高考數(shù)學(xué)二輪總復(fù)習(xí)專題突破練21圓錐曲線的定義方程與性質(zhì)_第1頁
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專題突破練21圓錐曲線的定義、方程與性質(zhì)一、單項(xiàng)選擇題1.已知拋物線y=mx2(m>0)上的點(diǎn)(x0,2)到該拋物線焦點(diǎn)F的距離為178,則m的值為(A.1 B.2 C.12 D.2.(2023·廣西桂林、河池、防城港聯(lián)考)已知雙曲線C:x2a2-y2b2=1(A.x24-y29C.x216-y293.過拋物線y2=4x的焦點(diǎn)的直線與拋物線交于A,B兩點(diǎn),若AB的中點(diǎn)的縱坐標(biāo)為2,則|AB|等于()A.4 B.6 C.8 D.104.(2023·新高考Ⅰ,5)設(shè)橢圓C1:x2a2+y2=1(a>1),C2:x24+y2=1的離心率分別為e1,e2.若e2=3e1A.233 B.C.3 D.65.(2023·天津,9)雙曲線x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1,F2.過F2作其中一條漸近線的垂線,垂足為P.已知|PF2|=A.x28-y24C.x24-y226.(2023·山東德州一模)過拋物線x2=2py(p>0)的焦點(diǎn)且傾斜角為45°的直線與拋物線交于A,B兩點(diǎn),若點(diǎn)A,B到y(tǒng)軸的距離之和為42,則p的值為()A.1 B.2 C.3 D.47.已知雙曲線C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的離心率等于2,F1,F2分別是雙曲線的左、右焦點(diǎn),A為雙曲線的右頂點(diǎn),P在雙曲線的漸近線上且PF1⊥PF2,若A.3 B.2 C.23 D.48.(2023·山東聊城一模)研究發(fā)現(xiàn)橢圓的任意兩條互相垂直的切線的交點(diǎn)都在同一個(gè)圓上,這個(gè)圓叫作橢圓的蒙日?qǐng)A.設(shè)橢圓C的焦點(diǎn)為F1,F2,P為橢圓C上的任意一點(diǎn),R為橢圓C的蒙日?qǐng)A的半徑.若PF1·PF2的最小值為15A.12 B.C.13 D.二、多項(xiàng)選擇題9.已知雙曲線C:9x216y2=144的左、右焦點(diǎn)分別為F1,F2,點(diǎn)P為C上的一點(diǎn),且|PF1|=6,則下列說法正確的是()A.雙曲線的離心率為5B.雙曲線的漸近線方程為3x±4y=0C.△PF1F2的周長(zhǎng)為30D.點(diǎn)P在橢圓x210010.(2023·安徽合肥開學(xué)考試)2022年4月,神舟十三號(hào)返回艙成功著陸,返回艙是宇航員返回地球的座艙,返回艙的軸截面可近似看作是由半圓和半橢圓(都包含M,N點(diǎn))組成的“曲圓”.如圖,半圓的圓心在坐標(biāo)原點(diǎn),半圓所在的圓過橢圓的焦點(diǎn)F(0,3),橢圓的短軸長(zhǎng)等于半圓的直徑,在平面直角坐標(biāo)系中,下半圓與y軸交于點(diǎn)G.若過原點(diǎn)O的直線與上半橢圓交于點(diǎn)A,與下半圓交于點(diǎn)B,則()A.橢圓的離心率為1B.△AFG的周長(zhǎng)為6+62C.△ABF面積的最大值是9D.線段AB長(zhǎng)度的取值范圍是[6,3+32]11.(2023·河北保定模擬)已知曲線C:x24+yA.若m>2,則C是橢圓B.若2<m<2,則C是雙曲線C.當(dāng)C是橢圓時(shí),若|m|越大,則C越接近于圓D.當(dāng)C是雙曲線時(shí),若|m|越小,則C的張口越大12.(2022·新高考Ⅰ,11)已知O為坐標(biāo)原點(diǎn),點(diǎn)A(1,1)在拋物線C:x2=2py(p>0)上,過點(diǎn)B(0,1)的直線交C于P,Q兩點(diǎn),則()A.C的準(zhǔn)線為y=1 B.直線AB與C相切C.|OP|·|OQ|>|OA|2 D.|BP|·|BQ|>|BA|2三、填空題13.(2023·廣西柳州模擬)已知F是橢圓C:x24+y23=1的右焦點(diǎn),P為橢圓C上一點(diǎn),A(1,2214.(2023·山東泰安一模)已知雙曲線C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的右頂點(diǎn)為A,以A為圓心,b為半徑的圓與雙曲線C的一條漸近線交于M,N兩點(diǎn),若∠MAN=60°,則以(e15.已知雙曲線x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左焦點(diǎn)為F,過F且斜率為b4a的直線交雙曲線于點(diǎn)A(x1,y1),交雙曲線的漸近線于點(diǎn)B(x2,y2),且x1<0<x16.(2022·新高考Ⅰ,16)已知橢圓C:x2a2+y2b2=1(a>b>0),C的上頂點(diǎn)為A,兩個(gè)焦點(diǎn)為F1,F2,離心率為12.過F1且垂直于AF2的直線與C交于D,E

專題突破練21圓錐曲線的定義、方程與性質(zhì)一、單項(xiàng)選擇題1.B解析由題意,知拋物線y=mx2(m>0)的準(zhǔn)線方程為y=14m,根據(jù)拋物線的定義,可得點(diǎn)(x0,2)到焦點(diǎn)F的距離等于到準(zhǔn)線y=14m的距離,可得2+12.D解析不妨設(shè)右焦點(diǎn)F2(c,0),則F2到漸近線bxay=0的距離為|bc|a2+b2=b=4.因?yàn)閷?shí)軸長(zhǎng)為2a=6,所以a=3.C解析拋物線y2=4x的焦點(diǎn)坐標(biāo)為F(1,0),準(zhǔn)線方程l:x=1.設(shè)線段AB的中點(diǎn)為M(x0,y0),如圖,過A,B,M作準(zhǔn)線l的垂線,垂足分別為C,D,N,則MN為梯形ABDC的中位線,|AB|=|AF|+|BF|=|AC|+|BD|=2|MN|=2(x0+1).直線AB過拋物線的焦點(diǎn)F,顯然直線AB的斜率存在且不為0,可設(shè)直線AB的方程為x=my+1(m為常數(shù)),代入拋物線的方程,消去x并整理,得y24my4=0.設(shè)A,B的縱坐標(biāo)分別為y1,y2,則y0=y1+y22=2直線AB的方程為x=y+1,則x0=y0+1=2+1=3,|AB|=2×(3+1)=8.4.A解析由題意,在C1:x2a2+y2=1中,a>1,b=1,∴e1=c在C2:x24+y2=1中,a=2,b=1,c=a2-b2∵e2=3e1,∴32=3×5.D解析雙曲線的漸近線方程為y=±bax,過點(diǎn)F2作漸近線y=ba如圖所示.設(shè)點(diǎn)P(m,bma),F1(c,0),F2(c,0),則有因?yàn)镻F2⊥OP,所以kPF2·ba整理得m(a2+b2)=a2c.又a2+b2=c2,所以m=a2c,即Pa2由題意,知點(diǎn)F2到漸近線y=bax的距離|PF2|=2,即|bc|又kF1P=abca2c+c=2故所求雙曲線的方程為x22-故選D.6.B解析設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),直線AB的斜率k=tan45°=1,拋物線x2=2py(p>0)的焦點(diǎn)F(0,p2),故直線AB的方程為y=x+p2.由y=x+p2,x2=2py,消去y得x22pxp2=0,則Δ=(2p)24×1×(p2)=8p2>0,x1+x2=2p,x1x2=p2<0,所以x1,x2異號(hào).由題意可得|x1|+|x2|=|x17.D解析如圖,不妨設(shè)點(diǎn)P在第一象限.雙曲線C:x2a2-y2b2=1(a>0,雙曲線在第一、三象限的漸近線的斜率為b因?yàn)锳為雙曲線的右頂點(diǎn),P在雙曲線的漸近線上,且PF1⊥PF2,所以PF1·PF2=x2+y因?yàn)閥=bax,所以P(a,b),△PAF1的面積為3a,可得12(a+c)b=3a解①②③,可得b=2,所以C的虛軸長(zhǎng)等于4.8.D解析設(shè)橢圓的長(zhǎng)軸、短軸、焦距分別為2a,2b,2c(a>b>0,c>0),不妨設(shè)橢圓的焦點(diǎn)在x軸上,中心在坐標(biāo)原點(diǎn),顯然x=±a,y=±b均為橢圓的切線,即(a,b),(a,b),(a,b),(a,b)均在蒙日?qǐng)A上,根據(jù)對(duì)稱性分析可得,蒙日?qǐng)A的圓心為坐標(biāo)原點(diǎn),半徑R=a2+b2.則橢圓方程為x2a2+y2b2=1,設(shè)橢圓上任一點(diǎn)P(acosθ,bsinθ),F1(c,0),F2(c,0),則PF1=(cacosθ,bsinθ),PF2=(cacosθ,bsinθ),可得PF1·PF2=(cacosθ)(cacosθ)+(bsinθ)(bsinθ)=a2cos2θc2+b2sin2θ=(a2b2)cos2θc2+b2(sin2θ+cos2θ)=c2cos2θ+b2c2.注意到c2>0,cos2θ∈[0,1],故PF1·PF2=c2cos2θ+b2c2≥b2c2,當(dāng)且僅當(dāng)cos2θ=0時(shí),等號(hào)成立,即PF1·PF2的最小值為b2c2,故b2c二、多項(xiàng)選擇題9.BCD解析雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為x216-y29=1,所以a=4,b=漸近線方程為x4±y3=0,即3|PF1|=6<2a=8,P在左支上,|PF2|=6+8=14,△PF1F2的周長(zhǎng)為30,C正確;|PF1|+|PF2|=20,因此P在橢圓x2100+y275=1(此橢圓是以F10.BD解析由題知,橢圓中的幾何量b=c=3,所以a=c2+b2=32,所以e=ca=332=22,故A不正確;由橢圓定義知,|AF|+|AG|=2a=62,所以△AFG的周長(zhǎng)C△AFG=|FG|+62=6+62,故B正確;設(shè)A,B到y(tǒng)軸的距離分別為d1,d2,則S△ABF=S△AOF+S△OBF=12d1·|OF|+12d2·|OF|=32(d1+d2),當(dāng)A在短軸的端點(diǎn)處時(shí),d1,d2同時(shí)取得最大值3,故△ABF面積的最大值是9,故C不正確;因?yàn)?1.BD解析對(duì)于A,m=2滿足m>2,代入曲線C的方程中,得x24+y24=1,即x2+y2=4,表示以(0,0)為圓心,半徑為2的圓,故A錯(cuò)誤;對(duì)于B,當(dāng)2<m<2時(shí),4≤2m24<0,所以4(2m24)<0,故C是雙曲線,故B正確;對(duì)于C,當(dāng)C是橢圓時(shí),|m|>2且m≠2,焦點(diǎn)在x軸上時(shí),2<|m|<2,|m|越大,離心率越小,曲線C表示的橢圓越圓;焦點(diǎn)在y軸上時(shí),|m|>2,|m|越大,離心率越大,曲線C表示的橢圓越扁平,故C錯(cuò)誤;對(duì)于D,當(dāng)曲線C:x24+y22m2-4=1為雙曲線時(shí),2m24<0,整理成x2412.BCD解析∵點(diǎn)A(1,1)在拋物線C上,∴1=2p,∴p=12∴拋物線C的方程為x2=y.∴拋物線C的準(zhǔn)線為y=14∵點(diǎn)A(1,1),B(0,1),∴直線AB的方程為y=2x1,聯(lián)立拋物線C與直線AB的方程,得y=2x-1,x2=y,消去y整理得x22x+1=0,Δ1=(2)24×1由題意可得,直線PQ的斜率存在,則可設(shè)直線PQ的方程為y=kx1,聯(lián)立直線PQ與拋物線C的方程,得y=kx-1,x2=y,消去y整理得x2kx+1=0,設(shè)點(diǎn)P(x1,y1∴|k|>2,y1y2=(x1x2)2=1,又|OP|=x12+y∴|OP|·|OQ|=y1y2(1+∵|BP|=1+k2|x1|,|BQ|=1+k2∴|BP|·|BQ|=(1+k2)|x1x2|=1+k2>5,而|BA|2=5,故D正確.故選BCD.三、填空題13.4+23解析設(shè)橢圓的左焦點(diǎn)為F1(1,0),|PA|+|PF|=|PA|+2a|PF1|=4+|PA||PF1|≤4+|AF1|=4+22+(22)2=4+23,當(dāng)A,P,F1共線且F14.y2=833x解析依題意,A(a,0),雙曲線的一條漸近線方程為bxay=△MAN是邊長(zhǎng)為b的等邊三角形,所以A到MN的距離是32b即|ab所以e=c對(duì)于拋物線y2=2px,有p2所以2p=83所以拋物線方程為y2=83315.364解析過F且斜率為b4a的直線AB:y=b4a(x+c由y=b4a(由|FB|=3|FA|,得A(5c而點(diǎn)A在雙曲線上,于是25c2整理得c2a216.13解析設(shè)橢圓的焦距為2c,F1,F2分別為左、右焦點(diǎn).∵橢圓的離心率e=12∴a=2c,∴b=a2-c2∴橢圓C的方程可化為x24c2+y23∵直線DE⊥AF2,∴kDE·kAF2=1(kDE為直線DE的斜率),

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