黑龍江省哈爾濱市南崗區(qū)第三中學(xué)2025屆高三二診模擬考試數(shù)學(xué)試卷含解析_第1頁
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文檔簡介

黑龍江省哈爾濱市南崗區(qū)第三中學(xué)2025屆高三二診模擬考試數(shù)學(xué)試卷注意事項:1.答題前,考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號碼填寫清楚,將條形碼準(zhǔn)確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。2.答題時請按要求用筆。3.請按照題號順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答,超出答題區(qū)域書寫的答案無效;在草稿紙、試卷上答題無效。4.作圖可先使用鉛筆畫出,確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5.保持卡面清潔,不要折暴、不要弄破、弄皺,不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.已知函數(shù),則下列結(jié)論中正確的是①函數(shù)的最小正周期為;②函數(shù)的圖象是軸對稱圖形;③函數(shù)的極大值為;④函數(shù)的最小值為.A.①③ B.②④C.②③ D.②③④2.已知集合,集合,若,則()A. B. C. D.3.已知復(fù)數(shù)z滿足i?z=2+i,則z的共軛復(fù)數(shù)是()A.﹣1﹣2i B.﹣1+2i C.1﹣2i D.1+2i4.某醫(yī)院擬派2名內(nèi)科醫(yī)生、3名外科醫(yī)生和3名護士共8人組成兩個醫(yī)療分隊,平均分到甲、乙兩個村進行義務(wù)巡診,其中每個分隊都必須有內(nèi)科醫(yī)生、外科醫(yī)生和護士,則不同的分配方案有A.72種 B.36種 C.24種 D.18種5.已知角的終邊經(jīng)過點,則的值是A.1或 B.或 C.1或 D.或6.已知,橢圓的方程,雙曲線的方程為,和的離心率之積為,則的漸近線方程為()A. B. C. D.7.已知等比數(shù)列的各項均為正數(shù),設(shè)其前n項和,若(),則()A.30 B. C. D.628.的內(nèi)角的對邊分別為,已知,則角的大小為()A. B. C. D.9.將函數(shù)的圖像向右平移個單位長度,再將圖像上各點的橫坐標(biāo)伸長到原來的6倍(縱坐標(biāo)不變),得到函數(shù)的圖像,若為奇函數(shù),則的最小值為()A. B. C. D.10.已知定義在上的函數(shù)的周期為4,當(dāng)時,,則()A. B. C. D.11.等差數(shù)列中,已知,且,則數(shù)列的前項和中最小的是()A.或 B. C. D.12.已知平面向量,滿足且,若對每一個確定的向量,記的最小值為,則當(dāng)變化時,的最大值為()A. B. C. D.1二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.設(shè),滿足約束條件,若目標(biāo)函數(shù)的最大值為,則的最小值為______.14.已知數(shù)列滿足對任意,若,則數(shù)列的通項公式________.15.已知函數(shù)的圖象在處的切線斜率為,則______.16.西周初數(shù)學(xué)家商高在公元前1000年發(fā)現(xiàn)勾股定理的一個特例:勾三,股四,弦五.此發(fā)現(xiàn)早于畢達(dá)哥拉斯定理五百到六百年.我們把可以構(gòu)成一個直角三角形三邊的一組正整數(shù)稱為勾股數(shù).現(xiàn)從3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13這11個數(shù)中隨機抽取3個數(shù),則這3個數(shù)能構(gòu)成勾股數(shù)的概率為__________.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)手工藝是一種生活態(tài)度和對傳統(tǒng)的堅持,在我國有很多手工藝品制作村落,村民的手工技藝世代相傳,有些村落制造出的手工藝品不僅全國聞名,還大量遠(yuǎn)銷海外.近年來某手工藝品村制作的手工藝品在國外備受歡迎,該村村民成立了手工藝品外銷合作社,為嚴(yán)把質(zhì)量關(guān),合作社對村民制作的每件手工藝品都請3位行家進行質(zhì)量把關(guān),質(zhì)量把關(guān)程序如下:(i)若一件手工藝品3位行家都認(rèn)為質(zhì)量過關(guān),則該手工藝品質(zhì)量為A級;(ii)若僅有1位行家認(rèn)為質(zhì)量不過關(guān),再由另外2位行家進行第二次質(zhì)量把關(guān),若第二次質(zhì)量把關(guān)這2位行家都認(rèn)為質(zhì)量過關(guān),則該手工藝品質(zhì)量為B級,若第二次質(zhì)量把關(guān)這2位行家中有1位或2位認(rèn)為質(zhì)量不過關(guān),則該手工藝品質(zhì)量為C級;(iii)若有2位或3位行家認(rèn)為質(zhì)量不過關(guān),則該手工藝品質(zhì)量為D級.已知每一次質(zhì)量把關(guān)中一件手工藝品被1位行家認(rèn)為質(zhì)量不過關(guān)的概率為,且各手工藝品質(zhì)量是否過關(guān)相互獨立.(1)求一件手工藝品質(zhì)量為B級的概率;(2)若一件手工藝品質(zhì)量為A,B,C級均可外銷,且利潤分別為900元,600元,300元,質(zhì)量為D級不能外銷,利潤記為100元.①求10件手工藝品中不能外銷的手工藝品最有可能是多少件;②記1件手工藝品的利潤為X元,求X的分布列與期望.18.(12分)已知,且的解集為.(1)求實數(shù),的值;(2)若的圖像與直線及圍成的四邊形的面積不小于14,求實數(shù)取值范圍.19.(12分)如圖,四棱錐中,平面,,,.(I)證明:;(Ⅱ)若是中點,與平面所成的角的正弦值為,求的長.20.(12分)記函數(shù)的最小值為.(1)求的值;(2)若正數(shù),,滿足,證明:.21.(12分)追求人類與生存環(huán)境的和諧發(fā)展是中國特色社會主義生態(tài)文明的價值取向.為了改善空氣質(zhì)量,某城市環(huán)保局隨機抽取了一年內(nèi)100天的空氣質(zhì)量指數(shù)(AQI)的檢測數(shù)據(jù),結(jié)果統(tǒng)計如表:AQI空氣質(zhì)量優(yōu)良輕度污染中度污染重度污染重度污染天數(shù)61418272510(1)從空氣質(zhì)量指數(shù)屬于[0,50],(50,100]的天數(shù)中任取3天,求這3天中空氣質(zhì)量至少有2天為優(yōu)的概率;(2)已知某企業(yè)每天因空氣質(zhì)量造成的經(jīng)濟損失y(單位:元)與空氣質(zhì)量指數(shù)x的關(guān)系式為,假設(shè)該企業(yè)所在地7月與8月每天空氣質(zhì)量為優(yōu)、良、輕度污染、中度污染、重度污染、嚴(yán)重污染的概率分別為.9月每天的空氣質(zhì)量對應(yīng)的概率以表中100天的空氣質(zhì)量的頻率代替.(i)記該企業(yè)9月每天因空氣質(zhì)量造成的經(jīng)濟損失為X元,求X的分布列;(ii)試問該企業(yè)7月、8月、9月這三個月因空氣質(zhì)量造成的經(jīng)濟損失總額的數(shù)學(xué)期望是否會超過2.88萬元?說明你的理由.22.(10分)已知拋物線,過點的直線交拋物線于兩點,坐標(biāo)原點為,.(1)求拋物線的方程;(2)當(dāng)以為直徑的圓與軸相切時,求直線的方程.

參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1、D【解析】

因為,所以①不正確;因為,所以,,所以,所以函數(shù)的圖象是軸對稱圖形,②正確;易知函數(shù)的最小正周期為,因為函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱,所以只需研究函數(shù)在上的極大值與最小值即可.當(dāng)時,,且,令,得,可知函數(shù)在處取得極大值為,③正確;因為,所以,所以函數(shù)的最小值為,④正確.故選D.2、A【解析】

根據(jù)或,驗證交集后求得的值.【詳解】因為,所以或.當(dāng)時,,不符合題意,當(dāng)時,.故選A.【點睛】本小題主要考查集合的交集概念及運算,屬于基礎(chǔ)題.3、D【解析】

兩邊同乘-i,化簡即可得出答案.【詳解】i?z=2+i兩邊同乘-i得z=1-2i,共軛復(fù)數(shù)為1+2i,選D.【點睛】的共軛復(fù)數(shù)為4、B【解析】

根據(jù)條件2名內(nèi)科醫(yī)生,每個村一名,3名外科醫(yī)生和3名護士,平均分成兩組,則分1名外科,2名護士和2名外科醫(yī)生和1名護士,根據(jù)排列組合進行計算即可.【詳解】2名內(nèi)科醫(yī)生,每個村一名,有2種方法,3名外科醫(yī)生和3名護士,平均分成兩組,要求外科醫(yī)生和護士都有,則分1名外科,2名護士和2名外科醫(yī)生和1名護士,若甲村有1外科,2名護士,則有C3若甲村有2外科,1名護士,則有C3則總共的分配方案為2×(9+9)=2×18=36種,故選:B.【點睛】本題主要考查了分組分配問題,解決這類問題的關(guān)鍵是先分組再分配,屬于常考題型.5、B【解析】

根據(jù)三角函數(shù)的定義求得后可得結(jié)論.【詳解】由題意得點與原點間的距離.①當(dāng)時,,∴,∴.②當(dāng)時,,∴,∴.綜上可得的值是或.故選B.【點睛】利用三角函數(shù)的定義求一個角的三角函數(shù)值時需確定三個量:角的終邊上任意一個異于原點的點的橫坐標(biāo)x,縱坐標(biāo)y,該點到原點的距離r,然后再根據(jù)三角函數(shù)的定義求解即可.6、A【解析】

根據(jù)橢圓與雙曲線離心率的表示形式,結(jié)合和的離心率之積為,即可得的關(guān)系,進而得雙曲線的離心率方程.【詳解】橢圓的方程,雙曲線的方程為,則橢圓離心率,雙曲線的離心率,由和的離心率之積為,即,解得,所以漸近線方程為,化簡可得,故選:A.【點睛】本題考查了橢圓與雙曲線簡單幾何性質(zhì)應(yīng)用,橢圓與雙曲線離心率表示形式,雙曲線漸近線方程求法,屬于基礎(chǔ)題.7、B【解析】

根據(jù),分別令,結(jié)合等比數(shù)列的通項公式,得到關(guān)于首項和公比的方程組,解方程組求出首項和公式,最后利用等比數(shù)列前n項和公式進行求解即可.【詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為,由題意可知中:.由,分別令,可得、,由等比數(shù)列的通項公式可得:,因此.故選:B【點睛】本題考查了等比數(shù)列的通項公式和前n項和公式的應(yīng)用,考查了數(shù)學(xué)運算能力.8、A【解析】

先利用正弦定理將邊統(tǒng)一化為角,然后利用三角函數(shù)公式化簡,可求出解B.【詳解】由正弦定理可得,即,即有,因為,則,而,所以.故選:A【點睛】此題考查了正弦定理和三角函數(shù)的恒等變形,屬于基礎(chǔ)題.9、C【解析】

根據(jù)三角函數(shù)的變換規(guī)則表示出,根據(jù)是奇函數(shù),可得的取值,再求其最小值.【詳解】解:由題意知,將函數(shù)的圖像向右平移個單位長度,得,再將圖像上各點的橫坐標(biāo)伸長到原來的6倍(縱坐標(biāo)不變),得到函數(shù)的圖像,,因為是奇函數(shù),所以,解得,因為,所以的最小值為.故選:【點睛】本題考查三角函數(shù)的變換以及三角函數(shù)的性質(zhì),屬于基礎(chǔ)題.10、A【解析】

因為給出的解析式只適用于,所以利用周期性,將轉(zhuǎn)化為,再與一起代入解析式,利用對數(shù)恒等式和對數(shù)的運算性質(zhì),即可求得結(jié)果.【詳解】定義在上的函數(shù)的周期為4,當(dāng)時,,,,.故選:A.【點睛】本題考查了利用函數(shù)的周期性求函數(shù)值,對數(shù)的運算性質(zhì),屬于中檔題.11、C【解析】

設(shè)公差為,則由題意可得,解得,可得.令

,可得

當(dāng)時,,當(dāng)時,,由此可得數(shù)列前項和中最小的.【詳解】解:等差數(shù)列中,已知,且,設(shè)公差為,

則,解得

,.

,可得,故當(dāng)時,,當(dāng)時,,

故數(shù)列前項和中最小的是.故選:C.【點睛】本題主要考查等差數(shù)列的性質(zhì),等差數(shù)列的通項公式的應(yīng)用,屬于中檔題.12、B【解析】

根據(jù)題意,建立平面直角坐標(biāo)系.令.為中點.由即可求得點的軌跡方程.將變形,結(jié)合及平面向量基本定理可知三點共線.由圓切線的性質(zhì)可知的最小值即為到直線的距離最小值,且當(dāng)與圓相切時,有最大值.利用圓的切線性質(zhì)及點到直線距離公式即可求得直線方程,進而求得原點到直線的距離,即為的最大值.【詳解】根據(jù)題意,設(shè),則由代入可得即點的軌跡方程為又因為,變形可得,即,且所以由平面向量基本定理可知三點共線,如下圖所示:所以的最小值即為到直線的距離最小值根據(jù)圓的切線性質(zhì)可知,當(dāng)與圓相切時,有最大值設(shè)切線的方程為,化簡可得由切線性質(zhì)及點到直線距離公式可得,化簡可得即所以切線方程為或所以當(dāng)變化時,到直線的最大值為即的最大值為故選:B【點睛】本題考查了平面向量的坐標(biāo)應(yīng)用,平面向量基本定理的應(yīng)用,圓的軌跡方程問題,圓的切線性質(zhì)及點到直線距離公式的應(yīng)用,綜合性強,屬于難題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】

先根據(jù)條件畫出可行域,設(shè),再利用幾何意義求最值,將最大值轉(zhuǎn)化為軸上的截距,只需求出直線,過可行域內(nèi)的點時取得最大值,從而得到一個關(guān)于,的等式,最后利用基本不等式求最小值即可.【詳解】解:不等式表示的平面區(qū)域如圖所示陰影部分,當(dāng)直線過直線與直線的交點時,目標(biāo)函數(shù)取得最大,即,即,而.故答案為.【點睛】本題主要考查了基本不等式在最值問題中的應(yīng)用、簡單的線性規(guī)劃,以及利用幾何意義求最值,屬于基礎(chǔ)題.14、【解析】

由可得,利用等比數(shù)列的通項公式可得,再利用累加法求和與等比數(shù)列的求和公式,即可得出結(jié)論.【詳解】由,得,數(shù)列是等比數(shù)列,首項為2,公比為2,,,,,滿足上式,.故答案為:.【點睛】本題考查數(shù)列的通項公式,遞推公式轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列是解題的關(guān)鍵,利用累加法求通項公式,屬于中檔題.15、【解析】

先對函數(shù)f(x)求導(dǎo),再根據(jù)圖象在(0,f(0))處切線的斜率為﹣4,得f′(0)=﹣4,由此可求a的值.【詳解】由函數(shù)得,∵函數(shù)f(x)的圖象在(0,f(0))處切線的斜率為﹣4,,.故答案為4【點睛】本題考查了根據(jù)曲線上在某點切線方程的斜率求參數(shù)的問題,屬于基礎(chǔ)題.16、【解析】

由組合數(shù)結(jié)合古典概型求解即可【詳解】從11個數(shù)中隨機抽取3個數(shù)有種不同的方法,其中能構(gòu)成勾股數(shù)的有共三種,所以,所求概率為.故答案為【點睛】本題考查古典概型與數(shù)學(xué)文化,考查組合問題,數(shù)據(jù)處理能力和應(yīng)用意識.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1);(2)①可能是2件;②詳見解析【解析】

(1)由一件手工藝品質(zhì)量為B級的情形,并結(jié)合相互獨立事件的概率公式,列式計算即可;(2)①先求得一件手工藝品質(zhì)量為D級的概率為,設(shè)10件手工藝品中不能外銷的手工藝品可能是件,可知,分別令、、,可求出使得最大的整數(shù),進而可求出10件手工藝品中不能外銷的手工藝品的最有可能件數(shù);②分別求出一件手工藝品質(zhì)量為A、B、C、D級的概率,進而可列出X的分布列,求出期望即可.【詳解】(1)一件手工藝品質(zhì)量為B級的概率為.(2)①由題意可得一件手工藝品質(zhì)量為D級的概率為,設(shè)10件手工藝品中不能外銷的手工藝品可能是件,則,則,其中,.由得,整數(shù)不存在,由得,所以當(dāng)時,,即,由得,所以當(dāng)時,,所以當(dāng)時,最大,即10件手工藝品中不能外銷的手工藝品最有可能是2件.②由題意可知,一件手工藝品質(zhì)量為A級的概率為,一件手工藝品質(zhì)量為B級的概率為,一件手工藝品質(zhì)量為C級的概率為,一件手工藝品質(zhì)量為D級的概率為,所以X的分布列為:X900600300100P則期望為.【點睛】本題考查相互獨立事件的概率計算,考查離散型隨機變量的分布列及數(shù)學(xué)期望,考查學(xué)生的計算求解能力,屬于中檔題.18、(1),;(2)【解析】

(1)解絕對值不等式得,根據(jù)不等式的解集為列出方程組,解出即可;(2)求出的圖像與直線及交點的坐標(biāo),通過分割法將四邊形的面積分為兩個三角形,列出不等式,解不等式即可.【詳解】(1)由得:,,即,解得,.(2)的圖像與直線及圍成的四邊形,,,,.過點向引垂線,垂足為,則.化簡得:,(舍)或.故的取值范圍為.【點睛】本題主要考查了絕對值不等式的求法,以及絕對值不等式在幾何中的應(yīng)用,屬于中檔題.19、(Ⅰ)見解析;(Ⅱ)【解析】

(Ⅰ)取的中點,連接,由,,得三點共線,且,又,再利用線面垂直的判定定理證明.(Ⅱ)設(shè),則,,在底面中,,在中,由余弦定理得:,在中,由余弦定理得,兩式相加求得,再過作,則平面,即點到平面的距離,由是中點,得到到平面的距離,然后根據(jù)與平面所成的角的正弦值為求解.【詳解】(Ⅰ)取的中點,連接,由,,得三點共線,且,又,,所以平面,所以.(Ⅱ)設(shè),,,在底面中,,在中,由余弦定理得:,在中,由余弦定理得,兩式相加得:,所以,,過作,則平面,即點到平面的距離,因為是中點,所以為到平面的距離,因為與平面所成的角的正弦值為,即,解得.【點睛】本題主要考查線面垂直的判定定理,線面角的應(yīng)用,還考查了轉(zhuǎn)化化歸的思想和空間想象運算求解的能力,屬于中檔題.20、(1)(2)證明見解析【解析】

(1)將函數(shù)轉(zhuǎn)化為分段函數(shù)或利用絕對值三角不等式進行求解;(2)利用基本不等式或柯西不等式證明即可.【詳解】解法一:(1)當(dāng)時,,當(dāng),,當(dāng)時,,所以解法二:(1)如圖當(dāng)時,解法三:(1)當(dāng)且僅當(dāng)即時,等號成立.當(dāng)時解法一:(2)由題意可知,,因為,,,所以要證明不等式,只需證明,因為成立,所以原不等式成立.解法二:(2)因為,,,所以,,又因為,所以,所以,原不等式得證.補充:解法三:(2)由題意可知,,因為,,,所以要證明不等式,只需證明,由柯西不等式得:成立,所以原不等式成立.【點睛】本題主要考查了絕對值函數(shù)的最值求解,不等式的證明,絕對值三角不等式,基本不等式及柯西不等式的應(yīng)用,考查了學(xué)生的邏輯推理和運算求解能力.21、(1);(2)(i)詳見解析;(ii)會超過;詳見解析【解析】

(1)利用組合進行計算以及概率表示,可得結(jié)果.(2)(i)寫出X所有可能取值,并計算相對應(yīng)的概率,列出表格可得結(jié)果.(ii)由(i)的條件結(jié)合7月與8月空氣質(zhì)量所對應(yīng)的概率,可得7月與8月經(jīng)濟損失的期望和,最后7月、8月、9月經(jīng)濟損失總額的數(shù)學(xué)期望與2.88萬元比較,可得結(jié)果.【詳解】(1)設(shè)ξ為選取的3天中空氣質(zhì)量為優(yōu)的天數(shù),則P(ξ=2),P(ξ=3),則這3天中空氣質(zhì)量至少有2天為優(yōu)的概率為;(2)(i),,,X的分布列如下:X02201480P(ii)由(i)可得:E(X)

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