2020年全國中考數(shù)學(xué)真題分類匯編：《圓》解答題（二）含答案

2020年全國中考數(shù)學(xué)真題分類精選匯編：《圓》解答題(二)

含答案解析

1.(2020?廣州)如圖，。。為等邊△ABC的外接圓，半徑為2,點(diǎn)。在劣弧源上運(yùn)動(不與

點(diǎn)A,8重合)，連接。A,DB,DC.

(1)求證：0c是N4DB的平分線；

(2)四邊形ADBC的面積S是線段。C的長尤的函數(shù)嗎？如果是，求出函數(shù)解析式；如果

不是，請說明理由；

(3)若點(diǎn)M,N分別在線段CA,上運(yùn)動(不含端點(diǎn))，經(jīng)過探究發(fā)現(xiàn)，點(diǎn)。運(yùn)動到每一

個確定的位置，△/)〃汽的周長有最小值3隨著點(diǎn)。的運(yùn)動，f的值會發(fā)生變化，求所有f

值中的最大值.

2.(2020?株洲)A8是。O的直徑，點(diǎn)C是上一點(diǎn)，連接AC、BC,直線MN過點(diǎn)C,滿

足/BCM=/BAC=a.

圖①圖②

(1)如圖①，求證：直線是O。的切線；

(2)如圖②，點(diǎn)。在線段8C上，過點(diǎn)。作。HLMV于點(diǎn)直線交O。于點(diǎn)E、F,

連接AF并延長交直線于點(diǎn)G,連接CE,且CE=$,若O。的半徑為1,cosa=&,求

AG-ED的值.

3.(2020?孝感)已知aABC內(nèi)接于O。，AB=AC,ZABC的平分線與。。交于點(diǎn)D,與AC

交于點(diǎn)E,連接。并延長與。。過點(diǎn)A的切線交于點(diǎn)F,記NBAC=a.

(1)如圖1,若a=60°,

①直接寫出更的值為；

DC

②當(dāng)。。的半徑為2時，直接寫出圖中陰影部分的面積為；

(2)如圖2,若a<60°,且更=2,DE=4,求BE的長.

圖1圖2

4.(2020?鄂州)如圖所示：OO與AABC的邊BC相切于點(diǎn)C,與AC、AB分別交于點(diǎn)。、E,

DE//OB.DC是OO的直徑.連接OE,過C作CG〃OE交。。于G,連接。G、EC,DG

與EC交于點(diǎn)F.

(1)求證：直線與O。相切；

(2)求證：AE-ED=AC-EF；

(3)若EF=3,tan/ACE=工時，過A作AN〃CE交于/、N兩點(diǎn)(M在線段AN上)，

2

求A7V的長.

5.(2020?煙臺)如圖，在口ABC。中，ZD=60°,對角線ACL8C,。。經(jīng)過點(diǎn)A,B,與AC

交于點(diǎn)M,連接AO并延長與。。交于點(diǎn)F,與CB的延長線交于點(diǎn)E,AB=EB.

(1)求證：EC是。。的切線；

(2)若AO=2?,求贏的長(結(jié)果保留IT).

6.(2020?婁底)如圖，點(diǎn)C在以AB為直徑的上，8。平分/A8C交。。于點(diǎn)。，過。作

8C的垂線，垂足為E.

(1)求證：DE與O。相切；

(2)若AB=5,BE=4,求8。的長；

(3)請用線段AB、8E表示CE的長，并說明理由.

7.(2020?恩施州)如圖1,AB是。。的直徑，直線AM與。。相切于點(diǎn)A,直線與。。相

切于點(diǎn)8,點(diǎn)C(異于點(diǎn)A)在AM上，點(diǎn)。在上，且CZ)=C4,延長CD與BN相交

于點(diǎn)E,連接并延長交8N于點(diǎn)￡

圖1

(1)求證:CE是。。的切線;

(2)求證:BE=EF；

(3)如圖2,連接并延長與分別相交于點(diǎn)G、H,連接若A8=6,AC=4,求

tanNBHE.

8.(2020?廣東)如圖1,在四邊形ABC。中，AD//BC,ZDAB=90°,AB是。。的直徑，CO

平分/BCD.

(1)求證：直線C。與。。相切；

(2)如圖2,記(1)中的切點(diǎn)為E,P為優(yōu)弧窟上一點(diǎn)，4。=1,BC=2.求tan/APE的

值.

9.(2020?威海)如圖，△ABC的外角NR4M的平分線與它的外接圓相交于點(diǎn)E,連接BE,CE,

過點(diǎn)E作E尸〃8C,交CM于點(diǎn)。.

求證：(1)BE=CE；

(2)EF為。0的切線.

10.如圖，AC為。。的直徑，A尸為。。的切線，M是AP上一點(diǎn)，過點(diǎn)M的直線與交于

點(diǎn)、B,。兩點(diǎn)，與AC交于點(diǎn)E,連接AB,AD,AB=BE.

(1)求證：AB=BM；

(2)若AB=3,AD=2魚，求O。的半徑.

11.(2020?宜昌)如圖，在四邊形ABC。中，AD//BC,AB=2、&,ZABC=60°,過點(diǎn)3的

。。與邊AB,BC分別交于E,尸兩點(diǎn).OG_LBC,垂足為G,OG=a.連接。2,OE,OF.

(2)若BE=BF,求證：OO與AD相切于點(diǎn)A.

12.(2020?湘西州)如圖，是。。的直徑，AC是。。的切線，8C交。。于點(diǎn)E.

(1)若。為AC的中點(diǎn)，證明：是。。的切線；

(2)若CA=6,CE=36,求。。的半徑OA的長.

13.(2020?濰坊)如圖，為。。的直徑，射線AO交。。于點(diǎn)R點(diǎn)C為劣弧前的中點(diǎn)，過

點(diǎn)C作CELA。，垂足為E,連接AC.

(1)求證：CE是。。的切線；

(2)若N8AC=30°,AB=4,求陰影部分的面積.

14.(2020?營口)如圖，△ABC中，ZACB=9Q°,80為△ABC的角平分線，以點(diǎn)。為圓心,

OC為半徑作。。與線段AC交于點(diǎn)D.

(1)求證：AB為。0的切線；

(2)若tanA=立，AD—2,求8。的長.

15.(2020?青海)如圖，已知是。。的直徑，直線BC與。。相切于點(diǎn)8,過點(diǎn)A作A￡)〃

0c交。。于點(diǎn)。，連接CD

(1)求證：O是。。的切線.

(2)若AD=4,直徑A8=12,求線段BC的長.

16.(2020?鹽城)如圖，是△A8C的外接圓，是的直徑，ZDCA=ZB.

(1)求證：C。是。。的切線；

(2)若。垂足為E,OE交AC于點(diǎn)尸，求證：△￡>(7尸是等腰三角形.

17.(2020?張家界)如圖，在Rt^ABC中，ZACB=90°,以A8為直徑作O。，過點(diǎn)C作直

線C￡)交的延長線于點(diǎn)使/BC￡)=/A.

(1)求證：co為。。的切線；

(2)若平分NAOC,且分別交AC,BC于點(diǎn)、E,F,當(dāng)CE=2時，求斯的長.

18.(2020?郴州)如圖，AABC內(nèi)接于OO,是。。的直徑.直線/與。。相切于點(diǎn)A,在

/上取一點(diǎn)。使得D4=OC,線段。C,的延長線交于點(diǎn)E.

(1)求證：直線DC是。。的切線；

(2)若BC=2,NCAB=30°,求圖中陰影部分的面積(結(jié)果保留IT).

19.(2020?常州)如圖1,與直線。相離，過圓心/作直線。的垂線，垂足為X,且交

于P、。兩點(diǎn)(。在P、H之間).我們把點(diǎn)P稱為。/關(guān)于直線。的“遠(yuǎn)點(diǎn)”，把尸。

的值稱為。/關(guān)于直線a的“特征數(shù)”.

(1)如圖2,在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)E的坐標(biāo)為(0,4).半徑為1的。。與兩坐標(biāo)

軸交于點(diǎn)A、B、C、D.

①過點(diǎn)E畫垂直于y軸的直線m,則。。關(guān)于直線m的“遠(yuǎn)點(diǎn)”是點(diǎn)(填“A”、“3”、

“C”或“￡>”)，。。關(guān)于直線機(jī)的“特征數(shù)”為；

②若直線”的函數(shù)表達(dá)式為y=Q+4.求。。關(guān)于直線n的“特征數(shù)”；

(2)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線/經(jīng)過點(diǎn)M(l,4),點(diǎn)P是坐標(biāo)平面內(nèi)一點(diǎn)，以廠為

圓心，如為半徑作若OF與直線/相離，點(diǎn)N(-1,0)是關(guān)于直線/的“遠(yuǎn)點(diǎn)”.且

OF關(guān)于直線/的“特征數(shù)”是4泥，求直線/的函數(shù)表達(dá)式.

20.(2020?長沙)如圖，半徑為4的。。中，弦AB的長度為4?,點(diǎn)C是劣弧會上的一個動

點(diǎn)，點(diǎn)。是弦AC的中點(diǎn)，點(diǎn)E是弦8c的中點(diǎn)，連接。E、OD、OE.

(1)求/AOB的度數(shù)；

(2)當(dāng)點(diǎn)C沿著劣弧右從點(diǎn)A開始，逆時針運(yùn)動到點(diǎn)8時，求的外心尸所經(jīng)過的

路徑的長度;

(3)分別記△(?￡)&△CDE的面積為Si,S2,當(dāng)SJ-s2=21時，求弦AC的長度.

21.(2020?臨沂)已知OO1的半徑為n,。。2的半徑為2以。1為圓心，以廠1+己的長為半

徑畫弧，再以線段0102的中點(diǎn)P為圓心，以工。1。2的長為半徑畫弧，兩弧交于點(diǎn)A,連接

2

OiA,OiA,014交。。1于點(diǎn)8,過點(diǎn)2作。2A的平行線BC交。1。2于點(diǎn)C.

(1)求證：8C是002的切線；

(2)若ri=2,r2=l,0102=6,求陰影部分的面積.

B

22.（2020?山西）如圖，四邊形。4BC是平行四邊形，以點(diǎn)。為圓心，0c為半徑的。。與4B

相切于點(diǎn)3,與A。相交于點(diǎn)49的延長線交O。于點(diǎn)E,連接班交OC于點(diǎn)?求NC

和NE的度數(shù).

23.（2020?廣元）在Rt^ABC中，ZACB=90°,OA平分/BAC交8c于點(diǎn)。，以O(shè)為圓心,

OC長為半徑作圓交BC于點(diǎn)D.

（1）如圖1,求證：AB為。。的切線;

（2）如圖2,AB與。。相切于點(diǎn)E,連接CE交04于點(diǎn)?

①試判斷線段OA與CE的關(guān)系，并說明理由.

②若ORFC=1：2,OC=3,求tanB的值.

24.（2020?湘潭）如圖，在△ABC中，AB=AC,以A8為直徑的交3C于點(diǎn)。，過點(diǎn)。作

DE±AC,垂足為點(diǎn)E.

(1)求證：△A3。絲△AC￡)；

(2)判斷直線。E與。。的位置關(guān)系，并說明理由.

25.(2020?武漢)如圖，在RtZkABC中，NABC=90°,以AB為直徑的。。交AC于點(diǎn)D

AE與過點(diǎn)。的切線互相垂直，垂足為E.

(1)求證：AD平分/BAE；

(2)若CD=DE,求sin/BAC的值.

26.(2020?隨州)如圖，在Rt^ABC中，ZACB=90°,以斜邊A8上的中線C￡＞為直徑作。0,

與BC交于點(diǎn)M,與AB的另一個交點(diǎn)為E,過M作MNLAB,垂足為N.

(1)求證：是O。的切線；

(2)若。。的直徑為5,sin8=3,求ED的長.

27.(2020?江西)已知NMPN的兩邊分別與。。相切于點(diǎn)A,B,。。的半徑為八

(1)如圖1,點(diǎn)C在點(diǎn)A,8之間的優(yōu)弧上，/MPN=8Q°,求NACB的度數(shù)；

(2)如圖2,點(diǎn)C在圓上運(yùn)動，當(dāng)PC最大時，要使四邊形APBC為菱形，/APB的度數(shù)應(yīng)

為多少？請說明理由；

(3)若PC交。。于點(diǎn)。，求第(2)問中對應(yīng)的陰影部分的周長(用含廠的式子表示).

28.(2020?懷化)定義：對角線互相垂直且相等的四邊形叫做垂等四邊形.

(1)下面四邊形是垂等四邊形的是;(填序號)

①平行四邊形；②矩形；③菱形；④正方形

(2)圖形判定：如圖1,在四邊形中，AD//BC,AC±BD,過點(diǎn)。作2。垂線交BC

的延長線于點(diǎn)E,且/。8C=45°,證明：四邊形ABC。是垂等四邊形.

(3)由菱形面積公式易知性質(zhì)：垂等四邊形的面積等于兩條對角線乘積的一半.應(yīng)用：在

圖2中，面積為24的垂等四邊形ABC。內(nèi)接于中，ZBCD=60°.求。。的半徑.

29.(2020?深圳)如圖，A3為O。的直徑，點(diǎn)C在O。上，4。與過點(diǎn)C的切線互相垂直，垂

足為D.連接BC并延長，交的延長線于點(diǎn)E.

(1)求證：AE=AB；

(2)若A8=10,BC=6,求CD的長.

E

oB

30.(2020?北京)在平面直角坐標(biāo)系尤Oy中，OO的半徑為1,A,8為。。外兩點(diǎn)，AB=l.

給出如下定義：平移線段A3,得到O。的弦A?(A,B'分別為點(diǎn)A,2的對應(yīng)點(diǎn))，線段

44'長度的最小值稱為線段48到OO的“平移距離”.

(1)如圖，平移線段AB得到。。的長度為1的弦P1P2和P3P4,則這兩條弦的位置關(guān)系

是;在點(diǎn)尸1,尸2,P3,P4中，連接點(diǎn)A與點(diǎn)的線段的長度等于線段A8到。。

的“平移距離”；

(2)若點(diǎn)A,B都在直線y=技+2%上，記線段AB到。。的“平移距離”為力，求力

的最小值；

(3)若點(diǎn)A的坐標(biāo)為(2,3),記線段到。。的“平移距離”為近，直接寫出心的取

2

值范圍.

31.(2020?咸寧)如圖，在RtZ\A8C中，/C=90°,點(diǎn)。在AC上，以04為半徑的半圓。

交于點(diǎn)。，交AC于點(diǎn)E,過點(diǎn)D作半圓。的切線。R交2c于點(diǎn)?

(1)求證：BF=DF；

(2)若AC=4,BC=3,CF=1,求半圓。的半徑長.

32.(2020?陜西)如圖，ZkABC是。。的內(nèi)接三角形，ZBAC=75°,ZABC=45°.連接A。

并延長，交O。于點(diǎn)。，連接3D過點(diǎn)C作O。的切線，與助的延長線相交于點(diǎn)E.

(1)求證：AD//EC；

(2)若48=12,求線段EC的長.

E

33.(2020?天水)如圖，在△ABC中，NC=90°,AD平分/BAC交BC于點(diǎn)。，點(diǎn)。在AB

上，以點(diǎn)。為圓心，為半徑的圓恰好經(jīng)過點(diǎn)。，分別交AC、AB于點(diǎn)￡、F.

(1)試判斷直線BC與OO的位置關(guān)系，并說明理由；

(2)若BD=2M，A3=6,求陰影部分的面積(結(jié)果保留it).

34.(2020?泰州)如圖，在。。中，點(diǎn)P為AB的中點(diǎn)，弦A。、PC互相垂直，垂足為M,BC

分別與A。、尸。相交于點(diǎn)E、N,連接B。、MN.

(1)求證：N為3E的中點(diǎn).

(2)若。。的半徑為8,源的度數(shù)為90°,求線段MN的長.

35.(2020?內(nèi)江)如圖，AB是。。的直徑，C是O。上一點(diǎn)，OOLBC于點(diǎn)。，過點(diǎn)C作。。

的切線，交。。的延長線于點(diǎn)E,連結(jié)BE.

(1)求證：3E是O。的切線;

(2)設(shè)0E交0。于點(diǎn)F,若DF=2,BC=4?,求線段EF的長;

(3)在(2)的條件下，求陰影部分的面積.

36.(2020?哈爾濱)己知：。。是△ABC的外接圓，為O。的直徑，AD1BC,垂足為E,

連接B。，延長3。交AC于點(diǎn)?

(1)如圖1,求證：ZBFC=3ZCAD；

(2)如圖2,過點(diǎn)。作。G〃B尸交。。于點(diǎn)G,點(diǎn)H為。G的中點(diǎn)，連接OH,求證：BE

=OH；

(3)如圖3,在(2)的條件下，連接CG,若DG=DE,AAOF的面積為金返，求線段

37.(2020?咸寧)定義：有一組對角互余的四邊形叫做對余四邊形.

理解：

(1)若四邊形ABC。是對余四邊形，則/A與NC的度數(shù)之和為;

證明：

(2)如圖1,MN是。。的直徑，點(diǎn)A,B,C在。。上，AM,CN相交于點(diǎn)D

求證：四邊形ABC。是對余四邊形；

探究：

(3)如圖2,在對余四邊形中，AB=BC,ZABC=60°,探究線段ADC￡)和

之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？寫出猜想，并說明理由.

D

（1）如圖1,在RtzXABC中，ZACB=90°,AC>BC,/ACB的平分線交AB于點(diǎn)。.過

點(diǎn)。分別作。ELAGOFLBC.垂足分別為E，R則圖1中與線段CE相等的線段是.

問題探究

（2）如圖2,是半圓。的直徑，43=8.尸是標(biāo)上一點(diǎn)，且苒=2位，連接AP,BP.Z

APB的平分線交AB于點(diǎn)C,過點(diǎn)C分別作CELAP,CF1BP,垂足分別為E,F,求線段

CF的長.

問題解決

（3）如圖3,是某公園內(nèi)“少兒活動中心”的設(shè)計示意圖.已知OO的直徑AB=70%，點(diǎn)C

在。。上，且CA=C8.尸為AB上一點(diǎn)，連接CP并延長，交。。于點(diǎn)。.連接AD,BD.過

點(diǎn)P分別作PELAO,PFLBD,垂足分別為E,F.按設(shè)計要求，四邊形PE。F內(nèi)部為室內(nèi)

活動區(qū)，陰影部分是戶外活動區(qū)，圓內(nèi)其余部分為綠化區(qū).設(shè)AP的長為了（根），陰影部分

的面積為y（初2）.

①求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；

②按照“少兒活動中心”的設(shè)計要求，發(fā)現(xiàn)當(dāng)AP的長度為30機(jī)時，整體布局比較合理.試

求當(dāng)AP=30機(jī)時.室內(nèi)活動區(qū)（四邊形尸EOF）的面積.

39.（2020?金昌）如圖，。。是△A8C的外接圓，其切線AE與直徑8。的延長線相交于點(diǎn)E,

且AE^AB.

(1)求NAC8的度數(shù);

(2)若DE=2,求。。的半徑.

40.(2020?福建)如圖，AB與相切于點(diǎn)8,AO交O。于點(diǎn)C,49的延長線交。。于點(diǎn)

E是血上不與3,。重合的點(diǎn)，sinA=A.

2

(1)求/BE。的大??；

(2)若OO的半徑為3,點(diǎn)P在的延長線上，且8歹=3?,求證：。P與。。相切.

2020年全國中考數(shù)學(xué)真題分類精選匯編：《圓》解答題（二）含答

案

參考答案與試題解析

一.解答題（共40小題）

1.（2020?廣州）如圖，。。為等邊△ABC的外接圓，半徑為2,點(diǎn)。在劣弧源上運(yùn)動（不與

點(diǎn)A,B重合），連接ZM,DB,DC.

（1）求證：0c是NAOB的平分線;

（2）四邊形AD8C的面積S是線段。C的長x的函數(shù)嗎？如果是，求出函數(shù)解析式；如果

不是，請說明理由；

（3）若點(diǎn)M,N分別在線段C4,上運(yùn)動（不含端點(diǎn)），經(jīng)過探究發(fā)現(xiàn)，點(diǎn)。運(yùn)動到每一

個確定的位置，的周長有最小值隨著點(diǎn)。的運(yùn)動，f的值會發(fā)生變化，求所有，

值中的最大值.

【分析】（1）由等邊三角形的性質(zhì)可得/42。=/胡。=/4。2=60°,圓周角定理可得/

ADC=ZBDC=60°,可得結(jié)論;

（2）將△ADC繞點(diǎn)逆時針旋轉(zhuǎn)60°,得到△BHC,可證△OCT?是等邊三角形，可得四邊

形ADBC的面積S—S^ADC+SABDC—SACDH—^^-CD2,即可求解；

4

（3）作點(diǎn)D關(guān)于直線AC的對稱點(diǎn)E,作點(diǎn)D關(guān)于直線BC的對稱點(diǎn)F,由軸對稱的性質(zhì)可

得EM=DM,DN=NF,可得的周長=Z>M+ON+MN=AV+KW+A/N,則當(dāng)點(diǎn)E,點(diǎn)

點(diǎn)N,點(diǎn)/四點(diǎn)共線時，的周長有最小值，即最小值為由軸對稱的性質(zhì)可求

CD=CE=CF,NECF=120。，由等腰三角形的性質(zhì)和直角三角形的性質(zhì)可求EF=2PE=

43EC=yf3CD=t,則當(dāng)CO為直徑時，，有最大值為4y.

【解答】證明：（1）;△ABC是等邊三角形，

ZABC=ZBAC=ZACB=60°,

VZADC=ZABC=6Q°，ZBDC=ZBAC=6Q°，

：./ADC=/BDC,

.?.OC是/AOB的平分線；

(2)四邊形A。8c的面積S是線段DC的長x的函數(shù)，

理由如下：

如圖1,將△ADC繞點(diǎn)C逆時針旋轉(zhuǎn)60°,得到△B8C,

：.CD=CH,ZDAC=ZHBC,

?.?四邊形AC8。是圓內(nèi)接四邊形,

：.ZDAC+ZDBC^180°,

：.ZDBC+ZHBC=180°,

...點(diǎn)。，點(diǎn)8,點(diǎn)H三點(diǎn)共線，

:DC=CH,ZCDH=60°,

...△OCH是等邊三角形，

4

(2?<;cW4)；

4

(3)如圖2,作點(diǎn)。關(guān)于直線AC的對稱點(diǎn)E,作點(diǎn)。關(guān)于直線8c的對稱點(diǎn)R

圖2

:點(diǎn)。，點(diǎn)E關(guān)于直線AC對稱，

：.EM=DM,

同理。N=NF,

4DMN的周長=DM+DN+MN=FN+EM+MN,

當(dāng)點(diǎn)E,點(diǎn)〃，點(diǎn)N,點(diǎn)產(chǎn)四點(diǎn)共線時，的周長有最小值，

則連接ER交AC于交BC于N,連接CE,CF,DE,DF,作CP_L所于P,

ADMN的周長最小值為EF=t,

；點(diǎn)D,點(diǎn)E關(guān)于直線AC對稱，

：.CE=CD,ZACE=ZACD,

:點(diǎn)D,點(diǎn)尸關(guān)于直線8C對稱，

:.CF=CD,NDCB=NFCB,

:.CD=CE=CF,ZECF^ZACE+ZACD+ZDCB+ZFCB^2ZACB^120°,

'JCPLEF,CE=CF,NEC尸=120°,

：.EP=PF,ZCEP=3Q°,

：.PC=1-EC,PE=y/3PC=y^-EC,

22

EF=2PE=yf^CD=t,

...當(dāng)CO有最大值時，EF有最大值，即f有最大值，

：C￡＞為。。的弦，

...C。為直徑時，C。有最大值4,

.?，的最大值為4y.

【點(diǎn)評】本題是圓的綜合題，考查了圓的有關(guān)知識，等邊三角形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，軸對

稱的性質(zhì)等知識，靈活運(yùn)用這些性質(zhì)進(jìn)行推理是本題的關(guān)鍵.

2.（2020?株洲）A8是。O的直徑，點(diǎn)C是上一點(diǎn)，連接AC、BC,直線MN過點(diǎn)C,滿

E

圖①圖②

(1)如圖①，求證：直線MN是。。的切線；

(2)如圖②，點(diǎn)。在線段BC上，過點(diǎn)。作。于點(diǎn)X,直線。〃交。。于點(diǎn)E、F,

連接A尸并延長交直線MN于點(diǎn)G,連接CE,且CE=$,若。。的半徑為1,cosa=3,求

34

AG-ED的值.

【分析】(1)由圓周角定理的推論和直角三角形的性質(zhì)可得/A+N8=90°,由OC=OB可

得/B=NOCB,推出/OC8+/8cM=90°,從而可得結(jié)論；

(2)由已知條件易求出AC的長，根據(jù)對頂角相等和圓周角定理可得NGfW=NACE,根據(jù)

余角的性質(zhì)可得NECD=/AGC,進(jìn)而可得△EDCS/VLCG,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)變形可

得AG?DE=AC?CE,即可求出結(jié)果.

【解答】(1)證明：連接OC,如圖①，

是OO的直徑，

ZACB=90°,

：.ZA+ZB=90°,

：0C=08,

:./B=/OCB,

■:/BCM=ZA,

：.ZOCB+ZBCM=90°,BPOC1.MN,

是。。的切線；

(2)解：如圖②，TAB是。。的直徑，。。的半徑為1,

：.AB=2,

VcosZBAC=cosa即想■二

AB424

.3

??AC號

VZAFE=ZACEfNGFH=NAFE,

:?/GFH=ZACE,

?:DHLMN,

.e.ZGFH+ZAGC=90°,

?：NACE+NECD=90°,

：.ZECD=ZAGC.

又?：NDEC=NCAG,

：.AEDC^AACG,

?EDEC

??記年

o55

?'?AG*DE=AC<E-yXy-y.

圖①

【點(diǎn)評】本題考查了圓的切線的判定、等腰三角形的性質(zhì)、解直角三角形、圓周角定理的推

論以及相似三角形的判定和性質(zhì)等知識，屬于?？碱}型，熟練掌握切線的判定和相似三角形

的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

3.(2020?孝感)已知△ABC內(nèi)接于。。，AB=AC,ZABC的平分線與OO交于點(diǎn)D,與AC

交于點(diǎn)E,連接C。并延長與。。過點(diǎn)A的切線交于點(diǎn)R記N54C=a.

(1)如圖1,若a=60°,

①直接寫出更的值為1;

DC_2__

②當(dāng)。。的半徑為2時，直接寫出圖中陰影部分的面積為一國二2』

—2—3—

(2)如圖2,若a<60°,且此=2,DE=4,求BE的長.

圖1圖2

【分析】(1)①由切線的性質(zhì)得：/。4尸=90°,證明△ABC是等邊三角形，

得/42。=/4。2=/區(qū)4。=60°,根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理證明NA4￡)=90°,可知BD

是。。的直徑，由圓周角，弧，弦的關(guān)系得AQ=CD說明△AD尸是含30度的直角三角形，

得AD=CD=2DF,可解答；

②根據(jù)陰影部分的面積=S梯形AODF-S扇形。4。=代入可得結(jié)論；

(2)如圖2,連接A。，連接AO并延長交。。于點(diǎn)H,連接則乙4。"=90°,先證

明(ASA),得DF=DE=4,由己知得。C=6,證明△C￡)ES/\B￡)C,列比

例式可得8￡>=9,從而解答即可.

【解答】解：(1)如圖1,連接。4,AD,

圖1

是。。的切線，

：.ZOAF^90°,

\'AB=AC,ZBAC=60°,

.'.△ABC是等邊三角形，

ZABC=ZACB=ZBAC=6Qa,

平分N4BC,

ZABD=ZCBD=30°,

VZADB=ZACB=60°,

：.ZBAD^90°,

???3O是。。的直徑，

?：OA=OB=OD,

：.ZABO=ZOAB=3Q°,ZOAD=ZADO=60°,

9：ZBDC=ZBAC=6Q°,

ZADF=180°-60°-60°=60°=ZOAD,

：.OA//DF,

.\ZF=180°-ZOAF=90°,

VZ￡)AF=30°,

：.AD=2DF,

,//ABD=/CBD,

**,AD二CD，

：.AD=CDf

：.CD=2DF,

?DF=X

e，DCT

故答案為：1;

2

@VO6?的半徑為2,

：.AD=OA=2fDF=1,

VZAOD=60°,

，陰影部分的面積為：S梯形AODF-S扇形OA。=—(DF+OA)一兀，

2''36C

齊《(1+2)型婷=等爭

故答案為:邁旦；

23

(2)如圖2,連接A。，連接AO并延長交。。于點(diǎn)X,連接。則/AOH=90°,

???ND4"+NZ)HA=90°,

TA廠與OO相切，

AZDAH+ZDAF=ZFAO=90°,

：.ZDAF=ZDHA,

??,5O平分NABC,

???NABD=NCBD,

AD=CD>

JZCAD=ZDHA=ZDAFf

*：AB=ACf

：.ZABC=ZACB9

???四邊形A3C0內(nèi)接于OO,

AZABC+ZA￡>C=180°,

VZADF+ZAZ)C=180°,

???ZADF=ZABC,

ZADB=ZACB=ZABC,

：.ZADF=ZADB,

在△A。歹和△AO石中

'NDAF=/DAE

vAD=AD，

ZADF=ZADE

AAADF^AAPE(ASA),

:.DF=DE=4,

???—DF=—2，

DC3

ADC=6,

ZDCE=ZABD=ZDBC,NCDE=/CDE,

??.△CDEsABDC,

?CD_DEpn64

DBCDBD6

:.BD=9,

：.BE=DB-DE=9-4=5.

【點(diǎn)評】本題考查了切線的判定，圓周角定理，三角形內(nèi)角和定理，等腰三角形的性質(zhì)，相

似三角形的性質(zhì)和判定，全等三角形的性質(zhì)和判定等知識點(diǎn)，能綜合運(yùn)用定理進(jìn)行推理是解

此題的關(guān)鍵.

4.(2020?鄂州)如圖所示：與△ABC的邊相切于點(diǎn)C,與AC、AB分別交于點(diǎn)。、E,

DE//OB.0c是。。的直徑.連接OE,過C作CG〃OE交0。于G,連接。G、EC,DG

與EC交于點(diǎn)?

(1)求證：直線A8與。。相切；

(2)求證：AE?ED=AUEF；

(3)若EF=3,tan/AC￡=工時，過A作AN〃CE交O。于M、N兩點(diǎn)(M在線段AN上)，

2

求⑷V的長.

【分析】(1)證明△20E會/XBOC(SSS)可得結(jié)論.

(2)連接EG.證明△AECszXEPG可得結(jié)論.

(3)過點(diǎn)。作OHLAN于解直角三角形求出。E=EC,CD,利用相似三角形的性質(zhì)求

出E,AC,AO,求出AH,HN即可解決問題.

【解答】(1)證明：：CD是直徑，

：.NDEC=90°,

C.DELEC,

,:DE〃OB,

???OBLEC,

???05垂直平分線段EC,

：?BE=EC,OE=OC,

'：0B=0B,

???△OBE%AOBC(SSS),

：./0EB=N0CB,

???3C是OO的切線，

???OCLBC,

???NOC3=90°,

：.ZOEB=90°,

OELAB,

???AB是。。的切線.

(2)證明：連接￡G.

?「CD是直徑，

???N0GC=9O°,

CG±DGf

CG//OE,

：.OELDG,

ADE=EG，

:.DE=EG,

'：AE±OE,DGLOE,

：.AE//DG,

：.ZEAC=ZGDC,

■:/GDC=4GEF,

:?/GEF=/EAC,

■:/EGF=/ECA,

：.AAEC^AEFG,

?AE=AC,

"EFEG，

?：EG=DE,

：.AE^E=AC9EF.

(3)解：過點(diǎn)。作OH_LAN于H.

??,DE=K)

:?NEDG=/ACE,

：.t^nZEDF=tanZACE=工=變=邁，

2DEEC

■:EF=3,

**?DE=6,DF=3EC=12,CD={DE?+EC2=

VZAED+ZOED=90°,ZOED+ZOEC=90°,

???NAED=NOEC,

;OE=OC,

：.ZOEC=ZOCEf

：.ZAED=ZACE,

9：ZEAD=ZEAC,

.,.△EAD^ACAE,

?AEDEAD2

**AC=EC=AE=

:?可以彳發(fā)設(shè)A_E=x,AC=2x,

VAE2=AZ)-AC,

.,?/=(2x-6A/^)?2X,

解得％=4遙(％=0舍去)，

???AE=4旄，AC=8旄，AD=2愿,0A=5近,

9：EC//AN,

：.ZOAH=/ACE,

tanZOAH—tanZACE=_QHn

AH2

：?0H=5,AH=10,

0H1MN,

：.HM=HN,連接OM,則MH=HN=孤,2口2={(訴)2-52=2遙,

：.AN=AH+HN=10+2”后.

【點(diǎn)評】本題屬于圓綜合題，考查了切線的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，相似三

角形的判定和性質(zhì)，解直角三角形等知識，解題的關(guān)鍵是正確尋找全等三角形或相似三角形

解決問題，屬于中考壓軸題.

5.（2020?煙臺）如圖，在口ABC。中，ZZ）=60°,對角線AC_LBC,經(jīng)過點(diǎn)A,B,與AC

交于點(diǎn)M,連接AO并延長與。。交于點(diǎn)F,與CB的延長線交于點(diǎn)E,AB=EB.

（1）求證：EC是的切線；

（2）若AO=2?,求菽的長（結(jié)果保留IT）.

【分析】（1）證明：連接根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得到NA8C=NQ=60°,求得N8AC

=30°,根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和三角形的外角的性質(zhì)得到NABO=N04B=3O°,于是得

到結(jié)論；

（2）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得到BC=AD=2?,過。作OHLAM于則四邊形02cx

是矩形，解直角三角形即可得到結(jié)論.

【解答】（1）證明：連接08,連接。

：四邊形ABCD是平行四邊形，

AZABC=ZD=60",

'：AC±BC,

：.ZACB=90°,

：.ZBAC=30°,

?；BE=AB,

：?/E=/BAE,

VZABC=ZE+ZBAE=6Q°,

：.ZE=ZBAE=30°,

???Q4=O3,

ZABO=ZOAB=30°,

：.ZOBC=300+60°=90°,

???OBLCE,

???EC是OO的切線;

(2)解：???四邊形ABC。是平行四邊形,

:?BC=AD=2M，

過。作OH1AM于H,

則四邊形08cH是矩形,

???OH=BC=2M，

：.OA=_—=4,ZAOM=2ZAOH=60°,

sin600

/.余的長度=60，KX4=里L(fēng).

【點(diǎn)評】本題考查了切線的判定，平行四邊形的性質(zhì)，矩形的判定和性質(zhì)，弧長的計算，正

確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵.

6.(2020?婁底)如圖，點(diǎn)C在以A8為直徑的。。上，8。平分/A8C交。。于點(diǎn)。，過。作

8C的垂線，垂足為E.

(1)求證：OE與。O相切；

(2)若AB=5,BE=4,求的長；

(3)請用線段A3、BE表示CE的長，并說明理由.

E

0D

【分析】（1）連接。。，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和角平分線的定義得到/根

據(jù)平行線的性質(zhì)得到于是得到結(jié)論；

（2）根據(jù)圓周角定理得到/4。8=90。，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論；

（3）過。作DH±AB于H,根據(jù)角平分線的性質(zhì)得到/=OE,根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即

可得到結(jié)論.

【解答】（1）證明：連接0。，

,；0D=0B,

：.ZODB=ZOBD,

平分/ABC,

：./0BD=/CBD,

：./0DB=NCBD,

：.OD//BE,

?：BE_LDE,

：.ODLDE,

與。。相切；

（2）M：\'AB是。。的直徑，

ZADB=90°,

■:BELDE,

:./ADB=/BED=90°,

：8。平分/ABC,

：./OBD=NCBD,

：.LABDsADBE,

???A-B~--B-D,

BDBE

._5_BD

=，；

,?麗T

:.BD=2炳;

(3)解：結(jié)論CE=A8-8E,

理由：過。作。于H,

平分/ABC,DELBE,

:.DH=DE,

在RtABED與RtABHD中，JDE=DH,

lBD=BD

：.RtABED出RtABHD(HL),

:.BH=BE,

'：ZDCE=ZA,/DHA=/DEC=90°,

.,.△ADH2CDE(A4S),

：.AH=CE,

'：AB=AH+BH,

：.AB=BE+CE,

：.CE=AB-BE.

【點(diǎn)評】本題考查了切線的判定，角平分線的性質(zhì)，圓的有關(guān)性質(zhì)，全等三角形的判定和性

質(zhì)，熟練掌握切線的判定及全等三角形的判定與性質(zhì)是本題的關(guān)鍵.

7.（2020?恩施州）如圖1,48是。。的直徑，直線AM與。。相切于點(diǎn)A,直線與。。相

切于點(diǎn)2,點(diǎn)C（異于點(diǎn)A）在AM上，點(diǎn)。在O。上，且CZ）=C4,延長CO與BN相交

于點(diǎn)E，連接A。并延長交8N于點(diǎn)足

(3)如圖2,連接E。并延長與。。分別相交于點(diǎn)G、H,連接若AB=6,AC=4,求

tanNBHE.

【分析】(1)連接。。，根據(jù)等邊對等角可知：ZCAD=ZCDA,ZOAD=ZODA,再根據(jù)

切線的性質(zhì)可知NCAO=/C4O+/OAO=/CD4+/OD4=90°=ZODC,由切線的判定

定理可得結(jié)論；

(2)連接BD,根據(jù)等邊對等角可知再根據(jù)切線的性質(zhì)可知

OBE^90°,由等量減等量差相等得再根據(jù)等角對等邊得到ED=EB,然

后根據(jù)平行線的性質(zhì)及對頂角相等可得推出。E=EF,由此得出結(jié)論；

(3)過E點(diǎn)作磯_LAM于L,根據(jù)勾股定理可求出BE的長，即可求出tan/BOE的值，再

利用倍角公式即可求出tanZBHE的值.

【解答】解：(1)如圖1中，連接0。，

'：CD=CA,

：.ZCAD=ZCDA,

'：OA=OD

J.ZOAD^ZODA,

:直線AM與。。相切于點(diǎn)A,

?.ZCAO=ZCAD+ZOAD=90°,

ZODC=ZCDA+ZODA=90°,

是O。的切線.

(2)如圖1中，連接

：OD=OB,

：./ODB=/OBD,

??,CE是OO的切線，3廠是。0的切線,

：.ZOBD=ZODE=90°,

；./EDB=NEBD,

；?ED=EB,

,JAMLAB,BNLAB,

：.AM//BN,

:?NCAD=/BFD,

,/ZCAD=ZCDA=/EDF,

：.ZBFD=ZEDF,

:?EF=ED,

：.BE=EF.

(3)如圖2中，過E點(diǎn)作皮，AM于3則四邊形A8皮是矩形,

圖2

設(shè)BE=x,則CL=4-x,CE=4+x,

(4+x)2=(4-x)2+62,

解得：龍=旦，

4

9_

t.anZBOE衛(wèi)，

tanjDUDOB34

■:/BOE=2/BHE,

./v2tan/BHE3

--tanZBOE=--------5--------=-r>

1-tanZBHE4

解得：tan/2HE=_l或-3(-3不合題意舍去),

3

：.tanZBHE=±.

3

補(bǔ)充方法：如圖2中，作即交E8的延長線于J.

:tan/B0E=^=3,

OB4

.,.可以假設(shè)BE=34，02=4瓦則?！?5晨

'：OB//HJ,

0-B=OE=EB

HJEHIf

4-k二5k=3k

H㈤T9kEJ，

^-k,EJ=2Lk,

55

.'.BJ—EJ-BE=^-k-3k--^-k

55

HJ3

ZBHE=/HBA=ZBHJ,

圖1

【點(diǎn)評】本題主要考查了切線的判定和性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)，平行線的判定和性

質(zhì)，三角函數(shù)/,勾股定理等知識，熟練掌握這些知識點(diǎn)并能熟練應(yīng)用是解題的關(guān)鍵.

8.(2020?廣東)如圖1,在四邊形ABC。中，AD//BC,ZDAB^9Q°,48是。。的直徑，CO

平分/BCD.

(1)求證：直線CD與。。相切;

(2)如圖2,記(1)中的切點(diǎn)為E,P為優(yōu)弧窟上一點(diǎn)，AD=1,BC=2.求tan/APE的

值.

【分析】(1)證明：作OE_LC。于E,證△OCEgZkOCB(44S),得出OE=OB,即可得出

結(jié)論；

(2)作。E_LBC于尸，連接8E,則四邊形ABFD是矩形，AB=DF,BF=AD=l,則CF

=1,證A。、BC是O。的切線，由切線長定理得瓦＞=4。=1，EC=BC=2,則CD=ED+EC

=3,由勾股定理得。E=2我，貝!J。8=丁萬，證NABE=/BC”，由圓周角定理得/APE=

ZABE,則由三角函數(shù)定義即可得出答案.

【解答】(1)證明：作OE_LC。于E,如圖1所示：

則NOEC=90°,

'：AD//BC,90°,

AZOBC=180°-ZDAB=9Q°,

J.ZOEC^ZOBC,

：CO平分/BC