成都·期末）如圖，在菱形ABCD中，∠A=50°，分別以點A，B為圓心，大于12AB的長為半徑作弧相交于M，N兩點，過M，N兩點的直線交AD邊于點E（作圖痕跡如圖所示），連接BE，BD．則∠EBC的度數(shù)為

【答案】80°/80度【分析】本題考查了作圖—垂直平分線，菱形的性質(zhì)，根據(jù)題意得，點E在AB的垂直平分線上，則EA=EB，即可得∠A=∠EBA=50°，根據(jù)四邊形ABCD為菱形得AB=AD，∠ABC=130°，可得∠ABD=∠ADB=65°，即可得；掌握作圖—垂直平分線，菱形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：根據(jù)題意得，點E在AB的垂直平分線上，∴EA=EB，∴∠A=∠EBA=50°，∵四邊形ABCD為菱形，∴AB=AD，∠ABC=180°?∠BAD=180°?50°=130°，∴∠ABD=∠ADB=1∴∠EBC=∠ABC?∠ABE=130°?50°=80°，故答案為：80°．【變式1-3】（23-24·廣東·二模）如圖，四邊形ABCD為平行四邊形，四邊形BCEF為菱形，BF與CD交于點G，∠A=60°，∠BEC=22°，則∠BGC=（

）A．76° B．82° C．86° D．104°【答案】A【分析】本題考查平行四邊形和菱形的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理，掌握菱形的對角線平分一組對角是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：∵四邊形BCEF為菱形，∴∠FBC=∠FEC=2∠BEC=2×22°=44°，又∵ABCD為平行四邊形，∴∠BCD=∠A=60°，∴∠BGC=180°?∠BCD?∠FBC=180°?60°?44°=76°，故選A．【題型2由菱形的性質(zhì)求線段長度】【例2】（23-24九年級下·浙江嘉興·期末）如圖，在菱形紙片ABCD中，AB=2，∠B=60°，將該菱形紙片沿折痕EF翻折，使點D落在AB的中點G處，則DE的長是【答案】7【分析】本題考查菱形的性質(zhì)、折疊性質(zhì)、含30度角的直角三角形的性質(zhì)、勾股定理，熟練掌握菱形的性質(zhì)和含30度角的直角三角形的性質(zhì)是解答的關(guān)鍵．過G作GH⊥DA交DA延長線于H，先根據(jù)菱形的性質(zhì)得到AD=AB=2，∠GAH=60°，AG=12AB=1GH=32，設(shè)DE=x，由折疊性質(zhì)得GE=DE=x，在Rt△GHE【詳解】解：過G作GH⊥DA交DA延長線于H，∵四邊形ABCD是菱形，AB=2，∠B=60∴AD=AB=2，∠BAD=180°?∠B=120°，則∠GAH=180°?∠BAD=60°，∵點G是AB的中點，∴AG=1在Rt△AGH中，∠AGH=90°?∠GAH=30°∴AH=1∴GH=A設(shè)DE=x，由折疊性質(zhì)得GE=DE=x，在Rt△GHE中，HE=AH+AE=由GH2+H解得x=7故答案為：7【變式2-1】（23-24九年級下·福建寧德·期末）如圖，在菱形ABCD中，∠D=60°,AC=6，則菱形ABCD的周長是（

）A．24 B．30 C．183 D．【答案】A【分析】本題主要考查了菱形的性質(zhì)、等邊三角形的判定和性質(zhì)，解題關(guān)鍵是熟練掌握菱形的性質(zhì)、等邊三角形的判定和性質(zhì)．先根據(jù)菱形的性質(zhì)證明AB=BC=CD=AD，在根據(jù)已知條件證明△ABC是等邊三角形，求出AB=BC=AC=6，從而求出菱形周長即可．【詳解】解：∵四邊形ABCD是菱形，∴AB=BC=CD=AD，∵∠B=60°，∴△ABC是等邊三角形，∴AB=BC=AC=6，∴AB=BC=CD=AD=6，∴菱形ABCD的周長為：AB+BC+CD+AD=6+6+6+6=24，故選：A．【變式2-2】（23-24九年級下·江蘇無錫·期中）如圖，邊長為3的菱形ABCD中，∠ABC=60°，點P是對角線BD上任意一點（P不與B、D重合），以AP和PD為邊作平行四邊形APDQ，則PQ的最小值為．【答案】3【分析】設(shè)AD與PQ交于O，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得到PQ=2OP，當OP取最小值時，PQ的值最小，當PQ⊥BD時，PO的值最小，根據(jù)菱形的性質(zhì)得到AD=CD=3，∠ABC=∠ADC=60°，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得到OP=3【詳解】解：設(shè)AD與PQ交于O，∵四邊形APDQ是平行四邊形，∴PQ=2OP，∴當OP取最小值時，PQ的值最小，由“點到直線的距離垂線段最短”可知，當PQ⊥BD時，PO的值最小，∵四邊形ABCD是菱形，∴AD=CD=3，∴∠ADP=30°，∵AO=OD=3在Rt△OPD中，∴PQ=2OP=3∴PQ的最小值為32故答案為：32【點睛】此題考查了菱形的性質(zhì)、含30°直角三角形的性質(zhì)、平行四邊形的性質(zhì)等知識，熟練掌握相關(guān)知識是解題的關(guān)鍵．【變式2-3】（23-24·河北邯鄲·三模）如圖是由5個邊長為1，且一個內(nèi)角為60°的小菱形拼成的圖形，P是其中4個小菱形的公共頂點．佳佳想到：“一條直線經(jīng)過平行四邊形對角線的交點，則這條直線平分該平行四邊形的面積”就將該圖形沿著過點P的某條直線剪一刀，把這五個菱形組成紙片剪成了面積相等的兩部分，則剪痕的長度是（

）

A．3 B．13 C．133 D．【答案】B【分析】本題考查了圖形的剪拼，中心對稱的性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，熟練掌握中心對稱的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．根據(jù)中心對稱的性質(zhì)即可作出剪痕，由三角形全等的性質(zhì)即可證得QF=AP，利用勾股定理即可求得．【詳解】解：如圖，連接最左側(cè)菱形的對角線交于點O，作直線OP，交CB延長線于點A，交最左側(cè)菱形對邊分別于點Q,N，交最右側(cè)上方菱形一邊于點F，過點P作PG⊥CD，垂足為G，

∵菱形是中心對稱圖形，∴經(jīng)過P、O的直線則把它剪成了面積相等的兩部分，由中心對稱圖形可知△MNP≌∴BQ=MN，∵MP∥∴∠A=∠MPN，∵∠ABQ=∠PMN=180°?60°=120°，∴△MNP≌∴△MNP≌∴AQ=PF,AB=PE=1，∴QF=AP，∵∠CPG=90°?∠PCD=30°，∴CG=1∴PG=CP∴AP=A∴QF=13故選：B．【題型3由菱形的性質(zhì)求面積】【例3】（23-24九年級下·浙江嘉興·期末）如圖，在菱形ABCD中，點E,F分別是邊DC,AD的中點，連接BE,EF,BF．若菱形ABCD的面積為16，則△BEF的面積為（

）A．8 B．7 C．6 D．5【答案】C【分析】本題考查菱形的性質(zhì)，三角形的中位線定理，連接AC和BD，可得EF=12AC，EF∥AC，即可得到S△DEF=【詳解】連接AC和BD，則AC⊥BD，DO=OB，又∵點E,F分別是邊DC,AD的中點，∴EF=12AC∴S△DEF∵點E,F分別是邊DC,AD的中點，∴S△DBF∴S△BEF故選C．【變式3-1】（23-24九年級下·全國·專題練習）如圖，菱形ABCD的對角線AC，BD相交于點O，過點D作DH⊥AB于點H，連接OH，若OA=6，OH=4，則菱形ABCD的面積為（A．247 B．48 C．72 D．【答案】B【分析】本題主要考查了菱形的性質(zhì)、直角三角形的斜邊上的中線性質(zhì)和菱形的面積公式，熟練掌握以上知識是解題的關(guān)鍵．由菱形的性質(zhì)得OA=OC=6，OB=OD，AC⊥BD，根據(jù)題意得【詳解】解：∵四邊形ABCD是菱形，∴OA=OC=6，∴AC=2OA=12，∵DH⊥AB，∴∠BHD=90°，∴BD=2OH=2×4=8，∴菱形ABCD的面積=1故選：B．【變式3-2】（23-24九年級下·廣西賀州·期末）如圖，在菱形ABCD中，∠B=60°，AB=2cm，過點A分別作AE⊥BC，AF⊥CD，垂足分別為E，F(xiàn)，連接EF，則△ECF的面積為（

A．34 B．32 C．33【答案】A【分析】首先利用菱形的性質(zhì)及等邊三角形的判定可得判斷出△AEF是等邊三角形，過F作FG⊥BC交BC的延長線于點G，利用含30度角的直角三角形的性質(zhì)以及勾股定理，即可算出三角形的面積．【詳解】解：∵四邊形ABCD是菱形，∴BC=CD，∴△ABC和△ADC是等邊三角形，∵AE⊥BC，∴BE=CE=1，∴AE=AF=3，∠EAF=30°+30°=60°∴△AEF是等邊三角形，∴EF=3，∠AEF=60°∴∠CEF=180°?90°?60°=30°，過F作FG⊥BC交BC的延長線于點G，

∴FG=1∴△CEF的面積是：12故選：A．【點睛】本題考查了菱形的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，含30度角的直角三角形的性質(zhì)以及勾股定理，熟練掌握等邊三角形的判定和性質(zhì)是解題關(guān)鍵．【變式3-3】（23-24九年級上·山東青島·期末）如圖所示，第一個菱形OBCD的邊長為2，∠BOD=60°，且點D落在y軸上，延長CB交x軸于A，以CA為邊作第二個菱形AB1C1C；延長C1B1交x軸于點A1，以C1A1【探究】(1)A1C1(2)An?2Cn?2(3)則第n個菱形的面積為______．【答案】(1)3(2)(32(3)3【分析】（1）由第一個菱形OBCD的邊長為2，∠BOD=60°，得出△BOA為含30度直角三角形，由此得出AB=1（2）同理（1）可得A1C1=3（3）根據(jù)（2）的規(guī)律求出第n個菱形的邊Cn?1Bn?1【詳解】（1）解：∵∠BOD=60°，∴∠BOA=30°，∵菱形OBCD的邊長為2，∴BC∥OD，OB=OD=BC=2，∴∠BAO=90°，AB=1∴AC=AB+BC=同理可得A∴A故答案為3（2）由（1）可知AA2C由此規(guī)律可知：An∴A故答案為：(32)（3）由（2）可知，第n個菱形的菱長為An?2An?1Cn?1第n個菱形的面積為An?2故答案為3×【點睛】本題主要考查菱形的性質(zhì)，含30度直角三角形性質(zhì)、勾股定理，圖形的規(guī)律，解本題的關(guān)鍵是求出前幾個菱形的邊長，找出規(guī)律．【題型4菱形在平面直角坐標系中的運用】【例4】（23-24九年級下·山東聊城·期末）如圖，在平面直角坐標系中，點A?2，0，點B在y軸上，菱形OBCD

(1)求直線OC的解析式；(2)點P是對角線OC上的一個動點，當AP+BP取到最小值時，求點P的坐標；(3)y軸上是否存在一點Q，使△QAD的面積等于菱形OBCD的面積，若存在，求出點Q的坐標，若不存在，說明理由．【答案】(1)y=2x(2)2(3)存在，0，23【分析】（1）先由菱形的性質(zhì)得出點C的坐標，再用待定系數(shù)法即可求出解析式；（2）先確定當AP+BP取到最小值時點P的位置是直線AD與y軸的交點，即可根據(jù)OC、AD的解析式，求出點P的坐標，即可解答；（3）存在，設(shè)點Q的坐標為0，y，先求出菱形的面積，根據(jù)面積相等，即可求出y，從而求出點【詳解】（1）解：∵D4，3∵四邊形OBCD是菱形，∴CD=OD=5，∴C4設(shè)OC的解析式為y=kx，則8=4k，解得：k=2，∴y=2x；（2）連接AD，交OC于點P，連接BD，交OC于點N，

∵四邊形OBCD是菱形，∴BD⊥OC，BN=DN∴BP=PD，由三角形三邊關(guān)系可知：AP+BP=AP+PD≥AD，∴當A、P、D三點共線時，AP+BP最小，設(shè)AD的解析式為y=k將?2，0、4，解得：k1∴y=1聯(lián)立y=1解得x=2∴P點坐標為23（3）∵OD=OB=5，D4∴S菱形如圖，設(shè)AD交y軸于點E，則E0，1

則S==3y?1∴3y?1∴y=233或∴Q點的坐標為0，233【點睛】本題考查一次函數(shù)的圖象性質(zhì)和菱形的性質(zhì)，熟練掌握以上性質(zhì)是解題關(guān)鍵．【變式4-1】（23-24九年級下·山東聊城·期末）在如圖所示的直角坐標系中，菱形ABCD的邊長是2，E(0,2)為BC的中點．y軸垂直平分BC，垂足為點E．請分別求出點A，B，C，D的坐標．

【答案】A(0,2+3)，B(?1,2)，C(1,2)【分析】根據(jù)菱形邊長為2結(jié)合E為BC中點求出B、C的坐標，根據(jù)勾股定理的知識求出AE的長，進而求出AO長度，最后求出A、D坐標．【詳解】解：∵菱形ABCD的邊長是2，∴AB=BC=CD=DA=2，∵E為BC中點，∴BE=EC=1∵E(0,2)，∴B(?1,2)，C(1,2)，∵y軸垂直平分BC，∴∠AEB=90°，∴BE∴AE=2∴OA=2+3∴A(0,2+3)，【點睛】本題主要考查了菱形的知識、勾股定理的知識、垂直平分線的知識，難度不大．【變式4-2】（23-24九年級下·湖北咸寧·期中）如圖，在平面直角坐標系中，已知A0,2，B(0,?3)，C(4,0)，P(?2,0)，且以A，B，C，D(1)直接寫出D點的坐標______；(2)請用無刻度直尺作直線l，使直線l經(jīng)過點P且平分菱形的面積，保留作圖痕跡；(3)已知點T是CD邊上一點，若線段OT將菱形ABCD的面積分為2：3兩部分，直接寫出點T的坐標．【答案】(1)D(4,5)(2)見解析(3)(4,1)或(4,3)【分析】（1）根據(jù)A,B,C的坐標，求得AB=BC=5，進而即可得出D的坐標；（2）連接AC,BD交于點E，過點P,E作直線l，直線l即為所求；（3）根據(jù)菱形的性質(zhì)求得菱形的面積，進而可得S四邊形OTCB=25×20=8或【詳解】（1）解：∵A0,2，B0,?3，∴AB=5，BC=3∴AB=BC=CD=AD=5，∵四邊形ABCD是菱形，∴AB∴D4,5（2）解：如圖所示，連接AC,BD交于點E，過點P,E作直線l，直線l即為所求；（3）解：∵AB=5，OC=4，∴菱形ABCD的面積為AB×CD=5×4=20，∵OB=3，∴S△OBC∵線段OT將菱形ABCD的面積分為2:3兩部分，∴S四邊形OTCB則S△OCT=8?6=2或∴12×OC×CT=2∵OC=4∴CT=1或CT=3，∴T4,1或【點睛】本題考查了坐標與圖形，菱形的性質(zhì)，勾股定理，熟練掌握菱形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【變式4-3】（23-24九年級下·河南駐馬店·期末）在平面直角坐標系中，菱形ABCD的位置如圖所示，點A的坐標為(?2,0)，點B的坐標為(2,0)，點D在y軸上，∠DAB=60°．

(1)求點C和點D的坐標．(2)點P是對角線AC上一個動點，當OP+BP最短時，求點P的坐標．【答案】(1)D0,23(2)P【分析】（1）先求出AB=4，由四邊形ABCD是菱形，則AB=AD=CD=BC=4，CD∥AB，在Rt△ADO中，∠DAB=60°，求出OD=23，即可得到點C和點（2）點B，D關(guān)于直線AC對稱．設(shè)OD交AC于P′，連接BP′，則BP′=DP′，P′O+P′B=P′D+P′O≥OD，即P【詳解】（1）解：∵點A的坐標為(?2,0)，點B的坐標為(2,0)，∴AB=4．OA=2，∵四邊形ABCD是菱形，∴AB=AD=CD=BC=4，CD∥AB，在Rt△ADO中，∠DAB=60°則∠ADO=30°，∴AO=1∴AD=2AD=4，∴OD=A∴D0,23，（2）∵四邊形ABCD是菱形，∴B，D關(guān)于直線AC對稱．設(shè)OD交AC于P′，連接BP′

∵P′O+當點P和點P′重合時，OP+PB=OP+PD=OD在Rt△AOP∵∠PAO=1∴OP=1則OP2+A∴OP=2∴P0,【點睛】此題考查了勾股定理、含30°角的直角三角形的性質(zhì)、菱形的性質(zhì)、軸對稱的性質(zhì)、點的坐標等知識，數(shù)形結(jié)合和準確計算是解題的關(guān)鍵．【題型5菱形中的證明】【例5】（23-24·福建三明·一模）如圖，菱形ABCD中，點E，F(xiàn)分別在邊CD,AD.上，AF=CE，求證：AE=CF．【答案】見解析【分析】解法一：由菱形的性質(zhì)可得AD=CD，結(jié)合AF=CE可證DF=DE，再證明△ADE≌△CDF即可；解法二：連接AC，由菱形的性質(zhì)可得DA=DC，根據(jù)等邊對等角得出∠DAC=∠DCA，再證明△DE≌△CAF即可．【詳解】證明：解法一：∵四邊形ABCD是菱形，∴AD=CD又∵AF=CE，∴AD?AF=CD?CE，∴DF=DE，在△ADE和△CDF中，AD=CD∴△ADE≌△CDF(∴AE=CF解法二：連接AC，∵四邊形ABCD是菱形，∴DA=DC，∴∠DAC=∠DCA，在△ACE和△CAF中，CA=AC∠EAC=∠FAC∴△DE≌△CAFSAS∴AE=CF．【點睛】本題考查菱形的性質(zhì)，三角形全等的判定和性質(zhì)，等邊對等角．靈活運用菱形的性質(zhì)和三角形全等的判定是解題的關(guān)鍵．【變式5-1】（23-24·廣東廣州·一模）如圖，菱形ABCD中，過點C分別作邊AB，AD上的高CE，【答案】證明見解析【分析】本題考查全等三角形的判定與性質(zhì)，菱形性質(zhì)等知識，由菱形性質(zhì)結(jié)合條件，利用全等三角形的判定與性質(zhì)即可得證，熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)是解決問題的關(guān)鍵．【詳解】證明：在四邊形ABCD是菱形，∠B=∠D，∵CE⊥AB，∴∠BEC=∠DFC=90°，在△CBE和△CDF中，∠B=∠D∴△CBE≌∴BE=DF．【變式5-2】（23-24九年級下·北京海淀·期末）如圖，在菱形ABCD中，E為AB邊上一點，EF∥BC交BD于點M，交CD于點F．求證：

【答案】見解析【分析】由平行四邊形的性質(zhì)得AB∥CD，AD∥BC，AB=AD，再證四邊形BCFE是平行四邊形，EF∥AD，得【詳解】解：∵四邊形ABCD是菱形，∴AB∥CD，∴∠ADB=∠ABD，∵EF∥∴四邊形BCFE是平行四邊形，EF∥∴BE=CF，∴∠ABD=∠EMB，∴BE=EM，∴CF=EM．【點睛】本題考查了菱形的性質(zhì)、平行四邊形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)等知識，熟練掌握菱形的性質(zhì)和平行四邊形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【變式5-3】（23-24九年級下·安徽安慶·期末）如圖，將菱形ABCD沿著EF，GH折疊后，點B，D重合于對角線BD上一點M，求證：四邊形AEMG是平行四邊形．

【答案】見解析【分析】根據(jù)折疊的性質(zhì)可得EB=EM，求出∠AEM=2∠EBM，根據(jù)∠EBF=2∠EBM，可得∠AEM=∠EBF，證明AD∥EM，同理可得【詳解】證明：由折疊得EB=EM，∴∠EBM=∠EMB，∴∠AEM=∠EBM+∠EMB=2∠EBM，∵在菱形ABCD中，∠EBF=2∠EBM，AD∥∴∠AEM=∠EBF，∴EM∥∴AD∥同理可得AE∥∴四邊形AEMG是平行四邊形．【點睛】本題考查了菱形的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，平行線的判定和性質(zhì)，等邊對等角，三角形外角的性質(zhì)，平行四邊形的判定等知識，熟練掌握折疊的性質(zhì)，證明AD∥知識點2：菱形的判定①一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形；②四條邊都相等的四邊形是菱形．

③對角線互相垂直的平行四邊形是菱形（或“對角線互相垂直平分的四邊形是菱形”）．知識點2：菱形的判定①一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形；②四條邊都相等的四邊形是菱形．

③對角線互相垂直的平行四邊形是菱形（或“對角線互相垂直平分的四邊形是菱形”）．【題型6添加條件使四邊形是菱形】【例6】（23-24九年級下·北京東城·期末）如圖，下列條件之一能使?ABCD是菱形的為（）

①AC=BD；②AC平分∠BAD；③AB=BC；④AC⊥BDA．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④【答案】D【分析】根據(jù)菱形的判定定理判斷即可得解．【詳解】解：①AC=BD，四邊形ABCD是平行四邊形，∴四邊形ABCD是矩形；②AC平分∠BAD，四邊形ABCD∴四邊形ABCD是菱形；③AB=BC，四邊形ABCD是平行四邊形，∴四邊形ABCD是菱形；④AC⊥BD，四邊形ABCD是平行四邊形，∴四邊形ABCD是菱形．綜上所述，由②③④可證得四邊形ABCD是菱形．故選：D．【點睛】本題考查了菱形的判定，熟練掌握菱形的判定定理是解題的關(guān)鍵．【變式6-1】（17-18九年級下·全國·單元測試）如圖，△ABC中，DE∥BC，EF∥AB，要判定四邊形A．AB=AC B．AD=BD C．BE⊥AC D．BE平分∠ABC【答案】D【分析】當BE平分∠ABC時，四邊形DBFE是菱形，可知先證明四邊形DBFE是平行四邊形，再證明BD=DE即可解決問題．【詳解】解：當BE平分∠ABC時，四邊形DBFE是菱形，理由：∵DE∥∴∠DEB=∠EBC，∵∠EBC=∠EBD，∴∠EBD=∠DEB，∴BD=DE，∵DE∥BC，∴四邊形DBFE是平行四邊形，∵BD=DE，∴四邊形DBFE是菱形．其余選項均無法判斷四邊形DBFE是菱形．故選：D．【點睛】本題考查菱形的判定、平行四邊形的判定和性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是靈活運用所學知識解決問題．【變式6-2】（23-24九年級下·河北秦皇島·階段練習）已知如圖，在?ABCD中，AD>AB，∠ABC為銳角，將△ABC沿對角線AC邊平移，得到△A′B′C′，連接AB′和C′A．甲、乙、丙 B．只有乙、丙 C．只有甲、乙 D．只有甲【答案】B【分析】本題主要考查了菱形的判定及平移的性質(zhì)，靈活選擇判定定理是解題的關(guān)鍵．先根據(jù)題意可知四邊形AB【詳解】解：∵四邊形ABCD為平行四邊形，∴AD∥BC，AD=BC，根據(jù)平移可知BC=B′C∴AD∥B′C∴四邊形AB∴AB方案甲，添加AB′=D方案乙，由B′∴平行四邊形AB方案丙，由∠A∵AD∥B∴∠DAC∴∠DAC∴AD=C∴平行四邊形AB所以正確的是乙和丙．故選：B．【變式6-3】（23-24·河北承德·模擬預(yù)測）依據(jù)所標識的數(shù)據(jù)，下列平行四邊形一定為菱形的是（

）A．

B．

C．

D．

【答案】C【分析】根據(jù)菱形的判定逐項排查即可解答．【詳解】解：∵四邊形是平行四邊形，∴對角線互相平分，故A不一定是菱形；∵四邊形是平行四邊形，∴對邊相等，故B不一定是菱形；∵圖C中，根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理可得：180°?70°?55°=55°，∴鄰邊相等，∵四邊形是平行四邊形，∴鄰邊相等的平行四邊形的菱形，故C是菱形；∵四邊形是平行四邊形，∴對邊平行，故D不一定是菱形．故選：C．【點睛】本題主要考查菱形的判定，靈活運用菱形的判定方法是解題的關(guān)鍵．【題型7證明四邊形是菱形】【例7】（23-24九年級下·廣東珠海·期中）如圖1，AE∥BF，AC平分∠BAD，且交BF于點C，BD平分∠ABC，且交AE于點D，連接CD

求證：四邊形ABCD是菱形；【答案】見解析【分析】本題考查了菱形的判定與性質(zhì)，勾股定理，直角三角形斜邊上中線的性質(zhì)，熟練掌握菱形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．由平行線的性質(zhì)及角平分線的定義證出AD=BC，得出四邊形ABCD是平行四邊形，根據(jù)菱形的判定定理可得出結(jié)論；【詳解】證明：∵AC平分∠BAD，∴∠BAC=∠DAC，又∵AE∥BF，∴∠DAC=∠ACB=∠BAC，∴AB=BC，同理，BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠CBD，又∵AE∥BF，∴∠CBD=∠ADB=∠ABD，∴AB=AD，∵AB=BC，AB=AD，∴AD=BC，∵AD∥BC，∴四邊形ABCD是平行四邊形，∵AB=AD，∴四邊形ABCD是菱形【變式7-1】（23-24九年級下·重慶沙坪壩·期中）如圖，在?ABCD中，點E在邊BC上，連接AE．(1)利用尺規(guī)作圖，在邊AD求作一點F，使得∠DCF=∠BAE；（保留作圖痕跡，不寫作法）(2)若AE=EC，證明：四邊形AECF為菱形．證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴______________________AB=CD，BC=AD．∵∠BAE=∠DCF，∴△ABE≌△CDF（∴AE=CF，______________________．∵BC=AD，∴BC?BE=AD?DF，∴______________________∵AE=CF，∴四邊形AFCE是平行四邊形（______________________）．（填推理依據(jù)）∵AE=EC，∴四邊形AFCE是菱形（______________________）．（填推理依據(jù)）【答案】(1)如圖點F即為所求；

(2)∠B=∠D；BE=DF；EC=AF；兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形；有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形．【分析】本題主要考查了作圖—基本作圖，平行四邊形的性質(zhì)與判定，菱形的判定，熟練掌握基本作圖方法以及菱形的性質(zhì)與判定是關(guān)鍵．（1）理解基本作圖（作一個角等于已知角），即利用尺規(guī)作出∠DCF=∠BAE即可．（2）利用“四邊形ABCD是平行四邊形”證出△ABE≌△CDF，得AE=CF，EC=AF，進而推出四邊形AFCE是平行四邊形，最后依據(jù)AE=EC，即可得出四邊形【詳解】（1）解：如圖點F即為所求；

（2）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴∠B=∠D，AB=CD，BC=AD．∵∠BAE=∠DCF，∴△ABE≌△CDF（ASA）．∴AE=CF，BE=DF．∵BC=AD，∴BC?BE=AD?DF，∴EC=AF，∵AE=CF，∴四邊形AFCE是平行四邊形（兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形）．∵AE=EC，∴四邊形AFCE是菱形（有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形）．【變式7-2】（23-24九年級下·廣東汕尾·期中）已知：如圖，在□ABCD中，AE是BC邊上的高，將△ABE沿BC方向平移，使點E與點C重合，得△GFC．

(1)求證：BE=DG；(2)若∠B=60°，當AB與BC滿足什么數(shù)量關(guān)系時，四邊形ABFG是菱形？證明你的結(jié)論．【答案】(1)見解析(2)當BC=32AB【分析】本題考查平移的基本性質(zhì)以及菱形的判定，關(guān)鍵是掌握①平移不改變圖形的形狀和大小；②經(jīng)過平移，對應(yīng)點所連的線段平行且相等，對應(yīng)線段平行且相等，對應(yīng)角相等和平行四邊形的性質(zhì)以及菱形的判定定理．（1）根據(jù)平移的性質(zhì)，可得：BE=FC，再證明Rt△ABE≌Rt△CDG（2）要使四邊形ABFG是菱形，須使AB=BF；根據(jù)條件找到滿足AB=BF的AB與BC滿足的數(shù)量關(guān)系即可．【詳解】（1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB=CD．∵AE是BC邊上的高，且CG是由AE沿BC方向平移而成．∴CG⊥AD．∴∠AEB=∠CGD=90°．∵AE=CG，∴Rt△ABE≌∴BE=DG．（2）當BC=32AB證明：∵AB∥GF，AG∥BF，∴四邊形ABFG是平行四邊形．∵Rt△ABE中，∠B=60°∴∠BAE=30°，∴BE=1∵BE=CF，∴EF=1∴AB=BF．∴四邊形ABFG是菱形．【變式7-3】（23-24九年級下·河南鶴壁·期中）如圖，AC∥BD，AE平分∠BAC交BD于點E．(1)【實踐與操作】過點B作AE的垂線，垂足為點O（要求尺規(guī)作圖，保留痕跡，不寫作法）；(2)【猜想與證明】設(shè)（1）中的垂線交AC于點F，連接EF，試猜想四邊形ABEF的形狀，并證明．【答案】(1)圖見解析(2)四邊形ABEF是菱形，理由見解析【分析】（1）根據(jù)尺規(guī)作角平分線的方法求解即可；（2）首先根據(jù)題意證明出△AFO≌△EBO(ASA)，得到OF=OB，證明出四邊形ABEF是平行四邊形，然后結(jié)合BA=BE，即可得到四邊形【詳解】（1）如圖，BO是所求作的垂線．（2）四邊形ABEF是菱形，理由如下：∵AC∥BD∴∠CAE=∠BEA∵AE平分∠BAC，∴∠CAE=∠BAE∴∠BEA=∠BAE∴BA=BE．又∵BF⊥AE∴AO=EO，而∠AOF=∠EOB,∠FAE=∠BEA，∴△AFO≌△EBO(ASA∴OF=OB，∴四邊形ABEF是平行四邊形．∵BA=BE，∴四邊形ABCD是菱形．【點睛】此題考查了尺規(guī)作角平分線，平行線的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)和判定，菱形的判定等知識，解題的關(guān)鍵是掌握以上知識點．【題型8由菱形的性質(zhì)與判定求角度】【例8】（23-24·四川成都·一模）如圖，在△ABC中，AB=AC，分別以C、B為圓心，取AB的長為半徑作弧，兩弧交于點D．連接BD、AD．若∠ABD=130°，則∠CAD=．【答案】25°/25度【分析】由題意和作法可知：AB=AC=BD=CD，可得四邊形ABDC是菱形，再根據(jù)菱形及等腰三角形的性質(zhì)，即可求解．【詳解】解：如圖：連接CD，由題意和作法可知：AB=AC=BD=CD，∴四邊形ABDC是菱形，∠BAD=1∴∠CAD=∠BAD=25°，故答案為：25°．【點睛】本題考查了菱形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，證得四邊形ABDC是菱形是解決本題的關(guān)鍵．【變式8-1】（23-24九年級下·湖北恩施·期末）如圖，在4×4的正方形網(wǎng)格中，每一個小正方形的邊長為1，其頂點我們稱為格點，△ABC，△ABD為格點三角形．

(1)請你僅用無刻度的直尺，在這個4×4的正方形網(wǎng)格中，畫出個以AD為邊的不是正方形的菱形，并簡單說明理由；(2)求∠ADB+∠ACB的大?。敬鸢浮?1)圖見解析，理由見解析(2)∠ADB+∠ACB=45°【分析】（1）根據(jù)勾股定理可知AD=AF=FE=DE，再根據(jù)菱形的判定即可解答；（2）根據(jù)菱形的性質(zhì)可知△AOF≌△FDCSAS，在根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可知△AFC【詳解】（1）解：∵AD=22+∴AD=AF=EF=DE=5∴四邊形ADEF是菱形，∴菱形ADEF即為所求；

（2）解：∵AD=22+∴AD=AF=EF=DE=5∴四邊形ADEF是菱形，∴AE⊥DF，∠FAE=∠EAD，∴∠AOF=90°，∵OA=DF，OF=CD，∴△AOF≌△FDCSAS∴∠AFO=∠DCF，AF=CF∴∠AFO+DFC=90°，∴△AFC是等腰直角三角形，∴∠FAC=45°，∵∠ADB=∠FAE=∠EAD，∠ACB=∠CAE，∴∠CAE+∠FAE=∠ADB+∠ACB，∵∠FAC=∠CAE+∠FAE，∴∠ADB+∠ACB=∠FAE+∠CAE=45°．

【點睛】本題考查了菱形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，掌握菱形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【變式8-2】（23-24九年級下·四川德陽·期末）如圖，在菱形ABCD的外側(cè)，作等邊△DCE，連接AE、DE．若對角線AC＝AB，則∠DEA＝度．【答案】30【分析】根據(jù)菱形的判定與性質(zhì)和等邊三角形的性質(zhì)得到四邊形ACED是菱形，進而求解即可．【詳解】解：連接AC，∵四邊形ABCD是菱形，AC=AB，∴AD=CD=AB=AC，∵△DCE是等邊三角形，∴DE=CD=CE，∠CED=60°，∴AD=AC=CE=DE，∴四邊形ACED是菱形，∴∠DEA=12∠CED故答案為：30．【點睛】本題考查菱形的判定與性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)，熟練掌握菱形的判定與性質(zhì)是解答的關(guān)鍵．【變式8-3】（23-24九年級下·吉林長春·階段練習）如圖，在四邊形ABCD中，AB∥DC，AB=DA，對角線AC，BD交于點O，且AC平分∠BAD，過點C作CE⊥AB交AB的延長線于點E．(1)求證：四邊形ABCD是菱形；(2)連結(jié)OE，交CB于點F，若∠ACB=20°，則∠CFE=______度．【答案】(1)證明見解析(2)60°【分析】本題考查的是平行四邊形的判定與性質(zhì)，菱形的判定與性質(zhì)，熟記平行四邊形與菱形的判定方法是解本題的關(guān)鍵；（1）由角平分線的性質(zhì)可得∠BAC=∠CAD，由平行線的性質(zhì)可得∠BAC=∠DCA，即可得到∠DAC=∠DCA，進而得到AD=CD，然后證得AB=CD，根據(jù)平行四邊形判定得到四邊形ABCD是平行四邊形，再由AB=AD，即可證得平行四邊形ABCD是菱形；（2）證明∠CEA=90°，證明AO=CO=EO，結(jié)合AB=CB，可得∠BAC=∠ACB=20°，證明∠OEA=∠BAC=20°，從而可得答案．【詳解】（1）證明：∵AB∥∴∠CAB=∠DCA，∵AC為∠DAB的平分線，∴∠CAB=∠DAC，∴∠DCA=∠DAC，∴CD=AD，∵AB=AD，∴AB=CD，∵AB∥∴四邊形ABCD是平行四邊形，∵AD=AB，∴平行四邊形ABCD是菱形；（2）∵CE⊥AB，∴∠CEA=90°，∵平行四邊形ABCD是菱形，∴AO=CO，∴AO=CO=EO，∵平行四邊形ABCD是菱形，∴AB=CB，∴∠BAC=∠ACB=20°，∵AO=EO，∴∠OEA=∠BAC=20°，∴∠COE=40°，∠CFE=∠COE+∠BCA=60°．【題型9由菱形的性質(zhì)與判定求線段長度】【例9】（23-24九年級上·四川成都·期中）如圖，四邊形ABCD中AD∥BC，∠C=90°，AB=AD，連接BD，∠BAD的角平分線交BD，BC分別于點O、E，若EC=3，CD=4，則BO的長為（

A．4 B．33 C．523【答案】D【分析】本題考查勾股定理的運用以及菱形的判定和性質(zhì)，連接DE，因為AB=AD，AE平分∠BAD，AD∥BC，可證四邊形ABED為菱形，從而得到BE、BC的長，進而解答即可．根據(jù)條件能夠發(fā)現(xiàn)圖中的菱形【詳解】解：連接DE．

在Rt△CDE中，EC=3，CD=4，根據(jù)勾股定理，得DE=5∵AB=AD，AE平分∠BAD，∴AE⊥BD，OB=OD，∴AE垂直平分BD，∠BAE=∠DAE．∴DE=BE=5．∵AD∥BC，∴∠DAE=∠AEB，∴∠BAE=∠AEB，∴AB=BE=5，∴BC=BE+EC=8，AB=BE=DE=AD，∴四邊形ABED是菱形，由勾股定理得出BD=B∴BO=1故選：D．【變式9-1】（23-24九年級上·山東煙臺·期末）如圖，BD是?ABCD的對角線，AM⊥BC于點M，交BD于點E，連接CE．若點M為BC的中點，EA=EC，BE=1，則?ABCD的周長為．【答案】4【分析】連接AC，由垂直平分線的性質(zhì)得出AB=AC，∠BME=90°，BC=2BM，再證四邊形ABCD是菱形，得出△ABC是等邊三角形，求出∠EBM=30°，含30°角的直角三角形的性質(zhì)得出EM，由勾股定理求出BM，即可得出答案．【詳解】解：如圖，連接AC，AC交BD于點O，∵AM⊥BC，點M為BC的中點，∴AB=AC，∠BME=90°，BC=2BM，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴OA=OC，∵EA=EC，∴EO⊥AC，即BD⊥AC，∴四邊形ABCD是菱形，∴∠EBM=12∠ABC，AB∴AB=AC=BC，∴△ABC是等邊三角形，∴∠ABC=60°，∴∠EBM=1∴EM=1在Rt△BME中，由勾股定理得：BM=∴BC=BC=2BM=2×3∴菱形ABCD的周長=4BC=4×3故答案為：43【點睛】本題考查了線段垂直平分線的性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)、菱形的判定與性質(zhì)，含30°角的直角三角形的性質(zhì)，以及勾股定理等知識，正確作出輔助線，構(gòu)建等邊三角形是解題的關(guān)鍵．【變式9-2】（23-24九年級下·福建廈門·階段練習）如圖，E，F(xiàn)是平行四邊形ABCD對角線BD上兩點，且BE＝DF，若∠BAF＝90°，AB＝4，AF＝AE＝3，則AC的長為（）A．2.4 B．3.6 C．4.8 D．6【答案】C【分析】由勾股定理求出BF＝5，證出四邊形AECF是菱形，得AC⊥EF，由勾股定理的OA2＝AB2﹣OB2＝AE2﹣OE2，解得OF＝1.8，則OA＝2.4，得AC＝2OA＝4.8．【詳解】解：∵∠BAF＝90°，AB＝4，AF＝3，∴BF=A∵E，F(xiàn)是平行四邊形ABCD對角線BD上兩點，∴OA＝OC，OB=OD,∵BE＝DF，∴OE＝OF，∴四邊形AECF是平行四邊形，∵OA＝OC，AE＝AF，∴四邊形AECF是菱形，∴AC⊥EF，∴OA∴42解得：OF＝1.8，∴OA=∴AC＝2OA＝4.8．故選：C．【點睛】本題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)，菱形的判定及性質(zhì)以及勾股定理，熟練掌握菱形的判定及性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【變式9-3】（23-24九年級下·河南南陽·期末）如圖，將邊長為4的正方形紙片ABCD沿EF對折再展平，沿折痕剪開，得到矩形ABEF和矩形CEFD，再將矩形ABEF繞點E順時針方向旋轉(zhuǎn)．使點A與點D重合，點F的對應(yīng)點為F′，則圖②中陰影部分的周長為

【答案】10【分析】首先根據(jù)已知條件判斷出△BGE≌△FGDAAS，得到BG=FG，EG=DG，然后可設(shè)FG的長度為x，則DG=4?x【詳解】解：如圖，設(shè)BD交EF于G，EF旋轉(zhuǎn)后交CD于點H，

由題意知，BE=FD=2，∠B=∠F=90°，又∵∠BGE=∠FGD，∴△BGE≌∴BG=FG，EG=DG，設(shè)BG=FG=x，則DG=4?x，在Rt△FDG中，4?x解得：x=3∴DG=4?x=5∵DG∥EH，∴四邊形DGEH為平行四邊形，又∵EG=DG，∴?DGEH為菱形，∴陰影部分的周長為：52故答案為：10．【點睛】本題主要考查全等三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理以及菱形的判定與性質(zhì)等，解答本題的關(guān)鍵是勾股定理以及菱形的判定．【題型10由菱形的性質(zhì)與判定求面積】【例10】（23-24九年級下·黑龍江哈爾濱·期中）如圖在直角△ABC中，∠BAC=90°，點D是BC中點，連接AD，點E為AD的中點，過點A作AF∥BC交線段BE的延長線于點F，連接CF．(1)求證：AF=DC；(2)在不添加任何輔助線的情況下，請直接寫出與△ACD面積相等的三角形（不包含△ACD）．【答案】(1)證明見解析(2)△ABD,△ACF,△ABF【分析】此題考查的是全等三角形的判定及性質(zhì)、菱形的判定及性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)和三角形的面積：（1）首先由E是AD的中點，AF∥BC，證明△AFE≌△DBE，即可得AF=BD，即可；（2）證明四邊形ADCF是菱形，根據(jù)平行線之間的距離處處相等、等高模型和菱形的性質(zhì)即可解決問題．【詳解】（1）證明：∵AF∥BC，∴∠AFE=∠DBE，∵點D是BC中點，點E為AD的中點，∴AE=DE,BD=CD，在△AFE和△DBE中，∵∠AFE=∠DBE,∠FEA=∠BED,AE=DE，∴△AFE≌△DBEAAS∴AF=DB．∵