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2025屆遼寧省營(yíng)口市重點(diǎn)中學(xué)高三第五次模擬考試數(shù)學(xué)試卷注意事項(xiàng):1.答題前,考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)碼填寫清楚,將條形碼準(zhǔn)確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。2.答題時(shí)請(qǐng)按要求用筆。3.請(qǐng)按照題號(hào)順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答,超出答題區(qū)域書寫的答案無效;在草稿紙、試卷上答題無效。4.作圖可先使用鉛筆畫出,確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5.保持卡面清潔,不要折暴、不要弄破、弄皺,不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.已知函數(shù),若函數(shù)的所有零點(diǎn)依次記為,且,則()A. B. C. D.2.已知函數(shù),將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度,得到函數(shù)的圖象,若函數(shù)的圖象的一條對(duì)稱軸是,則的最小值為A. B. C. D.3.如圖,網(wǎng)格紙是由邊長(zhǎng)為1的小正方形構(gòu)成,若粗實(shí)線畫出的是某幾何體的三視圖,則該幾何體的表面積為()A. B. C. D.4.對(duì)某兩名高三學(xué)生在連續(xù)9次數(shù)學(xué)測(cè)試中的成績(jī)(單位:分)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)得到折線圖,下面是關(guān)于這兩位同學(xué)的數(shù)學(xué)成績(jī)分析.①甲同學(xué)的成績(jī)折線圖具有較好的對(duì)稱性,故平均成績(jī)?yōu)?30分;②根據(jù)甲同學(xué)成績(jī)折線圖提供的數(shù)據(jù)進(jìn)行統(tǒng)計(jì),估計(jì)該同學(xué)平均成績(jī)?cè)趨^(qū)間110,120內(nèi);③乙同學(xué)的數(shù)學(xué)成績(jī)與測(cè)試次號(hào)具有比較明顯的線性相關(guān)性,且為正相關(guān);④乙同學(xué)連續(xù)九次測(cè)驗(yàn)成績(jī)每一次均有明顯進(jìn)步.其中正確的個(gè)數(shù)為()A.4 B.3 C.2 D.15.已知不同直線、與不同平面、,且,,則下列說法中正確的是()A.若,則 B.若,則C.若,則 D.若,則6.若直線l不平行于平面α,且l?α,則()A.α內(nèi)所有直線與l異面B.α內(nèi)只存在有限條直線與l共面C.α內(nèi)存在唯一的直線與l平行D.α內(nèi)存在無數(shù)條直線與l相交7.函數(shù)在的圖像大致為A. B. C. D.8.已知命題,,則是()A., B.,.C., D.,.9.已知是過拋物線焦點(diǎn)的弦,是原點(diǎn),則()A.-2 B.-4 C.3 D.-310.設(shè)是虛數(shù)單位,則()A. B. C. D.11.已知集合,,若,則()A.或 B.或 C.或 D.或12.已知中,角、所對(duì)的邊分別是,,則“”是“”的()A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.既不充分也不必要條件 D.充分必要條件二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.在棱長(zhǎng)為的正方體中,是正方形的中心,為的中點(diǎn),過的平面與直線垂直,則平面截正方體所得的截面面積為______.14.設(shè),則除以的余數(shù)是______.15.角的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn),始邊與軸的非負(fù)半軸重合,終邊經(jīng)過點(diǎn),則的值是.16.已知半徑為4的球面上有兩點(diǎn)A,B,AB=42,球心為O,若球面上的動(dòng)點(diǎn)C滿足二面角C-AB-O的大小為60°三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)在平面直角坐標(biāo)系xOy中,以O(shè)為極點(diǎn),x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,已知曲線C:ρcos2θ=4asinθ?(a>0),直線l的參數(shù)方程為x=-2+22t,y=-1+(I)寫出曲線C的直角坐標(biāo)方程和直線l的普通方程(不要求具體過程);(II)設(shè)P(-2,-1),若|PM|,|MN|,|PN|成等比數(shù)列,求a的值.18.(12分)如圖,設(shè)A是由個(gè)實(shí)數(shù)組成的n行n列的數(shù)表,其中aij(i,j=1,2,3,…,n)表示位于第i行第j列的實(shí)數(shù),且aij{1,-1}.記S(n,n)為所有這樣的數(shù)表構(gòu)成的集合.對(duì)于,記ri(A)為A的第i行各數(shù)之積,cj(A)為A的第j列各數(shù)之積.令a11a12…a1na21a22a2n…………an1an2…ann(Ⅰ)請(qǐng)寫出一個(gè)AS(4,4),使得l(A)=0;(Ⅱ)是否存在AS(9,9),使得l(A)=0?說明理由;(Ⅲ)給定正整數(shù)n,對(duì)于所有的AS(n,n),求l(A)的取值集合.19.(12分)已知函數(shù)和的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,且.(1)解關(guān)于的不等式;(2)如果對(duì),不等式恒成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍.20.(12分)已知函數(shù)f(x)ax﹣lnx(a∈R).(1)若a=2時(shí),求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間;(2)設(shè)g(x)=f(x)1,若函數(shù)g(x)在上有兩個(gè)零點(diǎn),求實(shí)數(shù)a的取值范圍.21.(12分)如圖,平面四邊形為直角梯形,,,,將繞著翻折到.(1)為上一點(diǎn),且,當(dāng)平面時(shí),求實(shí)數(shù)的值;(2)當(dāng)平面與平面所成的銳二面角大小為時(shí),求與平面所成角的正弦.22.(10分)已知等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,且(1)求數(shù)列{a(2)求數(shù)列{1Sn}的前
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、C【解析】
令,求出在的對(duì)稱軸,由三角函數(shù)的對(duì)稱性可得,將式子相加并整理即可求得的值.【詳解】令,得,即對(duì)稱軸為.函數(shù)周期,令,可得.則函數(shù)在上有8條對(duì)稱軸.根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)可知,將以上各式相加得:故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查了三角函數(shù)的對(duì)稱性,考查了三角函數(shù)的周期性,考查了等差數(shù)列求和.本題的難點(diǎn)是將所求的式子拆分為的形式.2、C【解析】
將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度,得到函數(shù)的圖象,因?yàn)楹瘮?shù)的圖象的一條對(duì)稱軸是,所以,即,所以,又,所以的最小值為.故選C.3、C【解析】
根據(jù)三視圖還原為幾何體,結(jié)合組合體的結(jié)構(gòu)特征求解表面積.【詳解】由三視圖可知,該幾何體可看作是半個(gè)圓柱和一個(gè)長(zhǎng)方體的組合體,其中半圓柱的底面半圓半徑為1,高為4,長(zhǎng)方體的底面四邊形相鄰邊長(zhǎng)分別為1,2,高為4,所以該幾何體的表面積,故選C.【點(diǎn)睛】本題主要考查三視圖的識(shí)別,利用三視圖還原成幾何體是求解關(guān)鍵,側(cè)重考查直觀想象和數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).4、C【解析】
利用圖形,判斷折線圖平均分以及線性相關(guān)性,成績(jī)的比較,說明正誤即可.【詳解】①甲同學(xué)的成績(jī)折線圖具有較好的對(duì)稱性,最高130分,平均成績(jī)?yōu)榈陀?30分,①錯(cuò)誤;②根據(jù)甲同學(xué)成績(jī)折線圖提供的數(shù)據(jù)進(jìn)行統(tǒng)計(jì),估計(jì)該同學(xué)平均成績(jī)?cè)趨^(qū)間[110,120]內(nèi),②正確;③乙同學(xué)的數(shù)學(xué)成績(jī)與測(cè)試次號(hào)具有比較明顯的線性相關(guān)性,且為正相關(guān),③正確;④乙同學(xué)在這連續(xù)九次測(cè)驗(yàn)中第四次、第七次成績(jī)較上一次成績(jī)有退步,故④不正確.故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查折線圖的應(yīng)用,線性相關(guān)以及平均分的求解,考查轉(zhuǎn)化思想以及計(jì)算能力,屬于基礎(chǔ)題.5、C【解析】
根據(jù)空間中平行關(guān)系、垂直關(guān)系的相關(guān)判定和性質(zhì)可依次判斷各個(gè)選項(xiàng)得到結(jié)果.【詳解】對(duì)于,若,則可能為平行或異面直線,錯(cuò)誤;對(duì)于,若,則可能為平行、相交或異面直線,錯(cuò)誤;對(duì)于,若,且,由面面垂直的判定定理可知,正確;對(duì)于,若,只有當(dāng)垂直于的交線時(shí)才有,錯(cuò)誤.故選:.【點(diǎn)睛】本題考查空間中線面關(guān)系、面面關(guān)系相關(guān)命題的辨析,關(guān)鍵是熟練掌握空間中的平行關(guān)系與垂直關(guān)系的相關(guān)命題.6、D【解析】
通過條件判斷直線l與平面α相交,于是可以判斷ABCD的正誤.【詳解】根據(jù)直線l不平行于平面α,且l?α可知直線l與平面α相交,于是ABC錯(cuò)誤,故選D.【點(diǎn)睛】本題主要考查直線與平面的位置關(guān)系,直線與直線的位置關(guān)系,難度不大.7、B【解析】
由分子、分母的奇偶性,易于確定函數(shù)為奇函數(shù),由的近似值即可得出結(jié)果.【詳解】設(shè),則,所以是奇函數(shù),圖象關(guān)于原點(diǎn)成中心對(duì)稱,排除選項(xiàng)C.又排除選項(xiàng)D;,排除選項(xiàng)A,故選B.【點(diǎn)睛】本題通過判斷函數(shù)的奇偶性,縮小考察范圍,通過計(jì)算特殊函數(shù)值,最后做出選擇.本題較易,注重了基礎(chǔ)知識(shí)、基本計(jì)算能力的考查.8、B【解析】
根據(jù)全稱命題的否定為特稱命題,得到結(jié)果.【詳解】根據(jù)全稱命題的否定為特稱命題,可得,本題正確選項(xiàng):【點(diǎn)睛】本題考查含量詞的命題的否定,屬于基礎(chǔ)題.9、D【解析】
設(shè),,設(shè):,聯(lián)立方程得到,計(jì)算得到答案.【詳解】設(shè),,故.易知直線斜率不為,設(shè):,聯(lián)立方程,得到,故,故.故選:.【點(diǎn)睛】本題考查了拋物線中的向量的數(shù)量積,設(shè)直線為可以簡(jiǎn)化運(yùn)算,是解題的關(guān)鍵.10、A【解析】
利用復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算可求得結(jié)果.【詳解】由復(fù)數(shù)的乘法法則得.故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算,考查計(jì)算能力,屬于基礎(chǔ)題.11、B【解析】
因?yàn)?所以,所以或.若,則,滿足.若,解得或.若,則,滿足.若,顯然不成立,綜上或,選B.12、D【解析】
由大邊對(duì)大角定理結(jié)合充分條件和必要條件的定義判斷即可.【詳解】中,角、所對(duì)的邊分別是、,由大邊對(duì)大角定理知“”“”,“”“”.因此,“”是“”的充分必要條件.故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查充分條件、必要條件的判斷,考查三角形的性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí),考查邏輯推理能力,是基礎(chǔ)題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】
確定平面即為平面,四邊形是菱形,計(jì)算面積得到答案.【詳解】如圖,在正方體中,記的中點(diǎn)為,連接,則平面即為平面.證明如下:由正方體的性質(zhì)可知,,則,四點(diǎn)共面,記的中點(diǎn)為,連接,易證.連接,則,所以平面,則.同理可證,,,則平面,所以平面即平面,且四邊形即平面截正方體所得的截面.因?yàn)檎襟w的棱長(zhǎng)為,易知四邊形是菱形,其對(duì)角線,,所以其面積.故答案為:【點(diǎn)睛】本題考查了正方體的截面面積,意在考查學(xué)生的空間想象能力和計(jì)算能力.14、1【解析】
利用二項(xiàng)式定理得到,將89寫成1+88,然后再利用二項(xiàng)式定理展開即可.【詳解】,因展開式中后面10項(xiàng)均有88這個(gè)因式,所以除以的余數(shù)為1.故答案為:1【點(diǎn)睛】本題考查二項(xiàng)式定理的綜合應(yīng)用,涉及余數(shù)的問題,解決此類問題的關(guān)鍵是靈活構(gòu)造二項(xiàng)式,并將它展開分析,本題是一道基礎(chǔ)題.15、【解析】試題分析:由三角函數(shù)定義知,又由誘導(dǎo)公式知,所以答案應(yīng)填:.考點(diǎn):1、三角函數(shù)定義;2、誘導(dǎo)公式.16、4【解析】
設(shè)△ABC所在截面圓的圓心為O1,AB中點(diǎn)為D,連接OD,易知∠ODO1即為二面角C-AB-O的平面角,可求出OD,?O1D及OO1,然后可判斷出四面體OABC外接球的球心E在直線OO1上,在【詳解】設(shè)△ABC所在截面圓的圓心為O1,AB中點(diǎn)為D,連接OD,OA=OB,所以,OD⊥AB,同理O1D⊥AB,所以,∠ODO1即為二面角∠ODO因?yàn)镺A=OB=4,?AB=42,所以△OAB在Rt△ODO1中,由cos60o=O1D因?yàn)镺1到A、B、C三的距離相等,所以,四面體OABC外接球的球心E在直線OO設(shè)四面體OABC外接球半徑為R,在Rt△O1由勾股定理可得:O1B2+O【點(diǎn)睛】本題考查了三棱錐的外接球問題,考查了學(xué)生的空間想象能力、邏輯推理能力及計(jì)算求解能力,屬于中檔題.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(I)x2=4aya>0,x-y+1=0【解析】
(I)利用所給的極坐標(biāo)方程和參數(shù)方程,直接整理化簡(jiǎn)得到直角坐標(biāo)方程和普通方程;(II)聯(lián)立直線的參數(shù)方程和C的直角坐標(biāo)方程,結(jié)合韋達(dá)定理以及等比數(shù)列的性質(zhì)即可求得答案.【詳解】(I)曲線C:ρcos2可得ρ2cos2直線l的參數(shù)方程為x=-2+22t,x-y=-1,得x-y+1=0;(II)將x=-2+22t,y=-1+2t韋達(dá)定理:t1由題意得MN2=PM可得(t即32(a+1)解得a=【點(diǎn)睛】本題考查了極坐標(biāo)方程、參數(shù)方程與直角坐標(biāo)和普通方程的互化,以及參數(shù)方程的綜合知識(shí),結(jié)合等比數(shù)列,熟練運(yùn)用知識(shí),屬于較易題.18、(Ⅰ)答案見解析;(Ⅱ)不存在,理由見解析;(Ⅲ)【解析】
(Ⅰ)可取第一行都為-1,其余的都取1,即滿足題意;(Ⅱ)用反證法證明:假設(shè)存在,得出矛盾,從而證明結(jié)論;(Ⅲ)通過分析正確得出l(A)的表達(dá)式,以及從A0如何得到A1,A2……,以此類推可得到Ak.【詳解】(Ⅰ)答案不唯一,如圖所示數(shù)表符合要求.(Ⅱ)不存在AS(9,9),使得l(A)=0,證明如下:假如存在,使得.因?yàn)?,,所以,?..,,,,...,這18個(gè)數(shù)中有9個(gè)1,9個(gè)-1.令.一方面,由于這18個(gè)數(shù)中有9個(gè)1,9個(gè)-1,從而①,另一方面,表示數(shù)表中所有元素之積(記這81個(gè)實(shí)數(shù)之積為m);也表示m,從而②,①,②相矛盾,從而不存在,使得.(Ⅲ)記這個(gè)實(shí)數(shù)之積為p.一方面,從“行”的角度看,有;另一方面,從“列”的角度看,有;從而有③,注意到,,下面考慮,,...,,,,...,中-1的個(gè)數(shù),由③知,上述2n個(gè)實(shí)數(shù)中,-1的個(gè)數(shù)一定為偶數(shù),該偶數(shù)記為,則1的個(gè)數(shù)為2n-2k,所以,對(duì)數(shù)表,顯然.將數(shù)表中的由1變?yōu)?1,得到數(shù)表,顯然,將數(shù)表中的由1變?yōu)?1,得到數(shù)表,顯然,依此類推,將數(shù)表中的由1變?yōu)?1,得到數(shù)表,即數(shù)表滿足:,其余,所以,,所以,由k的任意性知,l(A)的取值集合為.【點(diǎn)睛】本題為數(shù)列的創(chuàng)新應(yīng)用題,考查數(shù)學(xué)分析與思考能力及推理求解能力,解題關(guān)鍵是讀懂題意,根據(jù)引入的概念與性質(zhì)進(jìn)行推理求解,屬于較難題.19、(1)(2)【解析】試題分析:(1)由函數(shù)和的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱可得的表達(dá)式,再去掉絕對(duì)值即可解不等式;(2)對(duì),不等式成立等價(jià)于,去絕對(duì)值得不等式組,即可求得實(shí)數(shù)的取值范圍.試題解析:(1)∵函數(shù)和的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,∴,∴原不等式可化為,即或,解得不等式的解集為;(2)不等式可化為:,即,即,則只需,解得,的取值范圍是.20、(1)單調(diào)遞減區(qū)間為(0,1),單調(diào)遞增區(qū)間為(1,+∞)(2)(3,2e]【解析】
(1)當(dāng)a=2時(shí),求出,求解,即可得出結(jié)論;(2)函數(shù)在上有兩個(gè)零點(diǎn)等價(jià)于a=2x在上有兩解,構(gòu)造函數(shù),,利用導(dǎo)數(shù),可分析求得實(shí)數(shù)a的取值范圍.【詳解】(1)當(dāng)a=2時(shí),定義域?yàn)?,則,令,解得x1,或x1(舍去),所以當(dāng)時(shí),單調(diào)遞減;當(dāng)時(shí),單調(diào)遞增;故函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為,單調(diào)遞增區(qū)間為,(2)設(shè),函數(shù)g(x)在上有兩個(gè)零點(diǎn)等價(jià)于在上有兩解令,,則,令,,顯然,在區(qū)間上單調(diào)遞增,又,所以當(dāng)時(shí),有,即,當(dāng)時(shí),有,即,所以在區(qū)間上單調(diào)遞減,在區(qū)間上單調(diào)遞增,時(shí),取得極小值,也是最小值,即,由方程在上有兩解及,可得實(shí)數(shù)a的取值范圍是.【點(diǎn)睛】本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性極
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