區(qū)間估計及運算

節(jié)區(qū)間估計的計算與原理2021/6/271一、兩種主要的估計方法點估計是指根據(jù)抽取到的具體樣本數(shù)據(jù)，代入估計量得到的一個估計值。區(qū)間估計是在點估計的基礎(chǔ)上估計出總體參數(shù)一個可能的范圍，同時還給出總體參數(shù)以多大的概率落在這個范圍之內(nèi)。2021/6/272二、為什么要區(qū)間估計呢？在上述警察逮捕人數(shù)的例子中，你計算得出均值為15.6人，你的上司可能會問，這一均值的確是15.6嗎？你的回答將是不知道。但是，你的計算告訴你，這一均值的最優(yōu)估計值是15.6。你的上司可能又會問了，15.6這一估計值到底有多好？也就是說，這一均值估計量包含多大的誤差？2021/6/273回答上述問題的一個辦法是抽取很多的樣本，計算每一個樣本的均值，然后向上司展示均值估計量的變化范圍。不過，這種辦法顯得有些笨。如果你想把這一問題處理得更加高明些，你就應(yīng)該計算所有樣本均值的平均誤差。均值的標(biāo)準(zhǔn)差有一個專門的名稱：均值標(biāo)準(zhǔn)誤差。2021/6/274關(guān)于區(qū)間估計設(shè)為總體x的未知參數(shù)，為來自總體的容量為n的簡單隨機樣本，對于預(yù)先給定的一個充分小的正數(shù)，我們構(gòu)造兩個統(tǒng)計量：2021/6/275使得則稱區(qū)間為總體參數(shù)的區(qū)間估計或置信區(qū)間。稱為置信區(qū)間的置信度，也稱置信概率、置信系數(shù)或置信水平，稱為置信下限，稱為置信上限。2021/6/276三、置信區(qū)間的含義若獨立地反復(fù)多次抽取容量相同的簡單隨機樣本，每一個樣本都確定一個隨機區(qū)間，在這些區(qū)間中，包含總體參數(shù)真值的約占，或者說有的隨機區(qū)間會包含總體參數(shù)的真值。例如，若，獨立地反復(fù)抽取容量相同的簡單隨機樣本1000次，在得到的1000個隨機區(qū)間中，不包含總體參數(shù)真值的大約有50個。2021/6/277

四、簡單隨機抽樣和等距抽樣的參數(shù)估計（一）總體均值的置信區(qū)間和參數(shù)估計總體均值的區(qū)間估計根據(jù)已知條件不同，有不同的計算方法。1.從正態(tài)總體中抽取樣本，且總體方差已知，均值μ的區(qū)間估計2021/6/2781.從正態(tài)總體中抽取樣本，且總體方差已知，均值μ的區(qū)間估計（1）重復(fù)抽樣的條件下設(shè)，已知，為來自總體的容量為n的簡單隨機樣本，則的抽樣分布為2021/6/279在重復(fù)抽樣的方式下，總體均值μ的置信度為1-α的置信區(qū)間為其中，是標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布α水平的雙側(cè)分位數(shù)。2021/6/27102021/6/2711例一：假設(shè)參加某種壽險投保人的年齡服從正態(tài)分布，標(biāo)準(zhǔn)差為σ=7.77歲。從中抽取36人組成一個簡單隨機樣本（重復(fù)抽樣），其平均年齡為39.5歲，試建立投保人平均年齡μ的90%的置信區(qū)間。2021/6/2712解假設(shè)用隨機變量X表示某種壽險投保人的年齡，則由已知條件有，，n=36。與置信度90%相對應(yīng)的α=0.10，查表，得到2021/6/2713由公式，得，總體均值μ的置信度為90%的置信區(qū)間為于是可以說，我們有90%的把握確信，壽險投保人總體的平均年齡介于37.37到41.63歲之間。2021/6/27141.從正態(tài)總體中抽取樣本，且總體方差已知，均值μ的區(qū)間估計（2）在不重復(fù)抽樣的條件下，置信區(qū)間為2021/6/2715例2一家食品公司，每天大約生產(chǎn)袋裝食品若干，總體方差為100。為對產(chǎn)品質(zhì)量進(jìn)行檢測，該企業(yè)質(zhì)檢部門采用抽樣技術(shù)，每天抽取一定數(shù)量的食品，以分析每袋重量是否符合質(zhì)量要求?，F(xiàn)從某一天生產(chǎn)的一批食品8000袋中隨機抽取了25袋（不重復(fù)抽樣），測得它們的重量如下表所示：2021/6/2716已知產(chǎn)品重量服從正態(tài)分布，且總體方差為100。試估計該批產(chǎn)品平均重量的置信區(qū)間，置信水平為95％。2021/6/2717解已知σ=10；n=25;1-α=59%;=1.96根據(jù)樣本資料，計算的樣本均值為：根據(jù)公式得=105.36±1.96××2021/6/2718即105.36±3.914115=(101.4459,109.2741)，該批產(chǎn)品平均重量在95％置信水平下的置信區(qū)間為：101.4459～109.2741。2021/6/27192.正態(tài)總體，大樣本，若總體方差未知，可用樣本標(biāo)準(zhǔn)差S代替。能夠把公式寫出來嗎？重復(fù)抽樣：？？？不重復(fù)抽樣：？？？2021/6/2720例三：假設(shè)參加某種壽險投保人的年齡服從正態(tài)分布。從中抽取36人組成一個簡單隨機樣本（重復(fù)抽樣，年齡數(shù)據(jù)見下頁表），試建立投保人平均年齡μ的90%的置信區(qū)間。2021/6/27212021/6/2722解：已知n=36，

1-α=90%；＝1.645，由于總體方差未知，但為大樣本，故可用樣本方差代替。根據(jù)樣本資料計算的樣本均值和樣本標(biāo)準(zhǔn)差為：2021/6/2723則置信區(qū)間為：即39.5±2.13=(37.37，41.63)，投保人平均年齡在90％的置信水平下的置信區(qū)間為37.37歲～41.63歲。2021/6/27243.正態(tài)總體、小樣本情況下，總體方差未知，總體均值的估計（重復(fù)抽樣條件下）（不重復(fù)抽樣條件下）2021/6/2725

如果總體服從正態(tài)分布,只要總體方差已知，即使在小樣本情況下，也可以計算總體均值的置信區(qū)間。如果總體方差未知，需用樣本方差代替，在小樣本情況下，應(yīng)用t分布來建立總體均值的置信區(qū)間。

t分布是類似正態(tài)分布的一種對稱分布，通常要比正態(tài)分布平坦和分散。隨著自由度的增大，t分布逐漸趨于正態(tài)分布。2021/6/27264.非正態(tài)總體且大樣本時，均值μ的區(qū)間估計首先，當(dāng)總體為非正態(tài)分布時，只要樣本容量充分大（一般習(xí)慣上要求n>=30），的抽樣分布近似服從正態(tài)分布。當(dāng)已知時，仍可用上述公式，根據(jù)重復(fù)抽樣與否，近似求出總體均值μ的置信區(qū)間；2021/6/2727其次，當(dāng)σ未知時，只要將上述公式中的總體標(biāo)準(zhǔn)差σ用樣本標(biāo)準(zhǔn)差S代替，就可近似得到總體均值μ的置信區(qū)間：（重復(fù)抽樣條件下）（不重復(fù)抽樣條件下）2021/6/2728例為了解居民用于服裝消費的支出情況（非正態(tài)分布），隨機抽取90戶居民組成一個簡單隨機樣本（重復(fù)抽樣），計算得樣本均值為810元，樣本標(biāo)準(zhǔn)差為85元，試建立該地區(qū)每戶居民平均用于服裝消費支出的95%的置信區(qū)間。2021/6/2729

解假設(shè)用隨機變量X表示居民的服裝消費支出，本題雖然總體分布未知，但由于n=90，是大樣本且σ未知，所以可利用公式近似得到總體均值μ的置信區(qū)間。根據(jù)題意，元，元，n=90，與置信度95%相對應(yīng)的α=0.05，查表得到：2021/6/2730

將這些數(shù)據(jù)代入公式，便可得到總體均值μ的置信度為95%的置信區(qū)間為于是，我們有95%的把握認(rèn)為，該地區(qū)每戶居民平均用于服裝消費的支出大約介于792.44元到827.56元之間。2021/6/2731總體分布樣本容量σ已知重復(fù)抽樣σ已知不重復(fù)抽樣正態(tài)分布小樣本(<30)大樣本(>=30)非正態(tài)分布小樣本(<30)————大樣本(>=30)

總體均值μ的區(qū)間估計（置信度為1-α）[簡單隨機抽樣和等距抽樣]2021/6/2732

總體均值μ的區(qū)間估計（置信度為1-α）[簡單隨機抽樣和等距抽樣]總體分布樣本容量σ未知重復(fù)抽樣σ未知不重復(fù)抽樣正態(tài)分布小樣本(<30)大樣本(>=30)非正態(tài)分布小樣本(<30)————大樣本(>=30)2021/6/2733四、簡單隨機抽樣和等距抽樣的參數(shù)估計（二）兩個總體均值之差的區(qū)間估計間1．兩正態(tài)總體方差已知時，且大樣本，的區(qū)間估計因此，兩個總體均值差的置信度為1-α的置信區(qū)間為：2021/6/2734

如果兩個總體方差，未知，則可利用，代替兩個總體方差即可。下述公式可近似求出兩個總體均值差的置信度為1-α的置信區(qū)間。2021/6/2735

四、簡單隨機抽樣和等距抽樣的參數(shù)估計（二）兩個總體均值之差的區(qū)間估計間2．兩正態(tài)總體方差未知但相等時，的區(qū)間估計（小樣本）2021/6/2736當(dāng)兩個正態(tài)總體方差未知但相等，即，且未知時，這時兩個樣本均值之差（）的抽樣分布為2021/6/2737所以因為未知，則用共同方差的合并估計量2021/6/2738兩個總體均值差的置信度為1-α的置信區(qū)間為其中，是α水平的自由度為的t分布雙側(cè)分位數(shù)。2021/6/2739例題：某公司為了解男女推銷員的推銷能力是否有差別，隨機抽取16名男推銷員和25名女推銷員進(jìn)行測試。男推銷員的平均銷售額為30250元，標(biāo)準(zhǔn)差為18400元，女推銷員的平均銷售額為33750元，標(biāo)準(zhǔn)差為13500元。假設(shè)男女推銷員的銷售額服從正態(tài)分布，且方差相等。試建立男女推銷員銷售額之差的95%的置信區(qū)間。

2021/6/2740

解假設(shè)用隨機變量，分別表示男女推銷員的銷售額，則由已知條件有元，元，元，元，，。又因兩總體方差相等，可以估計出它們的共同方差：2021/6/2741與置信度95%相對應(yīng)的α=0.05，查t分布表，得到，由公式得男女推銷員銷售額之差的置信度為95%的置信區(qū)間為2021/6/2742

于是，我們有95%的把握認(rèn)為：男推銷員的銷售額既有可能比女推銷員多6568元，也有可能比女推銷員少13568元，所以男女推銷員的推銷能力沒有顯著差別。2021/6/2743四、簡單隨機抽樣和等距抽樣的參數(shù)估計（二）兩個總體均值之差的區(qū)間估計間3．兩正態(tài)總體方差未知但不等時,的區(qū)間估計（小樣本）2021/6/2744

當(dāng)兩正態(tài)總體方差未知但不等時，即，未知，且兩者不相等時，統(tǒng)計量近似服從于自由度為v的t分布，其中v的計算公式如下2021/6/27452021/6/2746于是，兩個總體均值差的置信度為1-α的置信區(qū)間為2021/6/2747例題：某公司為了解男女推銷員的推銷能力是否有差別，隨機抽取16名男推銷員和25名女推銷員進(jìn)行測試。男推銷員的平均銷售額為30250元，標(biāo)準(zhǔn)差為18400元，女推銷員的平均銷售額為33750元，標(biāo)準(zhǔn)差為13500元。假設(shè)男女推銷員的銷售額服從正態(tài)分布，且方差不相等。試建立男女推銷員銷售額之差的95%的置信區(qū)間。

2021/6/2748解首先根據(jù)公式計算自由度v，

2021/6/2749查t分布表，得到，由公式得男女推銷員銷售額之差的置信度為95%的置信區(qū)間為2021/6/2750于是，我們有95%的把握認(rèn)為：男推銷員的銷售額既有可能比女推銷員多7434元，也有可能比女推銷員少14434元，所以男女推銷員的推銷能力沒有顯著差別。

2021/6/2751

四、簡單隨機抽樣和等距抽樣的參數(shù)估計（二）兩個總體均值之差的區(qū)間估計間4．兩非正態(tài)總體且大樣本時，的區(qū)間估計2021/6/2752

如果兩個總體方差，已知，則可利用公式下述公式近似求出兩個總體均值差的置信度為1-α的置信區(qū)間。2021/6/2753

如果兩個總體方差，未知，則可利用，代替兩個總體方差即可。下述公式可近似求出兩個總體均值差的置信度為1-α的置信區(qū)間。2021/6/2754

四、簡單隨機抽樣和等距抽樣的參數(shù)估計（三）一個總體比例的區(qū)間估計2021/6/2755在許多實際應(yīng)用中，經(jīng)常會遇到總體比例的估計問題。例如：企業(yè)的管理人員想了解一批產(chǎn)品中次品的比例；職工收入中工資外收入所占的比例；某高校學(xué)生參加英語四級考試的通過率；某地區(qū)綠化荒山新栽樹木的成活率等。2021/6/2756在總體中具有某種特征的單位數(shù)占總體全部單位的比例稱為總體比例，記為p；在樣本中具有某種特征的單位數(shù)占樣本全部單位的比例稱為樣本比例，記為。在大樣本條件下，樣本比例的抽樣分布近似服從正態(tài)分布，其數(shù)學(xué)期望為2021/6/2757方差為

即2021/6/27581.在大樣本情況下，且總體比例已知，重復(fù)抽樣。則總體比例P的置信度為1-α的置信區(qū)間為2021/6/2759

需要說明：在實際應(yīng)用中，除了要求N>=30以外，還要求和，且，這時近似效果較好。2021/6/27602.在大樣本情況下，且總體比例未知，重復(fù)抽樣。則總體比例P的置信度為1-α的置信區(qū)間為2021/6/2761例題：在對某地區(qū)1000名下崗工人的調(diào)查中發(fā)現(xiàn)，女工所占的比例為65%。試建立在下崗工人中，女工所占比例的95%的置信區(qū)間。能否作出下崗工人中女性所占比例超過男性的結(jié)論？2021/6/2762

解假設(shè)用p表示下崗工人中女工所占的比例，則由已知條件可知，樣本比例。因為，，，所以的抽樣分布近似服從正態(tài)分布。2021/6/2763對于α=0.05，查表得。應(yīng)用公式得到在下崗工人中，女工所占比例的置信度為95%的置信區(qū)間為2021/6/2764

于是，我們有95%的把握認(rèn)為，下崗工人中女工所占比例大約在0.62到0.68之間，超過了0.5，所以可以得出女性所占比例超過男性的結(jié)論。2021/6/27653.如果總體為有限總體，采用不重復(fù)抽樣，且抽樣比時，的抽樣分布的方差要用修正系數(shù)

加以修正，這時總體比例p(未知時)的置信度為1-α的置信區(qū)間為2021/6/2766例某地區(qū)有20所高等院校，有副教授以上職稱的教師7800名。高校的管理部門想了解具有高級職稱的教師中有基礎(chǔ)研究課題的教師占多大的比例，于是抽取400人組成一個隨機樣本（不重復(fù)抽樣）。經(jīng)調(diào)查，其中80人有基礎(chǔ)研究課題。試建立在具有副教授以上職稱的教師中，有基礎(chǔ)研究課題的教師所占比例的95%的置信區(qū)間。

2021/6/2767解假設(shè)用p表示在具有副教授以上職稱的教師中，有基礎(chǔ)研究課題的教師所占的比例，則由已知條件可知N=7800,n=400,樣本比例=80/400=0.2，α=0.05,。因為

，所以的抽樣分布近似服從正態(tài)分布。2021/6/2768所以的抽樣分布近似服從正態(tài)分布。又因為抽樣比大于5%，所以要對的抽樣分布的方差加以修正。應(yīng)用公式得到在具有副教授以上職稱的教師中，有基礎(chǔ)研究課題的教師所占比例的95%的置信區(qū)間為

2021/6/2769于是我們有95%的把握認(rèn)為，該地區(qū)20所高校具有副教授以上職稱的教師中，有（）到（）的教師有基礎(chǔ)研究課題。2021/6/2770

四、簡單隨機抽樣和等距抽樣的參數(shù)估計（四）一個正態(tài)總體方差的區(qū)間估計為來自總體的容量為n的簡單隨機樣本，σ未知，s為樣本標(biāo)準(zhǔn)差。

2021/6/2771

總體標(biāo)準(zhǔn)差σ的置信度為1-α的置信區(qū)間為2021/6/2772因此，總體方差的置信度為1-α的置信區(qū)間為2021/6/2773例假設(shè)公司預(yù)計的每股收益率服從正態(tài)分布，現(xiàn)有8個公司組成一個簡單隨機樣本，樣本方差為2.619，試建立總體方差、總體標(biāo)準(zhǔn)差的95%的置信區(qū)間。2021/6/27742021/6/27752021/6/2776

五、分層抽樣和整群抽樣的參數(shù)估計

嚴(yán)格地講，分層抽樣與整群抽樣的參數(shù)估計與簡單隨機抽樣沒有本質(zhì)區(qū)別。只不過在計算方差時存在著不同。

2021/6/2777第五節(jié)樣本容量的確定

我們應(yīng)該一直有這樣的疑問：我們學(xué)習(xí)了問卷的設(shè)計、調(diào)查方法的選擇、數(shù)據(jù)的描述、數(shù)據(jù)的整理以及參數(shù)估計的有關(guān)問題。但是，如何進(jìn)行調(diào)查呢？或者說選擇多少樣本呢？或者說需要選擇多少個被調(diào)查者呢？2021/6/2778第五節(jié)樣本容量的確定這就涉及到我們今天要學(xué)的內(nèi)容：樣本容量的確定。2021/6/2779第五節(jié)樣本容量的確定這就涉及到我們今天要學(xué)的內(nèi)容：樣本容量的確定。2021/6/2780一、影響樣本容量的因素（一）置信度，也即總體參數(shù)真值落在置信區(qū)間內(nèi)的可靠程度。要求較高的置信度，就需要較大的樣本容量，置信度越高，樣本容量就越大。2021/6/2781一、影響樣本容量的因素（二）估計的精度，也即置信區(qū)間的寬度。要求較高的置信度，就會擴大置信區(qū)間的寬度，也就是說降低了估計的精度。因此，要想既提高估計的精度，又不降低估計的可靠性程度，必須增加樣本容量。2021/6/2782一、影響樣本容量的因素（三）建立置信區(qū)間的費用。雖然增加樣本容量可以提高置信區(qū)間的可靠性程度和估計的精度，但也不是樣本容量愈大愈好。因為增加樣本容量，就會延長調(diào)查時間，增大工作量和成本費用，同時還可能增大調(diào)查誤差。2021/6/2783二、估計總體均值時，樣本容量的確定對于正態(tài)總體，在重復(fù)抽樣或抽樣比n/N<5%時，總體均值μ的置信度為1-α的置信區(qū)間為2021/6/2784二、估計總體均值時，樣本容量的確定記，稱為允許誤差，它表示總體均值μ與樣本均值的絕對誤差不超過Δ。于是，可以推出樣本容量的計算公式為2021/6/27851．樣本容量n與置信度所對應(yīng)的標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布